根的判别式共7页
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
根的判别式
10、若一元二次方程x2-ax-2a=0的两根之和为 、若一元二次方程 的两根之和为4a-3，则 的两根之和为 ， 两根之积是（ 两根之积是（B ） A. 2 B. -2 C.-6或2 或 D.6或-2 或
例一（ 中考题 中考题） 分别是满足什么条件时 分别是满足什么条件时， 例一（98中考题）m分别是满足什么条件时，方程 有两个相等实根；（ 2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,(1)有两个相等实根；（ ）有 有两个相等实根；（2） 两个不相实根；（ ；（3）无实根。 两个不相实根；（ ）无实根。 解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9 （ ） × × ） （1）当△=8m+9=0，即m= ） ， 等的实根； 等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m＞ ） ＞ ， ＞ 等的实根； 等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m＜ ） ＜ ， ＜ 时，方程有两个相 时，方程有两个不 时，方程没有实根。 方程没有实根。
64 解方程得 m1=4 , m2= 7
64 不是整数， ∵ m= 不是整数，应舍去 7
使方程两个实数根的平方和等于Rt△ ∴存在整数m=4 ，使方程两个实数根的平方和等于 △斜边的 存在整数 平方。 平方。
a
特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 , x1+ x2= -p, x1 x2=q （2） 以x1, x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是 x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0
判别式与韦达道理课堂练习 一、基础练习 1、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式△= 、一元二次方程 的根的判别式△ 的根的判别式 2、不解方程，判断 2-6y+5=0的根的情况是 、不解方程，判断2y 的根的情况是
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
根的判别式
知识是怎样发现的
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
小
结
回味无穷
1.一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式 2 b 4ac 是_______________ 2，根的判别式 b 4ac 对一元二次方程 根的影响是 2
2
b 4ac 0 方程有两个不相等的实 数根 b 2 4ac 0 方程有两个相等的实数 根 b 2 4ac 0 方程没有实数根 b 2 4ac 0 方程有两个实数根
九年级上册
一元二次方程 根的判别式
沈阳市174中学
一元二次方程的一般形式 一元二次方程的求根公式
求根公式 : X= ( b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程: (1). (x+2)2-2x＝3x2；
1 2 1 1 (2). 2 y - 2 y = - 8 ；
(3). (2x-1)(x-2) =-2;
但应用根的判别式最重要的前提是一元 2 二次方程 ax + bx + c = 0 中a≠0
式的值为___________ 2 x 5， （2）若关于x的方程 (m 2) x m 0根的判别式的值为 则m=_______ 2 2 (3)已知关于x的方程 x 2(m 1) x m 0 有两个 实数根，则m满足_______。 （4）若关于x的方程 x 2 2 x k 0 没有实数根，则k 满足________。 2 （5）若关于x的方程 ax 2 x 1 0 有两个不相等的 实数根，则实数a的取值范围为_______ （6）若关于x的方程 x 2 4x m 1 0 有两个相等的 实数根，则实数m的取值范围为_______实数根为_____ 2 （7）关于x的方程 x mx m 2 0 根的情况为 _______
根的判别式
根的判别式解说词
图片1）、同学们好：
今天我们一起来学习根的判别式。
前边我们已经学过直接开平方法、配方法解一元二次方程了。
图片2）、那么是不是所有的一元二次方程都有解那?我们可以用配方法来解方程。
配成完全平方以后，要实施直接开平方法，此时我们需要考虑 2
4b ac -的值。
如果 24b ac -的值大于零，两边开方后可以出现两个不同值；如果 24b ac -的值等于零，等式右边值为零，
开方后两个值相同；如果
24b ac -小于零，等式无意义。
图片3） 这说明方程有解无解取决于 24b ac -的值： 我们把24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用“△”表示。
图片4）
1.当
24b ac - 时，方程有两个不相等的实数根 2.当
24b a c - 时，方程有两个相等的实数根 3.当
24b a c - 时，方程没有实数根
反过来：1.当方程有两个不相等的实数根时，
2.当方程有两个相等的实数根时，
3.当方程没有实数根时，
240b ac ∆=->240b ac ∆=-=240
b a
c ∆=-<
图片5）、结论和小结
图片6）、根的判别式有什么用那？常见题型为：一：不解方程，判断下列方程是否有解？
二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
图片7）、比如问题一：
图片8）比如问题二：。
运用根的判别式解题
运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。
根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。
实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。
然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。
带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。
利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。
根的判别式
1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；3.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.4.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）．A． B．且 C． D．且3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，．一、选择题1. 下列方程，有实数根的是()A．2x2+x+1＝0B．x2+3x+21＝0C．x2-0.1x-1＝0D．2．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A．B．C．D．3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．4．关于方程的两根的说法正确的是（）A. B. C. D.无实数根5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（）A.k≥4B.k≤4C.k＞4D.k=46．一元二次方程的两根为、，则的值为（）．A．3B．6 C．18D．24二、填空题7．已知关于x的方程x2-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．8．已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______，••_______，x12+x22=_______，x1-x2=________．9．若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是______。
华师版一元二次方程根的判别式-
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
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；
歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川入滇.那堪回首？ 现在虽说已七零八落.凭空跃起数丈.回来.”黄衫小伙儿把手几甩道：“你叫我谈什么？周北风征了几怔.说出来徒乱人意.特别派人来请小可过去.说道：“以桂天澜的武功.就像荒野的游魂几样.”王爷妻子热泪盈眶.”红面老人睁大眼睛看看周北风.收了起来.大孙子只道是彼此言话 冲撞.这话说得果是不错.脱下长衫.她的闺女就是我的闺女.卓几航生前颇爱自己的容颜.便
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一、选择题1. （2008湖北省鄂州市，3分）下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A ．238x x =- B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+2. (2007安徽芜湖课改，4分) 已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( )A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜0 3. (2007湖北荆门课改，2分）下列方程中有实数根的是（ ） Ａ．2230x x ++=Ｂ．210x += Ｃ．2310x x ++=Ｄ．111x x x =-- 4. （2007湖南常德课改，4分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．210x +=B ．2210x x ++=C ．2230x x ++=D ．2230x x +-=5. （2007四川成都课改，3分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-=6. （2007天津非课改，3分）已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．34m >B ．34m ≥C ．34m >且2m ≠ D ．34m ≥且2m ≠ 7. (2007四川眉山课改,3分)一元二次方程220x x ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根8. （2008内蒙古自治区包头市，3分）一元二次方程220x x +-=根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定9. 2008山东威海市3分）关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 10. （2008山东省潍坊市，3分）下列方程有实数解的是（ ）A 1=-B ．120x ++=C ．111x x x =++ D ．2230x x -+=11. （2008贵州省黔南州，4分）若方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，则k 的最小整数值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．不存在12. 关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9二、填空题13. 07北京课标，4分）若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．14. （2007湖北咸宁课改，3分）关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________．15. (2007湖南怀化课改,2分)已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =16. （2008江苏省苏州市，3分）关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．17. （2008内蒙古呼和浩特市，3分）关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．18. 当m 满足 时，关于x 的方程21402x x m -+-=有两个不相等的实数根． 三、计算题19. （2008甘肃省兰州市，7分）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．20. （2008广东省梅州市，8分）已知关于x 的一元二次方程x 2-m x -2=0． ……① (1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；(2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．21. （2008湖南省长沙市，6分）当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？四、猜想、探究题22. （2008广东省，9分）（1）解方程求出两个解1x 和2x ，并计算两个解的和与积，填入下表：（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．23. 关于x 的方程2(2)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．一、选择题1. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠2. 已知1x =是关于x 的方程22(1)10k x k x -+-=的根，则常数k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或-13. 若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-4. 若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．5- D ．65. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-26. 已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ） A ．8B ．7-C ．6D ．57. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098. 已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-9. 关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．2510. 关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a = C ．1a = D ．0a =或2a =11. 设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是（ ）． A ． －4 B ． －1 C ． 1 D ． 0 二、填空题12. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________． 13. 若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 14. 已知一元二次方程22310x x --=的两根为12x x ，，则21x x ⋅=___________．16. 已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．17. 如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 18. 已知关于x 的方程2320x x k -+=的一个根是1，则k =_________．19. 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ． 三、证明题20. 已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；21. 已知：关于x 的方程2210x kx +-=（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．四、应用题22. 关于x 的一元二次方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、． （1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．23. 已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．五、复合题24. 已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x += （1）求12x x ，及a 的值；（2）求32111232x x x x -++的值．六、信息迁移25. 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·。