基本不等式练习题
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C 2 D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1214.对三、解答题1516. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式练习题(基础、经典、好用)
基本不等式一、选择题1．若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．42．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．(2013·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．2 2 C．4 D．54．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的()A．充分条件不必要条件B．必要条件不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4 C.92 D.112二、填空题6．(2013·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．三、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 （x －2）·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时等号成立， ∴a ＝3.【答案】 C2．【解析】 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 【答案】 B 3．【解析】 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥441ab ·ab ＝4. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立， 因此1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.【答案】 C4．【解析】 1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc ，当abc ＝1时， ∴bc ＋ca ＋ab abc≤12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )] ＝a ＋b ＋c .故abc ＝1⇒1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c . 反过来，取a ＝b ＝1，c ＝4有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1， ∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 【答案】 A5．【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x 2x ＋2>0， ∴0<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2 （x ＋1）·9x ＋1－2＝4， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1. 【答案】 B二、填空题 6．【解析】 因为|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥8ab ＝20，当且仅当a 2＝4b 2时取等号，所以|a ＋2b |的最小值是20.【答案】 207．【解析】 由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)． 又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.故当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.【答案】 18 8．【解析】 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立． 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．【答案】 20三、解答题9．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64.故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.10．【证明】 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2 b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴1a ＋1b ＋1c ≥9.11.【解】 (1)设每件定价为x 元，依题意得(8－x －251×0.2)x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1 000≤0，解得25≤x ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对 x y ＋y x 说法正确的是( )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定答案：B2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( )A ．400B ．100C ．40D ．20答案：A3．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．答案：2 44．已知f (x )＝12x＋4x . (1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x·?－4x ?＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号． ∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x ) 答案：C2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．200B ．100C ．50D ．20 解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x ?＝－2.其中正确的推导过程为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b ∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． 答案：18．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大 1169．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值； (2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值． 解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5 ≥2 ?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9， 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴x ＝1时，函数的最小值是9. (2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1 ＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8. 当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立， ∴y 有最小值8.11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x ＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x (x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题,每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。
若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ )A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2。
若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3。
设x >0，则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14。
设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A 。
10 B. C. D. 5. 若x ， y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ) Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166。
若a ， b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ )A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x 〉0， y >0,且x +y ≤4，则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥8。
a ，b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ )Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9。
某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ,则有( ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ )Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题， 本大题共4小题,每小题3分，满分12分,把正确的答案写在题中横线上.11。
基本不等式练习题
3.4基本不等式重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于．当堂练习：1. 若，下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．2. 若且，则下列四个数中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a3. 设x>0,则的最大值为（）Ａ．3Ｂ．Ｃ．Ｄ．－14. 设的最小值是( )A. 10B.C.D.5. 若x, y是正数，且，则xy有（）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11. 函数的最大值为.12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14. 证明：若x, y为非零实数，代数式的值恒为正.15. 已知：, 求mx+ny的最大值.16. 已知．若、,试比较与的大小，并加以证明.17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.18. 设.证明不等式对所有的正整数n都成立.参考答案：经典例题：【解析】证法一假设，，同时大于，∵ 1－a>0，b>0，∴≥，同理，.三个不等式相加得，不可能，∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.证法二假设，，同时成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即. （*）又∵≤，同理≤，≤，∴≤与（*）式矛盾，故不可能同时大于.当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;13. ; 14. 对;15．16. 【解析】．∵、，∴．当且仅当＝时，取“＝”号．当时，有．∴．．即．当时，有．即17. (1)(2)18．【解析】证明由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对 x y ＋y x说法正确的是( ) A ．有最大值－2 B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定答案：B2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( )A ．400B ．100C ．40D ．20答案：A3．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x有最小值____． 答案：2 44．已知f (x )＝12x＋4x . (1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x·4x ＝8 3. 当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83， ∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x·?－4x ?＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号． ∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )答案：C2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3 解析：选＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2； ②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2?－x y ??－y x?＝－2. 其中正确的推导过程为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2C ．4D ．5 解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164 解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题 7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． 答案：18．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116. 答案：大 1169．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y 4时取等号． 答案：3三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值． 解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5 ≥2 ?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9， 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴x ＝1时，函数的最小值是9. (2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8. 当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立， ∴y 有最小值8.11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8. 证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c， 以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米． 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200 ＝800×(x ＋225x )＋12000 ≥1600x ·225x ＋12000 ＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)， 即x ＝15时等号成立．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.4基本不等式
重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于．
当堂练习：
1. 若，下列不等式恒成立的是（）
A．B．C．D．
2. 若且，则下列四个数中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a
3. 设x>0,则的最大值为（）
Ａ．3Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1
4. 设的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有（）
Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）
A．B．C．D．
8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
10. 下列函数中，最小值为4的是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
11. 函数的最大值为.
12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.
14. 证明：若x, y为非零实数，代数式的值恒为正.
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 已知．若、,
试比较与的大小，并加以证明.
17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.
18. 设.证明不等式对所有的正整数n都成立.
参考答案：
经典例题：
【解析】证法一假设，，同时大于，
∵ 1－a>0，b>0，∴≥，
同理，.三个不等式相加得，不可能，
∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.
证法二假设，，同时成立，
∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，
即. （*）又∵≤，
同理≤，≤，
∴≤与（*）式矛盾，
故不可能同时大于.
当堂练习：
1.A;
2.B;
3.C;
4.D;
5.C;
6.A;
7.B;
8.C;
9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;
13. ; 14. 对;
15．
16. 【解析】．∵、，∴．
当且仅当＝时，取“＝”号．
当时，有．
∴．．即．
当时，有．
即
17. (1)(2)
18．【解析】证明由于不等式
对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到
又因以及
因此不等式对所有的正整数n都成立.。