【数学】浙江省金华市艾青中学2013-2014学年高二下学期期中考试(文)

浙江省金华市艾青中学2013-2014学年高二下学期期中考试（文）一、选择题（每题5分，共40分）1、设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,4,6A =,{}1,2,3,5B =,则U B C A 等于( ) A ．{}1,3,5B ．{}1,2,3,5C ．∅D ．{}1,3,4,5,62、函数)1ln(x x y -=的定义域为（ ）A ．（0,1）B ．[)1,0C ．(]1,0D ．[]1,0 3、设3,1x R x x x ∈==则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、设l 是直线，α，β是两个不同的平面（ ）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5、下列函数中，与函数||x e y -=的奇偶性相同，且在（－∞，0）上单调性也相同的是（ ） A ．xy 1-= B ．||ln x y = C ．33-=x y D ．22+-=x y6、若将函数x x y cos sin 3-=的图象向左平移m (m>0)个单位，得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 7、过点P （1，2）的直线，将圆922=+y x 分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．052=-+y xB ．02=-yC ．02=-y xD ．01=-x 8．点P 到点1(,0),(,2)2A B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A.12 B.32 C.12或32 D.12-或12二、填空题（9—12题每空3分，13—15题每空4分，共36分）9、设向量)2,3(= ,)1,1(-=，则=∙b a ，若k ⊥+)(，则实数k =.10、若函数()⎩⎨⎧≤≤<<=41,log 10,44x x x x f x ，则4(log 3)f =，使()21>a f 的a 的取值范围是.11、如图是某四面体的三视图，该几何体的体积是， 表面积是.12、过点M （1,1）作斜率为21的直线与双曲线C ：12222=-by a x相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是，若M 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于.13、设角α的终边上有一点P (4,-3)，=+)42(cos 2πα.14、若()m x x f ++=)cos(2ϕω，对任意实数t 都有)()4(t f t f -=+π，且1)8(-=πf ，则实数m 的值等于.15、已知0)(,),20(,)(2≥∈∀<<++=x f R x b a c bx ax x f 恒成立， 则)1()0()1(--f f f 的最小值为.三、解答题（5题共74分）16、（15分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2560x x -+≤；（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17．（ 15分）如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，ABEF 是矩形，且二面角C -AB -F是直二面角，AF a =，G 是EF 的中点，（Ⅰ）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （Ⅱ）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值.18、（15分）如图，已知抛物线24y x =，点(),0P a 是x 轴上的一点，经过点P 且斜率 为1的直线l 与抛物线相交于,A B 两点．（1）当点P 在x 轴上时，求证线段AB 的中点轨迹方程； （2）若4AB OP =（O 为坐标原点），求a 的值．19、（14分）已知函数()()2=1f x x x x a+-⋅-．（1）若1a=-，解方程()1f x=；（2）若函数()f x在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数()f x在[]2,3上的最小值为6，求实数a的值．期中考试答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（9—12题每空3分，13—15题每空4分，共36分）9、_____1_____ _____21-_____ 10、_____3______ ___(]4,2)1,0(⋃__11、____12___ ___21224+__ 12、_)1(211-=-x y _ ____26____13、_____54__ 14、____ -3或1 ____ 15、_______3_____三、解答题（5题共74分）16、（15分）解 （1）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-< 2分又0a >，所以3a x a <<， 2分当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x << 4分由2560x x -+≤得23x ≤≤．所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤． 6分若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3． 8分（2） 设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤ 10分q 是p 的充分不必要条件，则B A ⊂13分所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是()1,2． 15分17、（15分）解法一：（几何法）（Ⅰ）证明：正方形ABCD AB CB ⊥⇒ 1分 ∵二面角C -AB -F 是直二面角，CB ⊥AB ，∴CB ⊥面ABEF 3分∵AG ，GB ⊂面ABEF ，∴CB ⊥AG ，又AD=2a ，AF= a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点， ∴AG=BG=a 2，AB=2a ， AB 2=AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG 5分 ∵CG ∩BG=B ∴AG ⊥平面CBG 6分而AG ⊂面AGC ，故平面AGC ⊥平面BGC 7分 （Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，且交于GC ， 在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，9分 ∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角11分 ∴在Rt △CBG 中a BGBC BG BC CG BG BC BH 33222=+⋅=⋅=13分又BG=a 2，∴36sin ==∠BG BH BGH 15分 解法二：（向量法）如图，以A 为原点建立直角坐标系，则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ），G （a ，a ，0），F （a ，0，0）．3分（I ）证明：(,,0)AG a a = ，(,,0)BG a a =- ，(0,0,2)BC a =，∴222(,,0)(,,0)00AG BG a a a a a a ⋅=⋅-=-+=，(,,0)(0,0,2)00020AG BC a a a a a a ⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=∴AG ⊥BG ，AG ⊥BC ，而BG 与BC 是平面BCG 内两相交直线， ∴AG ⊥平面BCG ，5分又AG ⊂平面ACG ，故平面ACG ⊥平面BCG 7分 （II ）由题意可得)0,,(a a =，)2,2,0(a a =，)0,,(a a -=，)2,0,0(a =，9分设平面AGC 的法向量为)1,,(111y x n =，由1100AG n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⎩⎨⎧=+=+⇒0220111a ay ay ax ⎩⎨⎧-==⇒1111y x )1,1,1(1-=⇒n 12分 sin 11=θ322⋅=a a 36=15分 18、（15分）解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)M x y ，则2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⎪⇒+-=-⎨=⎪⎩， 2分 又∵12121y y x x -=-，120()2y y y +=，∴024y =，从而02y =， 6分又∵22212012120()84()812y y x x x y y x +=+=+>=⇒>， 故线段AB 的中点轨迹的方程是：2(1)y x =>； 7分（2）直线:l x y a =+，由224404x y ay y a y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， 9分则16(1)a ∆=+，∴1a >-，12|||AB y y -= 12分若||4||AB OP =，则4||a =，即2220a a --=，∴1a =． 15分19、（14分）解：（1）若a=﹣1，则方程f （x ）=1可化为x 2+（x ﹣1）•|x+1|=0，1分 即2x 2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x ＜﹣1）， 4分 故x=或x=﹣；5分（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，7分则若使函数f（x）在R上单调递增，则，9分则a≥1；10分（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈，则函数f（x）在上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；11分若1≤a＜3，则f（x）在上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，12分若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0． 1 3分综上所述，a=0或a=4．14分。