中考数学专题隐圆中最值问题
中考数学善用隐形圆、巧解最值题
中考数学善⽤隐形圆、巧解最值题
近年来，⼏何中因动点⽽产⽣线段最值问题⼴泛出现，成为中考的热点和难点。
此类题型⼀般都会以选择或填空的压轴形式出现，其中⼜以构造“隐形圆”来解决最值问题，条件隐藏较深，学⽣难以把握哪些题型需要构造“隐形圆”处理。
今天笔者想通过本篇⽂章与⼤家分享构造“隐形圆”的常见题型，以便学⽣掌握出题者的套路，灵活运⽤“隐形圆”解题。
【知识储备】
最值问题的解决⽅法通常有两⼤类：
（1）应⽤⼏何性质：
①三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外⼀点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长。
（2）运⽤代数证法：
①运⽤配⽅法求⼆次三项式的最值；
②运⽤⼀元⼆次⽅程根的判别式。
动态图在此！⼀⽬了然！
动态图在此！⼀⽬了然！
写在最后：⼏何中的动态题是难点也是重点，很多时候我们要抓住问题的不变量，并对不变量进⾏追问。
⼀招长江三叠浪：定点是谁？定长（⾓）有吗？轨迹如何？
最值问题就会信⼿拈来！。
专题18 隐形圆及最值问题
AB是 O 的直径，
ACB 90．
ABC 45 ， AC 5 ，
ABC 45 ，
AB AC 5 5 2 ， sin 45 2 2
MN最大
52 2
．
故答案为： 5 2 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3, 4) ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A 、 B 在 x 轴上，且 OA OB ．点 P 为 C 上的动点， APB 90 ，则 AB 长度的最大值为 ．
1．如图，等边 ABC 的边长为 2， A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与 A 相切于 E ， DE 的最小值是 ( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【分析】连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，因为 DE 与 A 相切于 E ，所以 AE DE ， 可得 DE AD2 AE2 AD2 1 ，当 D 与 H 重合时， AD 最小，此时 DE 最小，求出 AH 的长，即可得出 DE 的最小值． 【解答】解：如图，连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，
若平面上 A、B、C、D 四个点满足 ABC ADC ， 则 A、B、C、D 四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
D
C
H
O
A
B
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 H， 若 AH CH BH DH ，则 A、B、C、D 四点共圆.
作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（
）
A． 2 π 2
2023年中考数学一轮复习专题利用隐形圆求圆的最值课件
8
方法总结：利用隐圆解决线圆最值问题时， 第一：变化中寻找不变，找到隐圆； 第二：“一线穿心”--过圆心向定线段作垂直 找到圆上目标最值点，求得最值。
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
9
变式训练2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D， P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP 面积的最大，延长AO至C点，过点D作 DF⊥AC于点F，延长FD交⊙D于点P′， 连接AP′，OP′，要使△AOP面积最大， 则只需AO边上的高最大，此时P′满足条 件，即P′F为最大的高，
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
11
拓展：定弦定角型
如图1⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上 任一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒ 如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且 ∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（ 不与A、B重合）
是_______．
D
C
M A
AN
B
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方法总结：利用隐圆解决点圆最值问题时， 第一：变化中寻找不变，找到隐圆； 第二：“一线穿心”--连接圆心和定点找到 圆上目标最值点，求得最值。
坚持用每一天的进步书写人生的辉煌
6
变式训练1： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∠C＝30°，AB＝1，点D在AC边上运动，点E为AC的 中点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点F，则 在点D从C到A的运动过程中，线段EF的最小值为___.
1
上的一点，且AM＝ AD，N是AB边上3 的一动点，将△AMN沿MN
所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。
该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。
以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。
在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。
求这个圆的最大半径。
解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。
根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。
根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。
由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。
代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。
在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。
通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。
重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。
隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。
中考数学复习 寻找隐圆,求解最值
隐隐圆圆条条件件：： OA∠ABDO＝＝B2＝O(定1C线3＝5)°5(定为角定)值
发现模型 —— 模型三 四点共圆
例3 如图 ，等边△ABC 中，AB =6，P 为 AB 上一动点， 若∠AEP ＋∠BDP＝ 180°，求DE 的最小值.
（3）求在旋转过程中点P的纵坐标的最大值
P
P P P
1、基本模型：
课堂小结
PAmin PA1
PAmax PA2
当PA与⊙O相切时， ∠APO最大
一定一动点，动点在圆上
2、注意挖掘隐圆的条件
模型一 定点定长定圆 模型二 定线定角定圆 模型三 四点共圆
走进中考（课后作业）
在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边上的中点，N
OM＝2(定线) ∠ADM＝90°(定角)
• 隐圆模型二 定线定角定圆
在圆O中，若AB为直 径，则∠ACB=90°
若AB是固定的线段，且总 有∠ACB=90°， 则C在以AB为直径的圆上.
• 隐圆模型二 定线定角定圆
在圆O中，若弦AB长度固定， 则弦AB(同侧)所对的圆周角相等.
若有一固定线段AB及AB 所对的∠C角度不变， 则C在以AB为弦的圆上.
易证△ABE≌△DCF △DAG≌△DCG
隐圆条件：∠AHB=90°
挑战自我
A（4，0）、B（0,2），点F为AB上一点且AF=2， 将线段AF绕点A旋转，在旋转过程中，点P始终为 BF中点，求线段OP的最大值
发现模型 —— 隐圆模型一 定点定长定圆
例1 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将 △ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△MNC，P、Q 分别是 AC、MN 的中点，AC＝2，连结PQ，求旋转时PQ 的最
中考数学专题《隐形圆解析》
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此 题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小 值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．
2024专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
典型例题
点圆最值---点心线
考点4-1
【例1】有一架靠在直角墙面的梯子(MN=4)正在下滑,D点出有一只猫紧紧
盯住位于梯子MN的正中间E处的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面,
梯子,猫和老鼠看成同一平面内的线或点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.
2 5-2
猫与老鼠的距离DE的最小值为_______.
∴BC=2BE≥ 1+cosα
∴BE=r·sinα≥
1+cosα
C
B
E
2
D
h ·sinα
∴S△ABCmin= 1+cosα
典例精讲
定角夹定高
考点4-4
【例3-1】如图,在△ABC中,∠BAC=60º,BC边上的高AD为3 ,则BC的最小
6
值为___.
解:作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,
∴∠ADC=135º为定角,AC为定边.
∴∠AGC=90º,
∵AB=6,∴ AC = 3
D
2
,∴AG=CG=3.
BG 3 5 , BDm in 3 5 3
A
O
B
强化训练
与“圆”有关的最值问题
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几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强 （常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题 目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常 会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵 扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大 学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
A
P BD
P'
E
C
方法总结
名师说法
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离 如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。 则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
P
O
N
M
名师数学
温馨提示：
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置）， 但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是 某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样 才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE ⊥DF
，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是
。
A
E
D
B
F
C
思路）分析：
由于在四边形 EBFD 中 ，DE ⊥ DF ，∠B = 90o ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形 四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直 径最小值。
D C
M
A
B
P
O
秘籍三：
知识原型：利用“定线（弦）定角存隐圆”求最值
例 3：边长为 3 的等边ΔABC ， D 、 E 分别为边 BC 、 AC 上的点，且 BD = CE ， AD 、BE
交于P 点，则CP 的最小值为
。
A
E P
BD
C
思路）分析：
分 析 ： 由 题 目 条 件 可 知 Δ A B D ≌ΔBCE ，所以∠BAD = ∠CBE ， 又 因 为 ∠ C B E +∠ABE = 60o ， 所 以∠BAD +∠ABE = 60o ，所以∠APB = 120o 。 我 们 观 察 到 在 点 P 运 动 的 过 程 中 ∠ A P B = 120o 是 固 定 角 度 ， 且 ∠ A P B 所 对 的 线 段 AB 也 是 固 定 的 ， 所 以 A 、 B 、 D 三 点 共 圆 ， 其 中 AB 为 弦 ， ∠APB 为圆周角。（理论基础 ：同弦在同侧所对的圆周角相等 ）如图，作圆O 使 得 A 、 B 、 D 三 点 共 圆 ， 则 动 点 P 的 运 动 轨 迹 就 是 弧 AB ， 连 接 O C 与 圆 O 交 于 点 P' ，则C P' 的 长 就 是 C P 的 最小值。（此题的关键点是找 P 点的运动轨迹，而找 P 点的运动轨迹的关键点是发现有定 线定角）
A B
D C
核心笔记3：
定理.外角等于内对角的四边形内接于圆。
如图, 已知四边形ABCD，若∠B+∠D=180°，则A,B,C,D四点共圆
A D
B C
（不常用不细说）
02
新课学习探究
发现规律
规律探究
解决问题
秘籍一：
知识原型：直径也是圆中的弦，并且是圆中最长的弦。 也就是说当圆中有某一固定长度线段AB为圆中的弦时，只有当AB为直径时，圆的直径才会最小。
A
D E
B
F
C
由于 BD 始终是圆中一条弦，当BD⊥ AC 时BD 有最小值，所以此时BD 为直径时圆的直径最小
PM ⊥l
规律总结
过直线（线段） 外一点P 与直线（线段）L 上一动点 所做的圆中，当 ������������ ⊥������ 时(也就是直线（线段） 与所做圆相切时)圆最小（直径、半径最短）
怎样判定四点共圆呢？下面的问题你需要做点笔记：
等线段共顶点：如图，若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆
D A
O
B
C
核心笔记一 定理.对角互补的四边形内接于圆。
如图, 已知四边形ABCD，若∠B+∠D=180°，则A,B,C,D四点共圆
D A
O
B C
核心笔记2： 定理.从线段同一侧的两个点看向两个端点的张角相等，那么这四个点共圆。 如图，AC,BD相交于点P，若∠B=∠A，则A,B,C,D四点共圆
知识导引
为了解决好这个问题我们需要重温圆的定义：
什么叫做圆？请回答： 圆，到定点（原心）距离等于同一个常数（半径）的点的轨迹。
圆中半径处处相等的，这些点都在圆周上。
我们知道不共线的三点确定一个圆
那么怎么样的四点确定一个圆呢？这就是我们首先要搞清楚的第一各问题
四点共圆的问题？
【定义】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆， 一般简称为“四点共圆”。
秘籍二：
知识原型：圆的内接四边形对角一定互补，反之，对角互补的四边形四个顶点一定在同一个圆上。。
例2.如图，定长弦CD在以为AB直径的ΘO上滑动（点C、D与点A、B不重合），M 是CD
的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，求PM 长度的最大值
。
D C
M
A
B
P
O
思路）分析：
由于 M 是CD 的中点，所以，连接OM 后OM ⊥CD ,又因为CP⊥ AB ，所以在四边形OMPC 中，对角∠CPO+∠CMO=180o ，所以O 、M 、C 、P四点共圆，且OC为直径(由于OC为定 值 4，所以在运动的过程中圆的大小不变）， PM 为弦，所以当MO⊥PO 时 PM 最大为圆的 直径。即 PM 最大就是等于OC 等于 4.（直径是圆中最长的弦）
我们下次课再见！