人教版九年级数学上册小专题二次函数的图象与性质.docx
人教版九年级上册第22章二次函数图像与性质知识点题型总结
二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量，为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是全体实数.【二次函数的图象】1.二次函数图象与系数的关系（1）“决左抛物线的开口方向当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.（2）〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：S2a当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；当方同号时，对称轴在轴的左侧；当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・（3）“的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：当c>o时，交点在轴的正半轴：当c<0时，交点在y轴的负半轴.2•二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）・画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.3•点的坐标设法（1）一次函数y = ax + h图像上的任意点可设为（“与+“）•其中再=0时.该点为直线与y轴交点.（2）二次函数y = ax2+bx + c（心0）图像上的任意一点可设为（石，妙？+站+可.再=0时，该点为抛物线与y轴交点，当x=-A时，该点为抛物线顶点.2a⑶ 点（召，yj关于（兀2，x2）的对称点为（2兀-若，2比-）・4•二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性.（2）根据抛物线的对称轴判断-仝的大小.2a（3）根据抛物线与y轴的交点，判断。
专题、二次函数的图象和性质及平移
专题、二次函数的图像和性质及平移知识点1：二次函数y=ax²y=ax²+k、y=a(x-h)²2()y a x h k=-+y=ax²+bx+c的图象和性质y=a(x-h)2+k的图像和性质：二次函数cbxaxy++=2（a≠0）的图像和性质2.已知二次函数y=x2-3x-4，若点（5，y1），（8，y2），（-3，y3）在图象上，则y1与y2，y3的大小为 .知识点2：二次函数的平移（1）二次函数y=ax 2的图像向上平移c(c>0)个单位，得到的表达式为________；向下平移c(c>0)个单位，得到的表达式为________，可以简记为： （2）二次函数y=ax 2的图像向左平移h(h>0)个单位，得到的表达式为________；向右平移h(h>0)个单位，得到的表达式为________，可以简记为： 二次函数的平移问题可简记为：“________，________” 练习：1.将二次函数y=-12(x ＋4)2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象的解析式为 .2.将二次函数y=2x 2+3x+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象的解析式为 .例1.已知函数()9232+--=x y .（1）抛物线的开口方向是 、对称轴是 、顶点坐标是 ； （2）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （3）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；(5) 当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0. （6）求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（7）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？例2：把二次函数y =a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(1)12y x =+-的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y =a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．例3.对于二次函数223y x mx =--，有下列说法： ①如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m ≥1；②如果它的图象与x 轴的两交点的距离是4，则1m =±；③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=－1；④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－3． 其中正确的说法是 ．练 习1．如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么m 的取值范围是 ．2．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 ______ ．3.已知二次函数y=x 2+2x-4，若点（5，y 1），（-8，y 2），（1，y 3）在图象上，则y 1与y 2，y 3的大小 为 .4.通过配方，写出函数1662--=x x y ；的对称轴和顶点坐标并画出草图：5.求二次函数62+--=x x y 的图象与坐标轴的交点坐标，并求出这三点组成三角形的面积6.把二次函数253212-+=x x y 的图象向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是7.已知二次函数y=3x 2－6x+5，把它的开口方向反向，再沿对称轴向上平移，得到一条新的抛物线，它恰好与直线y=mx －2交于点(2，－4)，则新抛物线的关系式为______．8.二次函数322+-=x x y ()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .9.已知二次函数y=-x 2-4x-5．(1)指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y=－x 的图象上，求此时二次函数的解析式．10.如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为____．11.已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到二次函数y=x 2－8x+10． (1)求b 、c 的值；(2)若第(1)小题中的函数与x 轴的交点为A 、B ，试在x 轴的下方的图象上确定一点P ，使得△PAB 的面积最大，你能求出△PAB 的面积吗？。
中考数学专题《二次函数的图像和性质》
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y22．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小C．当x取0和2时，所得到的y的值相同D．当x＝1时，y有最大值是13．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（ ）A．y＝（x+4）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+4）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2 4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣3D．直线x＝35．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b （ab≠0）的图象大致如图（ ）A．B．C．D．6．（2分）（2022•长沙模拟）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）A．①②③B．②③C．①③④D．②④7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（ ）A．6B．5C．4D．38．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤39．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜010．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m ≤3时，△PAB的面积S的取值范围是 ．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 ．（填序号）13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为 ．（注：只填写正确结论的序号）14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是 ．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B 两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 ．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是 ．20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 个．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A （1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．24．（8分）（2020•雨花区二模）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，设AE＝x，BF＝y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y ＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N 为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．。
小专题(五) 二次函数的图象和性质
小专题(五) 二次函数的图象和性质1．对称轴是直线x ＝－2的抛物线是(C )A ．y ＝－x 2＋2B ．y ＝x 2＋2C ．y ＝12(x ＋2)2 D ．y ＝4(x －2)2 2．将抛物线y ＝x 2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式是(B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x ＋2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x －2)2－23．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是(D )A ．图象关于直线x ＝1对称B ．函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的最小值是－4C ．函数与x 轴的交点坐标为(－1，0)、(3，0)D ．当x<1时，y 随x 的增大而增大4．二次函数y ＝2x 2－4x ＋5，当x ＝1时，y 有最小值为3；若y 随x 的增大而减小，则x 的范围为x ≤1．5．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．6．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－2(a 、b 为常数)的图象如图所示，则a7．(牡丹江中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，0＝a －2＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE ＝2，DE ＝4.∴BD ＝BE 2＋DE 2＝2 5.8．如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)若M(a ，y 1)，N(a ＋1，y 2)两点都在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m.∴m ＝－1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.(2)∵M(a ，y 1)，N(a ＋1，y 2)两点都在函数y ＝x 2－3x ＋2的图象上，∴y 1＝a 2－3a ＋2，y 2＝(a ＋1)2－3(a ＋1)＋2＝a 2－a.y 2－y 1＝(a 2－a)－(a 2－3a ＋2)＝2a －2.∴当2a －2<0，即a<1时，y 1>y 2；当2a －2＝0，即a ＝1时，y 1＝y 2；当2a －2>0，即a>1时，y 1<y 2.9．(杭州中考)设函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)．(1)当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y 2的图象向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值．解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画函数图象如图．(2)①三个图象都过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x 轴于点(1，0)；③k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(x －3)]的图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；等等．(其他正确结论也行)(3)将函数y 2＝(x －1)2长度的图象向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数y 3＝(x ＋3)2－2， ∴当x ＝－3时，函数y 3取最小值，等于－2.。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
九年级数学人教版(上册)小专题3 二次函数的图象和性质
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
函数值越大，∴y1＞y2.
9．(2021·江西)在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2 与一 次函数 y＝bx＋c 的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图 象可能是( D )
10．已知二次函数 y＝mx2－2x＋1，当 x＜13时，y 的值随 x 值的 增大而减小，则 m 的取值范围是0＜m≤3 ．
A．a＜0 B．点 A 的坐标为(－4，0) C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 x＝－2
5．对二次函数 y＝12x2＋2x＋3 的性质描述正确的是(C ) A．函数图象开口向下 B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 C．该函数图象的对称轴在 y 轴左侧 D．该函数图象与 y 轴的交点位于 y 轴负半轴
6．若二次函数 y＝mx2＋x＋m(m－2)的图象经过原点，则 m 的 值为 2 ．
7．(2021·益阳)已知 y 是 x 的二次函数，下表给出了 y 与 x 的几 对对应值：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中 a＝6 ．
8．(2021·安徽节选)已知抛物线 y＝ax2－2x＋1(a≠0)的对称轴为 直线 x＝1.
第二十二章 二次函数
小专题3 二次函数的图象和性质
1．(2021·兰州)二次函数 y＝x2＋2x＋2 的图象的对称轴是( A )
A．直线 x＝－1
B．直线 x＝－2
C．直线 x＝1
D．直线 x＝2
2．(2021·上海)将函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向下平移 2 个 单位长度，以下说法错误的是(D )
人教版九年级上册二次函数y=a(xh)的图像与性质
1)2、y
1(x1)2 2
与抛物线y
1 2
x2
即:
y
1 2
x
2
向1个左单平位移y
1(x1)2 2
y 1 x2向右平移y 1(x1)2
y 1
2 1个单位 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1(x1)2 2
-5
-6
-7
-8
y 1(x1)2 2
-9 -10
抛物线 开口方向 对称轴
y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
向上 向下 向下
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
小结
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下.
(2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,0).
练习 画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2
y= −2（x+3）2
y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
如何平移：
y 3(x1)2 4
y 3(x1)2 4
y 3(x3)2 4
探考画虑究出它二们讨次的函论开数口方y向、12对(x称1轴)2、和y顶点12: (x1)2 的图象,并
解:先列表 描点
x
… -4 -3 -2
y 1(x1)2 …
-2
人教版版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习(word版含答案)
人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 ． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝ ．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝ ．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。
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初中数学试卷
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小专题二次函数的图象与性质
题组1 二次函数的图象性质
1.当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由.若有，请求出最大值.
2.(泉州中考)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2).
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.
3.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
①y随x的变化的部分数值规律如下表：
②有序数对(-1，0)、(1，4)、(3，0)满足y=ax2+bx+c；
).
③函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图
4.如图所示，已知抛物线C0的解析式为y=x2-2x.
(1)求抛物线C 0的顶点坐标；
(2)将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n (n 为正整数).
①求抛物线C 1与x 轴的交点A 1、A 2的坐标；
②试确定抛物线C n 的解析式.(直接写出答案，不需要解题过程)
题组2 二次函数图象与几何图形的结合
1.(牡丹江中考)如图，抛物线y=ax 2+2x+c 经过点A(0，3)，B(-1,0)，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长.
2.如图，抛物线y=-2
1x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=3.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
3.如图，二次函数y＝ax2-4x+c的图象过原点，与x轴交于点A(-4，0).
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请求出点P的坐标.
4.(佛山中考)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)将抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图2中阴影部分).
参考答案
小专题二次函数的图象与性质
题组1 二次函数的图象性质
1.当k=-1时，函数为y=-2x2-4x+6，配方，得y=-2(x+1)2+8，∵二次项系数-2＜0，∴函数有最大值，当x=-1时，y取最大值8；
当k=1时，函数为y=-4x+4，是一次函数，无最值；
当k=2时，函数为y=x2-4x+3，
∵二次项系数1＞0，∴二次函数开口向上，无最大值.
2.(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2)，
∴a(1-3)2+2=-2.解得a=-1.
(2)由(1)得a=-1<0，抛物线的开口向下，在对称轴x=3的左侧，y随x的增大而增大.
∵m<n<3，∴y1<y2.
3.(1)答案不唯一，以选择条件③为例，由图象可知：二次函数图象的顶点坐标为(1,4)，则可设二次函数解析式为y=a(x-1)2+
4.
∵图象经过点(-1,0)，∴当x=-1时，y=0，代入解析式，得a(-1-1)2+4=0，解得a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=1；与x轴的交点为(-1，0),(3，0)；与y轴的交点为(0，3)；顶点坐标为(1，4)；当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小；当x=1时，二次函数有最大值y=4.
4.(1)∵y=x2-2x=(x-1)2-1，
∴抛物线C0的顶点坐标为(1，-1).
(2)解：当y=0时，则有x2-2x=0，解得x1=0,x2=2，∴O(0,0)，A1(2,0).
将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，
此时抛物线C0与x轴的交点O(0,0)、A1(2,0)也随之向右平移2个单位，
∴抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1(2,0)、A2(4,0).
抛物线C n的解析式为：y=x2-(4n+2)x+4n2+4n.
题组2 二次函数图象与几何图形的结合
1.(1)∵抛物线y=ax 2+2x+c 经过点A(0，3)，B(-1,0)，
∴c=3,
0=a-2+c.解得a=-1,
c=3.
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3.
(2)∵y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).∴BE=2，DE=4.
∴BD=22DE BE =25.
2.
(1)由已知条件得A(-2,0)，C(0,3)，代入二次函数解析式，得c=3, -2-2b+c=0.解得b=
21， c=3.
∴抛物线的解析式为y=-21x 2+2
1x+3. (2)连接AD ，交对称轴于点P ，则P 为所求的点.设直线AD 的解析式为y=kx+t. 由已知得-2k+t=0,
2k+t=2.解得k=
2
1, t=1. ∴直线AD 的解析式为y=
2
1x+1. ∵对称轴为直线x=21，将x=21代入y=21x+1，得y=45.∴P(21，45). 3.(1)依题意，得c=0，
16a+16=0.解得a=-1，
c=0.
∴二次函数的解析式为y ＝-x 2-4x.
(2)令P(m ，n)，则
S △AOP =21AO ·|n|=2
1×4|n|=8. 解得n ＝±4.
又∵点P(m ，n)在抛物线y ＝-x 2-4x 上，
∴-m 2-4m ＝±4，分别解得m 1＝-2，m 2＝-2+22和m 3＝-2-22.
∴P1(-2，4)，P2(-2+22，-4)，P3(-2-22，-4).
4.(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0，3)，
∴c=3.
把B(3，0)，C(4，3)的坐标代入y=ax2+bx+3，得9a+3b+3=0, 16a+4b+3=3.解得a=1，
b=-4.
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点坐标为(2，-1)，对称轴是直线x=2.
(3)阴影部分的面积为2个平方单位.。