2020西城高二数学上学期期末试卷
荆州市六县市区2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题(含答案)
荆州市六县市区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设命题:p x ∀∈R ，20x>，则p ⌝为 A.x ∀∈R ，20x≤ B.x ∀∈R ，20x< C.0x ∃∈R ，20x≤D.0x ∃∈R ，020x>2.双曲线22116y x -=的渐近线方程是 A.40x y ±= B.160x y ±= C.40x y ±=D.160x y ±=3.在等比数列{}n a 中，11a =，53a =，则3a =A.C. D.34.抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为 A.13-B.3-C.4-D.14-5.“1a =”是“直线10ax y +-=与直线0x ay a ++=互相平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在等差数列{}n a 中，0n a ≠，2132a a a +=，44a =，若{}n a 的前n 项和为n S ，则106106S S -= A.1 B.2 C.12D.47.直线()()():2350l m x m y m ++-+=∈R 与圆()()22:1216P x y -++=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为A.6B.4C.D.8.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是7，则P 到2F 的距离是 A.13B.1C.1或13D.2或14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.已知直线1:330l x y +-=，直线2:610l x my ++=，则下列表述正确的有 A.直线2l 的斜率为6m-B 若直线1l 垂直于直线2l ，则实数18m =- C.直线1l 倾斜角的正切值为3D.若直线1l 平行于直线2l ，则实数2m =10.若数列{}n a 对任意2()n n ≥∈N 满足()()11120n n n n a a a a -----=，则下列关于数列{}n a 的命题正确的是 A.{}n a 可以是等差数列 B.{}n a 可以是等比数列C.{}n a 可以既是等差又是等比数列D.{}n a 可以既不是等差又不是等比数列11.已知点()1,0A -，()1,0B 均在圆()()()222:330C x y r r -+-=>外，则下列表述正确的有A.实数r 的取值范围是(B.2AB =C.直线$AB 与圆C 不可能相切D.若圆C 上存在唯一点P 满足AP BP ⊥，则r 的值是1-12.已知点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，直线AP 交y 轴于点M ，且2AP AM =，则下列表述正确的是A.点P 的纵坐标为1B.APF △为锐角三角形C.点A 与点F 关于坐标原点对称D.点P 的横坐标为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
∵sina= ，且a为第四象限角，
∴ ,
则 ，
故选D.
3。 四张卡片上分别写有数字 ，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ）
A. B。 C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数,最后根据古典概型概率公式求解.
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019—2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
考试说明：
(1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟;
（2）第Ⅰ卷,第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
因此
故选：C
【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题பைடு நூலகம்本大题共4小题,将答案填在答题卡相应的位置上．
13。 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解.
【详解】扇形的面积为 .
【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式,考查基本分析求解能力，属基础题.
19. 如图所示，“8"是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点,交⊙C2于O、B两点．
（1)写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程;
（2）求△OAB面积最大值．
2020-2021学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i2．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（）A．4B．5C．6D．73．椭圆的焦点坐标为（）A．（5，0），（﹣5，0）B．（3，0），（﹣3，0）C．（0，5），（0，﹣5）D．（0，3），（0，﹣3）4．已知直线l1：ax﹣y﹣1＝0，l2：ax+（a+2）y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a＝（）A．﹣1或1B．0或1C．﹣1或2D．﹣3或25．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l．下列结论中正确的是（）A．若直线m⊥平面α，则m∥βB．若平面γ⊥平面α，则γ∥βC．若直线m⊥直线l，则m⊥βD．若平面γ⊥直线l，则γ⊥β6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．24B．18C．12D．67．已知双曲线的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．4或16B．7或13C．7或16D．4或138．在正三棱锥P﹣ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．已知圆O1的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，圆O2的方程为x2+（y﹣b+1）2＝1，其中a，b∈R．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切10．点M在直线l：x＝2上，若椭圆上存在两点A，B，使得△MAB是等腰三角形，则称椭圆C具有性质P．下列结论中正确的是（）A．对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质PB．直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质PC．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质PD．对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P二、填空题（共6小题）.11．已知复数z＝i•（1+i），则|z|＝．12．若双曲线的焦距为，则b＝；C的渐近线方程为．13．设（x﹣2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4＝．14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），D （0，0，1），则直线AD与BC所成角的大小是．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF 是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是；最大值是．三、解答题（共6小题）.17．生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名．现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛．（Ⅰ）如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？（Ⅱ）如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？18．已知圆C过原点O和点A（1，3），圆心在直线y＝1上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F分别是BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面ADE．20．如图，设点A，B在x轴上，且关于原点O对称．点P满足tan∠PAB＝2，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且﹣1＜x0＜3，求y0的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P﹣BE﹣C的余弦值为．（Ⅰ）求PD的长；（Ⅱ）求点C到平面PEB的距离．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），A1（﹣a，0），A2（a，0），且|A2F|＝3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于点M，N．记△A1MN和△A2MN的面积分别为S1和S2．当S2﹣S1＝时，求直线MN的方程．参考答案一、选择题（共10小题）.1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i解：由复数的几何意义可知，复数z对应的点的坐标是（2，1），则z＝2+i，故＝2﹣i．故选：A．2．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（）A．4B．5C．6D．7解：在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项，∴n＝6，故选：C．3．椭圆的焦点坐标为（）A．（5，0），（﹣5，0）B．（3，0），（﹣3，0）C．（0，5），（0，﹣5）D．（0，3），（0，﹣3）解：椭圆，可得c＝＝3，所以椭圆的焦点坐标（3，0），（﹣3，0）．故选：B．4．已知直线l1：ax﹣y﹣1＝0，l2：ax+（a+2）y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a＝（）A．﹣1或1B．0或1C．﹣1或2D．﹣3或2【分析】直接利用两条直线垂直，列出关于a的方程，求解即可．解：因为l1⊥l2，所以a•a+（﹣1）×（a+2）＝0，解得a＝﹣1或2．故选：C．5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l．下列结论中正确的是（）A．若直线m⊥平面α，则m∥βB．若平面γ⊥平面α，则γ∥βC．若直线m⊥直线l，则m⊥βD．若平面γ⊥直线l，则γ⊥β【分析】由线面的位置关系可判断A；由面面的位置关系可判断B；由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断C；由面面垂直的判定定理可判断D．解：平面α⊥平面β，α∩β＝l，若直线m⊥平面α，则m∥β或m⊂β，故A错误；平面α⊥平面β，若平面γ⊥平面α，则γ∥β或γ与β相交，故B错误；平面α⊥平面β，α∩β＝l，若m⊥l，则m⊂β或m⊥β，故C错误；平面α⊥平面β，α∩β＝l，若平面γ⊥直线l，又l⊂β，由面面垂直的判定定理可得γ⊥β，故D正确．故选：D．6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．24B．18C．12D．6【分析】分2步进行分析：①在4张电影票中，选出连号的2张，分给三人中的一人，②将剩下的2张电影票分给其他2人，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在4张电影票中，选出连号的2张，分给三人中的一人，有3×3＝9种分法，②将剩下的2张电影票分给其他2人，有A22＝2种分法，则有9×2＝18种不同的分法，故选：B．7．已知双曲线的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．4或16B．7或13C．7或16D．4或13【分析】利用双曲线的离心率求解a，结合双曲线的定义求解即可．解：双曲线的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为，可得，解得a＝3，c＝5，|PF1|＝10，则|PF2|＝±2a+10，所以|PF2|＝4或16．故选：A．8．在正三棱锥P﹣ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由题意画出图形，取底面三角形的中心，可得直线PA与平面ABC所成角，求解三角形得答案．解：如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥底面ABC，∠PAO为直线PA与平面ABC所成角．连接AO并延长，角BC于D，可得AD＝，∴AO＝AD＝，在Rt△POA中，有cos，即∠PAO＝30°．∴直线PA与平面ABC所成角的大小为30°．故选：A．9．已知圆O1的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，圆O2的方程为x2+（y﹣b+1）2＝1，其中a，b∈R．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切【分析】利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用圆心距之间的距离和两圆半径的关系，结合两圆的位置关系的判断方法进行分析即可．解：根据题意，圆O1的圆心O1（a，b），半径r＝2，圆O2的圆心O2（0，b﹣1），半径R＝1，所以r+R＝3，r﹣R＝1，因为O1O2＝，所以O1O2≥r﹣R，故两圆不可能是内含．故选：C．10．点M在直线l：x＝2上，若椭圆上存在两点A，B，使得△MAB是等腰三角形，则称椭圆C具有性质P．下列结论中正确的是（）A．对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质PB．直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质PC．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质PD．对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P【分析】设出直线AB的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB的中点N的坐标，进而可以求出直线l2的方程，从而可以求出点M的坐标，根据性质P的定义即可判断求解．解：由题意可知直线AB所在直线斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x整理可得：（1+4m2）y2+8mny+4n2﹣4＝0，则y，若|MA|＝|MB|，则M是线段AB的中垂线l2与x＝2的交点，而AB的中点坐标为（），x，所以N（），又AB的中垂线l2的斜率为k＝﹣m，所以l2的方程为：y﹣，即y＝﹣mx+，当x＝2时，y＝，所以M（2，），故当m，n取不同值时，M的纵坐标也不同，但不是无穷，若|AB|＝|MB|或|AB|＝|MA|时，|AB|最长为4，此时M点有两种，故ABD错误，故选：C．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上的一个点的坐标为（）A．（0，﹣4）B．（2，0）C．（1，0）D．（﹣1，0）2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm3．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3 4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：15．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68°B．64°C．58°D．32°6．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝47．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（）A．2.44（1+x）＝6.72B．2.44（1+2x）＝6.72C．2.44（1+x）2＝6.72D．2.44（1﹣x）2＝6.728．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（）A．﹣5≤a≤4B．﹣1≤a≤4C．﹣4≤a≤1D．﹣4≤a≤5二、填空题（共8小题）.9．若正六边形的边长为2，则它的半径是．10．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sin B＝．12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则a0，b0，c0（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则EB＝．14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝．15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA＝（180°﹣∠ODA），∠COE＝（180°﹣∠）；②四边形ABCD为平行四边形（理由是）；③∠DOA＝∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3），⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）⊙O的半径为；（2）tanα＝．三、解答题（共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分）17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．18．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k＝1，求该方程的根．19．借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；（2）填空：∠BEC＝°，理由是；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．21．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求DE的长．22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM＝（用含x的式子表示），x的取值范围是；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．23．已知抛物线y＝x2+x．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝°，AA'＝；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．25．对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2）．（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点A和点B的等距点是；（2）已知直线y＝﹣2．①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为；②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．参考答案一、选择题（共24分，每小题3分）1．在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上的一个点的坐标为（）A．（0，﹣4）B．（2，0）C．（1，0）D．（﹣1，0）解：当x＝0时，y＝﹣5，因此（0，﹣4）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当x＝2时，y＝4﹣8﹣5＝﹣9，因此（2，0）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，当x＝1时，y＝1﹣4﹣5＝﹣8，因此（1，0）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，当x＝﹣1时，y＝1+4﹣5＝0，因此（﹣1，0）在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，故选：D．2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm解：弧长为：＝2π（cm）．故选：B．3．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，故选：B．4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA 的中点，∴OA′：OA＝1：2，∴A′B′：AB＝1：2，∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．故选：D．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68°B．64°C．58°D．32°解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝58°，故选：C．6．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，故选：B．7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（）A．2.44（1+x）＝6.72B．2.44（1+2x）＝6.72C．2.44（1+x）2＝6.72D．2.44（1﹣x）2＝6.72解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为2.44（1+x）2＝6.72，故选：C．8．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（）A．﹣5≤a≤4B．﹣1≤a≤4C．﹣4≤a≤1D．﹣4≤a≤5解：令x+4＝x2﹣2x，整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，由图象可知，当﹣1≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函数y＝n，故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．若正六边形的边长为2，则它的半径是2．解：如图所示，连接OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2．故答案为：2．10．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为y＝3x2．解：把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，得3＝a×12，解得a＝3，所以该抛物线的解析式为y＝3x2．故答案为：y＝3x2．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sin B＝．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sin B＝＝＝，故答案为：．12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则a＞0，b＜0，c＜0（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0．故答案为＞，＜，＜．13．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则EB＝1．解：连接OC，如图所示：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3，∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，∴OE＝＝4，∴BE＝OB﹣OE＝AB﹣OE＝5﹣4＝1，故答案为：1．14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝2．解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，∴∠BPO＝∠APB＝30°，BO⊥PB．∴PO＝2AO＝4，∴PB＝＝＝2．故答案是：2．15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA＝（180°﹣∠ODA），∠COE＝（180°﹣∠OCE）；②四边形ABCD为平行四边形（理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③∠DOA＝∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．解：①∵△ODA和△OCE为等腰三角形，∴∠DOA＝（180°﹣∠ODA），∠COE＝（180°﹣∠OCE）；②∵AD＝BC，DC＝AB，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA，AE，∵∠DOA＝∠COE，∴O，A，E三点在一条直线上；④∵＝，∴设CD＝AB＝BE＝3x，OD＝AD＝BC＝5x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AOD∽△EOC，∴＝＝，∴图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的，故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3），⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）⊙O的半径为5；（2）tanα＝．解：（1）连接OP.∵P（4，3），∴OP＝＝5，故答案为：5．（2）设CD交x轴于J，过点P作PT⊥AB交⊙O于T，交OC于E，连接CT，DT，OT．∵P（4，3），∴PE＝4，OE＝3，在Rt△OPE中，tan∠POE＝＝，∵OE⊥PT，OP＝OT，∴∠POE＝∠TOE，∴∠PDT＝∠POT＝∠POE，∵PA＝PB．PE⊥AB，∴∠APT＝∠DPT，∴＝，∴∠TDC＝∠TCD，∵PT∥x轴，∴∠CJO＝∠CKP，∵∠CKP＝∠TCK+∠CTK，∠CTP＝∠CDP，∠PDT＝∠TDC+∠CDP，∴∠TDP＝∠CJO，∴∠CJO＝∠POE，∴tan∠CJO＝tan∠POE＝故答案为：．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分）17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．解：原式＝＝＝．18．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k＝1，求该方程的根．解：（1）△＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．∴20﹣4k＞0，解得k＜5；（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，（x﹣1）（x+3）＝0，x﹣1＝0或x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．19．借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；（2）填空：∠BEC＝90°，理由是直径所对的圆周角是直角；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC＜∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：（1）补全图形见图1．（2）∵BC是直径，∴∠BEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．（3）点A在⊙O外．理由如下：连接OA．∵BD＝4，CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，r＝＝3．∵AD⊥BC，∴∠ODA＝90°，在Rt△AOD中，AD＝3，OD＝BD﹣OB＝1，∴．∵，∴OA＞r，∴点A在⊙O外．（4）观察图像可知：∠BAC＜∠BEC．故答案为：＜．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），∵二次函数的图象经过（3，0）点，∴a（3﹣1）2﹣4＝0．解得a＝1．∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；如图，（2）由图象可得m＜0或m＞3．21．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求DE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB为⊙O的直径，AC为弦，∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A．∵∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD．∴∠OCB+∠BCD＝90°．∴∠OCD＝90°．∴CD⊥OC．∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠BCD＝∠A，cos∠BCD＝，∴cos A＝cos∠BCD＝．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2.7，cos A＝．∴AB＝＝＝6．∴OC＝OE＝＝3．在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴．∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM＝4﹣x（用含x的式子表示），x的取值范围是0≤x≤1；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CM＝x，BE＝1，∴DM＝DC﹣CM＝4﹣x，其中0≤x≤1．故答案是：4﹣x，0≤x≤1；（2）如图，延长MP交AB于G，∵正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点，四边形PMDN是矩形，CM＝x，BE＝1，∴PM∥BC，BF＝FC＝BC＝2，BG＝MC＝x，GM＝BC＝4，∴△EGP∽△EBF，EG＝1﹣x，∴＝，即＝．∴PG＝2﹣2x，∴DN＝PM＝GM﹣PG＝4﹣（2﹣2x）＝2+2x，∴S＝DM•DN＝（4﹣x）（2x+2）＝﹣2x2+6x+8，其中0≤x≤1．（3）由（2）知，S＝﹣2x2+6x+8，∵a＝﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝，即，∴当x＜时，y随x的增大而增大．∵x的取值范围为0≤x≤1，∴当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．23．已知抛物线y＝x2+x．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．解：（1）∵y＝x2+x，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，令x＝0，则y＝0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），（2）x A﹣x B＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，x A﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），x B ﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．①当n＜﹣5时，x A﹣1＜0，x B﹣1＜0，x A﹣x B＜0．∴A，B两点都在抛物线的对称轴x＝1的左侧，且x A＜x B，∵抛物线y＝x2+x开口向下，∴在抛物线的对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大．∴y1＜y2；②若点A在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴不等式组无解，若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点A在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，∴﹣＜n＜1，综上所述：﹣＜n＜1．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝60°，AA'＝2；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，∴AC＝BC•tan30°＝1，∴AB＝2AC＝2，∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，∴△ABA′是等边三角形，∴α＝60°，AA′＝AB＝2．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α得到Rt△A'BC'，∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．∴∠2＝∠1＝β．∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．∵AE∥A'C'∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．∴∠3＝∠4．∴AE＝AC．∴AE＝A'C'．在△ADE和△A'DC'中，，∴△ADE≌△A'DC'（AAS），∴AD＝A'D．②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，最大值为．当α＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2×＝1，∴1≤BD≤．25．对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2）．（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点A和点B的等距点是S（2，0）；（2）已知直线y＝﹣2．①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为（4，0）或（8，0）；②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．解：（1）∵点A（6，0），B（0，2），R（3，0），S（2，0），T（1，），∴AR＝3，BR＝，AS＝4，BS＝4，AT＝2，BT＝2，∴AS＝BS，∴点A和点B的等距点是S（2，0），故答案为：S（2，0）；（2）①设等距点的坐标为（x，0），∴2＝|x﹣6|，∴x＝4或8，∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），故答案为：（4，0）或（8，0）；②如图1，设直线y＝a上的点Q为点A相直线y＝﹣2的等距点，连接QA，过点Q作直线y＝﹣2的垂线，垂足为点C，∵点Q为点A和直线y＝﹣2的等距点，∴QA＝QC，∴QA2＝QC2∵点Q在直线y＝a上，∴可设点Q的坐标为Q（x，a）∴（x﹣6）2+a2＝[a﹣（﹣2）]2．整理得x2﹣12x+32﹣4a＝0，由题意得关于x的方程x2﹣12x+32﹣4a＝0有实数根．∴△＝（﹣12）2﹣4×1×（32﹣4a）＝16（a+1）≥0．解得a≥﹣1；（3）如图2，直线l1和直线l2的等距点在直线l3：上．直线l1和y轴的等距点在直线l4：或l5：上．由题意得或r≥3．。
2020-2021学年武汉二十三中高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年武汉二十三中高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，向量μ⃗ 满足μ⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，μ⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则μ⃗ 可以是( ) A. (1,1,1)B. (1,1,−1)C. (1,−1,−1)D. (−1,1,1)2.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法3.椭圆x 26+y 24=1的两焦点分别为F 1，F 2，以椭圆短轴的两顶点为焦点，|F 1F 2|长为虚轴长的双曲线方程为( )A. x 2−y 2=2B. y 2−x 2=2C. x 2−y 2=√2D. y 2−x 2=√24.已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，下列向量的数量积一定不为0的是( )A. AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗5.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是( )A. “至少有一个黑球”与“都是红球”B. “至少有一个黒球”与“都是黒球”C. “恰有m 个黒球”与“恰有2个黒球”D. “至少有一个黒球”与“至少有1个红球”6.过双曲线x 2−y 2=8的右焦点F 2的一条弦PQ ，|PQ|=7，F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为( )A. 18B. 14−8√2C. 14+8√2D. 8√27.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断错误的是( )A. A 1D 与AC 所成角为60°B. A 1D ⊥BC 1C. A 1D ⊥AC 1D. A 1D ⊥B 1D 18.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有()A. B. C. D.9.下列说法正确的是()A. 为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间是总体容量B. 频率分布直方图的纵坐标是频率C. 汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程成负相关D. 系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会可能不相等10.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是()A. x2=4yB. y2=4xC. x2=8yD. y2=8x11.一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为√2，二面角D−AC−B的余弦值为1，则下3列论断正确的是()A. 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3πB. 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4πC. 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为3√3πD. 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上12.设f(x)是定义在整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A. 若f(3)≥9成立，则当k≥1时均有f(k)≥k2成立B. 若f(5)≥25成立，则当k≤5时均有f(k)≥k2成立C. 若f(7)<49成立，则当k≥8时均有f(k)<k2成立D. 若f(4)=25成立，则当k≥4时均有f(k)≥k2成立二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线C：x2−y2=1的焦距是______．414.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与BB1所成角的正弦值为______ ．15.已知抛物线x2=2py(p>0)与圆x2+y2=1有公共的切线y=x+b，则p=．16. 已知双曲线x 2−y 2m 2=1的一条渐近线与直线x −2y +3=0平行，则实数m =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施.为了做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标识.请根据图表提供的信息计算：(1)若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽出20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应从第一、二、三、四组中各抽取多少辆？(2)在(1)的条件下，第四组已抽取的驾驶员中，有女性2名，男性4名，现随机抽取两人奖励汽车用品，求两名驾驶员为一男一女的概率．18. 已知点F (0,1)，P 是平面上一动点，以|PF|为直径的圆与x 轴相切，设动点P 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求曲线C 的轨迹方程；(Ⅱ)过点F (0,1)的直线l 与曲线C 交于A,B 两点，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若λ∈[4,9]，求直线l 的斜率的取值范围．19. 等腰梯形ABCD ，AB//CD ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AE =2，沿DE ，CF 将梯形折叠使A ，B 重合于A 点(如图)，G 为AC 上一点，FG ⊥平面ACE ．(Ⅰ)求证：AE ⊥AF ；(Ⅱ)求DG 与平面ACE 所成角的正弦值．20. 随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y(单位：个)与温度x(单位：℃)有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表： 温度x/℃ 9 11 13 12 8 产卵数y/个2325302620科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y 关于x 的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？ (附：回归直线的斜率和截距的公式分别为b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −.)21. 20.(本小题满分13分)已知椭圆()经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，的周长为．求椭圆的方程；若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，、分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标．(注：经过椭圆( )上一点的椭圆的切线方程为)22. 如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．(1)证明：OE//平面AB1C1；(2)证明：AB1⊥A1C；(3)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．。
青海省西宁市城西区青海湟川中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
青海省西宁市城西区青海湟川中学2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知:1231p x -<-<，:(3)0q x x -<，则p 是q 的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要2．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) A ．8B ．8πC ．4πD ．2π3．设0a b >>，0k >且1k ≠，则 椭圆22122:1x y C a b += 和 椭圆22222: x y C k a b+=具有相同的 A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4．五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x 具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为A ．34B ．13C ．35D ．255．函数()2sin f x x =对于x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π6．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C D ．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且以线段12F F 为直径的圆与直线0-=bx cy 相切，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D 8．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（ ） A ．96里B ．48里C ．24里D ．12里9．如图，在三棱锥D ABC -中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABC ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE10．已知直线l ：y x m =+与曲线x =m 的取值范围是（ ）A ．2,⎡-⎣B ．(2⎤--⎦C ．2,⎡⎣D ．(2⎤-⎦11．在三棱柱1111,ABC A B C AA -⊥面ABC ，23BAC π∠=，14AA =，AB AC ==则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为 A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，当PF PK取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．12⎛ ⎝B ．()1,2C ．(2,D ．()4,4二、填空题13．命题：0x ∃∈R ，200220x x ++<的否定是______．14．已知抛物线C 的方程为22y px =（0p >），一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A ，B 在抛物线C 上运动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为______．15．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．一个正方体的平面展开图如图所示．在该正方体中，给出如下3个命题：①AF CG ⊥；②AG 与MN 是异面直线且夹角为60；③BG 与平面ABCD 所成的角为45．其中真命题的序号是______．三、解答题17．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1cos 2a C c b -=.（1）求角A 的大小;（2）若1a =,求ABC 的周长的取值范围.18．已知双曲线22:15x y E m -=（1）若4m =，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E 的离心率为e ∈⎝，求实数m 的取值范围．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -D AE C --的余弦值．20．已知A ，B 是抛物线C ：22y px =（0p >）上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线l 上，且焦点F 到直线20x y -+=的距离为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 过焦点F ，且直线AD 过原点O ，求证：直线BD 平行x 轴．21．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+． （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求m 的值．22．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ︒∠=，111,2,AB BC BB DC DC ====1CC D ⊥平面11ACC A .（1）M 为三角形1DCC 内（含边界）的一个动点，且1AM DC ⊥，求M 的轨迹的长度；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 在，求BPBC的值；若不存在，说明理由.参考答案1．A 【详解】分析：化简p 与q ，利用充分条件、必要条件的定义求解即可. 详解：∵1231x -<-<，可得12x <<，设集合A 为{}|12x x <<， 又∵()30x x -<，可得03x <<，设集合B 为{}|03x x <<， 则AB ，可得p 是q 的充分不必要条件，故选A ．点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 2．B 【分析】根据底面周长为4计算出底面直径，求出轴截面面积． 【详解】解：因为用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱 所以底面圆的周长为4 可得底面直径为42r π=所以此圆柱的轴截面矩形的面积为82S r h π=⨯=故选：B 【点睛】本题给出矩形做成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面面积，着重考查了圆柱侧面展开图，圆的周长公式和矩形的面积公式，属于基础题． 3．C 【详解】试题分析：22122:1x y C a b +=的离心率为ce a==22222: x y C k a b +=化为标准方程22221x y ka kb +=，所以离心率为c e a ===所以两椭圆离心率相同 考点：椭圆性质 4．D 【详解】分析：由高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分，求得x 取值范围，再根据古典概形求得概率．解析：由径叶图可得高三（1）班的平均分为89929327433x ++==，高三（2）的平均分为88(90)9126933x xy ++++==，由x y <，得10>x>5,又x ∈N ，所以x 可取，6，7，8，9，概率为42105P ==，选D. 点睛：求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏. 5．C 【分析】由题意可知1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，12||x x -的最小值就是函数的半周期，求解即可． 【详解】解：函数()2sin f x x =对于x ∈R ，都有12()()()f x f x f x ，所以1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，12||x x -的最小值就是函数的半周期， 所以221T ππ==，所以12||x x -的最小值为：π； 故选：C ． 6．D 【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a ===1b a∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题． 7．D 【分析】c =，结合222a b c =+以及离心率的定义，即可得结果. 【详解】由题知圆心坐标为()0,0，半径为c ，又圆与直线0-=bx cy 相切，c =，得22b c =，又222a b c =+， 联立可得222a c =，故离心率为c e a ==. 故选：D 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 8．C 【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{}n a ，其中12q =，6378S =．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{}n a ，其中12q =，6378S =．则161(1)2378112a -=-，解得1192a =． 33141192242a a q ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．C 【分析】利用等腰三角形性质可得线线垂直，进而得到线面垂直与面面垂直. 【详解】∵AB CB =，E 是AC 的中点， ∴BE AC ⊥，同理DE AC ⊥， 又BE DE E ⋂=， ∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面BDE ，平面ACD ⊥平面BDE 故选：C 10．B 【分析】画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l与曲线x =.求出m ,即可得出m 的取值范围. 【详解】 画出如下图像：当直线l过点,A B时,2m=-,此时直线l与曲线x=;直线l与曲线相切时,m=-因此当2m-≤-时，直线l与曲线x=.故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.11．C【分析】利用余弦定理可求得BC，再根据正弦定理可求得ABC∆外接圆半径r；由三棱柱特点可知外接球半径R R后代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】AB AC==23BACπ∠=22222cos363BC AB AC AB ACπ∴=+-⋅=6BC ∴=由正弦定理可得ABC ∆外接圆半径：622sin 2sin 3BC r BAC π===∠∴三棱柱111ABC A B C -的外接球半径：4R == ∴外接球表面积：2464S R ππ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径. 12．B 【分析】过点P 作PE 垂直于抛物线C 的准线，垂足为点E ，由抛物线的定义可得PE PF =，可得出cos cos PF PE KPE PKF PKPK ==∠=∠，结合图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，PKF∠最大，则PF PK最小，设直线PK 的方程为()10x my m =->，将该直线方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆=，求出方程组的解，即可得出点P 的坐标. 【详解】 如下图所示：过点P 作PE 垂直于抛物线C 的准线l ，垂足为点E ，由抛物线的定义可得PE PF =，抛物线C 的准线为:1l x =-，则点()1,0K -，由题意可知，//PE x 轴，则KPE PKF ∠=∠，cos cos PF PE KPE PKF PKPK==∠=∠，由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，PKF ∠最大，则PF PK最小，设直线PK 的方程为()10x my m =->，将该直线方程与抛物线C 的方程联立214x my y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my -+=，216160m ∆=-=，0m >，解得1m =，则2440y y -+=， 解得2y =，此时，2214x ==，因此，点P 的坐标为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 13．x ∀∈R ，2220x x ++≥ 【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题”. 【详解】∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”,∴0x ∃∈R ,200220x x ++<的否定是：x ∀∈R ,2220x x ++≥.故答案为：x ∀∈R ,2220x x ++≥. 【点睛】命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”. 14．32p 【分析】:2pl x =-，分别过A ，B ，M 作AC l ⊥，BD l ⊥，MH l ⊥，垂足分别为C ，D ，H ，要求M 到y 轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M 到抛物线的准线的最小距离d ，然后用2pd -即可求解． 【详解】解：由题意可得抛物线的准线:2p l x =-分别过A ，B ，M 作AC l ⊥，BD l ⊥，MH l ⊥，垂足分别为C ，D ，H ， 在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知AC AF =，(BD BF F =为抛物线的焦点）222AF BFABMH p +== 即AB 的中点M 到抛物线的准线的最小距离为2p ，∴线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离为3222p p p -=． 故答案为：32p ． 15．[－1，＋∞) 【分析】对于x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，等价于()f x x a =+的图象在()1g x x =-的图象上方，根据数形结合可求出实数a 的取值范围. 【详解】不等式f (x )≥g (x )恒成立如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立， 因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)． 【点睛】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 16．①② 【分析】将平面图形还原成正方体，根据异面直线的位置关系及夹角可判断①②；根据直线与平面的夹角求法可判断③，即可得正确答案. 【详解】将平面展开图还原成正方体，如下图所示：对于①：由正方体可知：//BC GM ，=BC GM 可得四边形BCGM 是平行四边形， 所以//CG BM ，因为AF BM ⊥，所以AF CG ⊥，所以①正确；对于②，MN ⊂面FMGN ，AG ⊄面FMGN ，AG ⋂面FMGN G =，G MN ∉，所以AG 与MN 是异面直线．如图，连接EB BN 、，则//BN AG ，所以MNB ∠即为AG 与MN 所成的角，因为MNB 是等边三角形，所以60MNB ∠=，所以②正确；对于③，由题意得，GD ⊥平面ABCD ，所以GBD ∠是BG 与平面ABCD 所成的角，设正方体的棱长为a ，则GD a =，BD =， 所以Rt BDG △中，tan2GBD ∠=，所以45GBD ∠≠，所以③错误．综上可知正确的为①②故答案为： ①② 17．（1）23π；（2）1]. 【分析】（1）根据正弦定理化简题中等式，得1sin cos sin sin 2A C C B -=．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，代入前面的等式解出1cos 2A =-，结合(0,)A π∈可得角A 的大小； （2）根据23A π=且1a =利用正弦定理，算出b B =且c C =，结合3C B π=-代入ABC 的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到ABC 的周长关于角B 的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得ABC 的周长的取值范围． 【详解】解：（1）1cos 2a C cb -=，∴根据正弦定理，得1sin cos sin sin 2A C CB -=．又ABC 中，sin sin()sin()sin cos cos sin B B A C A C A C π=-=+=+，1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴-=+，化简得1sin cos sin 2C A C -=，结合sin 0C >可得1cos 2A =-(0,)A π∈，23A π∴=； （2）23A π=，1a =， ∴根据正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin 2sin sin 3a B Bb B A π===，同理可得c C =， 因此，ABC的周长1l a b c B C =++=11sin()]1sin )]32B B B B B π=+-=+-11sin )1)23B B B π==+． (0,)3B π∈，得(33B ππ+∈，2)3πsin()3B π∴+∈1]，可得1)(23l a b c B π=++=+∈，1即ABC 的周长的取值范围为2,1⎛ ⎝⎦．18．（1）焦点坐标为(3,0)-，()3,0，顶点坐标为(2,0)-，()2,0，渐近线方程为y =；（2）()5,10. 【分析】（1）根据双曲线方程确定,,a b c ，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求e （用m 表示），再根据e ∈⎝解不等式得结果. 【详解】（1）当4m =时，双曲线方程化为，22145x y -=所以2a =，b =3c =，所以焦点坐标为(3,0)-，()3,0，顶点坐标为(2,0)-，()2,0，渐近线方程为y x =.（2）因为222551c m e a m m +===+，e ∈⎝ 所以35122m<+<， 解得510m <<，所以实数m 的取值范围是()5,10． 【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19．(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ【分析】(Ⅰ) )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（Ⅱ）以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】(Ⅰ)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设菱形ABCD 的边长为a ，24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，2112133P ABCD ABCD V SPA -⎛⎫=⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭a =取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴， 以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()D ，()0,0,0A ，12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，32C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，32AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得102302y z x y +=⎨⎪=⎪⎩，令1x =，则3y z ==()11,n =∴，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =121212cos<,>1nn n n n n ⋅===+⋅ 即二面角D AE C --【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（1）24y x =；（2）证明见解析． 【分析】(1)求出抛物线的焦点,由点到直线的距离公式,解得2p =,进而得到抛物线方程;(2)求得抛物线的焦点和准线方程,设直线:1AB x ty =+,1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,联立抛物线方程,运用韦达定理,再设直线11:y AD y x x =,求得D 的坐标,通过B ,D 的纵坐标,即可得证． 【详解】（1）解：抛物线C ：22ypx =的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得d ==2p =，所以抛物线方程为24y x =．（2）证明：抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-．设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程，可得2440y xy --=，即有124y y =-， 直线AD ：11y y x x =，则有111,y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于112211144y y y x y y -=-=-=， 即B D 、的纵坐标相等，故直线BD 平行x 轴． 21．（1）2219x y +=；（2）125m =或3m =．【分析】（1）根据题意可得出关于a 、c 的方程组，解出这两个量的值，可得出b 的值，进而可得出椭圆M 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0CA CB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可求得实数m 的值. 【详解】（1）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+，所以226a c +=+又椭圆的离心率为3，即c a =，所以3a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，可得3a =，c =1b =，椭圆M 的方程为2219x y +=；（2）由2219x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2229290k y kmy m +++-=， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+，①.因为以AB 为直径的圆过点C ，所以0CA CB ⋅=．由()113,CA x y =-，()223,CB x y =-，得()()1212330x x y y --+=． 将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式，得()()()()2212121330k y y k m y y m ++-++-=．将①代入上式，可得()()()()()22221932309km k m km m k +-+-⋅-+-=+，整理可得()()35120m m --=，解得125m =或3m =． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.22．（1；（2）存在；12BP BC =. 【分析】（1）作1CH DC ⊥，连接AH ，可以证明M 的轨迹为线段CH ，求出CH 的长度即可；（2）以A 为坐标原点，,,AC AA AB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，,[0,1]BP BC λλ=∈，根据向量关系求出λ的值即可. 【详解】（1）作1CH DC ⊥，连接AH ， 由题知1CC ⊥平面ABC ， 所以1CC AC ⊥，因为平面1CC D ⊥平面11ACC A ，平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =， 所以AC ⊥平面1DCC ， 所以1AC DC ⊥，因为1CH DC ⊥，且1CH DC H =∩， 所以1DC ⊥平面ACH ，所以M 的轨迹为线段CH ，在1DCC △中可解得CH =（2）存在.以A 为坐标原点，,,AC AA AB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以11(0,0,0),,2),(0,0,1),(0,2,1)A C C D B B ， 所以1(0,2,0),(3,1,1)BB BD ==， 设平面1BB D 的法向量(,,)n x y z =， 所以200y y z =⎧⎪++=，所以平面1BB D 的一个法向量(3,0,3)n =-， 设,[0,1]BP BC λλ=∈，所以(31,1)DP DB BC λλλ=+=---，= 解得12λ=或56λ=-（舍），所以12BP BC =. 【点睛】本题考查线面垂直以及利用向量法求解线面角问题，向量法是几何与代数的纽带，使计算化繁为简，同时熟悉线面平行、垂直的证明方法，属中档题.。
哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案
哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。
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2020北京西城高二（上）期末
数学2020.1 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知椭圆的一个焦点为，，则的值为（）
A. B. C. 6 D. 8
2.已知数列满足，，，则= （）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3.已知命题，，则为（）
A. ，
B. ，
C. 和，
D. ，
4.已知，，若，则（）
A. B. C. D.
5.已知向量，，，，，，且，那么= （）
A. B. 6 C. 9 D. 18
6.已知直线，分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量，，，，，，，，，若，，共面，则等于（）
A. B. 1 C. 或1 D. 1或0
8.德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉，他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数，其中
表示不超过的最大整数，比如.根据以上定义，当时，数列，，（）
A. 是等差数列，也是等比数列
B. 是等差数列，不是等比数列
C. 是等比数列。
不是等差数列
D. 不是等差数列，也不是等比数列
9.设有四个数的数列，该数列前3项成等比数列，其和为,后3项成等差数列，其和为6.则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
10.曲线,给出下列结论：
①曲线关于原点对称；
②曲线上任意一点到原点的距离不小于1；
③曲线只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.
其中，所有正确结论的序号是（）
A. ①②
B. ②
C. ②③
D. ③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11.设是椭圆上的点，到该椭圆左焦点的距离为2，则到右焦点的距离为 .
12.不等式的解集为 .
13.能说明“若，则”为假命题的一组、值是= ，= .
14.若双曲线，的右焦点，到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 .
15.某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用用均比上一年增加2万元.
若该渔船预计使用年，其总花费（含购买费用）为万元；
当时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.
16.若，，，，表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规划如下：
（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；
（2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.
如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要次操作；
如果除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要次操作.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分13分）
已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列.
（I）求的通项公式；
（II）设的前项和为，且，求的值.
18.（本小题满分13分）
已知函数，.
（I）若，求的取值范围；
（II）若对恒成立，求的取值范围；
（III）求关于的不等式的解集.
19.（本小题满分13分）
已知椭圆的右焦点为，，离心率为.
（I）求椭圆的方程；
（II）设点为椭圆的上顶点，点在椭圆上且位于第一象限，且∠，求的面积.
20.（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，平面，，∠，，
，，
为的中点.
（I）证明：平面；
（II）若二面角的余弦值为，求的值；
（III）若,在线段上是否存在一点，使得.若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知抛物线，抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3.
（I）求抛物线的方程及其准线方程；
（II）过，的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点，直线交直线于点.是否存在这样的直线，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程.
22.（本小题满分13分）
若无穷数列，，，满足：对任意两个正整数，，与
至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.
（I）求证：若数列为等差数列，则为“和谐数列”；
（II）求证：若数列为“和谐数列”，则从第3项起为等差数列；
（III）若是各项均为整数为“和谐数列”，满足，且存在使得
，，求的所有可能值.。