概率论与数理统计(随机事件及其概率)

3．事件运算满足的定律 ． 事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A,B,C为事件，则有 为事件， 为事件 交换律： ∪ 交换律：A∪B =B∪A , AB = BA． ∪ ． 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C), 结合律： ∪ ∪ ∪ ∪ (AB)C= A(BC) ． 分配律： 分配律：( A ∪ B)C = ( AC ) ∪ ( BC )
1.2.1 随机事件
关于随机事件概念的几点说明： 关于随机事件概念的几点说明： (1) 任一事件 是相应样本空间的一个子集，基 任一事件A是相应样本空间的一个子集 是相应样本空间的一个子集， 本事件就是只含有一个样本点的事件． 本事件就是只含有一个样本点的事件． (2) 当子集 中某个样本点出现了，就说事件 当子集A中某个样本点出现了 就说事件A 中某个样本点出现了， 发生了， 或者说事件A发生当且仅当 发生当且仅当A中某个样本 发生了 ， 或者说事件 发生当且仅当 中某个样本 点出现了． 点出现了． 包含所有的样本点， (3) 样本空间Ω 包含所有的样本点，作为自身的 子集， 在每次试验中它总是发生的， 称为必然事 子集 ， 在每次试验中它总是发生的 ， 称为 必然事 空集∅不包含任何样本点， 件．空集∅不包含任何样本点，它作为样本空间的 子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件 不可能事件． 子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件．
( AB) ∪ C = ( A ∪ C )( B ∪ C )
对偶律： 对偶律：A ∪ B = A B , AB = A ∪ B
1.2.2 事件间的关系及运算
表示三个随机事件, 【补充例 】设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事 件用A,B,C 表示出来. 表示出来. 件用
发生， 至少有一个发生； (1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生； 发生， 发生； (2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生； 中恰有一个发生； 中至少有两个发生； (4) A , B, C 中至少有两个发生； 中至多有两个发生； (5) A , B, C 中至多有两个发生； 中不多于一个发生. (6) A , B, C 中不多于一个发生. A( B∪C ) ( ∪ ABC
1.2.2 事件间的关系及运算
2．事件运算 ． 1) 事件A与B的和 事件 与 的
事件A与 B的和事件定义为 ： 由至少属于A， B 事件 与 的和事件定义为： 由至少属于 ， 的和事件定义为 之一的样本点全体组成的集合，记为A∪ ， 之一的样本点全体组成的集合，记为 ∪B，其概 率含义是： ， 至少有一个发生 至少有一个发生． 率含义是：A，B至少有一个发生． 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定, 产品不合格” 与直径是否合格所决定 若C=“产品不合格”, 产品不合格 B=“长度不合格”与A=“直径不合格”, 长度不合格” 直径不合格” 长度不合格 直径不合格 则 C= A∪B. B A∪ B A
ABC ∪ ABC ∪ ABC
AB ∪ BC ∪ AC
ABC ； ABC 不发生； 不发生
AB∪ BC ∪ AC 或ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC
1.2 随机事件及其概率
☺课堂练习
填空 表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销” 以Ａ表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”其 ＿＿＿＿＿． 对立事件 A 为＿＿＿＿＿． Ａ）“甲滞销，乙畅销” 甲滞销，乙畅销” 甲乙均畅销” Ｂ） “甲乙均畅销” 甲滞销” Ｃ） “甲滞销” Ｄ）“甲滞销或乙畅销” 甲滞销或乙畅销”
第1章 概率论基础 章
1.2 随机事件及其概率
1.2.1 随机事件
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生 也可能不发生的事件． 也可能不发生的事件． 定义1.2 随机试验的若干个基本结果组成的集合 定义 称为随机事件 简称事件 随机事件， 事件， 称为随机事件，简称事件，只含有一个基本结果的事 件称为基本事件 基本事件． 件称为基本事件． 常用大字母A,B,C,…表示． 表示． 常用大字母 表示 根据这两说法不难发现 集有一一对应关系！ 集有一一对应关系！ 随即事件和样本本空间为 ： Ω = 】 掷一颗骰子的样本空间为： {1,2,3,4,5,6}． ． 事件A 出现 出现5点 它是一个基本事件， 事件 =“出现 点”，它是一个基本事件，可 记为A 记为 ={5}； ； 事件B =“出现奇数点”，可记为 = {1,3,5}； 出现奇数点” 可记为B 事件 出现奇数点 ； 事件C =“出现的点数不大于 ，是必然事件, 事件 出现的点数不大于6”，是必然事件 出现的点数不大于 可记为C 可记为 =Ω． 事件D 出现的点数大于6”，是不可能事件, 事件 =“出现的点数大于 ，是不可能事件 出现的点数大于 可记为D 可记为 = ∅．
A∪ B = Ω 且 AB = ∅ .
B= A
Ω
1.2.2 事件间的关系及运算
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥 互不相容 、 互斥(互不相容 互不相容) A、B 对立（互逆） 、 对立（互逆）
A
B
Ω
A
B = AΩ
Ω
AB = ∅
互斥
A ∪ B = Ω 且 AB = ∅
对立
1.2.2 事件间的关系及运算
1.2.2 事件间的关系及运算
(3) 互不相容
如果事件A和 没有相同的样本点 则称A与 没有相同的样本点， 如果事件 和B没有相同的样本点，则称 与B 互不相容（或互斥） 其概率含义是： ， 不同 互不相容（或互斥）．其概率含义是：A，B不同 时发生． 时发生． 实例 抛掷一枚硬币 “出现正面” 与 “出现反面” 抛掷一枚硬币, 出现正面 出现正面” 出现反面” 是互不相容的两个事件. 是互不相容的两个事件
则 C = A ∩ B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
A AB
B
Ω
1.2.2 事件间的关系及运算
3) 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的 的差. 事件称为事件 A 与 B 的差 记作 A- B. Ｃ＝“长度合格但直径不合格” 实例 设 Ｃ＝“长度合格但直径不合格” ，Ａ ＝ “长度合格”，Ｂ＝ “直径合格”. = A − B. 长度合格” 直径合格” 则 C 的差. 图示 A 与 B 的差
n
推广 称 ∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , ⋯, An 的积事件;
k =1
称 ∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 , ⋯ 的积事件 .
k =1
∞
1.2.2 事件间的关系及运算
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
B⊄ A
A− A− B B
B⊂ A
B A−A −B
Ω
Ω
1.2.2 事件间的关系及运算
4) 对立事件 中而不在A中的样本点组成的集合称为 中的样本点组成的集合称为A 由在Ω 中而不在 中的样本点组成的集合称为 的对立事件（逆事件） 其概率含义是： 不 的对立事件（逆事件）记为 A 其概率含义是：A不 发生．显然， 发生．显然， = − A, A = A ． A 骰子出现1点 骰子不出现1点 实例 “骰子出现 点”对立 “骰子不出现 点” 的对立. 图示 A 与 B 的对立 A 对立,则有 若 A 与 B对立 则有 对立
1.2 随机事件及其概率
Ｂ＝“甲畅销” Ｃ＝“乙畅销” 解 设Ｂ＝“甲畅销”，Ｃ＝“乙畅销” 则
A= BC, =
A = BC = B ∪ C = B ∪ C
故 Ａ 的对立事件为 Ｄ ） ， 即 “ 甲滞销或乙畅 的对立事件为Ｄ 销”．
1.2 随机事件及其概率
1.2.3
事件的概率及性质
所谓随机事件的概率， 所谓随机事件的概率 ， 概括地说就是用来描述 随机事件发生的可能性大小的数量指标， 随机事件发生的可能性大小的数量指标 ， 它是概 率论中最基本的概念之一． 率论中最基本的概念之一．
1.2.3 事件的概率及性质
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n=5
n = 50
nH
2 3
fn (H )
nH
fn (H )
n = 500 nH fn (H )
0.44 251 22 0.502 1 在 处 0.50 波动 较大249 25 0.498 2f 呈现出稳定性 的增大, 随n的增大 频率 的增大 0.2 1 21 0.42 256 0.512 5 1.0 1 0.494 0.50 25 247 在 处 动 小 波 较 1 24 0.48 0.2 2 251 0.502 2 波动最小 18 0.36 262 0.524 0.4 4 0.54 258 0.8 0.516 27 0.4 0.6
1.2 随机事件及其概率
1.2.2 事件间的关系及运算
1．事件间的关系 ．
(1) 子事件 如果属于事件A的样本点也属于事件 ， 如果属于事件 的样本点也属于事件B，则称 的样本点也属于事件 A为B的子事件，记为 ⊂B．其概率含义是：A发 的子事件， 为 的子事件 记为A⊂ ．其概率含义是： 发 必发生． 生B必发生． 必发生 (2) 事件相等 如果事件A与事件 满足 如果事件 与事件B满足：A ⊂ B且B ⊂ A，则 与事件 满足： 且 ， 相等， 称A与B相等，记为 = B．其概率含义是：A，B 与 相等 记为A ．其概率含义是： ， 中有一个发生另一个也必发生． 中有一个发生另一个也必发生．
1.2.1 随机事件
抛掷一枚骰子, 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. “点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件. 点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件. 4”,“点数为偶数 它们分别可以对应了样本空间S={1,2,3,4,5,6} 它们分别可以对应了样本空间S={1,2,3,4,5,6} 的子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝． 的子集｛1,2,3,4｝ 2,4,6｝． 反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个 反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个 ，Ｓ 随机事件． 随机事件．