材料力学梁弯曲时内力和应力第6节 弯曲切应力
材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学梁的应力知识点总结
材料力学梁的应力知识点总结梁是一种常见的结构元件，在工程中广泛应用。
了解梁的应力知识点对于工程设计和分析非常重要，本文将对材料力学梁的应力知识点进行总结。
1. 弯曲应力在弯曲载荷下，梁会发生弯曲变形，产生弯曲应力。
弯曲应力分为正应力和剪应力两部分。
梁的顶端受拉产生正应力，底端受压产生正应力。
横截面上由于剪力的存在，产生剪应力。
弯曲应力与梁的几何形状、材料性质和载荷有关。
2. 矩形截面的弯曲应力分布对于矩形截面的梁，弯曲应力的分布是不均匀的。
顶部和底部的纤维受到最大应力，处于拉伸或压缩状态。
靠近中性轴的纤维受到较小的应力。
弯曲应力的分布可用弯矩与惯性矩的比值来表示。
3. 剪应力和剪力流在梁的截面上，由于剪力的存在，产生剪应力。
剪应力的分布是沿纵横两个方向呈对称分布的。
剪应力在截面上的变化呈线性分布，最大值出现在截面的边缘。
剪力流是指单位深度上的剪力大小，剪应力和剪力流之间存在直接的线性关系。
4. 应力分量的变换在梁的应力分析中，常常需要对应力分量进行变换。
常用的应力分量变换公式有平面应力变换公式和平面应变变换公式。
5. 横截面形状的影响梁的横截面形状对其应力分布和强度有显著影响。
常见的梁截面形状有矩形、圆形和I型等。
圆形截面具有均匀的应力分布特点，适用于承受压力的情况。
I型截面具有较高的抗弯强度，适用于悬挑梁和跨大距离的情况。
6. 梁的断裂当梁受力达到其强度极限时，可能会发生断裂。
断裂形式可以是横断面的剪断、疲劳断裂或脆性断裂等。
设计中需要考虑梁的强度和刚度，以避免出现断裂。
总结：材料力学梁的应力知识点对于工程领域非常重要。
弯曲应力、剪应力和剪力流是梁应力分析的关键内容；矩形截面的弯曲应力分布是不均匀的，可以用弯矩与惯性矩的比值表示；横截面形状对梁的应力分布和强度有重要影响。
通过深入理解和应用这些知识点，可以对梁的行为和性能进行合理评估和设计。
梁弯曲
2、梁弯曲的正应力公式 （1）变形规律
(a) 横线（m-m,n-n）仍是直 线，只是发生相对转动，但 仍与纵线（a-a，b-b）正交。 (b) 纵线（a-a,b-b）弯曲 成曲线，且梁的一侧伸长， 另一侧缩短。 平面假设----梁变形后，其 横截面仍保持平面，并垂直 于变形后梁的轴线，只是绕 着梁上某一轴转过一个角度。
二、平面弯曲正应力与强度条件 1、梁弯曲的应力特点 （1）梁的横截面上同时存在 剪力和弯矩时，这种弯曲称 为横弯曲。横弯梁横截面上 将同时存在剪应力和正应力 。而且剪应力只与剪力有关， 正应力只与弯矩有关。 （2）纯弯曲—如图示平面弯 曲梁，CD段内各横截面上的剪 力为零，而弯矩为常数。
返回
F
y
0
得 得
FS1 qa F 0
M 1 qa a Fa 0 2
由 M1 0 得
FS1 13kN
M 1 18kN m
阵求得FS 1 为正值，表示 FS 1 的实际方向与假定的方向相同； M 1为负 值， 表示 M 1 的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力的符 号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。 （二）简易法求内力 求梁的内力还可用简便的方法来进行，称为简易法。 通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。 1．剪力的规律 计算剪力时，对截面左(或右)段梁建立投影方程，经过移项后可得
M M C左
或
M M C右
上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包 括力偶)对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁 段产生下凸弯曲变形时(即上部受压，下部受拉)，等式右方取正号；反之取负号， 此规律可记为“下凸弯矩正”。 用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
工程力学第6节 弯曲切应力
* z
上式表明腹板上的切应力按抛物线规律变化。
最大弯曲切应力 max 发生在中性轴 y 0 处，故
相差不大，当 d b 时，腹板上的切应力可认为均匀 分布。由于工字钢腹板上切应力的合力与截面剪力十 分接近，故工程中常将剪 翼缘 力除以腹板面积来计算工 min 腹板 字形截面梁的 max 。即
一、矩形截面梁 的切应力 假设
截面上任一点 切应力 的方 向均平行于剪 力 FS ； 切应力沿矩形 截面的宽度 b 均匀分布，即 切应力的大小 只与 y 有关
C
在横截面上距中性轴为
y 处的切应力 * FS S z Izb
距中性轴为 y 处横线以下面积对中性轴的面积矩为
hy 2 h b h * 2 2 S z b( y ) （y ) ( y ) 2 2 2 4 bh 3 Iz 12
二、圆形截面梁的切应力
AB 弦上的最大切应力在端点 A 或 B ，切应力为
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
max
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
在中性轴上，y 0 得到切应力最大值
max
4 FS 2 3R
绘制梁的剪力图 绘制梁的弯矩图
2
8
1 FS max ql 2
最大剪力和最大弯矩
1 2 M max ql 8
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
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min max
min
薄壁圆环形截面梁：
最大弯曲切应力在截面中性
轴上，其值约为
max
max
2
FS A
式中梁横截面面积 A 2Rt
四、切应力强度条件
FS R
max
z
t
y
各种截面形状梁 最大切应力一般公式
max
K
FS max A
式中 A为横截面面积。系数取值如表 5-2
以正应力强度条件为主
（3）外径为 D、内径为 0.95D 的薄壁环形
max
M
max
Wz
[
ql2 8
D4 (0.95D)4 ]
D
27.47
ql 2 D3
64 64
2
max
2 FS max A
2
ql 2
D2 (0.95D)2
13.07
max
3 2
FS max bh
[
]
二、圆形截面梁的切应力
AB 弦上的最大切应力在端点 A 或 B ，切应力为
FSR R2 y2
3Iz
其中 Iz d 4 R4
64 4
max
FSR R2 y2
3Iz
在中性轴上，y 0
得到切应力最大值
其中 Iz d 4 R4
h 2
2
y )
b 2
(h2 4
y2)
Iz
bh2 12
FS
S
* Z
Izb
6FS bh3
(h2 4
y2)
6FS bh3
(h2 4
y2)
在横截面的上、下边缘处
yh 2
0
在中性轴上， y 0 ，出现最大切应力
max
3 2
FS bh
对矩形截面梁 切应力强度条件
一、矩形截面梁 的切应力
假设
C
• 截面上任一点
切应力 的方
向均平行于剪
力 FS ；
• 切应力沿矩形 截面的宽度 b 均匀分布，即 切应力的大小
只与 y 有关
在横截面上距中性轴为 y 处的切应力
FS
S
* z
Izb
距中性轴为 y 处横线以下面积对中性轴的面积矩为
S
* z
b( h 2
y) （y
64 4
max
4FS
3R2
三、薄壁截面梁的切应力
假 • 弯曲切应力平行于截面侧边； 设 • 弯曲切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面切 应力公式为
FSS
* z
Izd
的 性式惯轴中性 为矩FyS，的为d横横为线截欲以面求外上切部的应分剪力的力处横，的截I截z面为面面横厚积截度对面，中对S z*性为中轴距性轴中z
l h
2h2
以正应力强度条件为主
（2）直径为 d 的圆
max
M max Wz
4ql 2
d 3
1 ql2 8
32
d
3
max
4 FS max 3A
8ql
3d 2
4
1 2
ql
3 d2
4
结论
FA
FB
4ql 2
max max
d 3
8ql
3l 2d
3d 2
例5-12 图示简支梁受均布载荷作用，梁长度 l ，
截面形状为
（1）高为宽 2 倍的矩形；（2）直径为 d 的圆； （3） 外径为 D、内径为 0.95D 的薄壁环形。
试求各种截面梁的最大正应力和最大切应力，并比
较其大小。
FFAA
FFBB
解：求支座反力
FA
FB
1 2
ql
绘制梁的剪力图 2 8
绘制梁的弯矩图
对各种截面梁 切应力强度条件
max K
FS max [ ]
A
注意
• 在进行强度计算时，必须同时满足正应力和切应 力强度条件。通常是先按正应力强度条件选择截 面的尺寸、形状或确定许可载荷，必要时再用切 应力强度条件校核。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对各种截面梁 切应力强度条件
max K
FS max [ ]
最大剪力和最大弯矩
FS
max
1 2
ql
M
max
1 8
ql 2
（1）高为宽 2 倍的矩形
max
M max WZ
1 8
ql
2
1 h h2
max
3
3ql 2 2h3
FS max 2A
62
3
1 2
ql
2 h h
3ql 2h2
2
FA
FB
3ql 2
max max
2h3 3ql
(
h 2
t
)2
计算表明，腹板上最大切应力 max 与最小切应力 min 相差不大，当 d b 时，腹板上的切应力可认为均匀
分布。由于工字钢腹板上切应力的合力与截面剪力十
分接近，故工程中常将剪
力除以腹板面积来计算工
字形截面梁的 max。即
max
FS d (h 2t)
翼缘 腹板
工程中遇到的大多数梁，不是纯弯曲，即梁的内力
既有弯矩又有剪力，截面上存在正压力和切应力。在 弯曲问题中，一般对细长梁来说，正应力是强度计算 主要因素。但对于如跨度短而截面大的梁，腹板较薄 的工字梁，载荷距支座较近的梁等，可能发生由弯曲 切应力引起的破坏，因此需计算弯曲时梁的切应力。
弯曲切应力的分布规律要比正应力复杂。横截面 形状不同，切应力分布情况也就不同。对于简单形状 的截面，可以直接就弯曲切应力分布规律作出合理的 假设，利用静力学关系建立起相应的计算公式。但对 于形状复杂的截面，要对弯曲切应力的分布规律作出 合理的假设是困难的，需利用弹性力学理论或实验比 拟方法进行研究。
四、切应力强度条件
各种截面形状梁 最大切应力一般公式
max
K
FS max A
式中 A为横截面面积。系数取值如表 5-2
表 5-2
梁截面形状 矩 形
圆 形 工字型 薄壁环形
K
3 2
4 3
1
2
• 对等直梁而言，最大工作应力 max 发生在最大剪
力| FS |max 的截面内。
• 切应力强度条件为梁的最大工作应力 max 不超过 构件的许用切应力 [ ] ，即
A
在下列情况下需要进行切应力强度校核：
短粗梁，及支座附近有较大集中力作用的细长梁，
此时，梁的最大弯矩
| FS |max 可能会较大；
|
M
|max
可能较小，而最大剪力
焊接或铆接的工字形等薄壁截面梁，当截面的腹板
厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时，横截
面上可能产生较大的 max ；
对于各向异性材料制成的梁，例如木梁，它在顺纹 方向的抗剪能力差，可能沿中性层发生剪切破坏。
的面积矩。
工字形截面梁：
FS
S
* z
Izd
FS IZ
bdt
(
h 2
t 2
)
1 2
[(
h 2
t)2
y2 ]
上式表明腹板上的切应力按抛物线规律变化。
最大弯曲切应力 max 发生在中性轴 y 0 处，故
max
FS Iz
bt d
(h 2
t ) 2
1 2