第六章实数复习教学课件 (1)
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【新】人教版七年级数学下册第六章《 实数》复习公开课课件.ppt
第6章 实数的复习
本章知识结 构图
乘 互为逆运算 开
方
方
开平方 开立方
算术平方根
平方根 立方根 负的平方根
有理数 无理数
实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
（略）
求商比较
同号正实数
对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
（略）
计算近似值比较 含无理数的 牢牢记住
课本p72练习/2(2);课
实数
的近似值，直、接2计、算3比、较5。。。 本p87练习/6
实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法
学以致用
1.如图，数轴上点P表示的数可能是（ B）
a2 a =
2 a
a
a a0 0 a0
a (a 0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
已知 ao,求a2
3
a3的值
已m 知 n,求 （ m n） 23 （ nm ） 3的值
有限小数及无限循环小数整数
正整数 0
有理数
负整数
分数 正分数
实 数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
自然数
2.如果3 2a1与3 8a互为相反数， 求a2 3a4的值。
3.当x 为任 意实 数 时3 ， 3 x有 意义。
本章知识结 构图
乘 互为逆运算 开
方
方
开平方 开立方
算术平方根
平方根 立方根 负的平方根
有理数 无理数
实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
（略）
求商比较
同号正实数
对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
（略）
计算近似值比较 含无理数的 牢牢记住
课本p72练习/2(2);课
实数
的近似值，直、接2计、算3比、较5。。。 本p87练习/6
实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法
学以致用
1.如图，数轴上点P表示的数可能是（ B）
a2 a =
2 a
a
a a0 0 a0
a (a 0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
已知 ao,求a2
3
a3的值
已m 知 n,求 （ m n） 23 （ nm ） 3的值
有限小数及无限循环小数整数
正整数 0
有理数
负整数
分数 正分数
实 数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
自然数
2.如果3 2a1与3 8a互为相反数， 求a2 3a4的值。
3.当x 为任 意实 数 时3 ， 3 x有 意义。
第六章实数复习(公开课)ppt课件
实数的运算性质
实数运算具有封闭性、结合性 、交换性、分配性等基本性质 。这些性质保证了实数运算的 一致性和可靠性。
02
平方根与立方根
平方根定义及性质
平方根定义
若$a^2 = b$，则称$a$是$b$的 平方根，记作$a = sqrt{b}$。
平方根性质
正实数的平方根有两个，它们互 为相反数；0的平方根是0；负数 没有平方根。
立方根定义及性质
立方根定义
若$a^3 = b$，则称$a$是$b$的立 方根，记作$a = sqrt[3]{b}$。
立方根性质
正实数的立方根是正数，负实数的立 方根是负数，0的立方根是0。
开方运算与估算方法
开方运算
开方运算是求一个数的平方根或立方根的运算。对于非负实数，可以使用计算 器或数学表进行开方运算。
有理数性质
具有稠密性、可数性、四则运算封闭性等性质。
有理数分类
可分为正有理数、零和负有理数三类。
无理数概念及性质
80%
无理数定义
不能表示为两个整数之比的数， 即无法用分数形式精确表示的数 。
100%
无理数性质
具有无限不循环小数、不可数性 、与有理数共同构成实数系等性 质。
80%
无理数举例
$sqrt{2}$、$pi$、$e$等都是常 见的无理数。
实数分类
实数可分为有理数和无理数两类。有理数包括整数、分数等，可 以表示为两个整数的比；无理数则不能表示为两个整数的比，如 圆周率π、自然对数的底e等。
实数轴与数集表示
实数轴
实数轴是一条直线，上面的每一个点都代表一个实数，按照大小顺序排列。实数 轴上的点可以用坐标表示，通常用小写字母表示实数。
数集表示
实数运算具有封闭性、结合性 、交换性、分配性等基本性质 。这些性质保证了实数运算的 一致性和可靠性。
02
平方根与立方根
平方根定义及性质
平方根定义
若$a^2 = b$，则称$a$是$b$的 平方根，记作$a = sqrt{b}$。
平方根性质
正实数的平方根有两个，它们互 为相反数；0的平方根是0；负数 没有平方根。
立方根定义及性质
立方根定义
若$a^3 = b$，则称$a$是$b$的立 方根，记作$a = sqrt[3]{b}$。
立方根性质
正实数的立方根是正数，负实数的立 方根是负数，0的立方根是0。
开方运算与估算方法
开方运算
开方运算是求一个数的平方根或立方根的运算。对于非负实数，可以使用计算 器或数学表进行开方运算。
有理数性质
具有稠密性、可数性、四则运算封闭性等性质。
有理数分类
可分为正有理数、零和负有理数三类。
无理数概念及性质
80%
无理数定义
不能表示为两个整数之比的数， 即无法用分数形式精确表示的数 。
100%
无理数性质
具有无限不循环小数、不可数性 、与有理数共同构成实数系等性 质。
80%
无理数举例
$sqrt{2}$、$pi$、$e$等都是常 见的无理数。
实数分类
实数可分为有理数和无理数两类。有理数包括整数、分数等，可 以表示为两个整数的比；无理数则不能表示为两个整数的比，如 圆周率π、自然对数的底e等。
实数轴与数集表示
实数轴
实数轴是一条直线，上面的每一个点都代表一个实数，按照大小顺序排列。实数 轴上的点可以用坐标表示，通常用小写字母表示实数。
数集表示
七年级数学下册 第六章 实数复习课课件下册数学课件
No 2019年春人教版数学(shùxué)七年级下册课件 Image
12/11/2021
第二十三页，共二十三页。
第二页，共二十三页。
2．[2018·南京]下列无理数中，与 4 最接近的是( C )
A. 11
B. 13
C. 17
D. 19
3．下列说法错误的是( D )
A．1 的平方根是±1
B．－1 的立方根是－1
C. 2是 2 的一个平方根
D．－3 是 （－3）2的一个平方根
4．[2018·长沙]估计 10＋1 的值( C )
2019年春人教版数学(shùxué)七年级下册课件
第六章 实数(shìshù)
第一页，共二十三页。
第六章 实数(shìshù)
本章(běn zhānɡ)复习课
类型之一 平方根与算术平方根 1．[2017·福建模拟]下列语句写成数学式子正确的是( B ) A．9 是 81 的算术平方根：± 81＝9 B．5 是(－5)2 的算术平方根： （－5）2＝5 C．±6 是 36 的平方根： 36＝±6 D．－2 是 4 的负的平方根： －4＝－2
A．在 2 和 3 之间
B．在 3 和 4 之间
C．在 4 和 5 之间
D．在 5 和 6 之间
第三页，共二十三页。
5．[2017 春·罗定期末]若 a2＝25，|b|＝3，则 a＋b 的值是( D )
A．－8
B．±8
C．±2
D．±8 或±2
【解析】 ∵a2＝25，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，则 a＋b 的值是±8 或±2.
有理数集合
无理数集合 图1
第九页，共二十三页。
解：有理数集合：－1112，－ 4，0，3 8，0.2·3·，3.14； 无理数集合： 2，－ 0.4，π4， 2－1， 10， 3，－ 27. 如：(－ 4)－ 3×(－ 27)＋3 8＝9.
12/11/2021
第二十三页，共二十三页。
第二页，共二十三页。
2．[2018·南京]下列无理数中，与 4 最接近的是( C )
A. 11
B. 13
C. 17
D. 19
3．下列说法错误的是( D )
A．1 的平方根是±1
B．－1 的立方根是－1
C. 2是 2 的一个平方根
D．－3 是 （－3）2的一个平方根
4．[2018·长沙]估计 10＋1 的值( C )
2019年春人教版数学(shùxué)七年级下册课件
第六章 实数(shìshù)
第一页，共二十三页。
第六章 实数(shìshù)
本章(běn zhānɡ)复习课
类型之一 平方根与算术平方根 1．[2017·福建模拟]下列语句写成数学式子正确的是( B ) A．9 是 81 的算术平方根：± 81＝9 B．5 是(－5)2 的算术平方根： （－5）2＝5 C．±6 是 36 的平方根： 36＝±6 D．－2 是 4 的负的平方根： －4＝－2
A．在 2 和 3 之间
B．在 3 和 4 之间
C．在 4 和 5 之间
D．在 5 和 6 之间
第三页，共二十三页。
5．[2017 春·罗定期末]若 a2＝25，|b|＝3，则 a＋b 的值是( D )
A．－8
B．±8
C．±2
D．±8 或±2
【解析】 ∵a2＝25，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，则 a＋b 的值是±8 或±2.
有理数集合
无理数集合 图1
第九页，共二十三页。
解：有理数集合：－1112，－ 4，0，3 8，0.2·3·，3.14； 无理数集合： 2，－ 0.4，π4， 2－1， 10， 3，－ 27. 如：(－ 4)－ 3×(－ 27)＋3 8＝9.
第六章实数复习(公开课)ppt课件
金融
在金融领域，实数被用来表示各种数据，例如，股票价格、 汇率等。
统计
在统计学中，实数被用来表示各种数据，例如，平均值、中 位数、众数等。
05
实数的扩展知识
实数的连续性
实数的连续性定义
实数连续性的性质
实数具有连续性，即任意两个实数之 间都存在无数个其他实数。
实数的连续性是实数的基本性质之一 ，它在数学分析中有着广泛的应用， 如极限的定义、函数的连续性等。
实数连续性的几何意义
在数轴上，任意两个不同的实数之间 都存在一个线段，这个线段上包含无 数个点，这些点都是实数。
无理数的性质和证明
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数的 比的数，如π和√2。
无理数的性质
无理数具有无限不循环小数表示的 特性，它们既不是整数也不是分数 。
无理数的证明
无理数的存在可以通过反证法或构 造法等方式进行证明，例如通过反 证法证明√2是无理数。
体积
实数可以用来表示三维物 体的体积，例如，圆柱体 的体积可以用实数表示。
科学计算和工程计算
科学计算
实数在科学计算中有着广泛的应用， 例如，物理、化学、生物等学科中的 计算都需要用到实数。
工程计算
在工程领域，实数被广泛应用于各种 计算中，例如，建筑设计、机械制造 、航空航天等。
金融和统计中的数据表示
第六章实数复习( 公开课)ppt课件
汇报人：可编辑 2023-12-22
目录
• 实数的定义与性质 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数的应用 • 实数的扩展知识
01
实数的定义与性质
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称，即既包括有理数又包括无理数的数。实 数可以用来表示长度、重量、时间等实际量，也可以表示数学中的概念 和运算结果。
在金融领域，实数被用来表示各种数据，例如，股票价格、 汇率等。
统计
在统计学中，实数被用来表示各种数据，例如，平均值、中 位数、众数等。
05
实数的扩展知识
实数的连续性
实数的连续性定义
实数连续性的性质
实数具有连续性，即任意两个实数之 间都存在无数个其他实数。
实数的连续性是实数的基本性质之一 ，它在数学分析中有着广泛的应用， 如极限的定义、函数的连续性等。
实数连续性的几何意义
在数轴上，任意两个不同的实数之间 都存在一个线段，这个线段上包含无 数个点，这些点都是实数。
无理数的性质和证明
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数的 比的数，如π和√2。
无理数的性质
无理数具有无限不循环小数表示的 特性，它们既不是整数也不是分数 。
无理数的证明
无理数的存在可以通过反证法或构 造法等方式进行证明，例如通过反 证法证明√2是无理数。
体积
实数可以用来表示三维物 体的体积，例如，圆柱体 的体积可以用实数表示。
科学计算和工程计算
科学计算
实数在科学计算中有着广泛的应用， 例如，物理、化学、生物等学科中的 计算都需要用到实数。
工程计算
在工程领域，实数被广泛应用于各种 计算中，例如，建筑设计、机械制造 、航空航天等。
金融和统计中的数据表示
第六章实数复习( 公开课)ppt课件
汇报人：可编辑 2023-12-22
目录
• 实数的定义与性质 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数的应用 • 实数的扩展知识
01
实数的定义与性质
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称，即既包括有理数又包括无理数的数。实 数可以用来表示长度、重量、时间等实际量，也可以表示数学中的概念 和运算结果。
人教版七年级数学下册第六章《实数》公开课 课件1
6.3 实数
Z
L
lb
神奇的π
阿基米德（古希腊）
神奇的π
祖冲之 (南北朝)
刘徽 （魏晋时期）
至2002年底，科学家们用超级计算机已把 的值算到小数点后12411亿位. zxxk
π----无限不循环的数字，无限不循环的 神秘，无限不循环的樂趣，无限不循环 的享受。
很早很早以前,人们就看出,圆的周长 和直经的比是个与圆的大小无关的常 数,并称之为圆周率.
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/202021/7/202021/7/207/20/2021
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/202021/7/20July 20, 2021
继续探索：
因为
π=3.1415926535897932384626…
, , 2 1
所以像
2
即π的某种形式
的数都是什么数？
常见的一类无理数是：
2. 圆周率π及一些含有π的数
例如： , , 2 1
2
那这种形式的数呢？你们认识他们吗？
1. 0.101001000… (两个“1”之间依次多一个0), 2. 7.2121121112… (两个“2”之间依次多一个1) 3. 5.123112233111222333-----（依次多个123）
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/202021/7/202021/7/202021/7/20
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
Z
L
lb
神奇的π
阿基米德（古希腊）
神奇的π
祖冲之 (南北朝)
刘徽 （魏晋时期）
至2002年底，科学家们用超级计算机已把 的值算到小数点后12411亿位. zxxk
π----无限不循环的数字，无限不循环的 神秘，无限不循环的樂趣，无限不循环 的享受。
很早很早以前,人们就看出,圆的周长 和直经的比是个与圆的大小无关的常 数,并称之为圆周率.
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/202021/7/202021/7/207/20/2021
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/202021/7/20July 20, 2021
继续探索：
因为
π=3.1415926535897932384626…
, , 2 1
所以像
2
即π的某种形式
的数都是什么数？
常见的一类无理数是：
2. 圆周率π及一些含有π的数
例如： , , 2 1
2
那这种形式的数呢？你们认识他们吗？
1. 0.101001000… (两个“1”之间依次多一个0), 2. 7.2121121112… (两个“2”之间依次多一个1) 3. 5.123112233111222333-----（依次多个123）
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/202021/7/202021/7/202021/7/20
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
第六章 实数(复习课件)七年级数学下册(人教版)
举一反三
【7-2】如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2，且面积为30cm2?请说明理由.
解:不能.理由如下：因为大正方形纸片的面
积为( 18)2+( 18)2=36(cm2) ，
高频考点
高频考点七 实数的综合运用
(3)如果2+ 5的整数部分是a，小数部分是b，求出a-b的值.
(3)因为 4< 5< 9，即2< 5<3，
所以4<2+ 5<5，
所以2+ 5的整数部分为4，小数部分为2+ 5-4= 5-2，即a=4，b= 5-2，
所以a-b=4-( 5-2)= 6- 5.
举一反三
【7-1】若 2的整数部分为x，小数部分为y，则 2x-y的值是( C )
A.2 2-2
B.2
C.1
D. 2
【7-2】如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2，且面积为30cm2?请说明理由.
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
知识梳理
四、实数及其运算
有理数包括整数和分数，它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形
式.
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
第六章实数复习(公开课)ppt课件
在几何图形中，我们也需要使用在绘制函数图像时，我们需要使用实 数。例如，绘制一次函数、二次函数 、三角函数等图像时都需要用到实数 。
科学问题中的实数应用
物理测量
在物理学中，许多物理量都是用 实数来表示的。例如，物体的速 度、加速度、力等都需要用到实
总结词
实数减法的运算律
详细描述
实数减法具有一些重要的运算律，如差不变性质、减法结 合律和减法交换律等。这些运算律可以帮助我们简化复杂 的减法计算，提高计算的准确性和效率。
实数的乘法
总结词
实数乘法的定义与性质
详细描述
实数乘法是数学中的基本运算之一，它具有结合律、交换 律和分配律等性质。实数乘法可以用来解决许多实际问题 ，如计算面积、解决概率问题等。
根式的化简
化简根式是指将根式化简为一个最简 形式的过程。例如，√8=2√2，因为8 可以分解为4×2，而4的平方根是2， 所以√8=2√2。
Part
05
实数的应用
生活中的实数应用
长度测量
在日常生活中，我们经常需要测 量物体的长度、宽度和高度等， 这些都需要用到实数。例如，测 量房间的尺寸、家具的大小等。
总结词
实数乘法的几何意义
详细描述
实数乘法的几何意义可以理解为将数轴上的点进行拉伸或 压缩。在数轴上，一个数乘以另一个数的结果等于一个数 覆盖另一个数的长度。
总结词
实数乘法的运算律
详细描述
实数乘法具有结合律、交换律和分配律。结合律是指 (ab)c=a(bc)；交换律是指ab=ba；分配律是指 a(b+c)=ab+ac。这些运算律可以帮助我们简化复杂的乘 法计算，提高计算的准确性和效率。
在数轴上进行乘法运算时，将数 轴上的每个点乘以一个正数或负 数，长度会相应地扩大或缩小。
第六章实数复习(公开课)ppt课件
19世纪
数学家逐步完善实数理论 ，形成了完备的实数体系 ，为数学分析、连续函数 等研究奠定了基础。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
总结词
减法运算的运算律
详细描述
减法运算同样满足交换律和结合律，即a-b=b-a和(ab)-c=a-(b+c)。
总结词
减法运算的运算性质
详细描述
减法的可逆性也是减法的一个重要性质，每一个数都有 唯一的相反数；另外，0是减法的单位元，任何数与0 相减都等于它本身。
总结词
加法运算的运算律
详细描述
加法运算还有一些特殊的运算律，例如，任何数与0相加 都等于它本身，即a+0=a；相反数相加等于0，即a+(a)=0。
总结词
加法运算的运算性质
详细描述
加法运算还有一些重要的运算性质，例如，加法的可逆性 ，即每一个数都有加法逆元，与它相加等于0；加法的单 位元，即有一个特殊的数0，任何数与它相加都等于它本 身。
实数在几何学中有着广泛的应用，例如在计算长度 、面积和体积时，需要使用实数表示测量值。
函数定义域与值域
实数可以用来定义各种数学函数，包括代数函数、 三角函数、指数函数和对数函数等，同时函数的值 域也由实数构成。
数学分析基础
实数对于数学分析来说是必不可少的基础，极限、 连续性和可微性的定义都离不开实数。
在物理中的应用
80%
测量与计算
在物理学中，实数常被用于表示 和计算各种物理量，如长度、时 间、质量、电荷等。
100%
物理定律的数学表达
许多物理定律可以用实数表示的 数学公式来描述，例如牛顿第二 定律 F=ma。
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和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意
义完全一样 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及 运算性质同样适用。
有限小数及无限循环小数
正整数
整数
0
有理数
负整数
分数 正分数
实 数
负分数
无理数
正无理数
负无理数
自然数
无限不循环小数
１．圆周率 及一些含有 的数
一般有三种情况 ２．开不尽方的数
３．有一定的规律，但不循环的无限小数
, ,
2.下列数中是无理数的有_________.
3 5,
π, 4, ,
0,
0.101 100 1.
， 3.求下列数的绝对值和相反数.
5 - 2, 3 - 10 .
4.求满足下列式子的 x的值.
( 1 ) x2 81 0； ( 2 ) 25x2 36.
3、说出下 4
7,
,
5, 2
2,
20 , 3
4, 9
0,
5, 3 8,
0 .3737 7 （相邻3两个73之7 间的7 7的个3 数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
二、实数范围内的相关概念
1. - 5的相反数是_5__;- 5的绝对值是_5__.
2. 3 2的相反数是_2____3_; 3 2的绝对值是2____3_.
64
4
82
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 25 （5） - 3 0.027 0.3
（3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
无限不循环的小数 叫做无理数. 有理数和无理数统称实数.
实数与 数轴上的点是一一对应的
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义
七年级
第六章 实数的复习
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根 立方根
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
根号
规定：0的算术平方根等于0
a
如102 = 100
则100的算术平方根 100 = 10
实数范围内相反数和绝对值 的意义与有理数范围内相同！
四、相关知识的综合运用
3（ . 1）已知 x y 0，求x, y的值.
x 0, y 0
（2）已知 x 2 y 3 0,求x, y的值.
x 2, y 3
课后作业
1.若 x 3 y 2 (z 1)2 0 ，则
x y z ________.
4、 6的 4 立方 -4 根是
5、如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 这个数为 9 。
1.说出下列各数的平方根：
25 (1) 81
64 (2) 3
(3)
( 5)2 3
5 9
2
5 3
2.x取何值时，下列各式有意义 ：
(1) 4 x (2) 4 x2 (3) 3 2x 1
(x≥-4)
(X为任意实数) (X为任意实数)
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（1） 169 （2） 0.16 （3） 214 8 和 8
13和13
0.4和0.4
25 5 5
（4） 102 10和10 （5）2 7 5 和 5
9 33
2.说出下列各数的立方根：
（1） -0.008 0.2 （2） 0.512 0.8
（3） - 27 3 （4） -15 5 5
课堂检测 1、判断下列说法是否正确： 1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之积一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
把下列各数分别填入相应的集合内：
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
性 正数
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0
a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
0,1,-1
a2 a =
2
a
a
a
a 0
0
a 0
1、什么是立方根？ 若一个数的立方等于a,那么这个 数叫做 a 的立方根或三次方根。
2、正数的立方根是一个_正___数__，负 数的立方根是一个__负__数___，0 的立 方根是__0__；立方根是它本身的数是 __1_、__-_1.、平0方根是它本身的数是__算0 术平方根是它本身的数是____0_、_. 1
(1)立方根的特征
正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？零呢？
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
（2）平方根和立方根的异同点
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
被开方数
平方根的定义
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）
a的平方根表示为 a 读作：正，
a
表示a的算术平
－a
表示a的算
a
表示a的平方根
x2 = a
X＝ a
求一个数a的平方根的运算叫做开平方
平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
2
32
3
3 1.7 1.4 2
三、实数的运算
（1） 2 2 2 _3__2_ 2 （ 2 2） ___2_
2 (2 2) __3__2
先定符号 再计算
三、实数的运算
（2）（ 2 2 3） 3 _2____3 2 2 5 3 2 _5____2
加法结合律和交换律 在无理数计算中也成立！
练习
1. 64 3 64 9
(1) 2. 2
2007
9 2
3
3. 2 3
4. 3 2 2 2 3 2 3
练习
1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这个数 2.已知y= 1 2x 1 1 2x 求2（x+y）的平方根
a (a 0)
a 0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
1、 下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是 4
B . 6 表 6 的 示 算
C .任何数都
D . a 2 一定没有
1、 8是 64 的平方根 2、 64的平方根是 ±8 3、 64的值是 8 9的平方 3根是
义完全一样 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及 运算性质同样适用。
有限小数及无限循环小数
正整数
整数
0
有理数
负整数
分数 正分数
实 数
负分数
无理数
正无理数
负无理数
自然数
无限不循环小数
１．圆周率 及一些含有 的数
一般有三种情况 ２．开不尽方的数
３．有一定的规律，但不循环的无限小数
, ,
2.下列数中是无理数的有_________.
3 5,
π, 4, ,
0,
0.101 100 1.
， 3.求下列数的绝对值和相反数.
5 - 2, 3 - 10 .
4.求满足下列式子的 x的值.
( 1 ) x2 81 0； ( 2 ) 25x2 36.
3、说出下 4
7,
,
5, 2
2,
20 , 3
4, 9
0,
5, 3 8,
0 .3737 7 （相邻3两个73之7 间的7 7的个3 数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
二、实数范围内的相关概念
1. - 5的相反数是_5__;- 5的绝对值是_5__.
2. 3 2的相反数是_2____3_; 3 2的绝对值是2____3_.
64
4
82
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 25 （5） - 3 0.027 0.3
（3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
无限不循环的小数 叫做无理数. 有理数和无理数统称实数.
实数与 数轴上的点是一一对应的
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义
七年级
第六章 实数的复习
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根 立方根
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
根号
规定：0的算术平方根等于0
a
如102 = 100
则100的算术平方根 100 = 10
实数范围内相反数和绝对值 的意义与有理数范围内相同！
四、相关知识的综合运用
3（ . 1）已知 x y 0，求x, y的值.
x 0, y 0
（2）已知 x 2 y 3 0,求x, y的值.
x 2, y 3
课后作业
1.若 x 3 y 2 (z 1)2 0 ，则
x y z ________.
4、 6的 4 立方 -4 根是
5、如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 这个数为 9 。
1.说出下列各数的平方根：
25 (1) 81
64 (2) 3
(3)
( 5)2 3
5 9
2
5 3
2.x取何值时，下列各式有意义 ：
(1) 4 x (2) 4 x2 (3) 3 2x 1
(x≥-4)
(X为任意实数) (X为任意实数)
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（1） 169 （2） 0.16 （3） 214 8 和 8
13和13
0.4和0.4
25 5 5
（4） 102 10和10 （5）2 7 5 和 5
9 33
2.说出下列各数的立方根：
（1） -0.008 0.2 （2） 0.512 0.8
（3） - 27 3 （4） -15 5 5
课堂检测 1、判断下列说法是否正确： 1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之积一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
把下列各数分别填入相应的集合内：
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
性 正数
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0
a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
0,1,-1
a2 a =
2
a
a
a
a 0
0
a 0
1、什么是立方根？ 若一个数的立方等于a,那么这个 数叫做 a 的立方根或三次方根。
2、正数的立方根是一个_正___数__，负 数的立方根是一个__负__数___，0 的立 方根是__0__；立方根是它本身的数是 __1_、__-_1.、平0方根是它本身的数是__算0 术平方根是它本身的数是____0_、_. 1
(1)立方根的特征
正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？零呢？
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
（2）平方根和立方根的异同点
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
被开方数
平方根的定义
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）
a的平方根表示为 a 读作：正，
a
表示a的算术平
－a
表示a的算
a
表示a的平方根
x2 = a
X＝ a
求一个数a的平方根的运算叫做开平方
平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
2
32
3
3 1.7 1.4 2
三、实数的运算
（1） 2 2 2 _3__2_ 2 （ 2 2） ___2_
2 (2 2) __3__2
先定符号 再计算
三、实数的运算
（2）（ 2 2 3） 3 _2____3 2 2 5 3 2 _5____2
加法结合律和交换律 在无理数计算中也成立！
练习
1. 64 3 64 9
(1) 2. 2
2007
9 2
3
3. 2 3
4. 3 2 2 2 3 2 3
练习
1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这个数 2.已知y= 1 2x 1 1 2x 求2（x+y）的平方根
a (a 0)
a 0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
1、 下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是 4
B . 6 表 6 的 示 算
C .任何数都
D . a 2 一定没有
1、 8是 64 的平方根 2、 64的平方根是 ±8 3、 64的值是 8 9的平方 3根是