学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试数学理
【精选高中试题】河南省天一大联考高二下学期期末考试数学(理)Word版含答案
天一大联考2016—2017学年高二年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.在复平面内，复数21i z i-=+（i 为虚数单位）所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2.设集合{}2|0,|411x A x B x x x -⎧⎫=≤=-≤≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = A. []1,1- B. []4,2- C. (]1,1- D.()1,1-3.已知向量()3,2a =与向量(),3b x =相互垂直，则x =A. -2B. -1C. 1D. 24.某几何体是三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 40B. 30C.20D. 105.执行如图所示的程序框图，则输出S 的等于A. 2450B. 2500C.2550D.26506.如果实数,x y 满足260303x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为A. -6B. 3C. 6D. 2127.已知三个学生A,B,C 能独立解出一道数学题的概率分别为0.6,0.5,0.4，现让这三个学生各自独立解这道数学题，则该题被解出的概率为A.0.88B.0.90C. 0.92D.0.958.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足11a =，且243,,a a a 成等差数列，则63S S = A. 78 B. 78- C. 98 D. 98- 9.已知甲、乙、丙、丁、戊五个人在图中矩形的四个顶点及中心，要求甲乙必须站在同一条对角线上，且丙不站在中心，则不同的站法有A. 16种B. 48种C.64种D.84种 10.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，得到偶函数()y g x =的图象，则ϕ的值可能是A. 8π B. 524π C. 34π D. 1524π 11.已知双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是A. shx 为奇函数，chx 是偶函数B. 22sh x shxchx =C. ()sh x y shxchy chxshy -=-D.()ch x y chxchy shxshy -=+12.已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A,B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点F 作x 轴的垂线交双曲线C 于P,Q 两点，连接PA 交y 轴于点E,连接EB 并延长交QF 于点M,若M 恰好为QF 的中点，则双曲线C 的离心率为A. 2B. 52C. 3D. 72二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列{}n a 中，3283,14a a a =+=,则10a = .14.已知某一离散型随机变量X 的分布列如下表所示：则()E X .15.已知随机变量()()()2,,020.34N P P ξμσξξ≤=≥=，则()01P ξ≤≤= .16.若()201722017012201721x a a x a x a x -=++++，则012201722017a a a a ++++= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3cos .c A a C =（1）求C 的值；（2）若1,7b c ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，AD ⊥平面ABC ，//CE AD 且2.AB AC CE AD ===（1）试在线段BE 上确定一点M ，使得//DM 平面ABC ；（2）若AB AC ⊥，求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值.19.（本题满分12分）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设n n n c a b =，则我们经常用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n S ，记()n S f n =，在这个过程中许多同学常将结果算错.为了减少出错，我们可以代入1n =和2n =进行检验：计算()11S f =，检验是否与11a b 相等；在计算()22S f =检验是否与1122a b a b +相等.如果两处中有一处不等，则说明计算错误，某次数学考试对“错位相减法”进行了考查.现随机抽取100名学生，对他们是否进行检验以及答案是否正确进行了统计，得到数据如下表所示：（1）请完成上表；（2）是否有95%的把握认为检验计算结果可以有效避免计算错误？（3）在调查的100名学生中，用分层抽样的方法从未检验结果的学生中抽取8名学生，进一步调查他们不检验的原因.现从这8人中任取3人，记其中答案正确的学生人数为随机变量X,求X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()2,P t 到焦点F 的距离为3.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，设1l 与抛物线C 交于,A B 两点，2l 与抛物线C 交于,D E 两点，求AF FB EF FD ⋅+⋅的最小值.21.（本题满分12分）已知函数().xf x e x =- （1）若函数()()21F x f x ax =--的导数()F x '在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求证：()1111,.234142n f f f f n n N n n *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2019-2020学年河南省天一大联考高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年河南省天一大联考高二第二学期期末数学试卷（理科）B . f (1)= 1A .成］B . -/：;：C . 2 6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪 田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田, 若将100棵的果树均匀地种植在邪田， 一年后，每棵果树都有60kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ）7.根据如图的程序框图，输出的S 的值为（4.已知数列 {a n }是等差数列， 且 1112A.: B .3C . f (1) =1+2+3a 6= 6, a 10= 8，则公差 d =C . 1、选择题（共 12小题）. 1.-2i=(2.A. - 2+2i D . 2+2iC . 2n利用数学归纳法证明f ( n )= 1+2+3+…+ (3n+1)( n €N* )时，第一步应证明（=1+2D . f (1)= 1+2+3+45.已知函数f （x ） = ax 2+b 的图象开口向下,linf (a+A(a)Ax=4,则 a =(A . 25kgB . 50kgC . 1500kgD . 2000kgC. 08在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数•.对应的点为B，若点A与B分别在y2 =4x与y=- x上，且都不与原点0重合，则［?：.= （A. - 16B. 0C. 16D. 329.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 这些数叫做三角形数.设第n个三角形数为a n,则下面结论错误的是（A . a n - a n-1= n (n> 1)B. a20 = 210C. 1024是三角形数1 1 1 1 2nD + ----------- +----- 4■… H--- = -------D .引吧巧“ "110 .已知图中的三条曲线所对应的函数分别为(X> 0) y2= x,分的面积为（）11 .在厶ABC 中，/ B = 60°, AD 是/ BAC 的平分线，交BC 于D, BD =, cos/ BAC=—，贝U AD =( )4A . 2B .詁'212.已知方程3x2- . 1 ~ax+a2= 0的两实根为x= x i与x = X2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为( )二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13•已知复数z的实部与虚部之和为2,且|z|= ",贝U z= _____________ .14•某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图.当地政策规定，若家庭收入不足 1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则15 .若x, y满足约束条件则z= 2x+y的最大值为f (x)= 0仅有两个实根土1，且当x =( - 2, 0)U( 2, +8)时f' (x) > 0 恒成立, 则不等式xf (x )v 0的解集为•解答题：共70分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(I)若f (x) = 3，求tanx;18. 在梯形ABCD 中，AD // BC , AC 丄BD 于点0, BC = 2AD , AC = 9,将厶ABD 沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC = 3, 口.(I)求证：平面PBD丄平面BCD ;(n) M为BC上一点，且BM = 2CM，求证：OM //平面PCD .该村享受国家扶贫政策的有户.16•函数f (x)是连续的偶函数，方程17.已知函数f (x)=sinjc+cosx2 .gin2x-l(n)证明：f'(x)= ―-(x+1 )在19. 已知a, b, c, d为实数.(I)证明：a (a—b) +b (b - c) +c (c—d) +d (d - a) > 0；(n)若ab+bc+cd+da= 4，证明：a, b, c, d中至少有一个不大于1.20. 已知函数f (x) = ( ax2+bx) e x.(1)若x= 0是f (x)的一个极值点，求实数b的值；(H)若a= 2, b= 3,求f ( x)在区间［-2, 0］上的最值.21. 已知抛物线C: y2= 2px ( p> 0)的焦点为F，过F的直线I与抛物线C交于A , B两2点，弦AB的中点的横坐标为一，|AB|= 5.(1 )求抛物线C的方程；(2)若直线I的倾斜角为锐角，求与直线I平行且与抛物线C相切的直线方程.22. 已知函数f (x) = elnx - ax+1.(I)讨论f (x)的单调性；(n)若a> 0,且对任意的x €［1, e］，都有f (x)v a,求a的取值范围.参考答案、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.故选：C . 2.〔 I .丄：,：dx 等于（ ）A• B •n【分析】由定积分的几何意义知:面积等于四分之一个圆的面积，求解即可. 解：由定积分的几何意义知:I 討 # :/ dx 是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一， 故 -丄：，dx = —nX 22= n,A . - 2+2iB .- 1 + iC . - 1 - iD . 2+2i解: 1+1 _ (14*1) (>i) — 1 1C . 2n.[■:厂J'dx 是如图所示的阴影部分扇形的面积，其1.故选：B .3. 利用数学归纳法证明 f (n )= 1+2+3+…+ (3n+1)( n €N* )时，第一步应证明(A . f (2 )= 1+2 C . f (1) = 1+2+3D . f (1)= 1+2+3+4【分析】由f (n )的表达式，考虑右边的最后一项，即从 1连续加到3n+1,可得所求结论.解：由 f ( n )= 1+2+3+ …+ ( 3n+1) ( n €N* ),可得 f (1)= 1+2+3+4 ,由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明： f (1 )= 1+2+3+4 .故选：D .4.已知数列｛a n ｝是等差数列，且 a 6= 6, a 10= 8，则公差d =()【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 解：.a 6= 6, a 1o = 8,故选：A .【分析】先求出函数的变化率，根据极限的定义，结合二次函数的性质即可求出 解: f ( a+ △ x )- f (a ) = a (a+A x ) 2+b - a 3 - b = 2a/ x+a A x 2, •••函数f (x )= ax 2+b 的图象开口向下,故选：B .6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪 田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，B . f (1)= 1 则公差d ==1'~ =一，5.已知函数f (x ) = ax 2+b 的图象开口向下,Ax-*0Ax=4,贝U a =a 的值.则’| A K —0••• a =±k 汨,Axlim(2a 2+a A x )= 2a 2= 4,若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（ A. 25kgB . 50kgC . 1500kgD . 2000kg【分析】利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的 概率，乘以100得到圭田内果树的棵数，乘以产量得答案. 解：由题意，邪田的面积 _ [-一—- ' : - J I ;内部圭田的面积 s 2=_ir x 呂天5二2Q .则将100棵的果树均匀地种植在邪田，其中在圭田内果树的棵数为荽x IOQ =25 .80•• •一年后，每棵果树都有 60kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为 25X 60= 1500kg . 故选：C .解：由题意可知S 是在的前2017个函数值的和.•/ i = 1 时，x =- 1； i = 2 时，x = 丁； i = 3 时，x = 2; i = 4 时，x =— 1；【分析】循环体的算法功能，先研究随着i 的变化，函数值1I P的变化规律（一般是周 期性循环出现），然后判断最后一项是多少, 最终求出结论. A . 1007 B . 1009所以B 正确; 解得n?N ，所以C 不正确,所以鱼oi 产6茂X (-1^23-1 = 1007. 故选：A .&在复平面内，虚数 z 对应的点为A ，其共轭复数•.对应的点为 =4x 与y =- x 上，且都不与原点 0重合，则.I :?A . a n — a n -1= n (n > 1)B. a 20 = 210C. 1024是三角形数1 1 1—-H ----- ■+一- -. 曰1七衍 S 门幻可以看出 1 1-x-1, ,2循环的，周期为3.B ,若点A 与B 分别在y 2：■=(A . - 16 C . 16 D . 32【分析】设出z ,求出A , B 的坐标，根据 A , B 在y 2= 4x 与 y =- x 上求出a , b ;再代入数量积求解即可.解：设z = a+bi ；则z 对应的点为 A (a , b )； 其共轭复数••对应的点为B (a , - b )；又因为：点A 与B 分别在y 2= 4X 与y =- x 上，且都不与原点O 重合;{- 2,甘二觀?t -b=-aE ,( 0, 0) b=4舍;••• A (4, 4), B (4, - 4); ••••■?■ .= 4 X 4+4X( - 4)故选：B .9 •在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,……这些数叫做三 角形数•设第n 个三角形数为 a n ,则下面结论错误的是(【分析】通过数列的项与序号之间的关系，判断选项 A 的正误，然后推出数列的递推关系式，求解数列的和，即可判断选项的正误. 解：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,……可得a 2- a 1 = 2, a 3- a 2= 3,…得到a n - a n -1 = n ,所以A 正确；累加可得 |n(n+l)贝H a n — 1 = 1+2+3+4+ …+n - 1 =210,-1 ；所以a n =【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出阴影部分的面积.故选：B .十则AD =(【分析】先由二咅角公式求得• ..进而由平方关系得到 sinZBAD再在△ ABD 中，运用正弦定理即可求得 AD 的值.解：••• AD 是/ BAC 的平分线，：二二一:^［「一匚,由题意知，/ BAD 为锐角,1 1 1---- H -----4- ---- ■+'■■■ 曰 1 a 2 a 3 故选：C .10•已知图中的三条曲线所对应的函数分别为yi=解：根据题意构建方程组 ，解得（负值舍去），同理构建方程组解得11.在△ ABC 中，/ B = 60,AD 是/ BAC 的平分线,BC 于 D , BD = / ■: , cos / BAC•所以D 正确;x ,则阴影部(x > 0), y2= x ,A • 1 + 1 n2sinZBAD• • | 门-•，■—■ ■- 9Y64故选：A.12.已知方程3x2-疮-~ax+a2= 0的两实根为x i, x2，若函数f (x)= x (x - 1)( x+1 )在x= x i与x = X2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为( )A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】先根据方程3x2- . | ,ax+a2= 0的两实根为x i, X2,利用韦达定理找到两实根与a的关系，然后利用函数 f (x)= x (x - 1) ( x+1 )在x = x i与x= X2处的切线相互垂直，即f'( X1) f'( X2)=- 1得一等量关系，再将刚才的a与两根的关系式代入，构造出关于a的方程求解即可.解：因为方程3x2-. i -■ax+a2= 0的两实根为X1, X2,所以△= 3a2》0，故a €R,••• f'( x)= 3x2- 1，二f'〔r'(匕)=诣x [ J-1) C3整理得：-:A ■ ■■' , E " - ■ V 1 - 厂--I【分析】设z= a+bi，根据条件求出a, b即可求解结论.在厶ABD中，由正弦定理可得,AD _ BD sinBsinZBAD '、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.13.已知复数z的实部与虚部之和为2,且|z|= ■:，贝U z=_!±j_Vis将韦达定理代入整理得a4- 3a2- 2 = 0故选：B.解：设z= a+bi; a, b €R ；•••复数z的实部与虚部之和为2,且|z|=a+b = 2 且a2+ b2= 2 ；解得：a= b = 1；故z= 1 + i ；故答案为：1 + i.14•某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图•当地政策规定，若家庭收入不足 1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有20户.【分析】由频率分布直方图得家庭收入不足 1.5万元的频率为0.01 X 10= 0.1，由此能求出该村享受国家扶贫政策户数.解：若家庭收入不足 1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，由频率分布直方图得家庭收入不足 1.5万元的频率为0.01 X 10 = 0.1,则该村享受国家扶贫政策的有200X 0.1 = 20 (户).故答案为：20.15•若x, y满足约束条件则z= 2x+y的最大值为10【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出由z= 2x+y 知,目标函数取得最大值.z最大值即可.解：作出变量x, y满足约束条件可行域如图: 所以动直线y=- 2x+z的纵截距z取得最大值时,目标函数取得最大值z= 2 X 5+0 = 10.16.函数f (x)是连续的偶函数，方程f (x)= 0仅有两个实根土1,且当x =( - 2, 0) U( 2, +R)时f'(x)> 0恒成立，则不等式xf (x)v 0的解集为 (-1, 0)U( 1, +心.【分析】结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可.解：函数f (x)是连续的偶函数，方程 f (x)= 0仅有两个实根土1,且当x=( - 2, 0) U( 2, +R)时f' (x)> 0恒成立，可知函数在x€ (- 2, 0), x€ ( 2, + 时，都是增函数，函数的示意图如图：所以不等式xf (x)v 0的解集为：(-1, 0)U( 1, + R).三•解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(I)若 f (x ) = 3，求 tanx ;3 证明：f '( x )=.【分析】(I)根据同角的三角函数的关系即可求出,-22l-sin2sgin2x ta l18. 在梯形 ABCD 中，AD // BC , AC 丄 BD 于点 0, BC = 2AD , AC = 9,将厶 ABD 沿着 BD 折起，使得A 点到P 点的位置，PC = 3 .门..(I)求证：平面 PBD 丄平面BCD ;(n) M 为BC 上一点，且 BM = 2CM ，求证：OM //平面PCD .【分析】(I)先证明 P0丄平面BCD ，再证明平面 PBD 丄平面BCD ;(n)先证明 0M // DC ,再证明0M //平面PCD .【解答】证明：(I)： AD // BC , BC = 2AD , ••• CO = 2AO ,CO = 6, AO = 3，即 PO = 3, 又：1： '• CO 2+PO 2= PC 2,则 PO 丄CO , •/ AC 丄BD 于点O ,• PO 丄 BD , 又 BD A OC = O , • PO 丄平面BCD , 又PO 在平面PBD 内, •••平面PBD 丄平面BCD ;17.已知函数(x )=sinjc-coss解: (I)sinx+^osxtanx+1ginx-cosstanx^l —3,tanx = 2,证明：(2) f '(n )=(sinx-cosx )2(n)根据导数基本公式和运算法则即可证明.解得n)v AD // BC , BC = 2AD , .B0_=• OM // DC ,又••• OM 不在平面 PCD 内，DC 在平面 PCD 内， • OM //平面 PCD . 19. 已知a , b , c , d 为实数.(I)证明：a (a — b ) +b (b - c ) +c (c — d ) +d (d - a ) > 0； (n)若ab+bc+cd+da = 4，证明：a , b , c , d 中至少有一个不大于1.【分析】(I)要证 a (a — b ) +b (b — c ) +c (c — d ) +d (d — a )> 0,可证 a 2+b 2+c 2+d 2 > ab+bc+cd+da ，再由基本不等式证明；(n)假设 a , b , c , d 都大于 1，贝U a > 1, b > 1,可得 ab > 1，同理 bc > 1, cd > 1, da> 1，得到ab+bc+cd+da >4,与ab+bc+cd+da = 4矛盾，即可说明假设不成立，得到 a ,b ,c ,d 中至少有一个不大于1.【解答】(I)要证 a (a — b ) +b (b — c ) +c (c- d ) +d (d — a ) > 0, 需证 a 2+b 2+c 2+d 2 > ab+bc+cd+da .••• a 2+b 2 > 2ab , b 2+c 2》2bc , c 2+d 2^ 2cd , d 2+a 2》2da , • 2 (a 2+b 2+c 2+d 2)> 2 (ab+bc+cd+da ),则 a 2+ b 2+c 2+d 2>ab+bc+cd+da ，当且仅当 a = b = c = d 时等号成立. • a (a — b ) +b ( b — c ) +c (c — d ) +d (d — a )> 0；(n)假设 a , b , c , d 都大于 1,贝U a > 1, b > 1,「. ab > 1;同理 bc > 1, cd > 1, da > 1.• ab+bc+cd+da > 4, 与 ab+bc+cd+da = 4 矛盾， 故假设不成立，• a , b , c , d 中至少有一个不大于 1. 20. 已知函数 f (x ) = ( ax 2+bx ) e x .(I)若x = 0是f (x )的一个极值点，求实数b 的值；(n)若a = 2, b = 3,求f ( x )在区间［-2, 0］上的最值.又【分析】(I)函数 f (x ) = ( ax 2+bx ) e x .的 f '( x )= e x [ax 2+ (b+2a ) x+b].由 f ' (0)= 0,解得b 即可;(n) a = 2, b = 3 时，f (x ) = ( 2x 2+3x ) e x , f '( x )= e x ( 2x 2+7x+3).可得 f (x)解得b = 0.(x )= ae x (x 2+2x )..显然x = 0是f (x )的一个极值点.(n) a = 2, b = 3 时，f (x ) = ( 2X 2+3X ) f '( x ) = e x ( 2X 2+7X +3),令f '( x )= 0 .可得,f ( 0)= 0,(1 )求抛物线C 的方程;解：(1)设A (x i , y i ) , B (X 2, y 2),因为AB 的中点的横坐标为亍, 根据抛物线定义知 |AB |= |AF |+|BF |= p+X 1+x 2= 5. 所以p+3= 5，解得p = 2, 所以抛物线C 的方程为y 2= 4x •(2)设直线 I 的方程为 y = k (x - 1), k > 0,则由 \V =4x得 k 2x 2-( 2k 2+4) x+k 2递减，在［-*, 0］递增，即可求得(x )在区间［-2, 0］上的最值.解：(I)函数 f (x ) = ( ax 2+bx ) e x 的 f '( x) = e x [ax 2+ (b+2a) x+b].•/ x = 0 是 f (x ) 的一个极值点，••• f '( 0)e x ,可得f (x )在[-2,递减，在［-二，0］递增,21. 2 1所以f (x )在区间［-2, 0］上的最大值为f C-2>-y ，最小值为fe.已知抛物线 C ： y 2= 2px ( p > 0)的焦点为F ，过F 的直线 l 与抛物线C 交于A , B 两点，弦AB 的中点的横坐标为,|AB|= 5.(2)若直线I 的倾斜角为锐角，求与直线 I 平行且与抛物线 C 相切的直线方程. 【分析】(1)由AB 弦的中点坐标可得AB 两点横坐标之和, 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线 的距离，再由 AB 的弦长求出p 的值，进而求出抛物线的方程; (2)设直线I 的方程与抛物线联立,且由题意可得斜率大于 0,求出斜率，可得切线的斜率，设切线的方程，与抛物线联立, 由题意判别式为 0,进而求出切线直线的方程.3+七.3' 2 '_2Ly=k(x-1)=0 •2 k ^+4 +4所以勺卄矿辽产，即冬性詣，解得k = 2 •' k k"2 _设与直线I平行的直线的方程为y= 2x+b，由，卩滋得4x2+ ( 4b - 4) x+b2= 0.y=2x+bL依题知△=( 4b - 4) 2- 16b2= 0,解得七丄.故所求的切线方程为-厂；丫二.22.已知函数f (x) = elnx - ax+1.(I)讨论f (x)的单调性；(n)若a> 0,且对任意的x €［1, e］，都有f (x)v a,求a的取值范围.【分析】(I)对a分a w 0和a> 0两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；(n)当a> 0时，由(I)知f (x )在(0,二)上单调递增，在(―*也°)上单调递a 敦减，再对a分三种情况讨论，利用导数研究函数的最大值，进而建立关于a的不等式得解.解：(I)函数的定义域为(0, + a), ■-5L,(i)当a w 0时，f'( x)> 0恒成立，f (乂)在(0, + a)上单调递增；(ii)当a > 0时，令f'( x) > 0,解得0<芨弋二，令f '( x)v 0，解得^>旦,a if (x)在(0, 土)上单调递增，在—，2°)上单调递减；综上，当a w 0时，f (x)在(0, +a)上单调递增；当a > 0时，f (x)在门•上单调递增，在 -■- 上单调递减;(n)当a> 0时，由(I)知f (x )在(0,—)上单调递增，在(皂，心)上单调递a a减，①当il, 即 a > e 时，f (x)在［1 , e］上单调递减，则 f (x) max= f (1) = 1 - a,3.由1 - a v a,解得包>£,此时实数a的取值范围为［e, +8);②当一.：”：：；,即a< 1 时，f (x)在［1 , e］上单调递增，贝U f (x) max= f (e)= e- ae+1,a由e- ae+1 v a，解得a> 1,•••此时a€?；③当1〈旦V&,即1 v a v e时，f (x)在〔1, 上单调递增，在芦，吕〕上单调递a a减，则i. ：故 1 - elna v a, 即卩elna + a - 1> 0,设g (x)= el nx+x - 1, x € (1, e),则「°：-- .=■,5L••• g (乂)在(1, e) 上单调递增，又g (1)= 0,•对任意x€ (1, e),都有g (x) > 0,• a € (1, e)满足题意；综上所述，实数a的取值范围为(1, +8).。
河南省大联考2022-2023学年高二下学期阶段性测试三数学试题
天一大联考2022—2023学年高二年级阶段性测试（三）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与向量()3,0,4a =-共线的单位向量可以为（ ）A ．34,0,55⎛⎫--⎪⎝⎭B ．43,,055⎛⎫-⎪⎝⎭C ．43,0,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．34,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．下列导数计算错误的是（）A ．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()eexx--=-'C ．()ln ln 1x x x '=+D ．()21tan sin x x'=3．若数列{}n a 是等差数列，且1596a a a ++=，则5πtan2a =（ ）A ．1B ．-1CD．4．已知函数()f x 满足()()21ln exf x f x '=+（()f x '为()f x 的导函数），则()e f =（ ）A ．e 1-B ．21e+C ．1D ．21e-+5．若直线20x ay a --=与圆222440x y x y ++-+=相切，则（ ）A ．3a =B ．32a =-C ．0a =或32a =-D ．0a =或23a =-6．曲线()ln xf x x=在1x =处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．22y x =-C ．1122y x =-+D ．1y x =+7．函数()33f x x x =-（[]0,1x ∈）的最大值是（）A ．29-B ．29C ．0D ．18．已知函数()f x 的导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则()f x 在开区间(),a b 内的极大值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知双曲线()222103x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点P 在双曲线的右支上，且12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．310．若函数()3113f x ax ax =-+的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,,22⋃⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：对任意的x ∈R 都有()f x x '>，若()()112f k f k k --+≥-，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)0,+∞12．已知直线l ：1x my =+经过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，点C 为线段AB 的中点，点D 在抛物线的准线上，若CD AB ⊥，且CD AB =，则2m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则4a =______．14．若函数()()21e x f x x mx =++在区间[]1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围为______．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则点D 到平面1A BE 的距离为______．16．已知直线y ax b =+与曲线ln y x x =-相切，则a b +的最小值是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在3x =-处有极值36．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）当0b >时，求()f x 的单调递增区间．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为24n S n n =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21n n n a b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：17510n T ≤<．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点D 为棱AC 的中点，且1BD CC ⊥，侧面11AA C C 为菱形，且160A AC ∠=︒．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若90ABC ∠=︒，求平面1DB C 与平面1BB C 夹角的余弦值．20．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，离心率12e =，点E 在椭圆C 上，12EF F △．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设C 的上、下顶点分别为A ，B ，点M 是C 上异于A ，B 的任意一点，直线MA ，MB 分别与x 轴交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：OP OQ ⋅为定值．21．（12分）已知函数()e x f x a x =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1ea =时，证明：()ln 10f x x x -+-≥在()0,+∞上恒成立；（Ⅱ）若()f x 有2个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知函数()()211ln 2f x ax a x x =+--，a ∈R ．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a >时，证明()322f x a≥-．2022—2023学年高二年级阶段性测试（三）数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．D2．D3．A4．D5．C6．A7．B8．B9．D10．C11．A12．C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．(],2-∞-15．116．-1三、解答题：共7017．解析（Ⅰ）由题意知()232f x x ax b =++'．…………………………………（1分）∵()23279336f a b a -=-+-+=，()32760f a b -=-+='，…………………………………（3分）∴3,9a b =⎧⎨=-⎩或6,9,a b =⎧⎨=⎩经检验都符合题意．………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当0b >时，由（Ⅰ）得()326936f x x x x =+++，∴()23129f x x x =++'，………………………………………………………………………………（6分）由()0f x '>，即()()130x x ++>，解得3x <-或1x >-，……………………………………………………………………………………（8分）∴函数()f x 的单调递增区间为(),3-∞-，()1,-+∞．……………………………………………（10分）18．解析（Ⅰ）当1n =时，115a S ==，………………（1分）当2n ≥时，()()221414123n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，………………（3分）15a =也满足该式，………………（4分）所以23n a n =+．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()217711232522325n n n a b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，………………………………（7分）所以71111117112577923252525n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．……………………（9分）因为函数125y x -=+在()0,+∞上单调递增，……………………………………………………………（10分）所以171175252510n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，即17510n T ≤<．………………………………………………………………………………………（12分）19．解析（Ⅰ）因为AB BC =，点D 为棱AC 的中点，所以BD AC ⊥．…………………………………………………………………………………………（1分）又1BD CC ⊥，1AC CC C ⋂=，所以BD ⊥平面11AA C C ．又1A D ⊂平面11AA C C ，所以1BD A D ⊥．………………（3分）如图，连接1AC ．因为侧面11AA C C 为菱形，且160A AC ∠=︒，所以1AA C △为等边三角形，所以1A D AC ⊥．………………（5分）又AC BD D ⋂=，所以1A D ⊥平面ABC ．………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）的过程可知，可以点D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，1DA 所在直线为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系Dxyz ．不妨设2AC =，由题可知()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0A -，(1A ．………………（8分）由11A B AB =，可得(1B ．设平面1DCB 的法向量为()111,,n x y z =，而(1CB = ，()0,1,0DC =，则有1110,0,x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1z =，得(n =-．………………（9分）设平面1BB C 的法向量为()222,,m x y z =，而()1,1,0CB =-，(1CB =，则有22220,0,x y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2z =，得(3,m =-- ．………………（10分）所以cos ,n m n m n m ⋅===，即平面1DB C 与平面1BB C12分）20．解析（Ⅰ）设C 的半焦距为()0c c >，依题意2221,2122,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩………………………………………………………………………………（2分）解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩…………………………………………………………………………………（4分）所以C 的方程为22143x y +=．…………………………（5分）（Ⅱ）由题意可得(A，(0,B ，设椭圆上任意一点()(000,M x y y ≠，所以直线AM的方程为y x =，直线BM的方程为y x =-．………………（7分）令0y =，得P x =，Q x =．…………………………………………………（9分）所以220022343433x y OP OQ y y -⋅===--，为定值…………………………………………………（12分）21．解析（Ⅰ）当1ea =时，设()()1ln 1ln 1x g x f x x x e x -=-+-=--，则()()11e 0x g x x x-'=->，………………………………（1分）易知()g x '在()0,+∞上单调递增，而()01e 10g '=-=，………………………………（2分）所以当()0,1x ∈时，，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增，…………………………（4分）所以()()min 10g x g ==，………………………………（5分）即()ln 10f x x x -+-≥在()0,+∞上恒成立……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由()e 0x f x a x =-=，得e x x a =，令()e x xh x =，则()f x 有2个零点，等价于()ex xh x =与y a =的图象有2个交点………………………………………（7分）由()10ex xh x -'==，得1x =，易知函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 11eh x h ==，且当0x <时，()0h x <，当x →+∞时，()0h x →，………………（9分）作出函数()h x 的大致图象如下：结合图象可知，当10e a <<时，()ex xh x =与y a =的图象有2个交点，故a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………（12分）22．解析（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞………………………………………………………（1分）()()()1111x ax f x ax a x x+-=+--='．……………………………………………………………（2分）若0a ≤，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞上单调递减………………………（3分）若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，………………（4分）故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a >时，()f x 在1x a=处取得最小值1111ln 2f a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，………………（6分）所以()322f x a ≥-等价于1131ln 222a a a --≥-，即11ln 10a a--≥．…………………………………（7分）设()ln 1g x x x =--，则()11g x x'=-．……………………………（8分）当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增………………………………………………………………………………………………（10分）故当1x =时，()g x 取得极小值且为最小值，最小值为()10g =．…………………………（11分）所以当0x >时，()0g x ≥．从而当0a >时，11ln 10a a --≥，即()322f x a≥-．………………………………………………（12分）。
河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期线上联考数学(理)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．利用数学归纳法证明 时，第一步应证明（ ）
2．B
【分析】
利用数形结合求定积分得解.
【详解】
所以 ，
表示为以原点为圆心，以2为半径的在第一象限的 个圆，
由于 个圆的面积为 ，
所以 .
故选B
【点睛】
本题主要考查利用数形结合求定积分，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．D
【分析】
直接给n取1即得解.
【详解】
的初始值应为1，而 .
A． B．
C．1024是三角形数D．
10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为 ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1D．2
11．在 中， ， 是 的平分线交 于 ， ， ，则 （ ）
A．2B． C． D．
12．已知方程 的两实根为 ， ，若函数 在 与 处的切线相互垂直，满足条件的 的个数为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列 是等差数列，且 ， ，则公差 （ ）
A． B． C．1D．2
5．已知函数 的图像开口向下， ，则 （ ）
A． B． C．2D．-2
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有 的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ）
河南省天一大联考2020-2021学年下学期高二年级期末测试理科数学试题
C． D．
10．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 为该双曲线上一点， 为其左、右焦点，且 ， ，则该双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
11．已知函数 在区间 上为单调函数，且 ，则函数 的解析式为（）
A． B．
C． D．
12．若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知非零向量 满足 ， ，且 ，则实数 的值为______.
14．若 的展开式中的常数项为 ，则实数 的值为______.
15．已知 满足约束条件 则 的最大值为______.
16．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 的取值范围为______.
三、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
19．如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形，其中 ，且 ， ， 是 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值.
20．已知椭圆 的右顶点为 ，定点 ，直线 与椭圆交于另一点 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）试问是否存在过点 的直线 与椭圆 交于 两点，使得 成立？若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
23．已知函数 .
（1）解关于 的不等式 ；
（2）对任意的 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
2．B
【分析】
根据已知，将选项代入验证即可.
【详解】
由 ，知 且 ，
学河南省天一大联考高二下学期阶段性测试三月数学理
天一大联考2016——2017学年高二年级阶段性检测（三）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.复数2z i =-的虚部为A.2B. i -C. 1-D.i2.大前提：若函数()f x 是奇函数，则()00f =，小前提：()1g x x=是奇函数，结论：()00f =，则该推理过程A.正确B.因大前提错误导致结论错误C. 因小前提错误导致结论错误D. 因推理形式错误导致结论错误3.复数()2341ii +=-A. 322i -+B. 322i --C. 322i +D. 322i - 4.某高中要从该校三个年级中各选1名学生参加校外的一项知识问答活动，若高一、高二、高三年级分别有5,6,8个学生备选，则不同的选法有A. 19名B. 38名C. 120名D.240名5.若函数()2f x x =由1x =至1x x =+∆的平均变化率的取值范围是()1.9725,2.025，则增量x ∆的取值范围是A. ()0.025,0.025-B. ()0,0.025C. ()0.025,1D.()0.025,0-6.6211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为 A. 81 B. 243 C. 729 D. 187 7.设复数z 的共轭复数为24i z z z+=+，则在复平面内复数z 对应的点位于 A. 第三象限 B.第二或第四象限 C.第四象限 D.第三或第四象限8.设20sin xdx k π=⎰，则520sin x dx π=⎰A. kB. 2.5kC. 4kD. 5k9. 按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形""∆或""∇，则该图案共有A. 16层B. 32层C. 64层D.128层10.已知函数()3232a f x x x ax +=-+在()1,2上不存在最值，则实数a 的取值范围是 A. ()1,2 B.(][),12,-∞+∞ C. (][),36,-∞+∞ D. ()3,611.有7个灯泡排成一排，现要求至少点亮其中的3个灯泡，且相邻的灯泡不能同时点亮，则不同的点亮方法有A. 11种B. 21种C.120种D. 126种12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()112f =，不等式()1f x x x'≤+的解集为(]0,1，则不等式()2ln 12f x x x ->的解集为 A. ()0,1 B. ()0,+∞ C.()1,+∞ D. ()0,1()1,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数集A 中有n 个元素，其中有一个0，现从A 中任取两个元素x,y 组成有序实数对（x,y ）.在平面直角坐标系中，若（x,y ）对应的点中不在坐标轴上的共有56个，则n 的值为 . 14.22142dt t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰为 . 15.已知正三角形的外接圆的圆心位于该正三角形的高的三等分点处，且外接圆半径的长等于高的三分之二，由此类比，棱长为a 的正四面体的外接球的半径的长为 .16.已知复数z =当2a ≥时，240z t z ++>恒成立，则实数t 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知复数123214121,32,,.z i z i z z z z z z =+=-=-=⋅（1）求34,z z ；（2）在复平面上，复数34,z z 所对应的点分别为,A B ，求AB .18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的首项()113,21.n n a a a n N *+==+∈（1）写出数列{}n a 的前5项，并归纳猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的通项公式.19.（本题满分12分）将()72x bx +的展开式按x 的次数由大到小的顺序排列，首尾两项的系数之比为128，中间两项的系数之和为840.（1）求实数,a b 的值；（2）求()7210x bx x -+⋅的展开式中的常数项.20.（本题满分12分）已知,,,1a b c R ab bc ca +∈++=，求证：（1）2221a b c ++≥；（2）a b c ++≥21.（本题满分12分）已知函数()3223.33x f x x x =+-- （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）用反证法证明：在[]1,1-上，不存在不同的点()()()()1122,,,x f x x f x ，使得()f x 的图象在这两点处的切线相互平行.22.（本题满分12分）已知函数()(),.x f x e ax g x x a =-=+ （1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）若对于任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.。
河南省天一大联考2020-2021学年高二阶段性测试（一）+数学（理）含答案
河南省天⼀⼤联考2020-2021学年⾼⼆阶段性测试（⼀）+数学（理）含答案2020－2021学年⾼⼆年级阶段性测试(⼀)数学(理科)考⽣注意：1.答题前考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号填写在试卷和答题卡上，并将考⽣号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。
回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上⽆效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.15 2.已知数列{a n }满⾜a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝ A.25 B.30 C.32 D.64 3.已知在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 B.22 C.25 D.2105.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝ A.3 B.5 C.6 D.106.⾳乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本⾳“宫”经过⼀次“损”，频率变为原来的3 2，得到“徵”，“徵”经过⼀次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“⽻”“⾓”五个⾳阶。
据此可推得上⼀页下⼀页。
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
∴ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.
故选D
3．C
【解析】
若 ，由 可得 ,故A错误；
若 ， ，则 ，但 ，故B错误；
由 可得： ,若 则 ，所以D错误；
故选：C
4．A
【解析】
.
故选：A
5图），平移直线 ，易知直线经过可行域上的点 ， 取得最大值为1.
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．C
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．方程 表示的曲线是椭圆
8．B
【解析】
由 可得 ， .由 可得 ，整理可得 ，解得： 或 （舍去），
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学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试数学
理
The following text is amended on 12 November 2020.
天一大联考
2016——2017学年高二年级阶段性检测（三）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.复数2z i =-的虚部为
A.2
B. i -
C. 1-
D.i
2.大前提：若函数()f x 是奇函数，则()00f =，小前提：()1g x x
=是奇函数，结论：()00f =，则该推理过程
A.正确
B.因大前提错误导致结论错误
C. 因小前提错误导致结论错误
D. 因推理形式错误导致结论错误
3.复数
()
2
341i
i +=-
A. 322
i -+ B. 322i -- C. 322i + D. 322
i -
4.某高中要从该校三个年级中各选1名学生参加校外的一项知识问答活动，若高一、高二、高三年级分别有5,6,8个学生备选，则不同的选法有 A. 19名 B. 38名 C. 120名 名
5.若函数()2f x x =由1x =至1x x =+∆的平均变化率的取值范围是()1.9725,2.025，则增量x ∆的取值范围是
A. ()0.025,0.025-
B. ()0,0.025
C. ()0.025,1
D.()0.025,0-
6.6
2
11x x ⎛⎫++
⎪⎝
⎭的展开式中所有项的系数和为 A. 81 B. 243 C. 729 D. 187 7.设复数z 的共轭复数为24i
z z z
+=
+，则在复平面内复数z 对应的点位于 A. 第三象限 B.第二或第四象限 C.第四象限 D.第三或第四象限
8.设20
sin xdx k π=⎰，则520
sin x dx π=⎰
A. k
B. 2.5k
C. 4k
D. 5k
9. 按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形""∆或""∇，则该图案共有
A. 16层
B. 32层
C. 64层 层 10.已知函数()32
32
a f x x x ax +=-
+在()1,2上不存在最值，则实数a 的取值范围是 A. ()1,2 B.(][),12,-∞+∞ C. (][),36,-∞+∞ D. ()3,6
11.有7个灯泡排成一排，现要求至少点亮其中的3个灯泡，且相邻的灯泡不能同时点亮，则不同的点亮方法有
A. 11种
B. 21种 种 D. 126种
12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()112
f =，不等式()1f x x x
'≤+的解集为
(]0,1，则不等式
()2
ln 1
2
f x x x ->的解集为 A. ()0,1 B. ()0,+∞ C.()1,+∞ D. ()0,1()1,+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数集A 中有n 个元素，其中有一个0，现从A 中任取两个元素x,y 组成有序实数对（x,y ）.在平面直角坐标系中，若（x,y ）对应的点中不在坐标轴上的共有56个，则n 的值为 .
14.221
42dt t ⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭
⎰为 . 15.已知正三角形的外接圆的圆心位于该正三角形的高的三等分点处，且外接圆半径的长等于高的三分之二，由此类比，棱长为a 的正四面体的外接球的半径的长为 .
16.已知复数z =
2a ≥时，2
40z t z ++>恒成立，则实数t 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）已知复数123214121,32,,.z i z i z z z z z z =+=-=-=⋅ （1）求34,z z ；
（2）在复平面上，复数34,z z 所对应的点分别为,A B ，求AB . 18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的首项()113,21.n n a a a n N *+==+∈ （1）写出数列{}n a 的前5项，并归纳猜想{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的通项公式. 19.（本题满分12分）
将()7
2x bx +的展开式按x 的次数由大到小的顺序排列，首尾两项的系数之比为
128，中间两项的系数之和为840. （1）求实数,a b 的值；
（2）求()7
2
10x bx x -+⋅的展开式中的常数项.
20.（本题满分12分）已知,,,1a b c R ab bc ca +∈++=，求证： （1）2221a b c ++≥；
（2）a b c ++≥
21.（本题满分12分）已知函数()322
3.33
x f x x x =+--
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）用反证法证明：在[]1,1-上，不存在不同的点()()()()1122,,,x f x x f x ，使得
()f x 的图象在这两点处的切线相互平行.
22.（本题满分12分）
已知函数()(),.x f x e ax g x x a =-=+
（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；
（2）若对于任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.。