41)26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质
二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(1)
2、填表:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y 2x2
y 2(x 1)2
y 2(x 1)2
开口向上 直线x=0 开口向上 直线x=1 开口向上 直线x=-1
(0, 0) (1, 0) (-1, 0)
二次函数y=a(x-h)²对称轴为_直__线__x_=_h_,顶点坐标(_h_,_0_)_ .
h>0时，y=ax²向右平移h个单位 y=a(x-h)²；
y 0.5x2 1 开口向下 直线x=0 (0,1) y 0.5x2 1 开口向下 直线x=0 (0,-1)
二次函数y=ax²+k对称轴为 y轴 ，顶点坐标为 (0,k) .
k>0时，y=ax²向上平移k个单位 y=ax²+k；
k<0时，y=ax²向下平移| k|个单位 y=ax²+k.
复习引入
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0)
（h，0）
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置 在x轴的上方(除顶点外)
增减性
最值
开口大小
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大.
h<0时, y=ax²向左平移| h|个单位 y=a(x-h)².
简记为“上加下减，左加右减”.
议一议
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2 的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图 象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称 轴和顶点坐标分别是什么?
2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增 大而增大?
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质
y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 老师提示: 2 3x 1 3 配方后的表达
2 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 y
x
画函数y=ax²+bx+c的图象
你能画出二次函数y=3x2-6x+5的图像吗？
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。
二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？
函数y=ax²+bx+c的图象
函数y=ax²+bx+c的顶点式
配方:
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2提取二次项系数老师提 Nhomakorabea:2
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
式通常称为顶 点式
3x 1 2.
2
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点 坐标.
y 3x 1 2. ∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
最值
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
二、学习目标：
1．理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y =a（x - h）2 +k之间 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，体 会数形结合的思想． 3 .会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际 问题． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = a（x - h）2 +k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质．
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为1135米。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
四、课堂小结
二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
2
直接画函数
的图象
y 1 x2 6x 21 2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3
图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质件
二次函数y=ax^2+bx+c 的图象与性质xx年xx月xx日•二次函数的图象•二次函数的性质•二次函数的应用目录01二次函数的图象当a>0时，二次函数图象开口向上，对数函数图象关于y轴对称；开口向上当a<0时，二次函数图象开口向下，对数函数图象关于y轴对称。
开口向下开口方向顶点横坐标二次函数顶点横坐标为x=-b/2a；顶点纵坐标二次函数顶点纵坐标为y=(4ac-b^2)/4a。
顶点坐标•对称轴方程：二次函数对称轴方程为x=-b/2a。
对称轴与y轴交点•与y轴交点坐标：二次函数与y轴交点坐标为(0,c)。
02二次函数的性质二次函数在特定区间内具有单调性。
当a>0时，函数在对称轴左侧呈现减函数，在对称轴右侧呈现增函数；当a<0时，函数在对称轴左侧呈现增函数，在对称轴右侧呈现减函数。
证明根据二次函数的导数和极值点之间的关系，可以通过计算导数并找到极值点的方式来证明增减性。
增减性VS极值点二次函数在其定义域内存在唯一极值点，即函数的最大值或最小值。
计算极值点可以通过二次函数的导数计算得到。
当导数等于0时，函数取得极值点，即x = -b / (2a)。
凹凸性二次函数的图象是凹的，当a > 0时，图象为下凹；当a < 0时，图象为上凸。
证明可以通过计算函数的二阶导数来判断凹凸性。
如果二阶导数大于0，则函数是凹的；如果二阶导数小于0，则函数是凸的。
凹凸性拐角点二次函数的图象存在拐角点，即函数由增函数变为减函数或由减函数变为增函数的点。
计算拐角点可以通过计算函数的二阶导数和一阶导数的乘积来得到。
如果二阶导数和一阶导数的乘积等于0，那么就存在拐角点。
拐角点03二次函数的应用求解最值代数法通过配方或者使用二次函数的顶点坐标公式，求解二次函数的最值函数法画出函数图像，观察图像的最高点和最低点，得出最值代数法通过求导数，判断函数的单调性，得出单调区间图像法画出函数图像，观察图像的上升和下降趋势，得出单调区间求解单调区间定义法根据函数定义，通过取值、作差、变形、判断符号等步骤，得出函数的单调性图像法画出函数图像，观察图像的上升和下降趋势，得出函数的单调性判断单调性图像法画出函数图像，观察图像与x轴的交点，得出方程的根代数法通过解方程，得出方程的根研究方程根THANKS 谢谢您的观看。
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
二次函数y=ax2 bx c地图像及性质
二次函数c+=2的图象y+axbx【教学目标】1、会用描点法画出二次函数、与的图象；2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、、与及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2. 用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线的左侧，抛物线自左知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用【典型例题】题型一：k ax y +=2的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．例2 、 在同一平面直角坐标系画出函数 、、的图象.由图象思考下列问题： （1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ （3）抛物线 ，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线 与 同有什么关系？例3、已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．变式训练： 1、已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2、 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的． 3、 若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二：2)(h x a y -=的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?例2、已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？变式训练：1、函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．2、不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．3、将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值．题型三：2)(h x a y -=+k 的图象和性质例1、把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．例2、把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．变式训练：1、抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．2、将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3、将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？4、抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．题型四、c bx ax y ++=2的图象和性质例1、通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．例2、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．例3、已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．例4、利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2（4）q px x y ++=2变式训练：1、（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2、抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？ 3、已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．4、当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5、已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．题型五、c bx ax y ++=2的最大或最小值例1、求下列函数的最大值或最小值：（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？变式训练：1、对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2、已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是（ ） A ．a ＜b B ．a=b C ．a ＞b D ．不能确定3、求下列函数的最大值或最小值:（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．4、已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？6、如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．例3、已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成k h x a y +-=2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例4、已知二次函数的图象与一次函数84-=x y 的图象有两个公共点P （2，m ）、Q （n ，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y 轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4、已知二次函数c bx ax y ++=2，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．5、抛物线n mx x y ++=22过点（2，4），且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式．【随堂练习】1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb 的图象大致是图中的（ ）4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费． （1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．9、已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？（2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．10、如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？11、已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2－1）x 2－2（k －2）x ＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B 与A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．12、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？13、如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；14、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA 所在的直线为y 轴，过点O 垂直于OA 的直线为x 轴，点O 为原点）15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R ，P 与x 的表达式分别为R=500＋30x ，P=170－2x ．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？16、阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==． ④， ③12m y m x 当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化．把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题：（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．【家庭作业】1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
数学九年级人教版《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》
第二十二章 ·二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的 图像和性质
温故知新
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。
y=ax2(a≠0)图像 当m>0时 向左平移m个单位
y=a(x+m)2
当m<0时 向右平移|m|个单位
当k>0时 向上平移k个单位 y=a(x+m)2+k
b ②若a＜0，当x> 2a 时，y随x的增大而减小；
当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大。
知识点详解
（6）抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点。 ①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。 ②抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0),其中为x1,x2方程 y=ax²+bx+c的两实数根。
=2(x-2)2-7≥-7 所以当x＝2时，y最小值=-7 。
例题详解
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线y=2x2-8x+1有最低点，所以y有最小值，
因为
－b
8
4ac b2 4 21 82
2,
7
2a 2 2
4a
42
。
所以当x＝2时，y最小值=-7。 总结：求二次函数最值，有两个方法。 (1)用配方法；(2)用公式法。
二次函数y=-3(x-2)2-4的图象可以y=-3x2的图象向右平移2个单位，再向下 平移4个单位得到对称轴是直线x=2顶点坐标是（2，-4）。
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2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 a 2a 2a a 数绝对值一半 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a
2
c 2 b a x x a c 2
提取二次项系数
顶点坐标公式
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
向上
顶点
对称轴
增减性
最 值
y随x的增大而减少 当
x b 2a
2a
x
y随x的增大而增大 当 x b
ymax
2a
时
2
时
ymin
4ac b 4a
4ac b 2 4a
2a
结束寄语
•
探索是数学的生命线.
2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax y
x
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式 吗？
函数y=ax²+bx+c的图象
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
直线x
2 2 2 2
b 2a
类比归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象性质 a>o
开口方向
b x 当 2a 时 b 4ac b 2 ( , ) y随x的增大而增大 2a 4a b x b 时 当 x 2a
a<0
向下 b 时 当 x 2a
b 4ac b 2 y随x的增大而减少 ( , ) 2a 4a b b 当 x 2a 时
y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 老师提示: 2 3x 1 3 配方后的表达 2 式通常称为配 3x 1 2. 方式或顶点式
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
想一想 2+bx+c和 函数y=ax y=ax2的图象之间的关系 是什么？
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
驶向胜利 的彼岸
小结
Hale Waihona Puke 拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
2.不同点: (0,0).
驶向胜利 的彼岸
b 4ac b 2 (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 2a , 4a 和
(3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 4ac4a b 和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象 b b >0时,向右 先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 2a 2a b 平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平 2a 4ac b 4ac b 移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 4ac4a b <0时, 4a 4a 向下平移)得到的.
2
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y 3 x 1 2.
2
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
它的对称轴是直线: x b . 2a
b 4ac b 2 它的顶点是 2a , 4a .
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标
?
1. y 3x 2 2 x; 3. y 2 x
2
2. y x 2 2 x;
1 2 4. y x 4 x 3. 2
8 x 8;
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
如果画出函数y=3x2-6x+5的图象？
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y 3x 1 2
…
29
14
5
2
5
14
29
…
描表、连线y=3x2-6x+5.gsp
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶 点坐标．
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.