概率积分
概率论二重积分的计算方法
概率论二重积分的计算方法
概率论中经常涉及到二重积分的计算，这是因为二重积分可以用于计算概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）等概率论中的重要量。
计算二重积分时，首先需要确定积分的边界。
这些边界通常由问题的约束条件给出。
然后，可以选择不同的计算方法来求解二重积分。
一种常用的方法是直接计算二重积分。
这种方法适用于边界简单且积分函数光滑的情况。
通过将积分区域分割成小矩形，并在每个小矩形上进行积分，可以近似地计算二重积分的值。
这种方法的优点是简单直观，但对于复杂的积分区域和积分函数可能不太适用。
另一种常用的方法是变量替换法。
通过引入新的变量，可以将原本的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、柱坐标变换和球坐标变换等。
变量替换法的优点是可以简化计算过程，尤其适用于具有对称性的问题。
还有一种常用的方法是利用积分的性质进行计算。
例如，可以利用积分的线性性质、对称性、切比雪夫不等式等来简化计算过程。
这种方法通常需要对问题进行一定的分析和推导，但可以大大简化计算过程。
除了上述方法外，还可以利用数值计算方法来求解二重积分。
例如，可以使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等，来近似计算二重积分的值。
这种方法适用于无法通过解析方法求解的积分。
综上所述，计算概率论中的二重积分有多种方法可供选择。
根据具体的问题和计算的要求，可以选择不同的方法来进行计算。
地表移动计算概率积分法需要的参数
地表移动计算概率积分法需要的参数
地表移动计算概率积分法需要的参数包括：
1. 移动率：即土壤的平均移动速度，用来衡量土壤移动的快慢。
2. 移动方式：即土壤移动的模式，包括水流移动、风力移动、滑动移动等。
3. 时间间隔：即土壤移动的时间间隔，一般是每分钟、每小时或每天。
4. 空间尺度：即土壤移动的空间尺度，一般是每平方米、每立方米或每公里。
5. 地形因素：即土壤移动受到的地形因素，一般是地势、地貌、地表植被等。
6. 气候因素：即土壤移动受到的气候因素，一般是温度、湿度、风力等。
概率积分法
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df ( y 2 ) f ( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (x ) C C 2 2 2 2 dy ( x y ) ( y ) ( x 2 y 2 )
2 2
2
2
f ( x 2 ) f ( y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (0) Cf ( x 2 y 2 )
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一 、基本原理——(二)单元下沉
C 为与 x 和 y 无关的参数，这个函数方程，可先微分 再积分而解出。分别对x2、y2求偏微分：
f ( x 2 ) f ( y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (0) Cf ( x 2 y 2 )
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一 、基本原理
（一）研究背景和基础——颗粒体介质的理论模型 基于以上几点假定，李特维尼申应用非连续介质力学 中的颗粒体介质力学来研究岩层及地表移动问题，认为开 采引起的岩层和地表移动的规律与作为随机介质的颗粒体 介质模型所描述的规律在宏观上相似。
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颗粒体介质的理论模型
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一 、基本原理
（一）研究背景和基础
在开采沉陷理论研究中，常用两种完全不同的介质模 型来模拟岩体：即连续介质模型和非连续介质模型。连续 介质模型认为：在移动过程中，介质式中保持其连续性， 介质单元之间的联系保持不变；非连续介质模型认为：在 移动过程中，介质的连续性受到破坏，介质单元之间原有 的联系关系发生变化，单元互相分离并发生相对运动。由 于岩体存在一系列原生的和开采引起的次生裂隙面和其它 非连续面，所以用非连续介质模型研究开采沉陷问题是适 当的。概率积分法为非连续介质理论。
关于x,y积分区间综合概率公式
关于x,y积分区间综合概率公式1. 一、积分区间与概率的基础概念。
- 在概率论中，如果随机变量X和Y有联合概率密度函数f(x,y)，那么概率P((X,Y)∈ D)（其中D是x - y平面上的一个区域）可以通过二重积分来计算，即P((X,Y)∈ D)=∬_Df(x,y)dxdy。
- 对于离散型随机变量，我们通常使用概率分布列来描述概率情况，但这里重点讨论连续型随机变量的积分区间相关概率。
2. 二、简单区域的概率计算示例。
- 例1：设X和Y的联合概率密度函数为f(x,y) = 2e^-(x + 2y),x>0,y>0，求P(X + Y<1)。
- 首先确定积分区域D，由X + Y<1（x>0,y>0）可得y <1 - x，所以积分区域D={(x,y)0。
- 然后计算概率：- P(X + Y<1)=∫_0^1∫_0^1 - x2e^-(x + 2y)dydx- 先对y积分：∫_0^1 - x2e^-(x + 2y)dy=<=ft[-e^-(x + 2y)]_0^1 - x=-e^-x - 2(1 - x)+e^-x- 再对x积分：∫_0^1( - e^-x - 2(1 - x)+e^-x)dx=∫_0^1( - e^x - 2+e^-x)dx=<=ft[-e^x - 2-e^-x]_0^1- 计算结果为1 - 2e^-1+e^-2。
3. 三、矩形区域的概率计算。
- 例2：设X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=3x,0，求P(0。
- 这里积分区域D={(x,y)0。
- 计算概率：- P(0- 由于当x∈(0,(1)/(2))时，min(x,(1)/(4))在x∈(0,(1)/(4))时为x，在x∈[(1)/(4),(1)/(2))时为(1)/(4)。
- 所以P(0- 先计算∫_0^(1)/(4)∫_0^x3x dydx=∫_0^(1)/(4)3x· xdx=(1)/(64)- 再计算∫_(1)/(4)^(1)/(2)∫_0^(1)/(4)3x dydx=∫_(1)/(4)^(1)/(2)(3)/(4)xdx=(3)/(32)- 最终结果为(1)/(64)+(3)/(32)=(7)/(64)。
概率论基础定积分概念笔记
第五次P141.习题3、2、29、301、⎰⎰++=++dx 3sinxx 3cosx3x 31dx 3sinx x cosx x 3232 ()⎰++=++=C 3s i n x x ln 313sinx x x sin 3x d 31333 解：()()⎰⎰=+xlnx d edx lnx 1x xlnxxC x C ex x l n x+=+=2、习题4，(11) 解：⎰⎰=x lnsinxdtan dx xcos lnsinx2⎰-=dx sinxcosxtanxtanxlnsinx C x tanxlnsinx +-=3、P109，例3.5，习题3，选择题4、⎰⎰--=dtanx tanxe dx e xcos sinx tanxtanx 3⎰--=tanx tanxde⎰--+-=d t a n xe t a n x et a n xt a n xC e tanxe tanx tanx +--=--5、设()C x arcsin dx x xf +=⎰，则()()⎰+--=C x 131x f dx 3230有理函数积分()⎰dx x R →真分式→部分分式 部分分式：()()n 22n q px x NMx ,q px x N Mx ,b ax 1,b ax 1++++++++ 其中：04q p 2<-5、⎰--+dx 12x x 1x 2解：()()3x 4x 1x 12x x 1x 2+-+=--+3x B4x A ++-=()()()()3x 4x 4x B 3x A +--++=()()1x 4x B 3x A +=-++令 ,75A 4x ==令 72B 3x =-=∴ ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++dx 3x 24x 571dx 53x x 1x 2C 3x ln 724x ln 75+++-=6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4)c 22x arctan 21dx 8x 4x 12++=++⎰⎰⎰++-+=++8x 4x 24x 221dx 8x 4x 122()()()2x d 22x 18x 4x 84x d 212222+++-++++=⎰⎰c 22x arctan 218x 4x ln 212++-++=40三角有理式积分()⎰dx cosx sinx,R令 222t 12t sinx t 1t 1cosx t2x tan +=+-== 2t12dtdx += 8、⎰+dx sinx 21⎰+⋅++=dt t 12t 12t 2122⎰++=dt 1t t 12⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21t d 2321t 122C 2321t arctan 32++=C 312x 2tanarctan 32++=9、⎰⎰+=+dx 1x 3sec xsec x cos 3dx 222 ⎰+=tanx 3d 4x 3tan 1312C 2tanx 3arctan 2131+⋅=C 2tanx3arctan 321+=6、设()x f 的原函数()x F 恒正，且()10F =，当0x ≥，有()()2x sin x F x f 2=，求()x f解：()()x f x F =' ()()x sin x F x F 2='()()⎰⎰='2xdx sin dx x F x F 2()()()⎰⎰-=dx cos4x 121x dF x F()C sin4x 41x x F 2+-= 由()10F = 得C=1∴ ()1sin4x 41x x F +-=∴ ()1sin4x 41x x sin x f 2+-=定积分的概念一、定义及性质 <定义>：()()∑⎰=→∆=n1i i i 0x b ax ζf lim dx x f ，{}i ni 1x max λ∆=≤≤注意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰b a b a dt t f dx x f ； (4)()x f 在[]b ,a 有界是()x f 在[]b ,a 可积的必要条件，()x f 在[]b ,a 连续是()x f 在[]b ,a 可积的充分条件。
快速概率积分法
快速概率积分法、Monte Carlo 法和响应面法快速概率积分法快速概率积分法一般包括一次二阶矩法、改进均值法、验算点法（JC 法）、几何法和高次高阶矩法。
一次二阶矩法是由Cornell 在结构可靠度研究初期提出，一直在世界工程中应用相当广泛，已经成为一种国际上认同的结构可靠度分析和计算的基本方法。
其本思想是根据基本随机变量的前二阶矩，将非线性功能函数在随机变量的均值点进行Taylor 展开并保留至一次项，然后近似计算出功能函数的均值和标准差，进而求得可靠性指标或可靠度。
这种方法虽然计算简便，但由于不能考虑随机变量的分布形式，只适用于基本随机变量服从正态或对数正态分布的情况，而且如将非线性功能函数在随机变量均值处展开后所得的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离真实极限状态曲面而导致相当大的误差，另外对同一功能函数选用不同的极限状态方程还会得到不同的计算结果。
针对均值一次二阶矩法的以上缺点，Hasofer 和Lind 将可靠指标定义为标准正态空间内坐标原点到极限状态曲面的最短距离，使得对应于同一失效面建立失效方程的不同表达式可以得到唯一的可靠度指标，形成了改进的一次二阶矩法的基本思想。
该方法计算的可靠指标能够很好的描述结构的可靠度，但条件是所有的随机变量都服从正态分布，这违背了结构设计中的大多数实际情况。
验算点法（JC 法）作为一次二阶矩的一种改进方法，在通过极限状态方程g ( x) = 0上的验算点处进行展开，针对非正态随机变量实行等效正态化，在设计验算点处使等效正态分布的累积概率分布函数（CDF）值和概率密度函数（PDF）值分别和原随机变量的CDF 值、PDF 值相等。
通过迭代求解，计算出结构的可靠性指标和可靠度。
克服了一次二阶矩法的不足，能够适用于任意分布形式的随机变量，并且对于非线性程度不高的结构功能函数，其精度可以满足一般工程需要，其应用得到推广，不断得到改进。
例如，国内的赵国藩等人[2]根据工程中实际存在的相关问题，研究了相关随机变量的可靠度分析方法，对应用最为广泛的JC方法进行了推广修正，提出了广义随机空间内的验算点方法。
王式安概率论必背积分公式 -回复
王式安概率论必背积分公式 -回复王式安概率论必背积分公式在概率论领域中具有重要的作用，它能够帮助我们更好地理解和分析各种概率事件的发生概率。
在本文中，我们将深入探讨王式安概率论必背积分公式的相关知识，并结合具体的例子来解释其应用。
通过阅读本文，读者将能够全面理解和掌握这一重要的概念。
1. 王式安概率论必背积分公式的定义王式安概率论必背积分公式是概率论中的重要公式之一，它用于计算随机变量的概率分布函数。
具体表达式如下：[ P(X x) = _{-}^{x} f(u) du ]其中，( X ) 表示随机变量，( x ) 表示特定的取值，( f(u) ) 表示随机变量的概率密度函数。
2. 理解王式安概率论必背积分公式王式安概率论必背积分公式通过积分的方式来计算随机变量小于等于某一特定取值的概率。
这样的公式能够帮助我们更好地理解随机变量的分布规律，并能够应用在诸如连续型随机变量的概率计算中。
举个简单的例子来说明，假设有一个连续型随机变量X，其概率密度函数为( f(x) = 3x^2, 0 <= x <= 1 )。
那么，当我们想要计算随机变量X小于等于0.5的概率时，可以利用王式安概率论必背积分公式进行计算。
具体来说，就是将概率密度函数带入积分公式，进行积分计算即可得到结果。
3. 王式安概率论必背积分公式的应用王式安概率论必背积分公式在概率论领域中有着广泛的应用，特别是在连续型随机变量分布函数的计算中。
通过这一公式，我们可以更准确地计算各种随机变量的概率分布，从而更好地理解和分析概率事件的发生规律。
除了在理论研究中的应用外，王式安概率论必背积分公式也在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。
比如在金融领域中，利用概率密度函数和分布函数来描述资产价格的波动，从而进行风险管理和投资决策。
4. 个人观点和总结王式安概率论必背积分公式作为概率论中的重要工具，对于我们理解和分析各种随机事件的发生概率具有重要意义。
matlab均匀分布概率积分变换
matlab均匀分布概率积分变换当我们谈论 MATLAB 中的均匀分布概率积分变换时，通常是指在给定均匀分布的随机变量上进行积分变换。
均匀分布是指在一个区间内所有的数值具有相同的概率密度。
在 MATLAB 中，我们可以使用不同的函数来进行均匀分布的概率积分变换。
首先，我们可以使用 "rand" 函数生成均匀分布的随机变量。
例如，如果我们想生成 100 个服从 0 到 1 之间均匀分布的随机变量，可以使用以下代码：matlab.x = rand(100, 1);接下来，如果我们想对这些随机变量进行概率积分变换，即对其进行累积分布函数（CDF）的变换，我们可以使用 "integral" 函数来进行数值积分。
假设我们想计算这些随机变量的累积分布函数，可以使用以下代码：matlab.edges = 0:0.1:1; % 定义边界。
[counts, bins] = histcounts(x, edges, 'Normalization','cdf'); % 计算累积分布函数。
此外，如果我们想对均匀分布的随机变量进行概率密度函数（PDF）的变换，可以使用 "histogram" 函数来绘制直方图。
例如，我们可以使用以下代码绘制这些随机变量的概率密度函数图：matlab.histogram(x, 'Normalization', 'pdf'); % 绘制概率密度函数图。
除了以上提到的方法，还可以使用 MATLAB 中的其他统计工具箱函数来进行均匀分布的概率积分变换，比如 "ecdf" 函数用于计算经验累积分布函数，以及 "ksdensity" 函数用于核密度估计等。
综上所述，在 MATLAB 中进行均匀分布的概率积分变换可以通过生成随机变量后，利用数值积分函数、直方图函数以及统计工具箱中的相关函数来实现。
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概率积分法李磊（中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221116）摘要：概率积分法的得名是因为其所用的地表移动和变形预计公式中含有概率积分函数，这种方法最先由波兰学者李特威尼申（J.Litwiniszyn）于二十世纪五十年代引入岩层移动的研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法。
该方法在我国应用最为广泛，也受到了很多学者的研究，并提出了一系列修正模型以适应我国的地质采矿条件。
下面简要介绍概率积分法的基本原理以及其在开采沉陷预测方面的应用。
关键词：开采沉陷；概率积分法Probability integral methodLI Lei( School of Environment and Survey and Mapping, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)Abstract: the probability integral method is named because it is contained in the equation of surface movement and deformation are expected probability integral function, this method first by polish scholar (J.L itwiniszyn), to the research of strata movement in the 1950s, by Chinese scholars Bao-chen Liu, Liao Guohua after development for probability integral method. This method is the most widely applied in our country, have also been many scholars research, and put forward a series of correction model to adapt to the geological and mining conditions of our country. Following a brief introduction to the basic principle of probability integral method and its application in mining subsidence prediction.Key words: mining subsidence；probability integral method1基本原理及公式推导1．1随机介质理论概率积分法的理论基础是基于非连续的随机介质理论，所以又叫随机介质理论法。
在开采沉陷的理论研究中，常用两种完全不同的介质模型模拟岩体，即连续介质模型和非连续介质模型。
由于岩体中存在大量原生的和在开采过程引起的裂隙面和其他非连续面，同时在充分采动或超充分采动情况下，岩层移动规律宏观上近似于颗粒体模型中颗粒的移动，所以用非连续随机介质模型研究开采沉陷问题是比较恰当的。
概率积分法则是非连续随机介质的代表。
为简化岩层模型，方便理论分析与计算，随机介质理论存在四个基本假设：假设1：假设岩体是各向同性（岩体的物理、化学性质不会因为方向的不同而不同）、均质的、不连续介质，即开采引起的地表移动与变形与方向无关，也叫等影响原理。
假设2：线性叠加原理。
（小开采单元的影响累加）假设3：弯曲带内岩体只有形变，不发生体积的变化。
假设4：当开采结束，时间趋向于无穷时，地表的下沉体积等于采出矿物体积。
基于以上基本假设，我们可以认为开采引起的岩层和地表的移动规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。
图1-1为我们建立的理论模型。
图1-1 颗粒体随机介质模型 (a)颗粒体模型 (b)各单元移动概率颗粒体模型模拟实际岩层，假设a1小球代表可采矿物，当a1小球被拿出（采出）后，上部的小球会由于重力的作用向下填充满下面的空格。
由于假设各小球的大小、质量相等，故他们的下沉完全随机，上图1-1给出了在第一层小球拿出的情况下各个单元下沉的概率。
当各个单元的尺寸非常小时，在任意z水平的概率曲线近似为正态分布曲线，即如上图1-1所示。
图1-2 随机介质的随机游动模型为了进一步研究任意水平的概率曲线，取随机介质模型中任意三个相邻的格子A、B和C。
建立上述随机游动模型。
从a1格抽出小球（采出矿物）后，上述三格的移动概率满足以下等式：()11,,,2222a a P x z b P x z P x z ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭假设小格子的尺寸非常小，a 、b 相对于x 、z 可以认为是无穷小量，则上式中含有概率P 的项可在点(x ，z)附近用Taylor 级数展开，并根据精度的需要取前2或3项，经过整理可得下式：()()222,,8P x z P x z a z b x∂∂=∂∂ 式中，(),P x z 表示中心坐标为(),x z 的假想格子出现空位的概率。
(),P x z 在岩层内的分布是不连续的。
但是在格子尺寸特别小的时候，即a, b 的值趋向与无穷小时，(),P x z 可以近似地看成连续函数。
因此，在a ,b 值趋向于0时对上两边取极限，可得()()22200,,lim 8a b P x z P x z a z b x →→∂∂=⋅∂∂，令200lim 8a b a A b →→=，则上式可简化为： ()()22,,P x z P x z A z x∂∂=∂∂ 式中A 为常数，反映格子的尺寸大小。
上式为二阶偏微分方程，其解(),P x z 为一个连续函数，表示点(),x z 附近的无穷小格子出现空位的概率，求解微分方程得到下式：()()()4,x Az P x z ed ζδζζ-+∞-=⎰令z r =()221,z x r z P x z e r π-=此时(),P x z 在数值上等于单元开采引起(),x z 点的下沉值(),e W x z ：()()221,,z x r e z W x z e P x z r π-==1.2单元水平移动的确定根据弹性力学的知识以及上述单元下沉的推导，可以得到单元开采引起的水平移动曲线，见下式：()2232xre BxU x er ππ-=-绘出随机介质理论模型的地表单元下沉盆地及单元水平移动曲线图，如图1-3所示。
图1-3地表单元下沉盆地与水平移动曲线图1—地表单元下沉盆地；2—地表单元水平移动曲线；3—开采单元；4—地表2半无限开采时地标移动盆地走向主断面的移动变形预计设在煤层倾斜方向上达到充分采动，煤层厚度为m，采深为H。
煤壁正上方地表点O 作为横轴的原点，x轴正向指向采空区中心，纵坐标W（x）为横坐标为x的地表点的下沉值，W（x）轴竖直向下。
纵坐标U（x）为横坐标为x的地表点的水平移动值，U（x）轴竖直向上。
见下图：1- 采前顶板位置；2开采单元；W 0 -下沉值；3-采后顶板位置图2-1半无限开采时地表的下沉和水平移动假定煤层坐标系下坐标原点的左侧煤层全部未开采，而坐标原点右侧的煤层全部开采，这种情况我们叫做半无限开采。
以下是这种开采方式的地标移动的预计公式。
若开采单元的横坐标为s ，地表点任意点的坐标为x ，则此开采单元的引起的下沉值为：22)(1)(r s x e e r s x w --=-π则整个半无限开采的单位厚度开采引起地表点下沉为：⎰∞--=0)(221)(ds e r x W r s x π若考虑开采厚度m ，开采引起顶板岩石垮落、碎胀，充填采空区，此时采空区顶板下沉量为m ×q ,其中q 为概率积分法中的一个参数，称为下沉系数，其值一般小于1。
在开采倾斜煤层的时候，地表的下沉量为W 0=mq cos α，其中α为煤层倾角。
对于横坐标为x 的地表任意点，其下沉值为：⎰∞--=0)(0221)(ds e r w x W r s x π，应用概率积分函数上式可以化为下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1)(2)(0x r erf w x W π，上式即为半无限开采地表下沉剖面方程，当x 的值为趋近于无穷时，地面下沉值最大，其值为W 0，当x=0时，即当半无限开采是煤壁正上方的下沉值为最大下沉值的一半。
由上式我们求一次导数和二次导数，这样我们就可以得到沿煤层走向的地表倾斜（i ）和地表曲率（k ）：倾斜 i (x )=dw(x)dx =w 0re −πx 2r 2 曲率 k (x )=di(x)dx =−2πw 0r 3xe −πx 2r 2水平移动 U (x )=Bi (x )=B dw(x)dx =B w 0r e −πx 2r 2水平变形 ε(x )=Bk (x )=B di(x)dx =−B 2πw 0r 3xe −πx 2r 2开采沉陷研究的最重要的五个变形指标的公式给出了，只要得到某矿的地质采矿条件和概率积分法所需要的参数，下面就可以根据公式进行预计了。
以前由于计算机水平的限制，有人将预计公式做了简化，即先按各式求出最大值，再以预计点与主要影响半径的比值作为引数查表，求的分布函数值，乘以相应的最大值就可以得到预计点的移动和变形值。
但是这种方法在计算量比较大的情况下效率会非常低。
由以上的公式推导过程可以看出，概率积分法的理论基础坚实，而且公式比较简单、所含的参数也较少。
因此此方法有易于计算机编程计算的优点，文章附录有笔者用Ｃ＃计算机语言编写的开采沉陷预计系统部分代码及界面。
3概率积分法的适用范围由以上分析可得，概率积分法的理论基础的缺陷限制了此方法的推广及应用。
由于模型误差、参数误差以及复杂的不可知的地质采矿条件使得该方法预计时出现和现实情况不符合的现象。
概率积分法的模型是基于沙箱模型验证的，因此只有在开采区域足够大的情况下（充分采动或超充分采动），岩层移动的规律与颗粒体模型的移动规律宏观上近似，采用此方法进行开采沉陷预计具有一定的准确性。
相反在开采尺寸很小的情况下（非充分采动或极不充分采动），该理论模型并没有考虑煤层顶板以及上覆岩层对垮落的支承作用，因此会出现预计变形值大于实际值，预计范围小于实际的范围。
同时当煤层倾角大于45°时，也就是急倾斜煤层情况下，由于上覆岩层不仅有垂直于采空区的位移，同时还有沿层面的滑移，大多数情况下，煤层底板也会向下山方向滑移到采空区，在此种情况下，概率积分法失去其作用。
针对上述概率积分法在特殊情况下的局限性，无数开采沉陷研究工作者针对不同的情况对概率积分法模型进行了相应的修正。