隐圆及其几何最值训练题

B
y C
x
A
O 隐圆及几何最值训练题
一、利用“直径是最长的弦”求最值
1.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为（ ） ．
2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D 为AC 的中点，过点D 作DE ⊥DF ，DE 、DF 分别交射线AB 、AC 于点E 、F ，则EF 的最小值为 .
二、利用“定点定长存隐圆”求最值
3．（2012年武汉市中考）在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．
4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.
5．正方形ABCD 中，BC=4，E ，F 分别为射线BC ，CD 上两个动点，且满足BE=CF ，设AE ，BF 交于G ，则DG 的最小值为（ ）。

D F
G C
D
E
6.（2013年武汉市中考）如图，
E 、
F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点
G ，连接BE 交AG 于点
H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是
7.（2015年武汉中考）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，
直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）
8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是. 9.（2013年武汉中考）如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E 是切
点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( ) A.90
)90(R
x -π B.
90
)90(R
y -π C.
180
)180(R
x -π D.
180
)180(R
y -π
10.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ’D ’F ’，若直线AE ’与直线BF ’相交于点P. （1）求∠PAO 的最大值 （2）点P 运动的路径长
M F
E
G
D C A
B E
C
A
B
D
P
x
y P
F'
D'D
E
G
A
o
F E'
第16题图
N
M
A'
D C
B A
三、利用“对角互补存隐圆”求最值
11.如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，求PM 长度的最大值
四、利用“定弦定角存隐圆”求最值
12.（2014年武汉市元调）．如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（ ）
A ．0＜r ＜3
B ．r=3
C ．3＜r ＜3 2
D ．r=3 2
13.如图, 边长为3的等边△ABC , D 、E 分别为边BC 、AC 上的点, 且BD ＝CE , AD 、BE 交于
P 点, 则CP 的最小值为
14.如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐 标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P 有 个；
（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；
（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时 ∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．
I
O
A
D
P
x y 51o A B
五、利用“两边和差”求最值
15.如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A 、B 分别在直角∠MON 的两边上滑动, 点C 在∠MON 内部, 则OC 的长的最大值为 .
16.（2013年武汉市四调）如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).
A ．3
B ．6
C ．
33
D ．33
17．△ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=2，当点A 在x 轴上运动时，C 点也在y 轴上随之运动，求OB 的最大值
18．△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC= 5 ，BP= 2 ，将CP 绕C 点顺时针旋转900得到线段CD ，当
P 点绕B 点旋转一周时，D 点也随之运动，求BD
19．△ABC 中，∠ACB=900， BC=6，AC=12，D 在AC 上，AD=8，把线段AD 绕A 点旋转到AD ’位置，
设F 为BD ’的中点，，求CF 的最大值
x y B
C
O A
D A P F C
A
B
D D'
20．如图，PA=2，PB=4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，求PD的最大值
D
C
A
21.△ABC中，AB=2，BC=4，以AC为边作等边三角形ACD，当∠ABC大小变化时，求BD的最大值。

A
六、利用“同侧差最大，异侧和最小”求最值
22.如图，已知⊙O的半径为R，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP＋PD的最小值是（）
A．2R B．3R C．2R D．R
23.正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，且CE=1，长为 2 的线段MN在AC上滑动，求四边形BMNE的周长最小值
D
M
N
C
24.如图，∠AOB=600,点P为∠AOB内一点，P到∠AOB两边距离PM=1，PN=5，C为∠AOB的边OA上一点，D为∠AOB的边OB上一点，则PC+CD最小值=________
25. 如图，∠BOA=30°，M、N分别为OA、OB上的两个点，OM=1，ON=3，P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值
七、利用“两点之间线段短”求最值
26.等腰直角△ABC中，∠CAB=900，AC=AB=2，P为三角形内一点，求PA+PB+PC的最小值
八、利用“二次函数模型”求最值
27.如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=时，PD•CD的值最大，且最大值是为.
、
A
O
28.如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). A.4 B. C. D. 2
九、利用“垂线段最短”求最值
29.（2014年武汉市四调）如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点．若⊙O 的半径长为3，OP ＝3，则弦BC 的最大值为（ ） A ．23． B ．3． C ．6． D ．32．
30.△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=600，AC=3 2 ，以C 为圆心1为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一个动点，求S △ABP 最大值或最小值。

31．A 到直线l 的距离为5，以A 为圆心3为半径作圆，Q 为圆上一个动点，过Q 作PQ ⊥AQ 交直线于P ，求PQ 的最小值
C
P
l
Q
A
D
B O
C A 32.如图，∠XOY=45°,一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB=10，求点O 到顶点A 的距离的最大值
十、其他方法求最值
33.（2013年武汉市元调）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.
34.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是.
35.如图所示，已知直线l ：y ＝2kx ＋2－4k （k 为实数），直线l 与x 轴正半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则△AOB 面积的最小值是___________
x y A B
o P C X O Y
A。