概率4-3

f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f (x) 是否为某 X 的 概率密度函数的充要条件.
f (x )
pk 1
y
x
a b
k
f (x)
o
。
b) F (a ) o a 3 P (a X b) F (b



b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分 钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等 时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站等 候的时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机 变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 以7:00为起点，以分为单位 依题意， X ～ R ( 0, 30 )
(A) 0 f ( x ) 1;

(B) 在定义域内单调不减
f ( x) 1 . (D) xlim
(C)

f ( x)dx 1;
3 2 x ,0 x 2 假设 X 是连续性随机变量，其密度函数为 f ( x ) 8 ， 0, 其它
（ 1） 计算 P(1 X 1) ， 求其分布函数 F ( x )
e f ( x) 0
x0
记作X ～E（λ） 指数分布常用于可靠性统计研究中， 如元件的寿命.
X的分布函数： 0 x F （ x） f（t）dt e t 指数分布.
0
x0 x0
P {10 X 15} P {25 X 30} 1 1 1 1 , 15 30 f ( x ) 30 10 dx 25 dx 30 30 3 0,
0 x 30 其它
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
（2）若 X 具有概率密度 x
对于随机变量的概率分布函数 F ( x ) ，下列说法错误的是（ ）
。
(A) 0 F ( x ) 1;

(B) F () 1 ； (D) P(a X b) F (b) F (a ) (b a ) .
(C)

F ( x)dx 1;
任何一个连续型随机变量的概率密度 f ( x ) 一定满足（ ）
P (c X d )
f ( x )dx
c
d
1 , a xb f ( x) b a 其它 0, 容易证明：1 o f ( x ) 0
2o
f ( x )dx 1

1 1 b a dx b a (b a ) a
b
均匀分布常见于下列情形： 公交线路上两辆公共汽车前 后通过某汽车停车站的时间，即乘客 的候车时间等. 均匀分布的分布函数，看书p.41

1000
f x dx e 1
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e 3 ，从 而至少有一个已损坏的概率为 1 e 3 ．
2 x, 0 x 1 若随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ，则 P ( X 0.5) 0, 其它



f ( x )dx 1
2
k 2 2 1 ( kx 1)dx ( x x ) 0 2 0 2k 2
2
1 k . 2
1 1 0.dx P (1.5 X 2.5) ( x 1)dx 16 2 1.5 2
2.5
1 x1 0 x 2 F ( x) f ( x )dx f ( x ) 2 其他 0 x 1.5 2 0 dx 0 P (1.5 2.5) F (2.5) F (1.5) x 1 (0 1.5) 4
对连续型随机变量
P (a X b) P (a X b)
P (a X b) P (a X b)
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B =Ω 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然 事件.
例 : 已知连续型随机变量 X的概率密度是 kx 1 0 x 2 f ( x) 其他 0 求k ; F ( x ); P (1.5 X 2.5).
a
F ( x)
x
f ( t )dt
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函 数f ( x) , x ( ,) ,使得
F ( x)
x
f ( t )dt
称 X 为连续型随机变量 ， 称 f (x)为 X 的概 率密度函数，简称为密度函数.



f ( x )dx 1
需要指出的是:
连续型随机变量取任一指定值的概率为0.
即： P ( X a ) 0,
a为任一指定值
b
这是因为 3. P ( a X b ) f ( x )dx
P ( X a ) lim P (a X a x )
x 0
a
lim
x 0 a
a x
f ( x )不 是X x的 概 率 , 而 是X在x点 概 率 分 布 的密集程度 . f ( x )的 大 小 可 以 反 映 出 X在x点 附 近取值的概率大小 .
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的 高度，并不反映X 取值的概率. 但是，这个 高度越大，则X 取 a 附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概 率集中在该点附近的程度.
0 2 x F ( x) x 4 1
x0 0 x 2 x2
0
2
重要的连续型随机变量 （1）若 X 的概率密度为：
1 , a xb f ( x) b a 0 , 其它
f ( x)
[ c ] d
a
b
则称X 服从区间( a, b )上的均匀分布， 记作： X ～ R(a, b) 它的实际背景是： X 取值在区间(a, b) 上， 并且取值在(a, b) 中任意小区间内的概率与这个 小区间的长度成正比，与小区间的位置无关.
F ( x) 1 2/ 3
1 6
1
o
1
2
3
x
2)若x是 f (x)的连续点，
3. P ( a X b ) f ( x )dx
a
b
P ( x X x x )
x x
x
f ( t )dt
P ( x X x x ) 1 x x lim lim f ( t )dt x x 0 x 0 x x 1 lim f ( x x ) x 0 1 x 0 x f ( x)
f ( x )dx
0
P ( X x ) lim P ( x X x x )
x 0
lim F ( x x ) F ( x )
x 0
dF ( x )
如果f ( x )在x点连续，则F ( x )在点x可导
一元函数在某点可导与可微是一回事
*** P ( X x ) dF ( x ) f ( x )dx
e
x
例3 已知某种电子元件寿命X (单位：h )服从参数 1/1000的指数分布, 求3个这样的元件使用1000
小时至少有一个已损坏的概率。
解：X的概率密度为
x 1 1000 e , f x 1000 0,
x 0, x 0.
于是PX 1000
1 , 0 x 30 f ( x ) 30 其它 0,
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 为使候车时间X 少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
所求概率为：
四、连续型随机变量
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函 数f ( x) , x ( ,) ,使得
F ( x)
x

f ( t )dt
则称 X 为连续型随机变量 ， 称 f (x) 为 X 的概率密度函数，简称为密度函 数.
概率密度函数的性质
1o 2o


f ( x) 0

x


0dx
x 0
0
x
0
1 ( x 1)dx 2
F ( x)

1 x2 ( x 1)dx x 2 4
2 x
0 x 2

0dx
0 2
0
1 ( x 1)dx 0dx 2 2
x2
1 ( x 1)dx 1 0 2
指数分布的分布函数为
1 e F x 0,
x
,
x 0， 其他.
指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示
x x0 e f ( x) x0 0
容易证明：
0
1o

f ( x) 0
2o
f ( x )dx 1
dx
x e 0
P (a X b ) F (b ) F (a )
f ( x )dx
a
b
对 f ( x)的进一步理解:
1)F ( x )
f ( t )dt , F ( x )称为上限函数
在f（x）连续点成立,
x
F ( x ) f ( x )
F ( x )必连续, 其图形是一条连续曲线 。