最新人教A版选修1-1高中数学第二章圆锥曲线与方程达标习题11及答案
高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程课后练习及解析
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．椭圆1x62 ＋y72＝1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点，则△ABF2 的
周长为( )
A．32
B．16
C．8
D．4
3．椭圆 2x2＋3y2＝1 的焦点坐标是( )
A.0，±
6 6
B．(0，±1)
C．(±1,0)
D.± 66，0
4．方程|a|x－2 1＋a＋y2 3＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是(
)
A．(－3，－1) C．(1，＋∞)
B．(－3，－2) D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点25，－32，则该椭圆的方程是( )
A.y82＋x42＝1
B.1y02 ＋x62＝1
C.y42＋x82＝1
D.y62＋1x02 ＝1
6．设 F1、F2 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 P 到两个焦点的距离之
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(4)
一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5 C ．3 D ．6 2．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ） A ．2B ．51-C ．1D ．52-3．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤4．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ） A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知椭圆222:14x y C b+=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足||||OF FP =，则b =（ ）A ．3BC D 6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =D ．y =7．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C S SS+=，则a 的值为（ ）A ．9B ．11C ．17D ．198．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．1e <<B ．eC ．e >D ．1e <<9．在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．13y x =±10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，3k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．)2C ．1⎤⎦D ．(1⎤⎦11．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（ ）A ．25B ．100C ．9D ．3612．设双曲线2214y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．B ．(6,8)C ．D ．(6,10)二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线:2230l kx y ka --=与双曲线C 交于A 、B 两点．若7AF FB =，则实数k ＝________．15．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______． 16．已知抛物线218y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AMAF最大时，弦AB 长度是___________.17．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.18．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且||PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 三、解答题21．已知椭圆22:11612x y E +=，1F 、2F 为左、右焦点，()2,3A .（1）求12tan F AF ∠及12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（2）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出：若不存在，说明理由．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,1A ，椭圆C 在点A 处的切线方程为3y x =-+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()3,0B 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 分别与直线3x =-分别交于P ，Q ，记点P,Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p q +的值. 24．已知抛物线28y x =的焦点为F ，且A 是抛物线上一点. （1）若4AF =求点A 的坐标；（2）直线l ：y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值.25．已知点3(1,)-在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，E 的离心率为32． （1）求E 的方程；（2）设过定点(0,2)A 的直线l 与E 交于不同的两点,B C ，且COB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围．26．如图，点(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆E 相交于C ､D 两点(C 在D 的上方)，||3CD =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设点A ､B 是椭圆E 上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得6ce a . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②， 由①＋②，解得1||F M a c =+，又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ， 设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ， 所以()220||21CI y =+-，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.4．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， ()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.5．B解析：B 【分析】首先由椭圆的对称性得到点P 的位置，再求解,c b 的值. 【详解】根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足OF FP =，这个点只能是右顶点，即2a c c a c -=⇒=，由条件可知242a a =⇒=，则1c =，那么b ==故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点P 的位置，从而得到2a c =这个关键条件.6．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-， 即112122,M F F D F D E M =∴=,可知四边形12M F DE 为平行四边形； 又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-， 故()()222442c a a =-，故3==ce a， 故双曲线C 的渐近线方程为2y x = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.7．C解析：C【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+ 所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n +=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30ba >，再由公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】 如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上， 由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=， 所以，双曲线的渐近线b y x a =的倾斜角α满足30α>，则123tan b PF F a >∠= 因此，该双曲线的离心率为222222231c c a b b e a a a a +⎛⎫====+> ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．C解析：C 【分析】依题意可得c e a ==t ，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线； 【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线2221(0)4x y t t t-=>+的离心率c e a ====≤=当且仅当4t t=即2t =时，等号成立，此时离心率最大， 故双曲线的标准方程为22182y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±故选：C 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10．C解析：C 【分析】根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果 【详解】因为点1F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，则()1,0F c -，设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则2220x y c +-=， 又(),M x y 在双曲线上，所以22221x y a b-=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又M 在直线y kx =上，k ∈⎣， 所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦， 即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得224e ≤≤+2243e -≤（舍，因为双曲线离心率大于1），1e ≤， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长），又由余弦定理得2224m n mn c ++=，所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MFMF a '-=，不能混淆． 12．D解析：D 【分析】由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值范围． 【详解】12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，当P 在1P 处，11290F PF∠=，又1,2,5a b c ===由222111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PFPF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；当P 在2P 处，12290F F P ∠=，25P x = 易知24P y = 则224P F =此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．【分析】由直线方程过右焦点得的关系设直线方程与双曲线方程联立消去应用韦达定理得出由得这样结合起来可得值【详解】在中令得所以则设由消去得由得所以化简得故答案为：【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线解析：【分析】由直线方程过右焦点得,a b 的关系，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与双曲线方程联立消去x ，应用韦达定理得出1212,y y y y +，由7AF FB =，得127y y =-，这样结合起来可得k 值．【详解】在2230kx y ka --=中令0y =得32a x =，所以32a c =，则222254a b c a =-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222212230x y a bkx y ka ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得22222223504b ab a b a y y k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 2122223kab y y a k b+=-，2221222254()k a b y y b a k =-， 由7AF FB =得127y y =-，212222236kab y y y a k b +=-=-，222222()kab y a k b =--， 所以224222212222222225774()4()k a b k a b y y y a k b b a k =-=-⨯=--，化简得2221235b k a==，k =．故答案为： 【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得）1212,y y y y +，已知条件又得127y y =-，这样结合起来可求得k 值．15．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意. 易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 16．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一 解析：8【分析】作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，可得出1sin AM AF AME=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，如下图所示：由抛物线的定义可得AE AF =，则1sin AM AM AF AE AME==∠， 可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AMAF最大，抛物线218y x =的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线218y x =相切时，直线AM 的斜率存在， 设直线AM 的方程为2y kx =-，联立228y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=， 264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，方程为28160x x -+=，解得4x =，此时，228xy ==，即点()4,2A ，此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -， 因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性解析：2212015x y += 【分析】根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设2222143x y c c+=代(4,3)M -解得25c =代回方程即可. 【详解】解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，b =故椭圆方程可设为2222143x y c c +=代(4,M 解得25c =所以椭圆方程为2212015x y +=故答案为：2212015x y +=【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.18．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.19．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化 解析：82-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAOCFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出223b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】 由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFOa c BDC BAO CFOb bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有22b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯． 故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.20．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，2b a =，结合222c a b =+，整理求得结果.【详解】根据题意，可知2b PF a ==， 因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立2222232b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下： （1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.三、解答题21．（1）124tan 3F AF ∠=，直线l 的方程为210x y --=；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）分析得出2AF x ⊥轴，进而可得出12122tan F F F AF AF ∠=，设122F AF θ∠=，求出tan θ的值，可得出直线l 的斜率，进而可得出直线l 的方程；（2）假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点()11,M x y 、()22,N x y ，进而可设直线MN 的方程为2xy t =-+，与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出线段MN 的中点P 的坐标，根据点P 在直线l 上，求出t 的值，可得出点P 的坐标，由此可得出结论.【详解】（1）在椭圆E 中，4a =，23b =，2c =，则()12,0F -、()22,0F ，因为222311612+=，即点A 在椭圆E 上，且2AF x ⊥轴，121224tan 3F F F AF AF ∠==，设122F AF θ∠=，则22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，整理可得22tan 3tan 20θθ+-=， 易知θ为锐角，则tan 0θ>，解得1tan 2θ=， 设直线l 的倾斜角为α，则sin cos 12tan tan 22sin tan cos 2πθπθαθπθθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-==== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，因此，直线l 的方程为()322y x -=-，即210x y --=；（2）假设椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点()11,M x y 、()22,N x y ， 则直线MN 的斜率为12-，设直线MN 的方程为2xy t =-+， 联立22123448y x t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，整理可得22120x tx t -+-=， 由韦达定理可得12x x t +=，则()121213222y y x x t t +=-++=， 所以，线段MN 的中点为3,24t t P ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 在直线l 上，所以，32110244t t t⨯--=-=，解得4t =， 所以点()2,3P ，此时，点P 与点A 重合，不合乎题意. 因此，椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的探索性问题求解思路如下： 第一步：假设结论存在．第二步：结合已知条件进行推理求解．第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设． 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=， 由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=， 由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1-，半径为152， 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）22163x y +=；（2）12.【分析】（1）椭圆C 过点()2,1A ，()2,1B --，在点A 处的切线方程为3y x =-+,可用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）用设而不求法把p ，q 表示出来，整理化简即可. 【详解】（1）由题意知椭圆C 在()2,1A 处的切线方程为2221x y a b +=也为3y x =-+，∴22621133a ab b ⎧=⎪==⇒⎨=⎪⎩ 椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）直线l 的方程为()3y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y()()2222232696026y k x x k x x x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩ ()222212121860k xk x k +-+-=直线AM 方程为：()111212y y x x -=-+-，令()1151312y x p x --=-⇒=+- 直线AN 方程为()221212y y x x -=-+-，令()2251312y x q x --=-⇒=+- ∴()()1212121231311152522222k x k x y y p q x x x x ⎡⎤----⎛⎫--+=-++=-++⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦()()()()()121212122121452105122222k x k k x k x x k k x x x x ⎡⎤------+-=-++=-++⋅+⎢⎥----⎣⎦()()()222222221241************121244105122210512212k k k k k k k k k k k k k k -+=-++⋅+--+++-=-++⋅+-=-++⋅+=.即12p q +=.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.24．（1）点A 的坐标为()()2,4,2,4-；（2）8-. 【分析】（1）由4AF =根据焦半径公式求出点A 的横坐标，再代入抛物线方程求得纵坐标；（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列方程可求实数m 的值. 【详解】（1）设()00,A x y ，042p AF x =+=，22p=，02x ∴=所以20082164y y =⨯=⇒=±，∴点A 的坐标为()()2,4,2,4-.（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1282x x m +=-，212x x m =，121228y y x x m ∴+=++=，()()()2121212128y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，又OP OQ ⊥，0OP OQ ∴⋅=，2121280x x y y m m ∴+=+=，0m ∴=或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合：不符合题意，当8m =-时，2(24)4640∆=--⨯>，符合题意. 综上，实数m 的值为8-. 【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.25．（1）22:14x E y +=；（2）32,,222⎛⎛⎫--⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由点在椭圆上及椭圆离心率的定义列方程可得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即可得解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，转化条件为0OCOB ⋅>，运算即可得解. 【详解】 （1）点⎛- ⎝⎭在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上，∴221314ab +=，又椭圆的离心率为2，∴2c e a ==，由222a b c =+解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴轨迹22:14x E y +=；（2）依题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，∴设:2l y kx =+，1122(,),(,)B x y C x y ，∴22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理有：()221416120k x kx +++=， ∴()221648(14)0k k ∆=-+>得k >k <， 且1221614kx x k +=-+，1221214x x k ⋅=+， 由COB ∠为锐角， ∴2121212122122()414OC OB x x y y k x x k x x k⋅=+=+++++ 22222121232=+40141414k k k k k -+>+++， ∴222212+12324161640k k k k -++=->， ∴22k -<<，∴22k -<<-或22k <<，∴直线l的斜率的范围是32,,2⎛⎛⎫-⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面数量积的定义转化COB ∠为锐角为0OC OB ⋅>，结合韦达定理运算即可得解.26．（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析.【分析】（1）由焦点及通经长，用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）设出直线AB ：y kx m =+，与椭圆联立，用“设而不求法”表示ACD BCD ∠=∠，整理得12k =. 【详解】（1）由2321b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩得：24a =，23b =∴椭圆E 的方程：22143x y +=（2）依题意知直线AB 的斜率存在，设AB 方程：y kx m =+()11,A x y ，()22,B x y代入椭圆方程22143x y +=得：()2224384120k x kmx m +++-=(*)122843km x x k ∴+=-+，212241243m x x k -=+ 由ACD BCD ∠=∠得0AC BC k k +=31,2C ⎫⎛ ⎪⎝⎭，121212123333222201111y y kx m kx m x x x x --+-+-∴+=+=---- ()1212322302kx x m k x x m ⎫⎛∴+--+-+= ⎪⎝⎭22241238223043243m km k m k m k k -⎛⎫⎛⎫∴⋅+----+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭整理得：(63)(223)0k k m -+-=2230k m ∴+-=或630k -=当2230k m +-=时，直线AB 过定点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，不合题意 630k ∴-=，12k =，∴直线AB 的斜率是定值12另解：设直线AB 的方程为3(1)12m x n y ⎫⎛-+-= ⎪⎝⎭椭圆E 的方程即：22333[(1)1]41222x y ⎡⎤⎫⎛-++-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即：22334126(1)3(1)022y y x x ⎫⎫⎛⎛-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭联立得：233(412)(126)22n y m n y ⎫⎫⎛⎛+-++- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭2(1)(63)(1)0x m x -++-=即23322(412)(126)(63)011y y n m n m x x ⎛⎫-- ⎪+++++= ⎪-- ⎪⎝⎭ ∴由ACD BCD ∠=∠得121233(126)22011(412)AC BCy y m n k k x x n --++=+=-=--+即：2n m =- ∴直线AB 的斜率为12m n -=，是定值. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。
新课程标准数学选修1-1第二章课后习题解答[唐金制]
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新课程标准数学选修1—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程 2．1椭圆 练习（P36）1、根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=或2213616y x +=. 3、由已知，5,4a b ==，所以3c =. （1）△1AF B 的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a += 所以，△1AF B 的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，△1AF B 的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，△1AF B 的周长4a =，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM y k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P41）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F =所以，2OF c =. 同理有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁. 习题2.1 A 组（P42）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=； （3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x = 所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、222213.525 2.875x y +=. 9、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.1 B 组（P78）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以2204x y += ……②. 将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭（第7题）（第4题）由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.3、解：如图，以O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴建立坐标系.由已知，得(0,3)E -，(4,0)F ，(0,3)G ，(4,0)H -.因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．2双曲线 练习（P48）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a =.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.练习（P53）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =.（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 习题2.2 A 组（P54）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =，渐近线方程为43y x =±；（2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =，渐近线方程为43y x =±.4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=或22221y x a a -=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=. 习题2.2 B 组（P54）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、222221x y a c a -=-.这说明点M 的轨迹是焦点为(,0)c -，(,0)c ，实轴为2a ，虚轴为. 2．3抛物线 练习（P59）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P63）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、2 1.1x y =-，[ 1.1,0]y ∈-.习题2. 3 A 组（P64） 1、B .2、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2p x =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、这条抛物线的方程是217.5x y =. 6、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.3 B 组（P64）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .（第6题）根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线.2、解：设这个正三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =. 又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、略.第二章 复习参考题A 组（P68）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. （第1题）2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、D . 4、2214x y -=.5、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp -设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设正三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为)32py x =- 与22y px =联立，消去x ，得220y p --= 解方程，得12)y p =，22)y p =把12)y p =+代入()32p y x =-，得17(2x p =+.把22)y p =代入)32p y x =-，得27(2x p =-. 所以，满足条件的点A有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B也有两个17((,2))2B p p+-+，27((,2))2B p p--所以，正三角形的边长是112)A B p=，或者222(2A B p=.第二章复习参考题B组（P68）1、12PF FS∆=2、解：由题意，得1PF x⊥轴.把x c=-代入椭圆方程，解得2bya=±. 所以，点P的坐标是2(,)bca-直线OP的斜率21bkac=-. 直线AB的斜率2bka=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c=，a=.由已知及1F A a c=+，得a c+=+所以(1c=c=所以，a=，b=因此，椭圆的方程为221105x y+=.3、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py=-因为点(4,4)C-在抛物线上所以242(4)p=--解得24p=-为24x y=-.（第12题）（第4题）设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=， 所以，4584p =，29168p =. 对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1 含解析
2.1.2椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆x 22+y24=1的短轴长为()A.√2B.2C.2√2D.42.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x 23+y24=1B.x242√3=1C.x 2+y2=1D.x2+y2=13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(−√3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A.x 24+y2=1B.x2+y24=1C.x 23+y2=1D.x2+y23=1一个焦点为(−√3,0),∴焦点在x轴上,且c=√3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b,∴a=2b.故选A.4.在一个椭圆中,以焦点F1,F2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e等于()A.12B.√22C.√32D.2√55b=c,故a=√2c.所以e=ca =√22.5.椭圆x 225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0<k<9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率x2+y2=1中,a=5,b=3,c=4,且焦点在x轴上.在椭圆x2+y2=1中, ∵0<k<9,且25-k>9-k,∴焦点在y轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.6.已知P是椭圆x 22+y2b2=1(a>b>0)上的一个动点,且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为−1,则椭圆的离心率为()A.√32B.√22C.12D.√33P(x0,y0),则y0x0-a·y0x0+a=−12,化简得x02a2+2y02a2=1.又因为点P在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1,所以a2=2b2,故e=√22.7.若焦点在x轴上的椭圆x 22+y2m=1的离心率为12,则m=.x轴上, 所以0<m<2.所以a2=2,b2=m.所以c2=a2-b2=2-m.因为椭圆的离心率为e=12,所以e2=14=c2a2=2-m2,解得m=32.8.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为2√3,离心率为√33,则该椭圆的方程为.,a=√3.又e =√33,∴c =1.∴b2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.y 22=1或y 23+x 22=19.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆C 的离心率为 .x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0). 设D (x 0,y 0),∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0). ∴x 0=3c,y0=−b.代入椭圆方程得9c 24a 2+b24b2=1,∴c 2a2=13,∴e =c a =√33.10.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c , ∴|BF 1|=c ,|BF 2|=√3c.根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a , 即c +√3c =2a,∴ca =√3−1. ∴椭圆的离心率e =√3−1.能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±√3,0)B.(0,±√3)C.(±√5,0)D.(0,±√5)2.椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A,与y 轴正半轴交于点B(0,2),且BF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2+4,则椭圆C 的方程为( ) A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=13.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A .14B.√55C .1D.√5−2A ,B 为椭圆的左、右顶点,F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,所以|AF 1|=a-c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B|=a+c.又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列, 所以(a-c )(a+c )=4c 2,即a 2=5c 2. 所以离心率e =c a =√55,故选B.4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为√55,且过点P(−5,4),则椭圆的方程为 .e =c a=√55,∴c 2a 2=a 2-b 2a 2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a 2=1(a >0). ∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a2=45.∴椭圆方程为x 245+y236=1.y236=1★5.已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别是F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的面积是5,A,B两点的坐标是(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|=.,S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=c|y1−y2|(A,B在x轴上、下两侧),又S△ABF2=5,∴|y1−y2|=5c=53.6.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等边三角形,求该椭圆的离心率.x轴上,如图,由AB⊥F1F2,且△ABF2是等边三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x,利用勾股定理,求出|F1F2|=√3x=2c.而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出离心率e.x轴上,∵AB⊥F1F2,且△ABF2为等边三角形,∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x.∴|F1F2|=√|AF2|2-|AF1|2=√3x=2c.由椭圆定义,可知|AF1|+|AF2|=2a.∴e=2c2a=√3x3x=√33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=√32,已知点P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为√7,求这个椭圆方程.x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由ca=√32,得a=2b,|PM|2=x2+(y-32)2=−3(y+12)2+4b2+3(−b≤y≤b).若0<b<12,则当y=-b时|PM|2最大,即(b+32)2=7,解得b=√7−32>12,故矛盾.若b≥12,则当y=−12时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为x24+y2=1.。
高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案
高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆122=+my x的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．41B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线xy 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线xy 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22>=p px y的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若px x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠FAF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y xD ．1125322=-y x7．圆心在抛物线)0(22>=y x y上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22D ．8．9．（理）已知椭圆22221a y x=+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．2230<<aB ．2230<<a 或282>aC ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．23 C ．2D ．310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B)13422=-y x (C)12522=-y x(D)15222=-y x11.将抛物线342+-=x xy 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）xy -=-2)1(2 （D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（每小题4分，共16分） 13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________． 14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx)0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________． 三、解答题（共44分）17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线22=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线与抛物线2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .（1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.y x20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线xy 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．三、解答题（20分） 11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD为直径的圆过E 点?请说明理由．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．34 15．42l 16．①③④ 17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a故所求椭圆的方程为1322=+y x .1322=+y x ………………………………………………4分.（2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得)1(36)13(222=-+++m mkx x k由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k mm kx yp pmkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MNAP AN AM⊥∴=,，则kmk k m 13132-=++-即1322+=k m②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MNMF =2，由双曲线定义可知eMF MF eMNMF =∴=211……5分 由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分 而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1. 20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ．分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k xA，2284222-++=k k k x B ．∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为mx y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mxx24162+)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =．设AMB ∆的面积为S ． ∴2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ．当22±=m 时，得2max=S．11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得12)1(222=-++-a kay y k ……………………3分 而12≠-k ，于是122--=+=k aky y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即)1,1(22kak ak T --……5分Θ点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴k a k a kak即22+=a k①由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l TO k k 则 0=k或 122+=a k当0=k 时，由①得 la ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k时，由①得 1=a lK ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或13+±=y x …………………………10分12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ． 依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴)31(36)12(22>+-=∆k k ．① 设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ，② 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx yy ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即)1)(1(2121=+++x x y y ．∴5))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ．③将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立．综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．。
(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（ ）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．343．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ）A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ） A ．3B ．102C ．5D ．109．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（ ）A ．2B ．83C ．5D ．16310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2623⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．22223⎛ ⎝⎭D ．332,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,2)B ．2)C ．[2,2]D ．2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.16．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.17．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.18．已知P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF S =△______．19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点 （1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上， 且|AF |＝3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ， 因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条， 因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点， 所以1202y y y +=， 所以12121202y y p pk x x y y y -===-+， 即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ， 所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-， 所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=， 所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<， 故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭，()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩． 以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==． 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN方程为1)x y =-，联立21)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c αα+＝， 利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，124πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2⎛ ⎝⎭， 故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值． 【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+， 设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=， 直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．15．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴 解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠， 由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=， 所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==， 因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.17．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.18．【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得再由三角形面积公式计算可得结果【详解】由已知得所以从而在中即①由椭圆的定义得即②由①②得所以故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义考查余弦定理的应用三角【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得124PF PF ⋅=，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由已知得2a =，b =1c ==，从而1222F F c ==，在12F PF △中，2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅，即2212124PF PF PF PF =+-⋅，① 由椭圆的定义得124PF PF +=， 即221212162PF PF PF PF +=+⋅，② 由①②得124PF PF ⋅=，所以12121sin 602F PF S PF PF ︒=⋅=△【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用、三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+， 抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=， 所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上， 当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件， 所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ， 所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在， 设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.三、解答题21．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可； （2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=， 由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1- 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得122,2c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120qp μμ--+-=，由此可知,λμ为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有2244312q λμ+==--，可求出q 的值，从而可得答案 【详解】（1）依题意，22,1c c =∴=．由12c a =，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．由PM MQ λ=，得()()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩．∵点M 在椭圆上，2211143q p λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()222312244120qp λλ--+-=．同理，由PN NQ μ=可得()222312244120q p μμ--+-=．,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，2244312q λμ∴+==--． 22q ∴=．又0,q q >∴=∴直线l恒过定点Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由,PM MQ PN NQ λμ==，得到()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程()222312244120qx x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，考查数学转化思想，属于中档题24．（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=， 将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程综合例题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程综合例题例1. 设圆()25y 1x 22=++的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与直线CQ 交于M ，求M 点的轨迹方程。
分析：由M 在AQ 的中垂线上，知|MA ||MQ |=，于是发现CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |=+=+|=5，又C 、Q 为定点，可知轨迹为椭圆。
解：∵M 是AQ 的中垂线上的点， ∴|MA ||MQ |=，∴5|CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |==+=+。
∴点M 的轨迹是以C （-1，0），A （1，0）为焦点，以5为长轴长的椭圆。
∴5a 2=，2c 2=，25a =，1c =，4211425b 2=-=。
∴M 点的轨迹方程是121y 425x 422=+。
点拨：利用平面几何知识寻求轨迹的几何特征，再根据椭圆的定义求得轨迹方程，几何法、定义法都是求轨迹的重要方法。
例2. 如图，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。
分析：根据曲线C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等可知，该曲线段C 是在某条抛物线上的，以1l 为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图所示的坐标系，据题意可知，点N 是该抛物线的焦点，2l 是准线，所以可令抛物线方程为()0p px 2y 2>=。
解：设A （A x ，A y ）、B （B x ，B y ），且B A x x <，B A y y 0<<。
∵点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，点N ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，又17|AM |=，3|AN |=。
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+9y 2p x ,17y 2p x 2A 2A 2A 2A ，得p 4x A =，又A 2A px 2y =，∴8p4p 2y 2A =⋅=， ∴1782p p 42=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 解得⎩⎨⎧==2x ,2p A ，或⎩⎨⎧==1x 4p A。
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达标习题
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14，0，则其标准方程为( )
A ．x 2＝－y
B ．x 2＝y
C ．y 2＝x
D ．y 2＝－x
【解析】 易知－p
2＝－14，∴p ＝1
2
，焦点在x 轴上，开口向左，其方程应为
y 2＝－x .
【答案】 D
2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝1
4x 2的准线方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2
＝4y .∴准线方程为y ＝－1.
【答案】 A
3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝y
D ．无法确定
【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝1
2，所以所求抛物线的标准方程
为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.
【答案】 C
4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )
A ．(－2,0)
B ．(2,0)
C ．(2,0)或(－2,0)
D ．(4,0)
【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a 2＝4，解得a ＝±8.
当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.
【答案】 C
5．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p
2＝2，即p ＝4.
【答案】 D 二、填空题
6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________.
【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p
2
＝4，∴p ＝2.
【答案】 2
7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．
【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .
【答案】 y 2＝8x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 ) 【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)
是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝7
2
≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2
＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －52.若由原点向该直线作
垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④ 三、解答题
9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．
【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p 2，0，则准线为x ＝p 2.由题意，设M 到
准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，
即p
2
－(－9)＝10.∴p ＝2.
故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．
10．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
【导学号：26160056】
【解】 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1.
∵两圆外切，∴|MC |＝R ＋1. 又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切． ∴圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .
∴|MC |＝d ＋1，即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p
2
＝2，p ＝4， 故其方程为y 2＝8x .
[能力提升]
1．抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是( )
A.1
2
B.
3
2
C．1 D. 3
【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝
|3×1－0|
3 2＋ －1 2
＝
3
2
或d2＝
|3×1＋0|
3 2＋12
＝
3
2
.
【答案】 B
2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y
轴的距离之和的最小值是( )
A. 3
B. 5
C．2 D.5－1
【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d＋|PF|的最小值为
|2＋3|
22＋ －1 2
＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.
【答案】 D
3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－3－2
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.
∴x 2＝－2y .
当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.
∴水面宽|CD |＝2 6 m. 【答案】 2 6
4．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离． 【导学号：26160057】
【解】 设抛物线焦点为F ，连结AF ，BF ，如图，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：
x ＝－12
，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.
由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得
|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝3
2
，
则x ≥32－1
2＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，
所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.。