高中物理弹簧问题

与弹簧有关的难题详解（10题）1．如图所示，光滑轨道的DP 段为水平轨道，PQ 段为半径是R 的竖直半圆轨道，半圆轨道的下端与水平的轨道的右端相切于P 点．一轻质弹簧两端分别固定质量为2m 的小球A 和质量为m 的小球B ，质量为m 小球C 靠在B 球的右侧．现用外力作用在A 和C 上，弹簧被压缩（弹簧仍在弹性限度内）．这时三个小球均静止于距离P 端足够远的水平轨道上．若撤去外力，C 球恰好可运动到轨道的最高点Q ．已知重力加速度为g ．求撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能E 是多少？【答案】10mgR解析：对A 、B 、C 及弹簧组成的系统，当弹簧第一次恢复原长时，设B 、C 共同速度大小为v 0，A 的速度大小为v A ，由动量守恒定律有0)(2v m m mv A +=①则v A =v 0由系统能量守恒有E =12 2mv A 2＋12 (m ＋m )v 02②此后B 、C 分离，设C 恰好运动至最高点Q 的速度为v ,此过程C 球机械能守恒，则mg ·2R =12 mv 02－12mv 2③在最高点Q ，由牛顿第二定律得Rm v m g 2=④联立①～④式解得E =10mgR2．如图所示，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上的O 点，此时弹簧处于原长．另一质量与B 相同的块A 从导轨上的P 点以初速度v 0向B 滑行，当A 滑过距离l 时，与B 相碰．碰撞时间极短，碰后A 、B 粘在一起运动．设滑块A 和B 均可视为质点，与导轨的动摩擦因数均为μ．重力加速度为g ．求： （1）碰后瞬间，A 、B 共同的速度大小；（2）若A 、B 压缩弹簧后恰能返回到O 点并停止，求弹簧的最大压缩量．【答案】（1；（2）20168v l g μ- 解析：（1）设A 、B 质量均为m ，A 刚接触B 时的速度为v 1，碰后瞬间共同的速度为v 2，以A 为研究对象，从P 到O ，由功能关系22011122mgl mv mv μ=- 以A 、B 为研究对象，碰撞瞬间，由动量守恒定律得mv 1=2mv 2解得2v =（2）碰后A 、B 由O 点向左运动，又返回到O 点，设弹簧的最大压缩量为x ，由功能关系可得221(2)2(2)2mg x m v μ= 解得20168v lx g μ=-3．如图所示，质量M =4kg 的滑板B 静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C 到滑板左端的距离L =0.5m ，这段滑板与木块A 之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C 到弹簧固定端D 所对应的滑板上表面光滑．可视为质点的小木块A 以速度v 0＝10m/s ，由滑板B 左端开始沿滑板B 表面向右运动．已知A 的质量m =1kg ，g 取10m/s 2 ．求：（1）弹簧被压缩到最短时木块A 的速度；（2）木块A 压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能． 【答案】（1）2m/s ；（2）39J解析：（1）弹簧被压缩到最短时，木块A 与滑板B 具有相同的速度，设为V ，从木块A 开始沿滑板B 表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，A 、B 系统的动量守恒，则mv 0＝(M +m )V ①V =mM m+v 0②木块A 的速度：V ＝2m/s ③（2）木块A 压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大． 由能量守恒，得 E P ＝22011()22mv m M v mgL μ-＋－ ④解得E P ＝39J4.已知A 、B 两物块的质量分别为m 和3m ，用一轻质弹簧连接，放在光滑水平面上，使B物块紧挨在墙壁上，现用力推物块A 压缩弹簧（如图所示）．这个过程中外力F 做功为W ，待系统静止后，突然撤去外力．在求弹簧第一次恢复原长时A 、B 的速度各为多大时，有同学求解如下：解：设弹簧第一次恢复原长时A 、B 的速度大小分别为v A 、v B 系统动量守恒：0=m v A ＋3m v B系统机械能守恒：W =22B A 11322mv mv +⨯解得：A v =B v =“－”表示B 的速度方向与A 的速度方向相反） （1）你认为该同学的求解是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，也请说明理由并给出正确解答．（2）当A 、B 间的距离最大时，系统的弹性势能E P =？ 【答案】（1）不正确．A v =v B =0；（2）34W 解析：（1）该同学的求解不正确．在弹簧恢复原长时，系统始终受到墙壁给它的外力作用，所以系统动量不守恒，且B 物块始终不动，但由于该外力对系统不做功，所以机械能守恒，即在恢复原长的过程中，弹性势能全部转化为A 物块的动能．2A 12W mv =解得A v =v B =0 （2）在弹簧恢复原长后，B 开始离开墙壁，A 做减速运动，B 做加速运动，当A 、B 速度相等时，A 、B 间的距离最大，设此时速度为v ，在这个过程中，由动量守恒定律得 mv A =（m +3m ）v解得A 14v v ==根据机械能守恒，有W =22P 11322mv mv E +⨯+ 解得P 34E W =5.如图所示，两个质量均为4m 的小球A 和B 由轻弹簧连接，置于光滑水平面上．一颗质量为m 子弹，以水平速度v 0射入A 球，并在极短时间内嵌在其中．求：在运动过程中 （1）什么时候弹簧的弹性势能最大，最大值是多少？ （2）A 球的最小速度和B 球的最大速度．【答案】（1）2245mv ；（2）V Amin 0145v =，V Bmax 029v =解析：子弹与A 球发生完全非弹性碰撞，子弹质量为m ，A球、B 球分别都为M ，子弹与A 球组成的系统动量守恒，则 mv 0= (m +M )V ①（1）以子弹、A 球、B 球作为一系统，以子弹和A 球有共同速度为初态，子弹、A 球、B 球速度相同时为末态，则 （m +M ）V = (m +M +M )V ′ ② 2211()()22P m M V m M M V E '+=+++ ③M ＝4m ，解得2245P mv E =④（2）以子弹和A 球有共同速度为初态，子弹和A 球速度最小、B 球速度最大为末态，则（m +M ）V = (m +M )V A +MV B ⑤ 222111()()222A Bm M V m M V MV +=++ ⑥ 解得0145A V v =，029B V v =⑦ 或A V ＝15v 0，B V ＝0⑧根据题意求A 球的最小速度和B 球的最大速度，所以V Amin 0145v =，V Bmax 029v =6.如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A 、B 、C ，质量分别为m A =1kg ，m B =1kg ，m C =2kg ，其中B 与C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A 和B 之间有少许塑胶炸药，A 的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）．现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E =9J 转化为A 和B 沿轨道方向的动能，A 和B 分开后，A 恰好在B 、C 之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B ，并且与B 发生碰撞后粘在一起．求：（1）在A 追上B 之前弹簧弹性势能的最大值； （2）A 与B 相碰以后弹簧弹性势能的最大值． 【答案】（1）3J ；（2）0.5J 解析：（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A 和B 为研究对象，假设爆炸后瞬间A 、B 的速度大小分别为v A 、v B ，取向右为正方向 由动量守恒：－m A v A +m B v B =0爆炸产生的热量由9J 转化为A 、B 的动能222121B B A A v m v m E +=代入数据解得v A =v B =3m/s由于A 在炸药爆炸后再次追上B 的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在A 追上B 之前弹簧已经有一次被压缩到最短（即弹性势能最大），爆炸后取B 、C 和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时B 、C 达到共速v BC ，此时弹簧的弹性势能最大，设为E p1．由动量守恒，得m B v B =（m B +m C ）v BC 由机械能守恒，得P Bc C B B B E v m m v m ++=22)(2121 代入数据得E P1=3J（2）设B 、C 之间的弹簧第一次恢复到原长时B 、C 的速度大小分别为v B1和v C1，则由动量守恒和能量守恒： m B v B =m B v B1+m C v C121212212121C C B B B B v m v m v m += 代入数据解得：v B1=－1m/s ，v C1=2m/s （v B1 =3m/s ，v C1=0m/s 不合题意，舍去．） A 爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回．当A 追上B ，发生碰撞瞬间达到共速v AB由动量守恒，得m A v A +m B v B1=（m A +m B ）v AB 解得v AB =1m/s当A 、B 、C 三者达到共同速度v ABC 时，弹簧的弹性势能最大为E P2 由动量守恒，得（m A +m B ）v AB +m C v C1=（m A +m B +m C ）v ABC 由能量守恒，得22212)(2121)(21P ABC C B A C AB B A E v m m m v m v m m +++=++ 代入数据得E P2 =0.5J7.如图所示，滑块A 、B 的质量分别为m 与M ，且m ＜M ，由轻质弹簧相连接，置于光滑的水平面上.用一根轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧，两滑块一起以恒定的速度v 0向右滑动，突然，轻绳断开，当弹簧恢复至自然长度时，滑块A 的速度正好为零，问在以后的运动过程中，滑块B 是否会有速度为零的时刻？试通过定量分析，证明你的结论．【答案】不可能出现滑块B 的速度为零的情况解析：当滑块A 的速度为零时，系统的机械能等于滑块B 的动能，设此时滑块B 的速度为v ，则212E Mv =① 由动量守恒定律，得0()m M v Mv +=②由①②解得220()12m M v E M+=③设以后的运动中，滑块B 可以出现速度为零的时刻，并设此时A 的速度为v 1，这时不论弹簧处于伸长或压缩状态，都具有弹性势能，设为E p ．由机械能守恒定律，得Mv M m E E mv P 20221)(2121+==+ ④ 根据动量守恒：10)(mv v M m =+⑤ 求得v 1代入④式得：M v M m E m v M m p 202202)(21)(21+=++⑥因为E p≥0，所以，Mv M m m v M m 202202)(21)(21+≤+ ⑦则m ≥M ，这与已知条件m ＜M 不符，可见滑块B 的速度不能为零，即在以后的运动中，不可能出现滑块B 的速度为零的情况．8.在光滑的水平面上有一质量M =2kg 的木板A ，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P 处有一大小忽略不计质量m =2kg 的滑块B ．木板上Q 处的左侧粗糙，右侧光滑．且PQ 间距离L =2m ，如图所示．某时刻木板A 以1m/s A v =的速度向左滑行，同时滑块B 以5m /s B v =的速度向右滑行，当滑块B 与P 处相距43L 时，二者刚好处于相对静止状态，若在二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A 与它碰后以原速率反弹（碰后立即撤去该障碍物）．求B 与A 的粗糙面之间的动摩擦因数μ和滑块B 最终停在木板A 上的位置．（g 取10m/s 2）【答案】在Q 点左边离Q 点0.17m解析：设M 、m 共同速度为v ，由动量守恒定律，得()B A mv Mv M m v -=+，解得2m /s B Amv Mv v M m-==+对A ，B 组成的系统，由能量守恒，得2223111()4222A B mg L Mv mv M m v μ=+-+代入数据解得6.0=μ木板A 与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B 向右滑行并与弹簧发生相互作用，当A 、B 再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为u ，在此过程中，A 、B 和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒． 由动量守恒定律得()mv Mv M m u -=+ 设B 相对A 的路程为s ，由能量守恒，有2211()()22mgs M m v M m u μ=+-+代入数据得2m 3s = 由于4Ls >，所以B 滑过Q 点并与弹簧相互作用，然后相对A 向左滑动到Q 点左边，设离Q 点距离为s 1，则110.17m 4s s L =-=9.如图所示，劲度系数为k =200N/m 的轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为M =8kg的小车a ，开始时小车静止，其左端位于O 点，弹簧没有发生形变，质量为m =1kg 的小物块b 静止于小车的左侧，距O 点s =3m ，小车与水平面间的摩擦不计，小物块与水平面间的动摩擦系数为μ=0.2，取g =10m/s 2．今对小物块施加大小为F=8N 的水平恒力使之向右运动，并在与小车碰撞前的瞬间撤去该力，碰撞后小车做振幅为A =0.2m 的简谐运动，已知小车做简谐运动周期公式为T =2弹簧的弹性势能公式为E p =221kx （x 为弹簧的形变量），求：（1）小物块与小车磁撞前瞬间的速度是多大？（2）小车做简谐运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？小车的最大速度为多大？ （3）小物块最终停在距O 点多远处？当小物块刚停下时小车左端运动到O 点的哪一侧？ 解析：（1）设磁撞前瞬间，小物块b 的速度为v 1小物块从静止开始运动到刚要与小车发生碰撞的过程中，根据动能定理可知Fs-μmgs= 21mv 1解得v 1=6m/s（2）由于小车简谐振动的振幅是0.2m ，所以弹簧的最大形变量为x=A=0.2m根据弹性势能的表达式可知最大弹性势能E pm = 21kA 2③解得E pm =4J ④ 根据机械能守恒定律可知小车的最大动能应等于弹簧的最大弹性势能 所以 21kA 2= 21Mv m 2⑤解得小车的最大速度v m =1m/s ⑥（3）小物块b 与小车a 碰撞后，小车a 的速度为v m ，设此时小物块的速度为v 1/，设向右为正方向，由动量守恒定律有mv 1=mv /1+Mv m ⑦ 解得v 1/=－2m/s⑧ 接着小物块向左匀减速运动一直到停止，设位移是s 1，所经历的时间为t 1，根据动能定理可知－μmgs 1=0－ 21mv 1/2⑨解得s 1=1m ⑩物块作匀减速运动时的加速度为 a =2mmgμ=μg =2m/s 2⑾t 1=/10- v a=1s ⑿小车a振动的周期T =2 1.26 s⒀由于T ＞t 1＞34T ，所以小车a 在小物块b 停止时在O 点的左侧，并向右运动．10如图所示，EF 为水平地面，O 点左侧是粗糙的，右侧是光滑的，一轻质弹簧右端固定在墙壁上，左端与静止在O 点、质量为m 的小物块A 连接，弹簧处于原长状态．质量为2m 的物块B 在大小为F 的水平恒力作用下由C 处从静止开始向右运动，已知物块B 与地面EO 段间的滑动摩擦力大小为5F，物块B 运动到O 点与物块A 相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短），运动到D 点时撤去外力F ．物块B 和物块A 可视为质点．已知CD =5L ，OD =L ．求：（1）撤去外力后弹簧的最大弹性势能? （2）物块B 从O 点开始向左运动直到静 止所用的时间是多少? 解析：（1）设B 与A 碰撞前速度为v 0，由动能定理，得21()5252F F L mv -=，则0v =B 与A 在O 点碰撞，设碰后共同速度为v 1，由动量守恒得011022(2)3mv m m v v v =+=碰后B 和A 一起运动，运动到D 点时撤去外力F 后，当它们的共同速度减小为零时，弹簧的弹性势能最大，设为E pm ，则由能量守恒得21111323pm pm E FL mv E FL =+=（2）设A 、B 一起向左运动回到O 点的速度为v 2，由机械能守恒得222132pm E mv v ==经过O 点后，B 和A 分离，B 在滑动摩擦力的作用下做匀减速直线运动，设运动时间为t ，由动量定理得2025Ft mv -=-，则t。