导数及其应用本章复习提升

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人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质

1 故函数 f(x)的单调递增区间是 (0， )；单调递减 e 1 区间是 ( ，1)和 (1，＋∞)． e
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检验 f′(x) ＝ 0 的根的两侧 f′(x) 的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16，又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． x (3)∵切线与直线 y＝－＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)．切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3：已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx，在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．

2021_2022学年新教材高中数学第二章导数及其应用3导数的计算课后巩固提升含解析北师大版选择性必

第二章导数及其应用§3导数的计算课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f'(x0)=-2,则limk→0f(x0-12k)-f(x0)k等于()B.-1C.2D.1,lim k→0f(x0-12k)-f(x0)k=-12limk→0f(x0-12k)-f(x0)-12k=-12f'(x0)=1,故选D.2.下列各式中正确的个数是()①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1√x '=-12x-32;④(√x25)'=25x-35;⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.B.4C.5D.6(x-1)'=-x-2,⑥(cos2)'=0,∴②⑥不正确.故选B.3.若函数f(x)=cos x,则f'π4+fπ4的值为()B.-1C.1D.2 解析f'(x)=-sin x,所以f'π4+fπ4=-sinπ4+cosπ4=0.4.已知f(x)=x a,若f'(1)=4,则a的值等于()B.-4C.5D.-5f'(x)=ax a-1,f'(1)=a(1)a-1=4,∴a=4.y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为.(3)=limΔx→0Δy Δx=lim Δx→02(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)Δx=16.,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是.初=s'(0)=limΔt→0s(0+Δt)-s(0)Δt=limΔt→0(3-Δt)=3.7.已知f (x )=1x,g (x )=mx ,且g'(2)=1f '(2),则m=.4,f'(x )=-1x 2,g'(x )=m.∵g'(2)=1f '(2),∴m=-4.8.设直线y=12x+b 是曲线y 1=ln x (x>0)的一条切线,则实数b 的值为.-1y 1'=(ln x )'=1x ,设切点为(x 0,y 0),由题意,得1x 0=12,所以x 0=2,y 0=ln2,代入直线方程y=12x+b ,得b=ln2-1.9.利用导数的定义求函数y=f (x )=x-2x的导数.解由导数定义,得Δy=f (x+Δx )-f (x )=(x+Δx )-2x+Δx-x-2x,∴ΔyΔx =1+2x (x+Δx ),当Δx 趋于0时,得到导数f'(x )=1+2x 2.10.用求导数的公式求下列函数的导数.(1)y=x 8;(2)y=4x ;(3)y=log 3x ;(4)y=sin x+π2;(5)y=e 2. 解(1)y'=(x 8)'=8x 8-1=8x 7.(2)y'=(4x )'=4x ln4.(3)y'=(log 3x )'=1xln3.(4)y'=sin x+π2'=(cos x )'=-sin x.(5)y'=(e 2)'=0.关键能力提升练11.已知函数f (x )在x 0处的导数为f'(x 0),则lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx等于()A.mf'(x 0) B .-mf'(x 0) C .-1m f'(x 0) D .1m f'(x 0),limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx=m limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )mΔx=mf'(x 0).12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于()B.-4C.28D.-28点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.13.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值X围是()A.0,π4∪3π4,π B.[0,π)C.π4,3π4D.0,π4∪π2,3π4答案A解析∵(sin x)'=cos x,∴k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴α∈0,π4∪3π4,π.14.(多选题)以下运算正确的是()A.1x '=1x2B.(cos x)'=-sin xC.(2x)'=2x ln 2D.(tan x)'=1cos2x解析1x '=-1x2,所以A不正确;因为(cos x)'=-sin x,故B正确;因为(2x)'=2x ln2,所以C正确;因为(tan x)'=1cos2x,所以D正确.15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为()A.(-1,1)B.(-1,-1)D.(1,-1),y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ的值,以下说法正确的是.(填序号)①与x0,h都有关;②仅与x0有关而与h无关;③仅与h有关而与x0无关;④与x0,h均无关.(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=.x,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则f2020(x)=f4(x)=sin x.18.函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N +,若则a 1+a 3+a 5的值是.y'=2x ,∴y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线方程为y-a k 2=2a k (x-a k ).又该切线与x 轴的交点坐标为(a k+1,0),∴a k+1=12a k ,即数列{a k }是首项为a 1=16,公比为q=12的等比数列,∴a 3=4,a 5=1,∴a 1+a 3+a 5=21.19.已知P 为曲线y=ln x 上的一动点,Q 为直线y=x+1上的一动点,则当点P 的坐标为时,PQ 最小,此时最小值为.√2 ,当直线l 与曲线y=ln x 相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ 的最小值.易知(ln x )'=1x ,令1x =1,得x=1,故此时点P 的坐标为(1,0),所以PQ 的最小值为√2=√2.f (x )=x 2,g (x )=x 3,求适合f'(x 0)+2=g'(x 0)的x 0的值.(x 0)=2x 0,g'(x 0)=3x 02.因为f'(x 0)+2=g'(x 0),所以2x 0+2=3x 02,即3x 02-2x 0-2=0,解得x 0=1-√73或x 0=1+√73.学科素养创新练21.设曲线y=x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,求a 1+a 2+…+a 99的值.解由题得y'=(n+1)x n ,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n (n ∈N +),可求得切线与x 轴的交点为nn+1,0,则a n =lg nn+1=lg n-lg(n+1),n ∈N +,所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.。

人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (49)(含答案解析)

选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (49)1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（） A ．(,0)(0,)-∞+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(0,)+∞D ．(3,)+∞2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=20，且f (x )的导函数()'f x 满足2()62f x x '>+，则不等式f (x )>2x 3+2x 的解集为（） A ．{x |x >-2}B ．{x |x >2}C ．{x |x <2}D ．{x |x <-2或x >2}3．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x >'+，()03f =，则不等式()21xf x e >+的解集为（）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞4．已知函数()()f x x R ∈及其导函数()'f x 满足()()2 '0f x xf x +<且()0f x ≠.若()()230f x mf x ++≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则（）A ．m ≥-B ．m ≥C ．m ≤≤D ．m ≤5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()ln 3(1)f x x x xf '=+，则(e)f '=（） A ．32-B ．e 2-C ．12D ．12-6．设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．402127．已知当2(0,)3x π∈时，sin sin 2cos x x bx x +≥恒成立，则正实数b 的取值范围为（） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]1,3D ．(]0,38．已知(0,)2x π∈，函数cos )22tan (x f x x x π=+--，则下列选项正确的是（）A ．存在0(0,)2x π∈使()00f x >B ．存在0(0,)2x π∈使()01f x ≥C ．对任意(0,)2x π∈，都有()0f x >D ．对任意(0,)2x π∈，都有()1f x <-9．若函数()21xax bx f x e +-=的最小值为1-，则（） A ．1a b +≥ B ．1a b +≤C ．1a b -≤D ．1a b -≥10．已知()4f x x x=+，()22g x x x a =-+，若对[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是（） A ．[2，5] B ．4,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．162,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．416,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知函数()f x 满足2132()2mx x m f x f x x --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，若()2,x ∀∈+∞，()x f x e ≤，则m 的取值范围为（）A ．21,2e ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦B ．21,2e ⎛⎫+-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,e ++∞D ．[)1,e ++∞12．设f '（x ）是函数f （x ）的导函数，若f '（x ）＞0，且∀x 1，x 2∀R （x 1≠x 2），f （x 1）+f （x 2）＜2f （122x x +），则下列各项中不一定正确的是（）A ．f （2）＜f （e ）＜f （π）B ．f ′（π）＜f ′（e ）＜f ′（2）C ．f （2）＜f ′（2）﹣f ′（3）＜f （3）D ．f ′（3）＜f （3）﹣f （2）＜f ′（2）13．设函数'()f x 是偶函数()()f x x R ∈的导数,(1)1f = ,当0x <时,'()()0xf x f x +> ,则使|f (x )|＞1||x 成立的x 的取值范围是( )A ．(10)(1)⋃+∞﹣,, B ．(1,1)- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-14．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（） A ．324y x x =+ B ．()sin y x x =+- C ．2log y x =D ．22x x y -=-15．已知函数()2sin 1xf x x =+，则下列选项正确的有（） A ．函数()f x 的零点是x k π=（k Z ∈） B ．函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+上单调递增C ．若x 0是函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的极值点，则014x π<<D ．()2f x π<16．已知f '（x ）为函数f （x ）的导函数，f '（x ）＝3x 2+6x +b ，且f （0）＝0，若g （x ）＝f （x ）﹣2xlnx ，求使得g （x ）＞0恒成立b 的值可能为（）A ．﹣2ln2﹣74B ．﹣ln2﹣74C ．0D ．ln2﹣3417．已知函数()21ln 12g x x x =-+，则当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的极大值为__________，若()21ln 12f x x x m =-+-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（0m >，e 为自然对数的底）的最大值为22e ，则实数m 的值为__________.18．不与x 轴重合的直线l 与曲线3y x =与2yx 均相切，则l 的斜率为___________.19．若函数()()321403f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则()()12f x f x +取值范围为____.20．若函数2()2ln f x m x x =-+在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数m 的取值范围为___________．21．已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.22．已知函数()()()229f x x x mx n =-++的图象关于直线1x =对称，()f x '为()f x 的导函数，则()()00f f '-=________．23．已知a 为常数，且函数()cos f x x a x +，0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的最小值为a ，则a =___________.24．若关于x 不等式()1xx ke x >+的解集中的正整数有且只有一个，则k 的取值范围是______.25．已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______.26．已知直线2y x =-+分别与函数1e 2x y =和ln(2)y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列说法正确的是______. ∀12e 2e x x e +>；∀12x x > ∀1221ln ln 0x x x x +>； ∀()12e ln 22xx +>.27．已知函数()()2ln 21af x x a R x =+-∈+，讨论函数()f x 的单调性. 28．已知函数()()32e Rf x x ax a =-∈，讨论函数()f x 的单调性.29．已知函数3()f x x ax b =--，讨论()f x 在[0,1]上的单调性； 30．已知函数()()22e 2x a f x x x ax =--+，R a ∈，讨论函数()f x 的单调性. 31．已知函数()()()()22e 20x f x x a x x a =-+->，讨论()f x 的单调区间：32．已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-，a ∈R ，讨论()f x 的单调性；33．已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈，讨论()f x 的单调区间.34．已知函数1()e ax f x x -=⋅(R a ∈)，讨论函数()f x 的单调性. 35．已知函数()e x f x x a =-，0x ≥，a R ∈，讨论函数()f x 的单调性. 36．已知函数2()ln f x mx x =-，讨论()f x 的单调性； 37．函数()e ()x f x ax a =-∈R ，讨论()f x 的单调性； 38．求下列函数的导数：（1）22()2f x a ax x =+-；（2）sin ()ln x xf x x=. （3）()2(34)21y x x x =-+；（4）2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5）y ＝2ln 1xx +.（6）221()(31)y x x =-+；（7）sin 2cos 2y x x x =-；（8）cos x y e x =；（9）y ＝ln(21)x x+. （10）n 1l y x x=+ （11）sin xy x=（12）22(1e )2x y x x -=+-. 39．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sin cos 22x y xx =-；（4）()221y x =+；（5）2cos2x y =. 40．已知函数()1xe f x ax alnx x =+-+，其中a R ∈．（1）当0a ≤时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(0,1)内有极值，试判断极值点的个数并求a 的取值范围． 41．已知函数()()x f x e ax a a R =++∈.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）若存在[1x ∈，2]，使得不等式2()ln (21)2xx f x a x e a x -+-++成立，求a 的取值范围.42．已知函数()4ln ()af x x x a R x=+-∈．（1）当3a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围． 43．已知函数()()ln 1,f x x m x m R =++∈. （1）若1m =-，求函数()f x 的极值；（2）若()()0()f p f q p q ==≠，证明：1pq >.44．已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≤在[)0,x ∈+∞上有解，求实数a 的取值范围.45．设函数()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⋅．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；（2）若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 46．已知函数()2sin (4ln )f x x x a x =-+-．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程．（2）若存在实数b ，使得()()g x f x b =+有两个不同的零点m ，n ，证明：2mn a <．47．已知函数()2xf x e ax =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a =，证明：当0x >时，曲线2yx 恒在曲线()f x 的下方；（3）讨论函数()()21xH x x te t e =-<<零点的个数.48．已知函数()ln 1f x x x x =-+．（∀）求()f x 的单调区间和最值；（∀）设1a >，证明：当()1,x a ∈时，()1log 1a a x x ->-．49．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足8()8f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()143|22|g x x =--（元）（1）求该村的第x 天的旅游收入()p x （单位千元，130x ，*x ∈N ）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计） 50．设()ln f x x a x =-，a ∈R .(1)当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)记函数()()1a g x f x x-=-，若当1x =时，函数()g x 有极大值，求a 的取值范围.【答案与解析】1．C 【解析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，求导结合题干条件可证明()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，故()0(0)0g x g x >=⇒>，即得解令()()3x x g x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+-> 所以()g x 在R 上单调递增，又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=，所以()0(0)0g x g x >=⇒>，即不等式的解集是(0,)+∞ 故选：C 2．B 【解析】根据给定条件构造函数3()()22g x f x x x =--并判断其单调性，再利用()g x 的单调性即可求出不等式f (x )＞2x 3+2x 的解集.令3()()22g x f x x x =--，因2()62f x x '>+，则2()()620g x f x x ''=-->，即()g x 在R 上单调递增，因3(2)(2)22220g f =-⋅-⋅=，则不等式f (x )>2x 3+2x 等价于()(2)g x g >，于是得x >2，所以原不等式的解集为{x |x >2}. 故选：B 3．A 【解析】设g （x ）＝()1xf x e -，根据已知条件可得函数()g x 在定义域上单调递减，从而将不等式()21xf x e >+转化为()()0g x g >的解集，从而可得出答案. 解：设()g x ＝()1xf x e -，则()g x '＝()()1xf x f x e '---，∀()()1f x f x >'+，∀()()10f x f x '-->，∀()0g x '<，∀y ＝g （x ）在定义域上单调递减，∀()21xf x e >+∀()g x ＝()12x f x e ->，又()0g ＝(0)12f e -=， ∀()()0g x g >， ∀0x <，∀()21xf x e >+的解集为(),0-∞．故选：A ． 4．D 【解析】构造函数()()2g x x f x =，通过题意，可得函数的单调区间，以及()0g x ≤,从而可得()0f x ≠，再通过分离参数，即可求解.解：设()()2g x x f x =，则()()()()()'2'2g x xf x xf x x f x xf x ⎡⎤⎣⎦'=+=+，∴当0x <时，()'0g x >，当0x >时，()'0,g x <()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()00,g =()0,g x ∴≤()0f x ≠，()0,f x ∴<不等式()()230f x mf x ++≥⎡⎤⎣⎦可转化为()()3m f x f x ≤--，该不等式恒成立，则()()min 3m f x f x ⎡⎤≤--=⎢⎥⎣⎦故选：D. 5．C 【解析】先求出()()1ln 31f x x f ''=++，然后令1x =求出()1f '，然后即可求出(e)f '．因为()ln 3(1)f x x x xf '=+所以()()1ln 31f x x f ''=++令1x =时有()()1131f f ''=+，所以()112f '=-所以3()ln 2f x x x x =-所以()311ln 22f e e '=+-= 故选：C 6．B 【解析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B. 7．D 【解析】先讨论不等式在2[,)23ππ上恒成立，在(0,)2x π∈时，变形不等式并构造函数()tan 2sin h x x x bx =+-，利用导数探求()0h x ≥的正数b 即可.当2[,)23x ππ∈时，而0b >，sin sin 2sin (12cos )0cos x x x x bx x +=+>≥，原不等式恒成立，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，不等式等价变形为：tan 2sin x x bx +≥，令()tan 2sin h x x x bx =+-，(0,)2x π∈，而(0)0h =，求导得21()2cos cos h x x b x '=+-，令()()g x h x '=，则3332sin 2sin (1cos )()2sin 0cos cos x x x g x x x x-'=-=>，则()h x '在(0,)2π上单调递增， (0)3h b '=-，若3b >，则(0)0h '<，记cosθ=，(0,)2πθ∈，则()0h b b θ'==>，则存在()00,x θ∈，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当()00,x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意，若3b ≤，()(0)0h x h ''>≥，即当(0,)2x π∈时，()h x 单调递增，则有()(0)0h x h >=，符合题意，综上得，3b ≤，所以正实数b 的取值范围是(]0,3. 故选：D 8．B 【解析】对于A 、C 记cos 0,),2(2g x x x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝=+⎭-，tan ,(0,)2()x x h x x π∈=-，则()()()f x g x h x =+，利用导数分别判断出()()g x h x 、的单调性，证明出02cos x x π+-<，tan 0x x -<即可判断；对于B ：取特殊值05=12x π，代入验证；对于D ：取特殊值0=4x π，代入验证；对于A 、C ：记cos 0,),2(2g x x x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝=+⎭-，tan ,(0,)2()x x h x x π∈=-，则()()()f x g x h x =+， n 0()1si g x x '=>-，所以2co )s (g x x x π=+-在(0,)2π上单增，当2x π<时，()02g x g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即0cos ()2g x x x π=+-<，即02cos x x π+-<，同理可证：t (n )a x h x x =-在(0,)2π上单减，所以当02x π<<时，都有()(0)0h x h <=，即tan 0x x -<.又02cos x x π+-<，所以s ()2n 2co ta 0x f x x x π=+--<.故A 、C 错误.对于B ：取05=12x π，所以5cos =cos =cos cos sin sin 12646464πππππππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，tantan564tan=tan =212641tan tan 64πππππππ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-，则有()012=5f x f π⎛⎫ ⎪⎝⎭555cos tan 612122=ππππ+--，(5=262ππ+-，(=2213π<-<-.故B 正确；对于D ：取0=4x π，则有()0cos tan 1142442==f x f πππππ⎫+-⎛ ⎪⎝⎭->-.故D 错误. 故选：B 9．D【解析】根据0x =为()f x 的极值点可求得b ；分别在0a <，0a =和0a >三种情况下，判断()0f 是否为()f x 最小值，确定a 的范围，进而得到结论. 由题意知：()()221xax a b x bf x e -+-++'=，()f x 的最小值为()01f =-，0x ∴=是()f x 的一个极值点，()010f b '∴=+=，解得：1b =-，()()()22121x xax a x x ax a f x e e-++-++'∴==；若0a <，当x →-∞时，()f x →-∞，不符合题意．若0a =，则()x xf x e'=，∴当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>； ()f x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()01f ∴=-是()f x 的最小值，满足题意；若0a >，令()0f x '=，解得：0x =或210a x a+=>； ∴当0x <或21a x a +>时，()0f x '<；当210a x a +<<时，()0f x '>；()f x ∴在()0,∞+，21,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在210,a a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()01f =-，当x →+∞时，()0f x →；()01f ∴=-是()f x 的最小值，满足题意；综上所述：0a ≥，1a b ∴-≥. 故选：D.关键点点睛：本题解题关键是能够明确()f x 最值点即为其极值点，即导函数的零点；通过对含参数的函数单调性的讨论确定符合题意的参数的范围，从而得到结论. 10．A 【解析】结合导数求得()f x 在区间[]1,3上的值域.结合二次函数的性质求得()g x 在[]1,3上的值域，结合“任意、存在”列不等式，由此求得a 的取值范围.()()()2'22222441x x x f x x x x +--=-==，所以()4f x x x=+在[1，2]递减，在（2，3]递增，()()()41315,24,3333f f f ===+=,可得()f x 的值域为[]4,5A =，()22g x x x a =-+对称轴为1x =，在[1，3]递增，可得()g x 的值域为[]1,3B a a =-+，若对[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()12f x g x =，可得()f x 的值域A 为()g x 的值域B 的子集. 则14a -≤，且35a +≥，解得25a ≤≤，故选：A. 11．A 【解析】由题设可得()1f x mx =-，可将问题转化为1x m e x x ≤+在2,上恒成立，构造1()x e g x x x=+，利用导数研究最值，即可求m 的范围.∀2132()2mx x mf x f x x --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∀∀21232()mx x m f f x x x --⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∀由∀、∀可得，()1f x mx =-.由()xf x e ≤，得1x m e x x ≤+恒成立，令1()x eg x x x=+，则2(1)1()x x x x e g '--=. ∀()2,x ∈+∞，∀()0g x '>，即()g x 在2,上单调递增，∀21()(2)2e g x g +>=，∀212m e +≤.故选：A 12．C 【解析】f ′（x ）＞0，∀f （x ）在R 上单调递增，由12121212,(),()()2()2x x x R x x f x f f x x ++∀∈≠<，可得12()()2f x f x +＜12()2x x f +，可得y ＝f （x ）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误．解：∀f ′（x ）＞0，∀f （x ）在R 上单调递增， ∀12121212,(),()()2()2x x x R x x f x f f x x ++∀∈≠<，∀12()()2f x f x +＜12()2x xf +，∀y ＝f （x ）的图象如图所示，图象是向上凸．∀f （2）＜f （e ）＜f （π），f ′（π）＜f ′（e ）＜f ′（2），可知：A ，B 正确． ∀f （3）﹣f （2）＝(3)(2)32f f --，表示点A （2，f （2）），B （3，f （3））的连线的斜率．由图可知：f ′（3）＜k AB ＜f ′（2），故D 正确． C 项无法推出，故选：C ．13．C 【解析】设()()F x xf x =,根据函数的单调性和奇偶性问题转化为()()1|1|F x F =＞,求出不等式的解集即可．解:设F (x )＝xf (x ),易知函数F (x )为奇函数,且当x ＜0时,F ′(x )＝xf ′(x )+f (x )＞0, 故函数F (x )在R 递增,将目标不等式转化为|F (x )|＞F (1)＝1,结合函数的单调性得:|x |＞1,解得:1x <-或x ＞1, 故不等式的解集是(﹣∞,﹣1)∀(1,+∞), 故选:C ． 14．ABD 【解析】先根据奇偶性定义分析函数的奇偶性，然后再利用导数判断函数的单调性，由此作出判断即可.对于选项A ，定义域为R 关于原点对称，且()()324f x x x f x -=--=-，故为奇函数，又2640y x '=+>，所以324y x x =+在()0,1上单调递增，故满足；对于选项B ，定义域为R 关于原点对称，sin f x x xf x ，故为奇函数，又1cos 0y x '=-≥，且y '不恒为0，所以()sin y x x =+-在()0,1上单调递增，故满足；对于选项C ，定义域为{}0x x ≠关于原点对称，()()2log f x x f x -==，故为偶函数，不满足；对于选项D ，定义域为R 关于原点对称，()()22x xf x f x --=-=-，为奇函数，又2ln 22ln 20x x y -=+>'，所以22x x y -=-在()0,1上单调递增，故满足．故选：ABD ． 15．ACD 【解析】直接利用求函数的零点的方法判定A 的结论，利用函数的导数和函数的单调性的关系判定B 的结论，利用函数的导数和函数的单调性的关系及零点的应用判定C 的结论，利用函数的关系式的变换和函数的单调区间的确定的应用和存在性的问题的应用判定D 的结论. 解：对于A ：令函数()2sin 01xf x x ==+，得x k π=（k Z ∈），故函数的零点为x k π=（k Z ∈），故A 正确；对于B ：函数()()()()2sin 1x f x f x x --==-+-，所以函数为奇函数，()()()2221cos 2sinx 1x x x f x x +-+'=，令()()21cos 2sin x x x g x x =+-，所以()()()221sin 2cos 2sin 2cos 3sin g x x x x x x x x x x =-++--=-+'，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减.2104162g πππ⎫⎛⎫=+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21cos 2sin 22222g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()f x '在()0,∞+上不是恒大于0，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增错误，故B 错误；对于C ：由B 的结论，函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以0x 为()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点.由于2104162g πππ⎫⎛⎫=+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos121sin10g =-<所以则014x π<<.故C 正确；对于D ：当()0,x π∈时，对任意的0k >，且k ∈Z ，有()2sin 1x f xx =+， ()()22sin()sin 1()1()x k xf x x k x k f x k ππππ+==<+++++，故仅讨论()f x 在()0,π上的取值即可，选项C 的分析中，()()23sin x x g x =-+'，当()0,x π∈时，()0g x '<，故函数()g x 单调递减，从而()f x 在()00,x x ∈上单调递增，在0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()212212f f x πππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫+ <⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 16．BCD 【解析】求出函数f （x ）的解析式，从而求出g （x ）的解析式，问题转化为b ＞2lnx ﹣x 2﹣3x ，设φ（x ）＝2lnx ﹣x 2﹣3x （x ∀（0，+∞）），根据函数的单调性求出b 的范围即可．解：∀f '（x ）＝3x 2+6x +b ，∀设f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ，又f （0）＝0，故c ＝0，从而f （x ）＝x 3+3x 2+bx ，∀g （x ）＝f （x ）﹣2xln x ＝x 3+3x 2+bx ﹣2xln x ，则g （x ）的定义域是（0，+∞），则g （x ）＞0可化为x 2+3x +b ﹣2ln x ＞0，即b ＞2ln x ﹣x 2﹣3x ，设φ（x ）＝2ln x ﹣x 2﹣3x （x ∀（0，+∞）），则φ′（x ）＝2x﹣2x ﹣3＝(21)(2)x x x --+，令φ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜12，令φ′（x ）＜0，解得：x ＞12，故φ（x ）在（0，12）递增，在（12，+∞）递减，故当x ＝12时，φ（x ）取得最大值φ（12）＝﹣2ln 2﹣74，要使g （x ）＞0恒成立，则b ＞﹣2ln2﹣74即可，故选：BCD ． 17．12 2 【解析】利用导数分析函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，可求得函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极大值；分12m ≥、102m <<两种情况讨论，分析函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，或作出函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，可得出()max f x ，再结合已知条件可求得实数m 的值. ()21ln 12g x x x =-+，则()211x g x x x x-'=-=，当11x e≤<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当1x e <≤时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，所以，当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的极大值为()112g =，21102g e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()2202e g e =-<，作出函数()g x 的图象如下图所示：∀当12m ≥时，()()f x m g x =-，此时，函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，2112f m e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()222e f e m =+-，当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()22max 1max ,222e e f x ff e f e m e ⎧⎫⎛⎫===+-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，解得2m =，合乎题意；∀当102m <<时，作出函数()()f x m g x =-的图象如下图所示：2112f m e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()112f m =-，()222e f e m =+-，因为()22112022e f e f e e ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，()()2257120222e e f e f m --=-->>，所以，()()()()22max1max ,1,222e e f x ff f e f e m e ⎧⎫⎛⎫===+-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，可得2m =（舍）.综上所述，2m =. 故答案为：12；2. 18．6427【解析】设直线l 与曲线3y x =相切的切点坐标为()300,x x ，根据导数的几何意义可得l 的斜率，从而求得l的方程，再根据不与x 轴重合的直线l 与曲线3y x =与2yx 均相切，联立2300232y x x x y x ⎧=-⎨=⎩，得22300320x x x x -+=，0∆=，求得0x ，即可得出答案.解：设直线l 与曲线3y x =相切的切点坐标为()300,x x ，()23f x x '=，则()2003f x x '=，则切线方程为230032y x x x =-，因为不与x 轴重合的直线l 与曲线3y x =与2y x 均相切，则2300232y x x x y x⎧=-⎨=⎩，得22300320x x x x -+=， 4300980x x ∆=-=，得00x =（舍去），或089x =， l ∴的斜率为2064327x =. 故答案为：6427. 19．16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由'0f x写出根与系数关系、判别式，求得()()12f x f x +的表达式，并转化为用a 来表示，利用构造函数法，结合导数求得()()12f x f x +的取值范围.令()'2240f x x ax =-+=，则12122,4x x a x x +==，由24160a ∆=->且0a >，解得2a >.()()12f x f x +3232111222114433x ax x x ax x =-++-+ ()()()3322121212143x x a x x x x =+-+++ ()()()()2212121212121213243x x x x x x a x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++--+-++⎣⎦⎣⎦ ()()221243448423a a a a a =⨯⨯-⨯--+⨯ 3483a a =-+.令()()34823g a a a a =-+>，()('24840g a a a a =-+=-<，()g a 在区间()2,+∞上递减，()()3416228233g a g <=-⨯+⨯=. 所以()()12f x f x +取值范围是16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭20．411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】参变分离法得22ln m x x =-，再令2()2ln g x x x =-，对函数()g x 求导并研究单调性，根据最小值和单调区间，作出函数()g x 的图象，利用数形结合，即可求出结果．令2()2ln 0f x m x x =-+=，则22ln m x x =-，令2()2ln g x x x =-，则22(1)(1)()2x x g x x x x-+'=-=，∀在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '<，()g x 递减，在[]1,e 上()0g x '>，()g x 递增，且()(1)1g x g ≥=，24114e e g ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e 2g =-．由24145e 2e +<<-，即()21e e g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，作出函数()g x 的图像，如下图所示：∀()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数m 的取值范围为411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．故答案为：411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．21．[e ，7] 【解析】由题意可求得ba≤7；由ln b ≥a 可得b b a lnb ≥（b 12e ≥），设函数f （x ）x lnx =（x 12e ≥），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是ba的最小值.∀正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∀5﹣3a ≤4﹣a ， ∀a 12≥. ∀5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∀5a-34b a a ≤≤-1.从而ba≤7，∀ln b ≥a ，∀b ba lnb≥（b 12e ≥），设f （x ）x lnx =（x 12e ≥），则f ′（x ）21lnx lnx -=（），当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0， ∀当x ＝e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值. ∀f （x ）min ＝f （e ）＝e . ∀ba≥e ， ∀ba的取值范围是[e ，7]. 故答案为：[e ，7]. 22．9 【解析】根据3和3-是()f x 的两个零点和()f x 关于直线1x =对称，可确定1-和5是20x mx n ++=的两个实根，利用韦达定理可求得,m n ，得到()f x 和()f x '，由此可求得结果. 由题意知：3和3-是()f x 的两个零点，()f x 的图象关于直线1x =对称，1∴-和5也是()f x 的零点，1∴-和5是20x mx n ++=的两个实根，()154155m n ⎧=--+=-∴⎨=-⨯=-⎩， ()()()22945f x x x x ∴=---，()()()()22322459244122836f x x x x x x x x x '∴=--+--=--+，()045f ∴=，()036f '=，()()009f f '∴-=．故答案为：9. 23．3 【解析】首先对函数()f x 进行求导，然后对参数a 分类讨论，利用导函数求()f x 的单调区间，进而分析()f x 的最值，即可求解.因为()cos f x x a x =+，所以'()sin f x x a x =-，以下对参数a 进行讨论：∀当0a ≤时，则'()sin 0f x x a x =->对于(0,]3x π∀∈均成立，所以()f x 在(0,]3π单调递增，故()f x 无最小值，不合题意；∀当0a >时，易知0tan x <≤对(0,]3x π∀∈均成立，(i)tan x ≥时，即01a <≤时，易知'()sin 0f x x a x =-≥，从而()f x 在(0,]3π为单调递增函数，故()f x 无最小值，不合题意；(ii)当0<<1a >时，从而易知，0(0,)3x π∃∈0tan x =，因为tan y x =在(0,]3π上是单调递增的，所以当0(0,]x x ∈时， 0tan tan x x =>，即'()sin 0f x x a x =->，当0(,]3x x π∈0tan tan x x =<，即'()sin 0f x x a x =-<，故()f x 在0(0,]x 上单调递增，在0(,]3x π上单调递减，从而对于0(0,]x x ∀∈，()(0)f x f a >=，故()f x 在0(0,]x 无最小值a ，又因为()f x 在(0,]3π上的最小值为a ，且在0(,]3x π上单调递减，故()f x 的最小值必为()cos 333f a a πππ=+=，解得，3a =，满足题意.故答案为：3.24．221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】对k 进行分类讨论，结合构造函数法以及导数，求得k 的取值范围.当0k ≤时，任一正整数都满足不等式()1x x ke x >+，故0k >.当0k >，1≥x 时，不等式()1xx ke x >+等价于()110x e x x k+-<，令()()11x e x f x x k +=-，1≥x ， ∀当1≥x 时，()()'210xe f x x x x =+->恒成立， ∀()f x 在[)1,+∞上单调递增，∀()()2112031202f e k e f k ⎧=-<⎪⎪⎨⎪=-≥⎪⎩，解得22132k e e ≤<. 故答案为：221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 25．111,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】利用导数得到函数()f x 在1x >的单调性和极值，画出函数()f x 的大致图象，令()m f x =，则212202m tm t ++-=，因式分解求得1m ，2m ，由函数()f x 的图象则只需：1102e t <-<，求出实数t 的取值范围．当1x >时，ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=得：e x =，∴当(1,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；且1(e)e f =，又2()1,1f x x x =-<，故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()m f x =，当1m =-或0m =或1e m >时，方程()m f x =有一个解；当10m -<<或1e m =时，方程()m f x =有两个解；当10e m <<时，方程()m f x =有三个解；当1m <-时，方程()m f x =无解；又关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=化为关于m 的方程212202m tm t ++-=，244210m tm t ++-=，又24421(221)(21)m tm t m t m ++-=+-+所以244210m tm t ++-=的两根为112m t =-，21(1,0)2m =-∈-，关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=恰好有5个不相等的实根，则只需：1102et <-<，所以12211e t -<< 故答案为：111,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 26．∀∀∀【解析】由函数12x y e =和()ln 2y x =互为反函数，可得12122,2x x y y +=+=，1201,12x x <<<<，利用均值不等式可判断∀ ；利用112122x e x x =-+=，构造函数1111()()2x f x x e =⋅可判断∀；利用均值不等式可得12101x x <<<，构造函数ln ()((0,1))x g x x x=∈，求导研究单调性可判断∀；由122y y +=，可得()121ln 222x e x +=可判断∀ 因为函数12x y e =和()ln 2y x =互为反函数，所以函数12x y e =和()ln 2y x =的图象关于直线y x =的对称，又因为直线y x =的斜率1与直线2y x =-+的斜率1-的乘积为1-，因此直线y x =与直线2y x =-+互相垂直，显然直线2y x =-+也关于直线y x =对称，解方程组211y x x y x y =-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以直线y x =和2y x =-+的交点坐标为：(1,1)，有12122,2x x y y +=+=，1112x y e =，()22ln 2y x =，1201,12x x <<<<. 对∀：因为1201,12x x <<<<，122x x +=，所以122x x e e e +>==，因此本选项正确；对∀：因为()11,A x y ，()22,B x y 关于(1,1)对称，所以有1111212ln 2ln 42x y e x <<⇒<<⇒<<，因此有1ln 22x >>=，点()11,A x y 在直线2y x =-+上，而122x x +=，所以112122x e x x =-+=，因此11211()2x x x x e ⋅=⋅，显然函数1111()()2x f x x e =⋅在101x <<上是单调递增函数，所以当12x >时，有12111()()()222f x f e >=⋅⋅=，故本选项正确；对∀：因为1201,12x x <<<<，122x x +=，所以212120()12x x x x +<<=，因此有12101x x <<<，设函数ln ()((0,1))x g x x x =∈，'21ln ()x g x x-=，因为(0,1)x ∈，所以'()0g x > 因此函数ln ()((0,1))x g x x x=∈是单调递增的，当12101x x <<<时，有121()()g x g x <，即112222221221lnln 1ln ln()(ln )1x x x x x x x x x x -<===-，因此有1221ln ln 0x x x x +<，故本选项不正确；对∀：因为()11,A x y ，()22,B x y 关于(1,1)对称，所以122y y +=，因此()121ln 222x e x +=，所以()()()111122211ln 22ln 2[ln 2]022x x x x e x e x e x e +-=+-+=>，即()12ln 22xe x +>，故本选项正确；故答案为：∀∀∀27．答案见解析.【解析】对()2ln 21a f x x x =+-+求导，对0a <，02a ≤≤，2a >分类讨论研究函数()f x 的单调性. 由题意，函数()2ln 21a f x x x =+-+，可得其定义域为(0,)+∞，且222122(1)1()(1)(1)a x a x f x x x x x --+'=-=++．令()0f x '=，即22(1)10x a x --+=，由24(1)40a ∆=--=，解得2a =或0a =∀若0a <，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，∀若02a ≤≤，此时0∆≤，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．∀若2a >，此时0∆>，方程22(1)10x a x --+=的两根为11x a =-21x a =-1>0x ，20x >，所以()f x在(0,1a -上单调递增，在(11a a --上单调递减，在(1)a -+∞上单调递增．综上所述；若2a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增﹔若2a >，()f x在(0,1a -，(1)a -+∞上单调递增，在(11a a --上单调递减．28．答案见解析.【解析】对函数求导，进而将导函数因式分解，然后分0a =，0a >和0a <三种情况进行讨论，最后得到函数的单调区间.由题意，R x ∈，()223e 23e 3e a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭ 若0a =，()23e 0f x x '=≥，则函数()f x 在R 上单调递增；若0a >，(),0x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，20,3e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 2,3e a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；若0a <，2,3e a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，2,03e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：0a =时，()f x 在R 上单调递增；0a >时，()f x 的增区间为：(),0-∞，2,3e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为：20,3e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 0a <时，()f x 的增区间为：2,3e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+，减区间为：2,03e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 29．答案见解析.【解析】求出函数的导函数，分0a ≤，3a ≥，0<<3a 三种情况讨论，根据导函数的符号即可得出结论. 解：由题意得2()3f x x a '=-．当[]0,1x ∈时，[]230,3x ∈．∀若0a ≤，则对任意[]0,1x ∈，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在[]0,1上单调递增；∀若3a ≥，则对任意[]0,1x ∈，()0f x '≤恒成立，()f x ∴在[]0,1上单调递减；∀若0<<3a ，则()3(f x x x '=+，当x ⎡∈⎢⎣时()0f x '≤，当x ⎤∈⎥⎦时，()0f x '>，()f x ∴在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增；当3a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减；当0<<3a 时，()f x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增． 30．答案见解析.【解析】对函数求导，进而对导函数因式分解，然后分0a ≤，e a =，0e a <<和e a >四种情况进行讨论，最后求得单调区间.由题意，R x ∈，()()()()1e 1e x x f x x ax a x a '=--+=--，若0a ≤，(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；若e a =，则()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；若0e a <<，(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；若e a >，(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()1,ln x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：0a ≤时，()f x 的减区间为：(),1-∞，增区间为：()1,+∞；e a =时， ()f x 在R 上单调递增；0e a <<时，()f x 的减区间为：()ln ,1a ，增区间为：()(),ln ,1,a -∞+∞；e a >时，()f x 的减区间为：()1,ln a ，增区间为：()(),1,ln ,a -∞+∞.31．答案见解析.【解析】求()f x '，令()0f x '=求出对应的两根，再讨论两根的大小关系，解不等式()0f x '>和()0f x '<，即可得单增区间和单间区间.由()()()()22e 20x f x x a x x a =-+->可得 ()()()()()e 2e 21e 22x x x a f x a x x x '=---=--++-，由()0f x '=可得1x =或ln2x a =，当ln21a <即0e 2a <<时，由()0f x '>可得ln 21a x <<；由()0f x '<可得：ln 2x a <或1x >，所以()f x 的单增区间为()ln 2,1a ；单间区间为(),ln 2a -∞和()1,+∞；当ln21a =即e 2a =时，()()()1e e 0x f x x '=---≤恒成立，此时()f x 的单减区间为(),-∞+∞；当ln21a >即2e a >时，由()0f x '>可得1ln 2x a <<；由()0f x '<可得：1x <或ln 2x a >，所以()f x 的单增区间为()1,ln 2a ；单间区间为(),1-∞和()ln 2,a +∞.综上所述：当0e 2a <<时，()f x 的单增区间为()ln 2,1a ；单间区间为(),ln 2a -∞和()1,+∞；当e2a =时，()f x 的单减区间为(),-∞+∞；当2e a >时，()f x 的单增区间为()1,ln 2a ；单间区间为(),1-∞和()ln 2,a +∞. 32．分类讨论，答案见解析.【解析】求导可得(1)(1)()ax x f x x---'=，只需讨论(1)(1)y ax x =---在(0,)+∞的正负即可，分0a ≥，10a -<<，1a =-，1a <-四种情况讨论，即得解由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x f x ax a x x x-+-+---'=-+-==，（1）当0a ≥时，10ax --<，由()0f x '<得1x >，由()0f x '>得01x <<，．∀()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞（2）当10a -<<时，11a>-，由()0f x '>得01x <<或1x a>-，由()0f x '<得11x a <<-， ∀()f x 的单调减区间为1(1,)a -，单调增区间为(0,1)和1(,)a-+∞ （3）当1a =-时，11a=-，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， ∀()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（4）当1a <-时，101a <<-，由()0f x '>得10x a <<-或1x >，由()0f x '<得11x a-<<， ∀()f x 的单调减区间为1(,1)a -，单调增区间为1(0,)a-和(1,)+∞．综上所述，当1a <-时，()f x 的单调减区间为1(,1)a -，单调增区间为1(0,)a-和(1,)+∞；当1a =-时，()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；当10a -<<时，()f x 的单调减区间为1(1,)a -，单调增区间为(0,1)和1(,)a-+∞；当0a ≥时，()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞.33．答案见解析.【解析】对函数求导，进而对参数a 分等于0，大于0和小于0三种情况进行讨论，然后得到单调区间.由题意，R x ∈，()()1e x f x ax a '=+-若a =0，()0e x f x '=-<，则()f x 在R 上单调递减；若a >0，1,1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；若a <0，1,1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上：a =0时， ()f x 在R 上单调递减；。

第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习(解析版)

第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习题型一导数定义的理解与运用【例1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()24f '=，则()()222limx f x f x→+-=（）A．4B．2C．8D．8-【答案】C 【解析】()()()()()020222222lim2lim 2282x x f x f f x f f x x→→+-+-'===．故选：C ．【变式1-1】已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A．()02f x 'B．()02f x '-C．()012f x -'D．()12f x '【答案】A【解析】由导数的定义和极限的运算法则，可得：000000000(2)()(2)()()()limlim lim x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆-=+∆∆∆()()()0002f x f x f x '''=+=.故选：A.【变式1-2】已知函数()f x 可导，且满足()()3Δ3Δlim2Δx f x f x x→--+=，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A．1-B．2-C．1D．2【答案】A【解析】因为()()()()003333lim 2lim 2(3)22x x f x f x f x f x f x x→→-∆-+∆-∆-+∆'=-=-=∆-∆△△，所以(3)1f '=-，故选:A.【变式1-3】若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim 12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A．1B．1-C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A．【变式1-4】设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A．()0f 'B．()0f '-C．()f x 'D．以上都不对【答案】B【解析】由导数的定义可知()()()()()000lim lim0x x f f x f x f f xx∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.题型二导数的几何意义与应用【例2】函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为函数()()e sin cos xf x x x =+，则()()e sin cos cos sin 2e cos x xf x x x x x x =++-='，所以()02f '=，也即函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率2k =，故选：B .【变式2-1】已知函数()32f x x =+.（1）曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）曲线()y f x =过点()0,4B 的切线方程.【答案】（1）30x y -=；（2）340x y -+=【解析】（1）因为2()3f x x '=，所以(1)3f '=，又(1)3f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()331y x -=-，即30x y -=；（2）设切点为()300,2x x +，则()()3200002,3f x x f x x =='+，所以切线方程为()()3200023y x x x x -+=-，因为切线过点()0,4B ，所以()()320004230x x x -+=-，即322x =-，解得01x =-，故所求切线方程为340x y -+=．【变式2-2】已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围是______.【答案】()2,6-【解析】()231f x x '=-，则过()(),t f t 的切线为()()()y f t f t x t '-=-，即()23312y t x t =--.由过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线得32262m t t =-+-有3个不等实根.令()32262g t t t m =-++，()2612g t t t '=-，由()0g t '=得0=t 或2t =.当0t <或2t >，()0g t '>，()g t 单调递增；当02t <<，()0g t '<，()g t 单调递减；故当0=t 时，函数()g t 取得极大值为2m +；当2t =时，函数()g t 取得极小值为6m -.要使()0g t =有3个不等实根，则26m -<<，即所求m 的取值范围是()2,6-.【变式2-3】（多选）设b 为实数，直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，则曲线()f x 的方程可以为（）A．()1f x x=-B．()214ln 2f x x x=+C．()3f x x=D．()exf x =【答案】ACD【解析】因为直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，所以()3f x '=有解，对于A，由()1f x x=-，得()21f x x '=，由()3f x '=，得213x =，解得33x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()1f x x =-的切线，所以A 正确，对于B，由()214ln 2f x x x =+，得()4(0)f x x x x '=+>，由()3f x '=，得43x x +=，化简得2340x x -+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以方程无解，所以直线3y x b =+不能作为曲线()214ln 2f x x x =+的切线，所以B 错误，对于C，由()3f x x =，得2()3f x x '=，由()3f x '=，得233x =，解得1x =±，所以直线3y x b =+能作为曲线()3f x x =的切线，所以C 正确，对于D，由()e xf x =，得()e xf x '=，由()3f x '=，得e 3x =，解得ln 3x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()e xf x =的切线，所以D 正确，选：ACD【变式2-4】（多选）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【答案】ABD【解析】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则ay x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--①设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.题型三导数的基本运算【例3】求下列函数的导数．（1）ln(21)y x =+；（2）sin cos xy x=；（3）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）221y x '=+；（2）21cos y x'=；（3）231211y x x =++'【解析】（1）因为ln(21)y x =+，所以221y x '=+；（2）因为sin cos x y x =，所以()2222cos sin 1cos cos x x y x x +'==；（3）因为1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++，所以231211y x x =++'.【变式3-1】已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'（）A．43B．43-C．4D．4-【答案】C【解析】因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1()(tan )()cos cos cos x x x f x x x x x+''===='，所以21(43cos 3f ππ'==．故选：C．【变式3-2】已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A．2021B．2021-C．2022D．2022-【答案】B【解析】因为()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x''=+-，所以()()202220222022220222022f f ''=+-，解得()20222021f '=-，故选：B【变式3-3】已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．(4)2f =B．()20g '=C．(1)(3)f f -=-D．(1)(3)4f f +=【答案】C【解析】对A：∵()g x 为偶函数，则()=()g x g x -，两边求导可得()()g x g x ''=--∴()g x '为奇函数，则()00g '=令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B：令=2x ，则可得()()(2)+2=2(2)2=2f g f g ''⎧⎪⎨-⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f xg x '+++=()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f xg x f x g x ''-+-=---=()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-∴()f x 以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立.题型四用导数求函数的单调性【例4】函数()e xf x x =的单调递增区间是（）A．(),1-∞-B．(),0∞-C．()0,∞+D．()1,-+∞【答案】D【解析】()()e e e 1x x xf x x x '+=+=，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,-+∞．故选：D.【变式4-1】函数()2ln f x x x =的单调递增区间为（）A．(B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．)+∞D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'=+⋅=+=+，令()0f x '>，得2ln 10x +>，解得x >故函数()2ln f x x x =的单调递增区间为e ⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭．故选：B．【变式4-2】下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是单调函数的是（）A．()sin x x x f -=B．()3exf x x =C．()2f x x=D．()cos f x x x=-【答案】A【解析】A：()sin()sin ()x x x f x x x f --=-+=--=-且定义域为R，为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，故()f x 单调递增，满足要求；B：()33()e ()exx x x f x f x -=-≠--=-，不满足；C：()22())(f x x x f x ==-=-且定义域为R，为偶函数，不满足；D：()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=--≠-，不满足.故选：A【变式4-3】已知函数()()()2212ln R f x ax a x x a =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.【答案】（1）22ey x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析【解析】（1）由0a =，则()22ln f x x x =-，()e 2e 2f =-，()22f x x '=-，()2e 2ef '=-，切线方程：()()22e 22e e y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则22e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由()()2212ln f x ax a x x =+--，求导得()()()()1222221x ax f x ax a xx-+'=+--=，①当0a =时，()22x f x x-'=，()0f x '<，解得()0,1x ∈，()0f x '>，解得()1,x ∈+∞，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-（舍去）当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；③当1a <-时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当1a =-时，()()221x f x x--'=，则()f x ：单减区间：()0,∞+；⑤当10a -<<时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上，当0a ≥时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞当1a <-时，单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当1a =-时，单减区间：()0,∞+当10a -<<时，单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型五由函数的单调性求参数【例5】若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．[)3,+∞B．(],3-∞C．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D．(2,e 1⎤-∞+⎦【答案】B【解析】依题意()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x≤+在区间()1,e 上恒成立.令()()121e g x x x x =+<<，则()22212120x g x x x -'=-=>，所以()g x 在()1,e 上单调递增，则()3g x >，所以3a ≤.故选:B.【变式5-1】设函数()23ln h x x x x =-+，若函数()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()()()211123x x h x x xx --'=+-=，()0x >，令()0h x '>，解得102x <<或1x >，令()0h x '<，解得112x <<.故()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上严格增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上严格减，在()1,+∞上严格增.又()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则只需1112m <-≤，解得(3,22m ⎤∈⎥⎦.故实数m 的取值范围为3,22⎛⎤⎥⎝⎦.【变式5-2】已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【答案】(3,--【解析】由()3212132a g x x x x =-++，得()22g x x ax '=-+，当()g x 在()2,1--内为减函数时，则()220g x x ax '=-+≤在()2,1--内恒成立，所以2a x x≤+在()2,1--内恒成立，当()g x 在()2,1--内为增函数时，则()220g x x ax '=-+≥在()2,1--内恒成立，所以2a x x≥+在()2,1--内恒成立，令2y x x=+，因为2y x x=+在(2,-内单调递增，在()1-内单调递减，所以2y x x =+在()2,1--内的值域为(3,--，所以3a ≤-或a ≥-，所以函数()g x 在()2,1--内单调时，a 的取值范围是(]),3⎡-∞-⋃-+∞⎣，故()g x 在()2,1--上不单调时，实数a 的取值范围是(3,--．【变式5-3】已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意得29239(3)(23)()23,(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==>，令()0f x '=，解得32x =或3x =-（舍），当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 为减函数，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 为增函数，所以()f x 在32x =处取得极小值，所以3112m m -<<+，解得1522m <<，又()1,1m m -+为定义域的一个子区间，所以10m -≥，解得m 1≥，所以实数m 的取值范围是51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A题型六用导数求函数的极值【例6】函数2ln ()xf x x =的极大值为___________.【答案】12e【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()432ln 12ln x x x xf x x x -='-=，令()0f x '=解得x所以，()f x 在区间(()(),0,f x f x '>递增；在区间)()(),0,f x f x '+∞<递减；所以()f x 的极大值为12ef=.【变式6-1】已知函数2()(15)e x f x x =-（1）求()f x 在0x =处的切线的方程.（2）求()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）15150x y ++=；（2）增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，减区间()5,3-；（3）极大值为5(5)10e ,f --=极小值3(3)6e f =-.【解析】（1）因为2()(15)e x f x x =-，故可得()015f =-，()f x '()()()2e 215e 53x xx x x x =+-=+-，(0)f '15=-，故()f x 在0x =处的切线的方程为：1515y x +=-，即15150x y ++=.（2）因为()f x '()()e 53xx x =+-，令()f x '0>，解得()(),53,x ∈-∞-⋃+∞；令()f x '0<，解得()5,3x ∈-；则()f x 在(),5-∞-单调递增，在()5,3-单调递减，在()3,+∞单调递增，故()f x 的单调增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，单调减区间()5,3-，且()f x 的极大值为5(5)10e ,f --=()f x 的极小值为3(3)6e f =-.【变式6-2】设函数()233f x x x =--（1）求曲线()y f x =在4x =处的切线方程；（2）设()()e xg x f x =，求函数()g x 的极值．【答案】（1）5190x y --=；（2）极大值为27e -；极小值为33e -．【解析】（1）∵()233f x x x =--，∴()23f x x '=-∴切线的斜率()42435f '=⨯-=又切点的坐标为()()4,4f ，即()4,1∴切线的方程()154y x -=-，即5190x y --=（2）∵()()()2e e33x xg x f x x x =⋅=--⋅∴()()()()2223e 33e 6ex x xg x x x x x x '=-⋅+--⋅=--⋅令()0g x '=，则260x x --=，解得2x =-或3x =列表：x(),2-∞-2-()2,3-3()3,+∞()g x '正0负0正()g x 单调递增27e -单调递减33e -单调递增∴当2x =-时，()g x 取得极大值为27e -；当3x =时，()g x 取得极小值为33e -．【变式6-3】已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．【答案】（1）2a =，=5b -（2）极大值点为112x =，极小值点为22x =，极大值与极小值的和为334-【解析】（1）因为()2ln f x x a x bx =++的定义域为()0,∞+，()2a f x x b x'=++，因为，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=，()114f b =+=-，可得=5b -，()121f a b '=++=-，可得2a =.（2）由()()22ln 50f x x x x x =+->，得()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=+-==，列表如下：x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值点为112x =，极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.题型七由函数的极值求参数【例7】已知2x =是函数()323f x ax x a =-+的极小值点，则()f x 的极大值为（）A．3-B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为()323f x ax x a =-+，则()236f x ax x '=-，由题意可得()212120f a '=-=，解得1a =，()3231f x x x ∴=-+，()()32f x x x '=-，列表如下：x (),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值为()01f =.故选：C.【变式7-1】函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，那么a ，b 的值为（）A．4，11-B．3-，3C．4，11-或3-，3D．3，3【答案】A【解析】()232f x x ax b '=++，由题意可知()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，则232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，∴在1x =处不存在极值，不符合题意；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，符合题意．411a b =⎧∴⎨=-⎩，故选：A ．【变式7-2】已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B【变式7-3】已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A．()1,2-B．()3,6-C．()(),12,-∞-+∞D．()(),36,-∞-+∞U 【答案】D【解析】由()()3261f x x ax a x =++++可得()2326f x x ax a '=+++，因为()f x 有极大值和极小值，所以()23260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数根，所以()()224360a a ∆=-⨯⨯+>，即23180a a -->，解得：3a <-或6a >，所以a 的取值范围为()(),36,-∞-+∞U ，故选：D.【变式7-4】已知函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（）A．[)2,-+∞B．[)3,∞-+C．[)2,+∞D．[)3,+∞【答案】A【解析】求导有()()1e e x x xf x ax x -'=+⋅，因为函数()ln e x axf x x x =+-有唯一的极值点t ，所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根，因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x -=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x -'=，所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x=有最小值()1e g =，所以，e a -≤，即e a -≥，所以()()112ea f t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞，故选：A题型八用导数求函数的最值【例8】函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（）A．1πB．2πC．-1D．0【答案】C【解析】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 110f x x =+≥+'>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-.故选：C.【变式8-1】已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．【答案】（1）12a =，1b =；（2）2π+【解析】（1）因为()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，所以()sin f x a x '=-，由题意得()()0cos 01210sin 02f b b f a a ⎧=+=+=⎪⎨=-='=⎪⎩，所以12a =，1b =；（2）由（1）得()11cos 2f x x x =++，()1sin 2f x x '=-，因为[]02πx ∈，，当π06x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，当π5π66x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当5π2π6x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，故当6x π=时，函数取得极大值π1πππ1cos 16266122f ⎛⎫=⨯++=++ ⎪⎝⎭，又()02f =，()12π2π1cos 2π1π12π2f =⨯++=++=+，因为π212π12<+<+故函数()f x 在[]02π，上的最大值为2π+．【变式8-2】已知函数()321313f x x x x =-+++．（1）求()f x 的单调区间及极值；（2）求()f x 在区间[]0,6上的最值．【答案】（1）单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞；极小值23-；极大值10（2）最大值为10；最小值为17-【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()22331f x x x x x '=-++=--+．令()0f x '=，得=1x -或3x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-+-()f x 单调递减23-单调递增10单调递减故()f x 的单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞．当=1x -时，()f x 有极小值()213f -=-；当3x =时，()f x 有极大值()310f =．（2）由（1）可知，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,6上单调递减，所以()f x 在[]0,6上的最大值为()310f =．又()01f =，()617f =-，()()60f f <，所以()f x 在区间[]0,6上的最小值为()617f =-．【变式8-3】已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．（1）若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值．【答案】（1）a =1；（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知2()33f x x a '=-，所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1，经检验a =1，符合题意．所以a =1．（2）由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =212<<即112a <<时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14≤<a 时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：(21f =+，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2≥即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ，综上所述，当142a <<时，f （x ）的最大值为21；当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．题型九由函数的最值求参数【例9】若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（）A．(4,1)-B．(4,0)-C．[3,1)-D．(3,1)-【答案】C【解析】由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值，所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m - ，综上31m -< .故选：C.【变式9-1】（多选）若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【解析】因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233f x x '=-，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC【变式9-2】已知函数()()()2e 21251x x x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()1,1e f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是__________．【答案】11,32e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】当1x ≤时，()()()1e 2xf x x =+-'，令()0f x '>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，∴函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数()f x 在=1x -处取得极大值为()111ef -=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln21,e 3f f =-=-.当1x >时，令()1251e f x x =-≤-，解得1132ex <≤-综上所述，m 的取值范围为11,32e ⎡⎤--⎢⎣⎦【变式9-3】已知函数()ln a f x x x=-（1）若a ∈R ，求()f x 在定义域内的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析；（2）a e 【解析】（1）由题意得()f x 的定义域是()0+∞，，且()2x af x x +'=，因为0a ≥，所以()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，无极值；当a<0，x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增，0x a <<-时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x a =-有极小值()ln 1a -+，无极大值；（2）由（1）可得()2x af x x +'=，因为[]1,e x ∈，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 312f x f a ==-=，所以32a =-（舍去）；②若e a -≤，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 3e 1e 2a f x f ==-=，所以e2a =-（舍去）．③若e<1a -<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a -上单调递减；当e a x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(),e a -上单调递增，所以()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=，所以a =a =题型十造法解函数不等式【例10】设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，，则不等式(ln )f x x >的解集为__________．【答案】(0,e)【解析】令()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，()()f x f x '<，()0g x '∴<，()()e xf xg x ∴=在R 上单调递减，由(ln )f x x >可得ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=，即(ln )(1)g x g >，ln 1x ∴<，解得0e x <<.故不等式的解集为(0,e).【变式10-1】已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．13,22⎛⎫⎪⎝⎭C．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()()()0xf x f x xf x f x f x xxx''+'+==<，∴()()0xf x '<，令()()g x xf x =，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，又()y f x =是定义在R 上的连续偶函数，∴()g x 是R 上的奇函数，即()g x 在R 上单调递减，∵(2)3f =-，∴()26g =-，当210x ->，即12x >时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒--<-⇒-<--，∴22123x x ⇒>->；当210x -<，即12x <时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒-->-⇒->--，∴22123x x ⇒<-<，则12x <.故不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【变式10-2】已知函数()f x 是定义在()()-00+∞∞，，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A．()()33-∞-⋃+∞，，B．()()3003-⋃，，C．()()3007-⋃，，D．()()327-∞-⋃，，【答案】D 【解析】令()()=f xg x x，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，∴当()0x ∈+∞，时，()()()2=<0xf x f x g x x -''，()g x ∴在()0+∞，上单调递减；又()f x 为()()-00+∞∞，，的奇函数，()()()()()====f x f x f x g x g x x x x--∴---，即()g x 为偶函数，()g x ∴在()0-∞，上单调递增；又由不等式()()()52+25<0f x x f --得()()()52<25f x x f --，当20x ->，即2x <时，不等式可化为()()25<25f x f x --，即()()2<5g x g -，由()g x 在()0+∞，上单调递减得2>5x -，解得3x <-，故3x <-；当20x -<，即2x >时，不等式可化为()()25>25f x f x --，即()()()2>5=5g x g g --，由()g x 在()0-∞，上单调递增得2>5x --，解得7x <，故27x <<；综上所述，不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为：()()327-∞-⋃，，．故选：D．【变式10-3】定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，且()()1010ln 10ef =，则不等式()e e x xf x >+的解集为（）A．()10,+∞B．()ln10,+∞C．()ln 5,+∞D．(),5-∞【答案】B【解析】令()()ln g x f x x x =--，因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，所以()()()1110xf x x g x f x xx'--''=--=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()()1010ln 10e10ln10f ==+，所以(10)0g =，所以不等式()e e xxf x >+可转化为()()0e e exxxg f x =-->，即())e (10xg g >，所以e x ＞10，所以x ＞ln10，所以不等式()e e x xf x >+的解集为()ln10,+∞.故选：B.题型十一导数与函数零点的综合问题【例11】已知函数()e 2axf x x =-()a ∈R ，()cosg x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，判断函数()()()F x f x g x =-在3π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）两个【解析】（1）由()e 2ax f x x =-知定义域为R ，()e 2axf x a '=-①当0a ≤时，在R 上()0f x '<，故()f x 单调递减，所以无极值.②当0a >时，由e 20ax a -=得:12ln x a a=，当12,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<当12ln ,x a a∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 有极小值为2ln 121222ln 2ln 1ln a f e a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）当1a =时，()e 2cos x F x x x =--，()e 2sin xF x x =-+'，当3π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F x '单调递增，且()01210F =-=-<'，π2πe 2102F ⎛⎫='-+> ⎪⎝⎭，故在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在0x 使得0()0F x '=，而当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>.所以()F x 在03π,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且3π23πe 3π>02F -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()00F =，所以()00F x <，又()ππe 2π+1>0F =-，故由零点的存在性定理()F x 在03,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个零点，在0(,)x +∞上也存在一个零点.所以()F x 在3,2π∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有两个零点.【变式11-1】若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【解析】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得2x 或2x <-，由()10f x '<，得22x -<所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()1f x '+0-+()1f x 极大值极小值因为1f x 与()2f x 恰有两个交点，又()122222f =-，(22f -=故12m f -=，或(12m f -=-，所以2m =42m =-【变式11-2】已知函数()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】当0x ≤时，()3233f x x x x =++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在=1x -时，等号成立，所以()3233f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，画出()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象，所图所示：设直线y ax =与()3233f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，则()()231f m m a '=+=，又根据斜率公式可得：3223333m m ma m m m++==++，所以()223133m m m +=++，解得：0m =或32-，当0m =时，3a =，当32m =-时，2333124a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【变式11-3】已知函数2()ln (1)f x x a x x a =-+++．（1）若0a =，求()f x 的极大值；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(1,0)-．【解析】（1）当0a =时，2()ln f x x x x =-+，且0x >则1(21)(1)()21x x f x x xx'+-=-+=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的极大值为2(1)ln1110f =-+=．（2）由题意得212(1)1()2(1)1a x x f x a x x x-+++=++='-当1a ≤-时，()0f x '>对1x ≥恒成立，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．当1a >-时，令22(1)10a x x -+++=，得12110,04(1)4(1)x a x a =<=>++，若21x ≤，即0a ≥时，()0f x '≤对1x ≥恒成立，()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．若21x >，即10a -<<时，()f x 在区间[)21,x 上单调递增，在区间[)2,x +∞上单调递减．令()ln 1,1g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=<，所以()g x 在区间[1,)+∞上单调递减，所以()(1)20g x g ≤=-<，即ln 1x x <+，所以2()(1)21f x a x x a <-++++，其中1(1)0a -<-+<，因为函数2(1)21y a x x a =-++++的图像开口向下，所以01x ∃>，使()00f x <，即()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1,0)-．题型十二导数与不等式综合问题【例12】已知函数1()e (1)x f x x -=-+．（1）求()f x 的极值；（2）设()()11f x g x x =++，求证：当1x ≥时，1()4x g x +≥．【答案】（1）极小值1-，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1）1()e 1x f x -'=-，由()0f x '=得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所示：x(,1)-∞1(1,)+∞()f x '-0+()f x ↙极小值↗由上表可知()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =-，无极大值．（2）1e ()1x g x x -=+，令21(1)()(1)4ex x h x x -+=≥，22112(1)(1)1()04e 4ex x x x x h x --+-+-'==≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当1x ≥时，()(1)1h x h ≤=．所以当1x ≥时，21(1)14e x x -+≤，即1e 114x x x -+≥+，故当1x ≥时，1()4x g x +≥．【变式12-1】已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-（1）求()f x 在()()e,e f 处的切线方程（2）若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2e y x =-；（2）32e ea £++【解析】（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令()()()20l 223n h x x f x g x x ax x =+-=-+³，则max32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令()32ln x x x xj =++，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，()()()2130x x x x -+¢j =，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，()()max 3e 2e +ex \j =j =+，32e ea \£++．【变式12-2】已知函数()ln 1(R)f x a x x a =-+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减；（2）[3,)-+∞【解析】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x xx'-=-=．当0a >时，由()0f x '<，解得：x a >，由()0f x '>，解得：0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．（2）121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+≥在(0,1]上恒成立．即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x ≥-，设4y x x=-，2410y x '=+>，∴4y x x=-在(0,1]单调递增．所以max 4(143a x x≥-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞．【变式12-3】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式()21e 12x f x x ax ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],0-∞【解析】（1）函数()()21ln 12f x x ax a x =+++的定义域为()0,∞+，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；。

导数及其应用复习小结

4
o
2
x
的速度行驶， 8.汽车以 v 0 = 36 km / h 的速度行驶，到达某处时需要减速刹车，时需要减速刹车，设汽车以等减速度 a = 5 m / s 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少 m ? 刹车，问从开始刹车到停车，
答案：f ( x)在（0,1）在（ ,2） f ( x)极小值 = 1 ↓ 1 ↑
( 2 ) 求 g ( x )的值域 .
1 值域为： , )并作函数大致的图象 (−∞ e
函数的单调性
练习. 练习
求下列函数的单调区间：
x+2 (1) y = ; x (3) y =
x ; (2) y = 2 x −9
答案：m ≥ − 1 2
技巧：恒成立问题技巧：恒成立问题——分离变量求值域法分离变量求值域法
题型二：利用导数求单调区间极值、题型二：利用导数求单调区间极值、值域
例题 2：已知函数
强调：强调：定义域
ln x f ( x ) = x − ln x ， g ( x ) = x (1) 求 f ( x ) 在（ 0，2）上单调区间和极值 .
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
f ( x) f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) (3)[ ]′ = 2 g ( x) g ( x)
3、复合函数的求导法则：、复合函数的求导法则：
y = y •u
' x ' u
4、积分运算：、积分运算：
1、常见的导数公式：、常见的导数公式：
记牢是前提！记牢是前提！
1.C ′ = o n n −1 2.( x )′ = nx

新课标高中数学导数和应用教材复习题答案

第一章导数及其应用 1．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的涵.2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t=时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502kE =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题1.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18） 1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2xy e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-；（6）y '=.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n xy nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-. 7、1x y π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P .x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用练习（P26） 1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减.（2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减.（3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减.（4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. （2）当0a <时，()0f x '>，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-.当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)是减函数.练习（P29） 1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2xx =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点.2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x=时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=，得3x =±.注：图象形状不唯一.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-.令2()1230f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x=时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x=时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =. 又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31） 1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<.因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<.因此，函数()24f x x =-是单调递减函数.（4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>.因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减.（2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减. （3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+.令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+.令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-.令2()4830f x x '=-=，得4x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x=时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x=-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x=时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-.由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈.因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减， 2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1xe x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <.由（3）可知，1xe x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a>，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a>，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增.②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x，l x-，则这两个正方形的边长分别为4x，4l x -，两个正方形的面积和为22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>. 因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点. 所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小. 2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02a x <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6ax =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<. 因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当6ax=时，无盖方盒的容积最大. 3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222SRh R ππ=+由2VR h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；（第2题）（第3题）当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R=是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =（负值舍去）.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588Rq p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，84q =. 当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q=是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =. 当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润. 1．5定积分的概念练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45） 1、22112()[()2]()ii i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =L .于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+L2231[12]2n n=-++++L 31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+ 111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑ 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i in ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑，从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）3114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为2331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出31x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50） 1、该物体在0t=到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l lx n n n-∆=-=. 把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆L ，则细棒的质量1nii m m==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n -上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]ii l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l iln n-上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =L ）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）533-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403；（2）13ln 22--；（3）9ln 3ln 22+-；（4）176-；（5）2318π+；（6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-；（2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000tt e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值围. 根据指数函数的性质，当0t>时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<，因此，500052454949t <<.因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000tt e-+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、52533(23)[3]22st dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402Wx dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2）92. 2、2[]bb a aq q q q Wkdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80ht dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t=. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由Fkl =，得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005Wldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112st dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）.习题1.7 B 组（P60）1、（1）22aaa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222aaa a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，212111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.从而抛物线的方程为224h y x b =. 于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h Sh x dx hx x bh b b =-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =.于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhWGdr G G r r R R h ++==-=+⎰.第一章复习参考题A 组（P65） 1、（1）3；（2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=；（2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2xxy x x'=+；（4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.yxh b O（第2题）5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=，即3c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--，即1()1y x a a=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a=，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60xx -++=.所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =.所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q=是函数()y p 在(0,400]唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2；（2）22e -；（3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t<<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212Sr α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r-=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222rh R +=.因此，222231111()3333Vr h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，3hR =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大.4、由于28010k =⨯，所以45k=. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x > 令0y '=，即29600160x -=，24x ≈. 容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x=++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰. 7、解方程组 2y kxy x x =⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰. 由题设得1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。

知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固_基础

《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义（1 ）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数y=f（x）在x0点的导数，通常用符号f ‘X。

）表示，定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释：(1)丄[_^= _j—X L，它表示当自变量x从x°变X i，函数值从 f x°变到 f X1时，.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数，即v=s' t。

导数及其应用(复习课)

导数及其应用复习课【本章知识回顾】一、导数的概念1．函数)(x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率为_______（平均变化率反映了曲线的陡峭程度）2．设点Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．当点Q 沿曲线C 向点P 无限逼近时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 就称为曲线在点P 处的切线．3．设物体的位移S 与时间t 满足)(t S S =，则物体在0t t =时刻的瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率，即______________________；物体在0t t =时刻的瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率，即____________________________．４．（１）导数—函数在某一点处的瞬时变化率，函数)(x f 在0x x =处的导数，记为_____，（２）导数)(0x f '的几何意义是_________________________________________________．（３）辨析下列符号：)(x f '，)(0x f '，[]')(0x f ，)3(0+'x f二、导数的运算１．常见函数的导数： )(x f)(x f ' 幂函数αx y =指数函数x a y =（0a >且1a ≠）对数函数x y a log =（0a >且1a ≠）x e y =x y ln =正弦函数x y sin =余弦函数x y cos =２．函数的和、差、积、商的导数（1）[]_________________________)()(='±x g x f ；（2）[]___________________________)()(='⋅x g x f ；（3）_______________________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ．３．复合函数的导数：如何求复合函数()y f ax b =+的导数？①________________②___________________③__________________________．三、导数在研究函数中的应用１．单调性：①函数单调性与导数的关系：① 如何求函数)(x f y =的单调区间？______________________________________________________________________________；②若函数)(x f y =在区间D 上为增函数，则_______________________________________；若函数)(x f y =在区间D 上为减函数，则_________________________________________．２．极值：（１）利用导数求函数极值的步骤：______________________________________（２）“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x x =处有极值”的___________________条件．３．函数的最值：如何利用导数求函数)(x f y =的最值？______________________________________________________________________________；【知识形成训练】1．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为．2．设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-，则点P 纵坐标的取值范围是______________．３．函数1ln 1ln x y x-=+的导数为____________________． 4．设))(()(,),()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ ，则=)(2012x f .5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a _______．6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_________________．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为_________________．8．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]0,4，则实数k 的值为 .9．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______．10.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示,下面四个图象中)(x f y =的图象大致是_____11．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3．（1）求)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围．12．已知32()2f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．13．已知函数2()ln f x a x x =+，a R ∈．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．14．设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称，)(x f 的图象在点p （1，m ）处的切线的斜率为—6，且当2=x 时)(x f 有极值。

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第一章导数及其应用本章复习提升易混易错练易错点1 对导数的定义理解不够深刻致错1.(2019安徽屯溪一中高二期中,★★☆)设f'(1)=4,则lim ℎ→0f (1+2ℎ)-f (1)ℎ=( )A.8B.4C.-8D.-42.(2019河南南阳高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x 0处的导数为f'(x 0),则limΔx →0f (x 0-mΔx )-f (x 0)Δx 等于()A.mf'(x 0)B.-mf'(x 0)C.-1mf'(x 0) D.1mf'(x 0)易错点2 混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错3.(2019福建莆田八中高二期中,★★☆)曲线y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程为( )A.(1-e)x-y+1=0B.(1-e)x-y-1=0C.(e-1)x-y+1=0D.(e-1)x-y-1=04.(2019湖南邵东一中高二期末,★★☆)曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .5.(2019宁夏石嘴山第三中学高二期末,★★☆)曲线f(x)=2x 3-4x+1在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为 .易错点3 对复合函数的求导法则理解不透致错 6.(★★☆)函数y=ln(1-x)的导数为 . 7.(★★☆)函数y=x ·e 1-cos x 的导数为 .易错点4 忽视取极值的条件致错8.(2019重庆一中高三下月考,★★☆)设函数f(x)=(x+1)e x +1,则( ) A.x=2为f(x)的极大值点B.x=2为f(x)的极小值点C.x=-2为f(x)的极大值点D.x=-2为f(x)的极小值点9.(★★☆)已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极大值共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个易错点5 利用导数研究函数的单调性10.(★★☆)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(1,+∞)x3-x2+bx,且f'(2)=-3.11.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=13(1)求b;(2)求f(x)的单调区间.12.(2019广东佛山二中高二下月考,★★☆)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间.+ln x在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围.13.(★★☆)若函数f(x)=1-xax14.(★★☆)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求实数t的取值范围.易错点6 混淆极值与最值致错15.(2019广东佛山三中高二下段考,★★☆)已知a∈R,函数f(x)=ax+ln x-1.求当0<a<e时, f(x)在区间(0,e]上的最小值.16.(★★☆)求函数f(x)=sin 2x-x在[-π2,π2]上的最大值和最小值.易错点7 利用导数研究实际问题时忽视定义域致错17.(★★☆)某制造商制造并出售某种球形瓶装的饮料.每个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是cm.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm,问瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?18.(2019河北遵化高二下期中,★★☆)某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元每平方米,底面的建造成本为160元每平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元.(π为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.易错点8 求横穿x轴的曲边梯形的面积)与坐标轴所围成的图形的面积是( ) 19.(★★☆)求曲线y=cos x(0≤x≤3π2D.4A.2B.3C.5220.(2019新疆兵团建工师第四中学高二期中,★★☆)由直线x+y=2,曲线y2=x所围成的图形的面积是.思想方法练一、分类讨论思想1.(2019安徽黄山高三质量检测,★★☆)已知函数f(x)=ln x+a+x(a∈R).讨论函数xf(x)的单调性.2.(2019四川雅安高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=ln x+ax2.若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.二、转化与化归思想3.(2019辽宁朝阳高三模考,★★☆)已知函数f(x)=(2-1x )e x+ax-ax,若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥-xf'(x)成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-32e] B.(-∞,2√e)C.[-32e,+∞) D.[-2√e,+∞)4.(2019河南平顶山郏县第一高级中学高二下月考,★★☆)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有2f(x)+xf'(x)>x2,则不等式(x+2 019)2f(x+2 019)-4f(-2)>0的解集为( )A.(-2 021,0)B.(-∞,-2 021)C.(-2 017,0)D.(-∞,-2 017)5.(2019安徽合肥高三质量检测,★★★)已知函数f(x)=e x-ln(x+1)(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)-ax,a∈R,试求函数g(x)极小值的最大值.三、数形结合思想6.(★★☆)已知函数f(x)=13x 3+a 2x 2+2bx+c,且f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及b -2a -1的取值范围.7.(★★☆)已知曲线f(x)=-x 3+3x 2+9x+a 与x 轴只有一个交点,求实数a 的取值范围.答案全解全析易混易错练1.A ∵f'(1)=4,∴limℎ→0f(1+2ℎ)-f(1)ℎ=2limℎ→0f(1+2ℎ)-f(1)2ℎ=2f'(1)=8.2.B 因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),所以limΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)Δx=-mlimΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)-mΔx=-mf'(x0).3.C 记y=f(x)=ex-ln x,则f'(x)=e-1x,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线的斜率为f'(1)=e-11=e-1, 所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1), 整理得(e-1)x-y+1=0.4.答案2x-y=0解析设y=f(x)=3x-ln(x+1),则f'(x)=3-1x+1,∴曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线的斜率为3-1=2,则曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.5.答案(1,-1)或(-1,3)解析∵f(x)=2x3-4x+1,∴f'(x)=6x2-4.令f'(x)=2,即6x2-4=2,解得x=±1,∵f(1)=-1, f(-1)=3,∴点P的坐标为(1,-1)或(-1,3).经检验,满足题意.6.答案y'=1x-1解析y'=11-x ·(1-x)'=11-x·(-1)=1x-1.7.答案y'=(1+xsin x)e1-cos x解析y'=e1-cos x+x(e1-cos x)'=e1-cos x+xe1-cos x·(1-cos x)'=e1-cos x+xe1-cos x sin x=(1+xsin x)e1-cos x.8.D 因为f(x)=(x+1)e x+1,所以f'(x)=e x+(x+1)e x=(x+2)e x.令f'(x)=0,得x=-2,当x>-2时, f'(x)>0, f(x)=(x+1)e x+1单调递增;当x<-2时, f'(x)<0, f(x)=(x+1)e x+1单调递减.所以函数f(x)=(x+1)e x+1在x=-2处取得极小值,无极大值.9.B 由导函数f'(x)的图象,结合极大值的定义可知,函数f(x)在区间(-4,-3)上单调递增,在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,故f(x)共有2个极大值,故选B.10.B 函数f(x)的定义域为(0,+∞),又f'(x)=1-1x,由f'(x)=1-1x<0,得0<x<1,所以函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是(0,1),故选B.11.解析(1)由题得f'(x)=x2-2x+b,又f'(2)=-3,所以f'(2)=4-4+b=-3,所以b=-3.(2)由(1)知f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)>0,得x<-1或x>3;令f'(x)<0,得-1<x<3,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调递减区间为(-1,3).12.解析(1)f(x)的图象经过点P(0,2),代入,得d=2,∴f(x)=x3+bx2+cx+2, f'(x)=3x2+2bx+c.∵点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,∴f'(-1)=3-2b+c=6①, f(-1)=y=1,将点M(-1,1)代入f(x),得-1+b-c+2=1②,①②联立得b=c=-3,故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x-3.令3x2-6x-3=0,解得x1=1-√2,x2=1+√2.当x<1-√2或x>1+√2时, f'(x)>0;当1-√2<x<1+√2时, f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√)和(1+√∞),单调递减区间为(1-√2,1+√2).13.解析由已知,得f'(x)=ax-1(a>0),ax2依题意得,当x ∈[1,+∞)时,ax -1ax 2≥0恒成立,∴ax-1≥0, ∴a-1≥0,即a ≥1.14.解析由题意知f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, f'(x)=-3x 2+2x+t. 若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f'(x)≥0恒成立,且f'(x)不恒为0. ∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5≥0,即t ≥5时, f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)≥0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. 故实数t 的取值范围是[5,+∞). 15.解析因为f(x)=ax +ln x-1,所以f'(x)=-a x2+1x=x -ax 2,x ∈(0,e].令f'(x)=0,得x=a.又0<a<e,则当x ∈(0,a)时, f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减; 当x ∈(a,e]时, f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增. 所以当x=a 时,函数f(x)取得最小值,最小值为ln a. 16.解析 f'(x)=2cos 2x-1. 令f'(x)=0,得2cos 2x-1=0, 解得x=-π6或x=π6.因为f (π6)=√32-π6, f (-π6)=-√32+π6,f (π2)=-π2, f (-π2)=π2,所以函数f(x)在[-π2,π2]上的最大值和最小值分别为π2,-π2.17.解析设每瓶饮料的利润是f(r)分,因为瓶子的半径为r,0<r ≤6,所以f(r)=0.2×43πr 3-0.8πr 2=0.8π·(r 33-r 2),0<r ≤6.f'(r)=0.8π(r 2-2r),令f'(r)=0,解得r=2(r=0舍去). 当0<r<2时, f'(r)<0;当2<r<6时,f'(r)>0.所以当0<r<2时, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低; 当2<r<6时, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高.当0<r<2时, f(r)<0,当r=6时, f(6)>0,所以半径为6 cm 时,每瓶饮料的利润最大.18.解析 (1)由题意得200πrh+160πr 2=12 000π, 所以h=15r (300-4r 2),所以V(r)=πr 2h=π5(300r-4r 3)(0<r<5√3).(2)由(1)知V'(r)=π5(300-12r 2),令V'(r)=0,得r=5(负值舍去).当0<r<5时,V'(r)>0,V(r)单调递增;当5<r<5√3时,V'(r)<0,V(r)单调递减. 所以当r=5时,该蓄水池的体积最大,此时h=8.19.B 根据定积分的几何意义,知所求的面积为3∫cos π20xdx =3sin x 0π2=3,故选B. 20.答案 92解析作出直线x+y=2,曲线y 2=x 的草图(如图),所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组{x +y =2,y 2=x 得直线x+y=2与曲线y 2=x 的交点为A(1,1),B(4,-2),则图形OAC 的面积为S 1=210 d x x =2×23x 3201=43,图形ACB 的面积为S 2=∫ 41[(2-x)+√x ]dx=(2x -12x 2+23x 32) 14=196, 所以所求图形的面积为S=S 1+S 2=43+196=92.思想方法练1.解析由题可知f'(x)=1x -ax2+1=x2+x-ax2(x>0).①当a≤0时, f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f'(x)>0,得x>-1+√4a+12,令f'(x)<0,得0<x<-1+√4a+12,∴f(x)在(0,-1+√4a+12)上单调递减,在(-1+√4a+12,+∞)上单调递增.2.解析f'(x)=1x +2ax=2ax2+1x(x>0).①当a≥0时, f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(x)最多有一个零点,不符合题意;②当a<0时,令 f'(x)>0得0<x<√-12a ,令 f'(x)<0得x>√-12a,∴f(x)在(0,√-12a )上单调递增,在(√-12a,+∞)上单调递减,且x→0+时, f(x)→-∞; x→+∞时, f(x)→-∞,故要使f(x)有两个零点,只需f(√-12a )>0,即ln √-12a+a(-12a)>0,解得-12e<a<0.综上,实数a的取值范围是(-12e,0).3.D 令g(x)=xf(x)=(2x-1)e x+ax2-a,则g'(x)=f(x)+xf'(x),因为对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥-xf'(x)成立, 所以g'(x)=f(x)+xf'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即g'(x)=(2x+1)e x+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立,即-2a≤(2x+1)e xx =(2+1x)e x在(0,+∞)上恒成立.令h(x)=(2+1x)e x,x∈(0,+∞),则h'(x)=-1x e x+(2+1x)e x=(2x2+x-1)e xx,由h'(x)=0得2x2+x-1=0,解得x=-1(舍去)或x=12,所以,当0<x<12时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>12时,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(12)=4√e,因为-2a≤(2x+1)e xx =(2+1x)e x在(0,+∞)上恒成立,所以只需-2a≤4√e,解得a≥-2√e.4.B 令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),因为2f(x)+xf'(x)>x2,x<0,所以g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)<x3<0,所以函数g(x)=x2f(x)在(-∞,0)上单调递减.因为g(x+2 019)=(x+2 019)2f(x+2 019),g(-2)=4f(-2),所以(x+2 019)2f(x+2 019)-4f(-2)>0等价于g(x+2 019)-g(-2)>0, 即g(x+2 019)>g(-2),所以x+2 019<-2,解得x<-2 021.5.解析(1)易知x>-1,且f'(x)=e x-1x+1.令h(x)=e x -1x+1,则h'(x)=e x +1(x+1)2>0,∴函数h(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)上单调递增,且h(0)=f'(0)=0.∴当x ∈(-1,0)时,h(x)=f'(x)<0, f(x)=e x -ln(x+1)单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,h(x)=f'(x)>0, f(x)=e x -ln(x+1)单调递增. ∴函数f(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+∞). (2)∵g(x)=f(x)-ax=e x -ln(x+1)-ax, ∴g'(x)=f'(x)-a.由(1)知,g'(x)在(-1,+∞)上单调递增, 且当x →-1时,g'(x)→-∞;当x →+∞时, g'(x)→+∞,则g'(x)=0有唯一解x 0.∴当x ∈(-1,x 0)时,g'(x)<0,g(x)=e x -ln(x+1)-ax 单调递减; 当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)=e x -ln(x+1)-ax 单调递增.∴函数g(x)在x=x 0处取得极小值g(x 0)=e x 0-ln(x 0+1)-ax 0,且x 0满足e x 0-1x 0+1=a.∴g(x 0)=(1-x 0)e x 0-ln(x 0+1)+1-1x 0+1.令φ(x)=(1-x)e x -ln(x+1)+1-1x+1,则φ'(x)=-x [e x +1(x+1)2].∴当x ∈(-1,0)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增; 当x ∈(0,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减. ∴φ(x)max =φ(0)=1.∴函数g(x)极小值的最大值为1.6.解析函数f(x)的导数为f'(x)=x 2+ax+2b,因为f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,所以方程x 2+ax+2b=0有两个不等实根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内.由二次函数f'(x)=x 2+ax+2b 的图象与方程x 2+ax+2b=0的根的分布之间的关系可以得到{f '(0)>0,f '(1)<0,f '(2)>0,即{b >0,a +2b +1<0,a +b +2>0.在平面aOb 内满足约束条件的点(a,b)所对应的区域为△ABD(不包括边界,如图所示),其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),则S △ABD =12×1×1=12.易知点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为b -2a -1,显然b -2a -1∈(k CA ,k CB ),即b -2a -1∈(14,1).综上,点(a,b)对应的区域的面积为12,b -2a -1的取值范围为(14,1). 7.解析 f'(x)=-3x 2+6x+9. 令f'(x)=0,得x 1=-1,x 2=3.x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表:x (-∞, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x)↘极小值↗极大值↘所以当x=-1时, f(x)有极小值f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值f(3)=a+27. 画出大致图象,要使f(x)的图象与x 轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5. 故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}.。