关系映射反演方法
关系映射反演方法在中学数学中的应用
‘ ．
４ 几 何 问题 代 数 化 ． 平 面 几 何 中 的 问题 ， 果 只 限 于 用 平 面 几何 的 方 法 求 如
’ Ｏ （／ ） －１ １ ， Ｃ Ｓ Ｏ一 ∈（ ， ）
．
‘
．
、 ３ＣＳ￣一 ） 一 ／ 、 ３ ） ／ Ｏ（ ∈（ｘ ３，／ ．
解 ， 度 较 大 ， 如 果 用 映 射 法 中 的 坐 标 法 将 几 何 问 题 转 难 但 化 为 代 数 问题 求 解 ，则 较 简 单 ． 基 本 思 想 是 建 立 直 角 坐 其
、 ／ 亦 即 、 ／
＋、 ／
＋／ 、
＞ ＝
（ Ⅱ＋ｂ ） ＋Ｃ ． （＋ ＋ ） 。 ６ ｃ
当 ｎ＝ｂ＝ｃ时 ， 显然 有 ＡＥ＂Ｅ ４ Ｆ＋Ｆ － Ｃ＝ＡＣ，
＋、 ＋ ２ 、 ／２ ｃ ＋／
．
．
设 ＝、 ３ ＣＳ／ ／ Ｏ ， Ｏ Ｙ＝、 ３ ｓ ， ＝ＣＳ ｎ＝ｓ ｆ， ／ ｉ ｍ ｎ Ｏ ， ｉｌ ｎ
标 系 ， 出 对 应 点 的 坐 标 ， 而 根 据 已 知 条 件 列 出其 对 应 设 从 关 系 式 ， 过 解 方 程 组 或 不 等 式 组求 得原 问题 的解 ． 通 例 ４ 在 一 个 面 积 为 ３ ｍ 的 平 面 凸 四边 形 中 ， 已知 ２ｃ 两 条 对 边 和 一条 对 角 线 的长 度 之 和 为 １ ｍ，试 确 定 另 一 ６ｃ 条 对 角 线 的 所 有 可 能 的长 度 ．
故 ｍｇＩ ｙ的最 大值 为 、 ３ ． ：－ｎ ． － ／
２ 代 数 问 题 函 数化 ． 不 等 式 与 函数 是 密 不 可 分 的 ， 利 用 函数 关 系 求 得 不 常 等式 关 系 的成 立． 般 是 通 过 构 造 适 当 的且 满 足 条 件 的简 一 单 函数 ， 察 不 等 式 与 函数 的关 系 ， 过 比 较 、 换 等 方 法 观 通 代
高等代数的关系映射反演法的认识与研究
高等代数的关系映射反演法的认识与研究关系映射反演法（Inverse Relational Mapping）是一种在抽象代数中研究群、环、域等代数结构的方法。
它主要关注这些代数结构中元素之间的关系，并通过反演技术来揭示这些关系。
在高等代数中，关系映射反演法具有重要的地位，它可以帮助我们更深入地理解这些代数结构及其性质。
以下是关系映射反演法的一些基本认识和研究：1. 群：群是一种代数结构，由一个集合和一种运算（通常表示为“×”）组成，满足群的四个基本性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
在群中，关系映射反演法主要关注元素之间的运算关系，以及这些关系如何满足群的性质。
2. 环与域：环和域是两种包含加法和乘法运算的代数结构。
环需要满足加法群的性质以及乘法对加法的分配律；域则需要满足环的性质以及除法运算的存在。
关系映射反演法在环和域中的应用，主要是研究加法和乘法之间的关系，以及这些关系如何满足环和域的性质。
3. 同态与同构：同态和同构是代数结构之间的两种重要关系。
同态是一种从一个代数结构到另一个代数结构的映射，它保留了结构中的运算关系；同构是一种特殊的同态，它同时保留了代数结构的性质和结构。
关系映射反演法在研究同态与同构时，主要关注代数结构之间的运算关系和性质之间的关系。
4. 模与线性代数：模是一种代数结构，由一个加法群、一个乘法半群（通常表示为“×”）和一个可乘关系组成。
线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵代数的数学分支，其中许多概念和定理都可以使用关系映射反演法来推导和证明。
总之，关系映射反演法在高等代数的研究中具有广泛的应用。
通过运用这种方法，我们可以更深入地理解代数结构之间的联系和性质，为实际问题的解决提供理论支持。
浅谈关系映射反演方法在中学数学的表现
浅谈关系映射反演方法在中学数学的表现关系映射反演方法自20世纪年代提出以来,在数学中已有着十分广泛和重要的应用。
在一个数学问题里,一些未知元素与已知元素原像之间有一定的关系,若希望由此求得未知元素,但直接求解比较困难,这时可寻找一个映射一一对应,把原像关系映射成“映像关系”,通过映像关系求得未知元素的映像。
最后从未知元素的映像通过逆对应称为“反演”,求得未知元素,这种研究问题的思路称为关系映射反演方法。
关系映射反演方法是一种把较困难的问题转化为较容易处理的,使原问题最终获得解决的方法,在数学发现和数学解题有着多方面的作用。
关系映射反演原理可表示:首先,定义ϕ是一个映射,它将集合A={x}中的元素映满另一个集合A*={x*},其中x*是x的象,x是x*的原像,即:如果ϕ是可逆的，则把ϕ的逆映射称为“反演”，记作ϕ-1，则：如果象x*可以通过确定的数学方法在A*中得到确定，则称ϕ为一个可定映射。
则数学中的关系映射反演方法可表述为：如图1所示。
给定一个含有原象x的集合A，如果能找到一个可定映射ϕ，将A映入或映满A*，则可从A*通过一定的数学方法把象x*=ϕ(x)确定出来，进而，通过反演ϕ-1又可把x=ϕ-1(x*)确定出来。
此过程可表示为：综上所述,可归纳出正确使用RMI方法的条件。
首先映射必须是两类数学对象之间的一一对应关系;并且映射是可定映的;最后对应的逆映射必须具有能行性。
从上面的分析,不难看到RMI原理确实是一种普遍的思想方法和解题程序,故不能忽视其重要作用。
尤其在解决一些运算程序比较复杂的问题,如能用RMI原理这条主线把各种方法知识连接贯穿起来,想必定能起到事半功倍之效。
三角函数是基本初等函数之一,在中学数学中占有很高的地位,且公式繁多,知识结构复杂,它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,主要的学习内容是三角函数的概念、图像和性质,以及三角函数模型的简单应用。
如: 例1:求解:将上述思想方法用图表示如图2所示。
关系映射反演方法的应用
198教育管理与艺术 2014年第7期课改论坛当人们对着镜子刮胡子时，一定注意到了这种现象：为了将胡子刮掉，只要镜像完成刮胡子的动作即可。
在这当中，刮胡子的动作是由镜像的动作来调节的。
也就是说，镜像是人在镜中投射的映像，人刮胡子的动作反映了镜像刮胡子的动作，像的动作是人的动作的反映；另一方面，为了真正完成刮胡子的任务，人的动作又需要像的动作的指挥、反馈，这时，像的动作反射到了人的动作上。
刮胡子的完成，遵循的是一条“人的胡子→像的胡子→像胡子刮完→人胡子刮完”的路线。
这一日常行为过程，本质上蕴含着一个重要的思维模式：关系（Relation）→映射（Mapping）→反演（Inversion）方法，简称RMI方法或RMI原则。
一、 方法RMI方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可以借助适当的映射，把问题甲及其关系结构S，转换成与它有一一对应关系，且易于考察的问题*及其关系结构S*；在新的关系结构S*中对问题甲*处理完毕后，再把所得的结果，通过逆映射反演到S，求得关于问题甲所需的结果。
如果用S表示一组原象的关系结构，其中包含待处理的原象x， f表示一种可逆映射（一一对应法则），在f 作用下，原象结构系统S被映成映象关系结构S *，未知原象x被映成映象x *。
又设在S *中有办法把x *确定下来（定映），并通过反演即逆映射f -1相应地把x确定下来，那么关系反演映射方法的基本内容，可以简单地用图1表示。
利用关系映射反演方法处理问题，全过程可以概括成以下几个步骤：关系→映射→定映→反演→得解。
二、 方法在几何中的应用几何学的创立，是RMI方法的一次成功应用，恰当的运用RMI方法，可以将复杂的几何问题简单化。
例1 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
解：映射f建立直角坐标系。
如图2设动点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足B,点M属于集合p={M││MA-│MB│=2} ，可得定映函数 反演f -1 ：因为曲线在轴上方， y>0，但原点（0，0）不属于已知曲线，所以所求曲线方程应为y=x 2(x≠0)，它的图形是关于y轴对称的抛物线 ，但缺一个顶点。
关系映射反演方法
1 dx 2 ( x 1) 2
1 2 1 x 1 1 2
2 dx
用MRI方法求解图示：
1 1 dx x2 2 x 3 2
x 1 d 2 2 x 1 1 2 1
:u
x 1 2
3.关系映射反演方法的拓展
RMI方法不仅是数学中一种应用广泛的 方法,而且可以拓展到人文社会科学中去.
哲学家 的思维
客观物质世界S （原象关系结构）
映射 反演
1
哲学理论体系S* （映象关系结构）
x
逻辑分析
x
*
4.例谈
例 解 求
1 dx . 2 x 2x 3
用MRI方法求解：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 dx 2 dx 2 x 2x 3 ( x 2 x 1) 2
关系映射反演方法
数学思想方法简介
1.何谓关系映射反演方法
我国数学家、 教育家徐利治 于1980概括总 结而成
关系（relationship） 映射（mapping） 反演（inversion） 方法又简称为RMI方法. 原问题S （原象关系结构）
映射
新问题S* （映象关系结构）
x
？
解答
x
1
*
x
反演
求 解 解答
x
*
2.关系映射反演方法的应用
关系映射反演方法,即RMI方法,实质上 是化归方法,是一种矛盾转化的方法,它可以 化繁为简,化难为易,化生为熟,化未知为已 知,因而是数学中应用非常广泛的一种方法, 数学中的许多方法都属于RMI方法,如分割 法、函数法、坐标法、换元法、复数法、向 量法、参数法等.
关系映射反演原则在高中数学各章节教学中的实践-精品文档
关系映射反演原则在高中数学各章节教学中的实践把数量关系的精确刻划与几何图形的形象直观地结合起来，从而充分暴露问题的条件与条件，条件与结论之间的内在联系，恰当的变更问题，使问题化难为易，化繁为简，这就是形结合法。
关系映射反演（relational mapping inversion，简称RMI）原则在这里的应用就形成了数形结合思想，在具体操作中我们可以以直角坐标系、极坐标系、复平面等建立映射，把代数问题转化成图像问题，用图像的直观性来解题，或者把几何问题转化成代数问题，用代数的精确性解题。
一、函数、方程、不等式与RMI原则函数是高中代数内容的主干,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，贯穿于高中代数的全部内容。
函数的思想与方程的思想密切相关，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f(x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。
函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f（x），当y 〉0时，就转化为不等式f（x）〉0,借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
特别要注意三个“二次”的相关问题,三个“二次"即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握一次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。
这就要求研究方程的解的时候，要能够把方程问题映射到函数中去,通过进一步对函数的性质、图像的研究,从而得到结论，最后反演到方程问题。
同样不等式问题也可以映射到函数或方程上，研究好以后再反演到不等式原问题中。
这样一来，函数、方程、不等式联成一体。
例如在具体讲授一元二次不等式的解，即不等式ax2+bx+c〉0的解时，我把重点放在探究不等式的解法上。
本节课学生所要反馈的是如何寻求一元二次不等式的解法，这不仅是教学的重点也是教学难点。
为了使学生能有效地接受新知识，我以一个十分简单的一元二次不等式x2-2x—3>0为入手,让学生自行解决。
关系映射反演原则
（2）关系结构（relation-structure)
• 由一些数学对象构成的集合称之为无关系结构，如果在集 合的元素（对象）间存在着某种或某些数学关系则称为关 系结构（所谓数学关系是指在数学对象间可以确切定义的 关系。特别，例如有代数关系、序关系、拓扑关系、函数 关系、泛函关系、相容关系、不相容关系等）
映射
待作解析量与可作解析 量的关系问题
形数对应
反演 尺规作图不可能
跟号π，2的立方根等 是不可作解析量
几何解释
6、补充说明
• 数学上的RMI原则对于数学工作者很是有用， 可利用其来解决个别数学问题。
充分地联想和类比，把一事物翻 译为另一事物，得到另一事物的 解答，最后再把这个解答翻译为 对第一个事物的解答，从而迂回 地解决问题。这样往往能进入 “山穷水复疑无路，柳暗花明又 一村”的思维境界。
4、其他例子
• P42、例 1，试按照RMI原则求解差分方程
• f n = f n-1 + fn-2 （n=2,3, . . .）。 • 其初始条件为 f0=1，f1=2. {（f n）} 原像 F(t)
f（x）=x2-2ax+2
当x∈ [-1，+∞)时，f（x）>a恒 成立，求a的取值范围
第三讲
关系映射反演原则 的应用
﹖
1、何谓“关系映射反演原则”
• 所谓关系映射反演原则，是指一种分析处 理问题的普遍方法或准则，他包括对所研 究问题中的各种“关系”（例如数量关系， 几何中各元素之间的位置关系等等），采 用“映射”和“反演”两个步骤去解决问 题的过程 如课本P30所举剃胡子例子
• 一般说来，数学关系结构具有下列三条件：
一）是结构系统中的对象必须是数学对象； 二）是对象间的联系必须是数学关系； 三）是结构系统具有某种整体性或可分解性。
关系映射反演原则的应用
x 统），其中包含着待确定的原象 。令M表示一种映射
（一一对应法则），通过它的作用假定原象结构系统R
x 被映成映象关系结构R * ，其中自然包括未知原象 的映 x 象x * ，如果有办法把x * 确定下来， 则通过反演即送映
射I M1 也就相应地把 确定下来。
在原像 满f 足 f (0)的限0制下，映射D是一一对应，其反演
是
1:g D1gxg(t)d.t 0
因此S(x的) 反演便给出了原像表达式
x
S (x ) 0lo 1 g t)d (( t1 x )lo 1 g x ) x (.
RMI原则与几何问题
思想方法可用框图表示如下：
几何关系问题
课题目的 确定某种 几何关系
逆映射 1具有某种能行性，即能将目标原像的某 种所需要的性状经有限步确定下来者，则称该系 统为可解结构系统，简记为 (S,S*;).
数学手续——凡是由数值计算、代数计算、 解析计算（包括极限手续等）、逻辑演算以及数 学论证等步骤作成的形式过程。
对于给定的一个具有目标原像x的关系结
构 S，如果有这样的一个可逆映射 ，它 S将
RMI原则与尺规作图 例2、分析古希腊三大难题尺规作图的不可能性， 三大难题即作出长度 、 3的2 线段和把任意角三等 分。
所谓尺规作图法，按行数对应的解析几何观点来看，无 非是利用直线与直线相交、直线与圆周相交、圆与圆相交 等截取交点的几种基本方式来进行的。尺规作图数量是联
结任意两个有理点经过多次五则运算+、-、 、、表示
映成映像关系结构S * ，在中通过某种形式的有
限多步数学手续，能把目标映像 x*(x)的某
种所需要的性状确定下来的话，那么就称 为
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3.关系映射反演方法的拓展
RMI方法不仅是数学中一种应用广泛的 方法,而且可以拓展到人文社会科学中去.
哲学家 的思维
客观物质世界S （原象关系结构）
映射 反演
1
哲学理论体系S* （映象关系结构）
x
逻辑分析
x
*
4.例谈
例 解 求
1 dx . 2 x 2x 3
用MRI方法求解：
1 1 dx 2 dx 2 x 2x 3 ( x 2 x 1) 2
1 dx 2 ( x 1) 2
1 2 1 x 1 1 2
2 dx
用MRI方法求解图示：
1 1 dx x2 2 x 3 2
x 1 d 2 2 x 1 1 2 1
:u
x 1 2
关系映射反演方法
数学思想方法简介
1.何谓关系映射反演方法
我国数学家、 教育家徐利治 于1980概括总 结而成
关系（relationship） 映射（mapping） 反演（inversion） 方法又简称为RMI方法.* （映象关系结构）
x
？
解答
x
1
*
x
反演
求 解 解答
x
*
2.关系映射反演方法的应用
关系映射反演方法,即RMI方法,实质上 是化归方法,是一种矛盾转化的方法,它可以 化繁为简,化难为易,化生为熟,化未知为已 知,因而是数学中应用非常广泛的一种方法, 数学中的许多方法都属于RMI方法,如分割 法、函数法、坐标法、换元法、复数法、向 量法、参数法等.
1 1 1 x 2 2 x 3 dx 2 1 u 2 du
积 分
1 1 x 1 dx arctan C 2 x x3 2 2
1 : x 2 u 1
1
1 1 1 u2 du 2 arctan u C 2