不连续问题的扩展有限元法分析
ABAQUS中扩展有限元(XFEM)功能简介
ABAQUS中扩展有限元（XFEM）功能简介扩展有限元（Extended Finite Element Method）是一种解决断裂力学问题的新的有限元方法，其理论最早于1999年，由美国西北大学的教授Belyschko和Black首次提出，主要是采用独立于网格剖分的思想解决有限元中的裂纹扩展问题，在保留传统有限元所有优点的同时，并不需要对结构内部存在的裂纹等缺陷进行网格划分。
ABAQUS基于在非线性方面的突出优势，在其6.9的版本中开始加入了扩展有限元功能，到6.13做了一些修正，加入了一些可以被CAE支持的关键字。
目前为止，除了手动编程，能够实现扩展有限元常用的商业软件只有ABAQUS，今天，我们就来谈谈ABAQUS 中如何实现扩展有限元。
1. XFEM理论在XFEM理论出现之前，所有对裂纹的静态模拟（断裂）都基本上是采用预留裂缝缺角，通过细化网格仿真裂缝的轮廓。
而动态的模拟（损伤）基本上都是基于统计原理的Paris 方法。
然而，断裂和损伤的结合问题却一直没有得到有效的解决，究其原因，在于断裂力学认可裂纹尖端的应力奇异现象（就是在靠近裂尖的区域应力值会变无穷大），并且尽可能的绕开这个区域。
而损伤力学又没有办法回避这个问题（裂纹都是从尖端开裂的）。
从理论上讲，其实单元内部的位移函数（形函数）可以是任意形状的，但大多数的计算软件都采用了多项式或者插值多项式作为手段来描述单元内部的位移场，这是因为采用这种方法更加便于在编程中进行处理。
但是这种方法的缺点就是，由于形函数的连续性，导致单元内部不可能存在间断。
直到Belytschko提出采用水平集函数作为手段，其基本形式为和上面左边的等式描述了单元内裂缝的位置，右边的等式描述了裂尖的位置。
与之对应的形函数便是和其中H(x)是阶跃函数。
想要了解更深的内容，大家可以参考《Extended Finite Element Method》和庄老师的《扩展有限单元法》这种扩充形函数能够描述单元内位移场在裂缝两边的跳跃性，同时，由于裂缝存在于单元内部，其扩展独立与其他单元，使得计算变得高效。
有限元法的分析过程
有限元法的分析过程有限元法是一种数值分析方法，用于求解实际问题的物理场或结构的数学模型。
它将连续的实体分割成离散的小单元，通过建立节点和单元之间的关系，对物理问题进行逼近和求解。
以下是一般的有限元法分析过程。
1.问题建模和离散化在有限元分析中，首先需要对实际问题进行建模，确定物理场或结构的几何形状和边界条件。
然后，将几何形状分割成一系列小单元，例如三角形、四边形或四面体等。
2.网格生成根据问题的几何形状和离散化方式，生成网格。
网格是由一系列节点和单元组成的结构，节点用于描述问题的几何形状，单元用于划分问题域。
通常，节点和单元的位置和数量会直接影响有限元法的精度和计算效率。
3.插值函数和基函数的选择有限元法中的节点通常表示问题域中的几何点，而节点之间的关系由插值函数或基函数来描述。
插值函数用于建立节点和单元之间的关系，基函数用于对物理场进行逼近。
选择适当的插值函数和基函数是有限元法分析的关键。
4.定义系统参数和边界条件确定相关物理参数和材料性质，并将其转化为数值形式。
在有限元分析中，还需要定义边界条件，包括约束条件和加载条件。
5.定义数学模型和方程根据问题的物理场或结构和所选择的基函数，建立数学模型和方程。
有限元方法可以用来建立线性方程、非线性方程、静态问题、动态问题等。
具体建立数学模型和方程的过程需要根据问题的特点进行。
6.组装刚度矩阵和力载荷向量根据离散化的节点和单元，组装刚度矩阵和力载荷向量。
刚度矩阵描述节点之间的刚度关系，力载荷向量描述外部加载的作用力。
7.求解代数方程通过求解代数方程，确定节点的位移或物理场的数值解。
通常，使用迭代方法或直接求解线性方程组的方法来求解。
8.后处理和分析得到数值解后，可以进行后处理和分析。
包括计算节点和单元的应变、应力等物理量，进行矫正和验证计算结果的正确性。
还可以通过有限元法的网格适应性来优化问题的计算效率和精度。
以上是一般的有限元法分析过程，具体的步骤和方法可能会因不同的问题而有所不同。
扩展有限元2
制作：孟宪磊 制作日期：12月21号
水平集方法介绍
1999年，美国西北大belytschko 研究组提出的扩展 有限元。借助于对研究问题的已有认识，在满足单 位分解的前提下，在位移近似函数中增加更能反映 实际间断特征的函数项（称为富集函数）提高了计 算精度。采用水平集法（LSM）或快速推进法 （FMM）描述间断界面，使间断的描述独立于有限 元网格，避免了计算过程中的重构。 水平集法（level set method ,LSM）是Osher和 Sethian首先提出的一种确定界面位置和追踪界面移 动的数值技术。
注：符号距离函数：当函数φ 满足|▽φ|=1时，φ即为符号距 离函数。
水平集函数通常取由初始闭合曲线C0生成的的符号距离函数，即设ψ （x，y，0）=0，（x，y）∈R2 是符号距离函数，则有ψ（x，y，0） =±dist（x，y），其中dist（x，y）表示点（x，y）到曲线C0的距离。
为了用符号距离函数构造水平集函数，首先 确定界面上离考察点X最近的 X (如图)。矢 量 ( X X ) 在点 X 处与界面正交，n为界 面上的点 X 处法向单位矢量，定义水平集函 数为
( X ,0) ( X X ) n
3.水平集方法的基本方程： 考虑零水平集 x(t ) 所对应的水平集函数
，则有
（4-1） （4-2）
( x(t ), t ) 0
对方程（4-1）两边求关于时间的偏导数，有
x ( x(t ), t ) 0 t t
假设F为外法向方向的速度，那么
这其中
x n F t
C (t ) {( x, y), u( x, y, t 关于有n维变量的水平集函数u的 演化所导致的水平集的演化过程。其要点是通过这种变化，引入了 变中的相对不变：水平集函数u的水平c不变。我们把这种变中的相 对不变叫做泛对称。引入了泛对称，就引入了规律，而引入了规律 就能推演出水平集在此规律下各种具体条件而演化的具体演化方程。 实例：通过把二维平面曲线嵌入到三维曲面，将平面闭曲线演化的 问题转化为三维曲面的演化。
扩展有限元方法及应用综述_郭历伦
［ ３～４］
Ｎ
。 对于任意函数 Ｖ（ ， 可得 ｘ）
Ｉ＝１
。 ｘ） Ｖ（ ｘ） ＝Ｖ（ ｘ） ∑ （
Ｉ
设函数 ＶＩ（ 为函数 ｕ（ 在子域 ΩＩ 内的局部近似函数 ， 则函数 ｕ（ 在求解域的全局近似可取为 ｘ） ｘ） ｘ）
１ 单位分解函数
由于扩展有限元近似函数的基础是单位分解法 ， 本节将简要介绍 单 位 分 解 法 。 单 位 分 解 法 使 用 一 些 ， 。 在每个子域 ΩＩ 上定义一个仅在该子 域 以节点 ｘ Ｉ 为中心的子域 Ω Ｉ 来覆盖整个求解区域 即 Ω ∪Ω Ｉ
Ｉ＝１ Ｎ Ｎ （） ， （） ｝ 内非零的函数 并且要求它们满足单位分解条件 ： ｘ） ＝１。 则函数集 ｛ Ｉ＝１ 称为属 于开 Ｉ ｘ Ｉ ｘ ∑ Ｉ（ Ｉ＝１ Ｎ Ｎ 覆盖 ｛ ΩＩ｝ Ｉ＝１ 的单位分解函数
（ ， ， ） Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｃ Ａ Ｅ Ｐ， Ｐ． Ｏ． Ｂ ｏ ｘ ９ １ ９ ４ １ １， Ｍ ｉ ａ ｎ ａ ｎ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ ６ ２ １ ９ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ － ｙ ｇ ｇ ｇ ｙ ｇ
扩展有限元方法和裂纹扩展
扩展有限元方法和裂纹扩展1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。
他们正式应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也成为计算断裂力学的重要分支。
XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。
它最明显的特点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。
扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界面独立于有限元网格。
XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹的扩展。
最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。
因为改进的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法的刚度矩阵特性保持一致。
单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法（Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性；水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面位置都可用它的零水平集函数来表示。
(1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数()()x x N I ϕ表示，满足如下等式：()()()x x N x II ϕφ∑= （1）其中，它们满足单位分解条件：f I Iåx ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。
扩展有限元的基本原理
1 引言
有限元法是科学研究和工程分析中使用最多的一种数值分析方法，其数学理论基础和误差估计理论都 十分成熟。然而，有限元采用连续函数作为形函数，对于处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面 设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内进行高密度网格划分以及在模 拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序计算相当复杂，且效率极低[1]。边界元法 研究裂纹扩展方面有较成熟的应用，但它不便于处理非线性、多介质等复杂问题。无单元法将整个求解域 离散为独立的结点，无需将结点连成单元，因而在裂纹扩展数值模拟中得到了广泛的应用[2,3]。但是现有的 各种无单元法存在缺少坚实的理论基础和严格的数学证明； 计算时间长、 效率低； 存在一些未确定的参数， 如插值域的大小，背景积分域的大小等；解决复杂的工程和科学问题的研究不够； 没有成熟的商业软件包， 限制了其实际应用和推广等不足。 1999 年，以美国西北大学 Belytschko 教授为代表的研究组首先提出用扩展有限元（XFEM）来解决不 连续问题[4]。XFEM 是基于单位分解的方法（PUM）对单元的形函数加以改进，从而考虑所研究问题的不 连续、奇异性和边界层等特性。XFEM 所使用的网格与结构内部几何或物理界面无关，从而克服了裂纹尖 端等高应力和变形集中区网格划分的困难，使得模拟裂纹生长也无需对网格进行重新划分。自 XFEM 问世 以来，在国际上得到了很快的发展和广泛的应用。 在最初的 XFEM 中，位移模式中加进的是裂尖渐进位移场函数的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应 系数是相互独立的，这样加强位移场并不是真实的裂尖附近的渐进位移场，因此，局部位移场的精度仍不 能令人满意，应力强度因子必须经过后处理才能求出。文[5][6]提出了一种改进的 XFEM，提高了局部位移 场的精度，且不需要经过后处理就可以直接求出应力强度因子，从而为分析裂纹扩展提供了方便。 文中首先简要介绍了改进扩展有限元的基本原理，然后详细分析了采用该方法分析不连续力学问题需 要注意的问题，包括：积分方案、裂纹闭合时的接触问题和裂纹扩展的分析。
xfem动力学
xfem动力学
XFEM（扩展有限元法）是一种在有限元领域内对裂纹和裂纹增长进行建模的技术，它不需要重新进行网格化。
与常规有限元法相比，XFEM能够处理更复杂的不连续力学问题，如裂纹问题等。
在处理裂纹问题时，常规有限元法需要为裂纹单元设置新的边和节点，并对裂纹处重新进行网格划分，这增加了重新划分网格和重新定义边和节点的难度。
而XFEM允许裂纹在单元内的任何表面上传播，而不是只沿单元边界传播，因此消除了对裂纹新断裂面可容许方向的限制。
至于扩展有限元法动力学，其概念可以结合到具体的物理现象和工程应用中。
例如，可以提出XFEM-三维位错动力学耦合框架，该框架提供了两种计算方案：仅含三维位错阶跃扩充的耦合算法以及增加位错芯附近应力场修正项的耦合算法。
通过对比分析几个典型的算例，发现仅含三维阶跃扩充的耦合算法计算效率较高，但是在位错芯附近这种具有高度奇异性的区域，其计算精度不高。
针对存在的问题，提出了增加位错芯附近应力场修正项的方案。
总之，扩展有限元法动力学是一个涉及多个领域和复杂问题的研究领域，需要综合考虑数学、物理、工程等多个方面的因素。
如需更多信息，建议查阅关文献或咨询专业人士。
重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟
重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟靳旭;董羽蕙【摘要】扩展有限元法(XFEM)是一种求解不连续问题的数值方法.它继承了常规有限元法(CFEM)的所有优点,在模拟裂纹扩展、界面、复杂流体等不连续问题时特别有效,近十多年得到了快速发展.介绍了XFEM的基本原理,给出了进行混凝土裂纹扩展分析的方法.利用XFEM模拟混凝土重力坝裂纹扩展,通过对比有、无裂纹情况下的重力坝应力分布,分析裂纹存在对重力坝应力场分布的影响；分析裂纹扩展受网格疏密程度的影响；计算在不同岩基弹性模量下裂纹的扩展方向.%Extended finite element method(XFEM)is a numerical solution for analyzing discontimuity problem . It inherited all the advantages of the conventional finite element method (CFEM) , in the simulation of crack extension , interface, complex fluid and other discontinuities are particularly effective , in the past decade it has been rapid development. The basic theory of XFEM in introduced and the method of analyzing concrete fracture is presented. The XFEM is utilized to simulate the crack propagation in concrete gravity dam. By the contrast of stress distribution under no crack and crack circumstance of gravity dam the discipline of stress field distribution is analyzed; It is also used for influence of mesh density to crack propagation and is calculated the crack propagation direction in batholith elastic modulus.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)033【总页数】6页(P9100-9104,9109)【关键词】重力坝;扩展有限元法;裂纹扩展;网格疏密;弹性模量【作者】靳旭;董羽蕙【作者单位】昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500;昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500【正文语种】中文【中图分类】TV313;TV642.3实际工程中，无论采用多么严格的裂缝控制措施，混凝土结构仍然会带裂缝工作。
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第 １ 卷第 ５期 １
２０ ０ ７年 ｌ ０月
文 章 编 号 ： ０ ７ ７ ９ （０ ７ ０ — ７ ６ ０ １０ — ２４ ２０ ）５ ０ １— ７
船 舶力 学
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Ｖ０ ． Ｎｏ． １１ｌ ５ Ｏｃ ．２ ０ ｔ ０７
不 连 续 问题 的扩 展 有 限元 程 学 院 ， 京 ２ ｏ ９ ） 南 ｌ ０ ８
摘 要 ： 进 的 扩 展 有 限元 不 需 要 经 过 后 处 理 可 以 直接 求 得 应 力 强 度 因 子 ， 而 为 动 态 不 连 续 问 题 的 分 析 提 供 了 改 从 便 利。 究表明 ： 研 不连 续 区域 附 近 的 积 分 方 案 ， 别 是 裂 尖 区域 的 积 分方 案 ， 结 果 精 度 影 响很 大 。 中 采 用一 种 特 对 文 新 的积 分 方 案 对 裂 尖 和 裂 缝 贯 穿 单 元 进 行 积 分 ， 既方 便 积 分 ， 又可 以减 少 计 算 量 。 用 改进 的 扩展 有 限 元模 拟 了 采 裂 纹扩 展 。对 于 闭 合 裂 缝 ， 须 考 虑缝 面 间 的接 触 条 件 ； 必 裂缝 面 间若 采 用完 全接 触 ， 到 的 结 点 加 强 自 由度 近 似 得 为零 。 由 于避 免 了传 统 有 限 元 方 法 中 的 网格 重 构 ， 进 的 扩展 有 限 元 在 静 态 和 动 态 不 连 续 问 题 分 析 方 面具 有 广 改
ＹＵ ｉｎ－ ａ ｇ Ｔａ ｔ ｎ
（ｏ ｅｅｏ ｉ ｌ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｈ ｈ ｉ ｎｖｒｔ， ａｊ ｇ２ ０ ９ ， ｈｎ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｖ ｇ ｅｉ ， ｏ ａ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｎ ｎｉ １０ ８ Ｃ ｉａ ｌ Ｃ ｉＥ ｎ ｎ ｅｉ ｎ
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阔 的 应用 前 景 。
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