八年级数学上册 综合训练 方程与不等式应用题习题 鲁教版
鲁教版(五四制)八年级上册第二章第四节分式方程专题训练
鲁教版八年级上册第二章第四节分式方程专题训练一、选择题1. 解分式方程1−xx−2=12−x −2时，去分母变形正确的是( )A. −1+x =−1−2(x −2)B. 1−x =1−2(x −2)C. −1+x =1+2(2−x)D. 1−x =−1−2(x −2)2. 某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要( )A. 40分钟B. 60分钟C. 80分钟D. 100分钟3. 2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10％.若设甲队每小时检测x 人，根据题意，可列方程为( )A.600x=500x−15×(1−10％)B.600x×(1−10％)=500x−15C. 600x−15=500x×(1−10％)D. 600x−15×(1−10％)=500x4. 若数m 使关于x 的一元一次不等式组{5x+32>x3x −2m ≤−2有整数解、且整数解的个数不超过5个，同时使得关于y 的分式方程y+4m y−3+5m−23−y=3的解为正整数，则满足条件的所有m 的值之和是( )A. 10B. 11C. 16D. 315. “某学校改造过程中整修门口1500m 的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm ，可得方程1500x−5−1500x=10，则题目中用“……”表示的条件应是( )A. 每天比原计划多修5m ，结果延期10天完成B. 每天比原计划多修5m ，结果提前10天完成C. 每天比原计划少修5m ，结果延期10天完成D. 每天比原计划少修5m ，结果提前10天完成6. 已知关于x 的分式方程m x−1+2=−31−x 的解为非负数，则正整数m 的所有个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是( )A. 3(x −1)=6210xB.6210x−1=3 C. 3x −1=6210xD.6210x=38. 若关于x 的方程2xx−2−a−62−x =1的解为正数，则所有符合条件的正整数a 的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. “绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是( )A. 60x−60(1+25%)x =30B. 60(1+25%)x −60x=30C.60×(1+25%)x−60x=30 D.60x−60×(1+25%)x=3010. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为( )A.20x+10x+4=15B.20x−10x+4=15 C.20x+10x=15D.20x−10x=1511. 若关于x 的不等式组{x+43−1≥x−22x +2≤2(x −a)有解，且关于y 的分式方程1−2yy−1+a−y1−y =−3的解为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之积是( )A. −6B. 0C. 4D. 1212. 若数a 使关于x 的不等式组{x−12<1+x 35x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y 的方程y+ay−1+2a1−y =2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为( )A. −3B. −2C. 1D. 2二、填空题13.若关于x的分式方程2xx−4−a4−x=1解为非负数，则a的取值范围____．14.若关于x的方程x+ax−1−3x=1无解，则a=______．15.若关于x的分式方程3xx−2−1=m+3x−2有增根，则m的值为______．16.方程x−1x =x+1x−1的解是______．三、解答题17.学校计划为“我爱我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知每个A奖品比每个B奖品的价格贵18元;花300元购买A奖品的个数与花120元购买B奖品的个数相同．(1)求A与B两种奖品的单价；(2)学校计划购买A与B两种奖品共18个，其中A奖品的个数不少于8个，计划总费用不超过400元，问有哪几种购买方案⋅18.先阅读下面的材料，然后回答问题19.方程x+1x =2+12的解为x1=2，x2=12；20.方程x+1x =3+13的解为x1=3，x2=13；21.方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；22.……23.(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=2019+12019的解是______．24.(2)猜想关于关于x的方程x−1x=−13+3的解并验证你的结论．25.(3)请仿照上述方程的解法，对方程y+2y+5y+2=265进行变形，并求出方程的解．26.27.28.29.30.31.32.33.某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．34.(1)求A，B两种书架的单价各是多少元？35.(2)学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？36.37.38.39.40.41.42.43.春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的4倍．344.(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；45.(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%(不考虑其他因素)，那么每箱饮料的标价至少多少元？46.47.48.49.50.51.答案和解析1.【答案】D【解析】【试题解析】解：去分母得：1−x=−1−2(x−2)，故选：D．分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2.【答案】C【解析】解：设乙单独完成需要x分钟，由题意可知：20(140+1x)+20x=1，解得：x=80，经检验，x=80是原方程的解，故选：C．设乙单独完成需要x分钟，根据题意列出方程即可求出答案．本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：由题意可得，600 x =500x−15×(1−10%)，故选：A．根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．4.【答案】B 【解析】解：不等式组{5x+32>x3x−2m≤−2的解为{x>−1x≤2m−23，∵不等式组有整数解、且整数解的个数不超过5个，∴0≤2m−23<5，∴1≤m<172，分式方程y+4my−3+5m−23−y=3的两边同时乘以y=3，得y+4m+2−5m=3y−9，解得：y=11−m2，∵分式方程的解为正整数，∴m=1或m=3或m=5或m=7，当m=5时，y=3，是分式方程的增根，∴m=1或m=3或m=7，∴所以满足条件的m的值的和为11，故选：B．由不等式的条件得到1≤m<172，再由分式方程的解y=11−m2是正整数，可得m=1或m=3或m=7，再求和即可．本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：设实际每天整修道路xm，则(x−5)m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，∵方程1500x−5−1500x=10，其中1500x−5表示原计划施工所需时间，1500x表示实际施工所需时间，∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．故选：B．由x代表的含义找出(x−5)代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：去分母，得：m+2(x−1)=3，移项、合并，得：x=5−m2，∵分式方程的解为非负数，∴5−m≥0且5−m2≠1，解得：m≤5且m≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个，故选：B．根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．7.【答案】A【解析】解：依题意，得：3(x−1)=6210x．故选：A．根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：分式方程去分母得：2x+a−6=x−2，解得：x=4−a，由分式方程有正数解，得到4−a>0，且4−a≠2，解得：a<4且a≠2，∴所有符合条件的正整数a的个数为1，3，故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解确定出a的范围即可得到结论．此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．9.【答案】C【解析】【试题解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为x1+25%万平方米，依题意得：60x1+25%−60x=30，即60×(1+25%)x−60x=30．故选：C．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10.【答案】A【解析】【试题解析】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x+4)个，根据题意得：20x+10x+4=15，故选：A．设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x+4)个，根据题意可得等量关系：(原计划20天生产的零件个数+10个)÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．11.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．【解析】解：不等式组整理得：{x≤8x≥2a+2,由不等式组有解，得到2a +2≤8， 解得：a ≤3，1−2y y−1+a−y 1−y=−3，解得：y =2+a 2，∵关于y 的分式方程1−2yy−1+a−y1−y =−3的解为非负数， ∴2+a 2≥0，解得a ≥−2，∴−2≤a ≤3， ∵a 为整数，∴a =−2，−1，0，1，2，3当a =0时，y =1(因为分母y −1=0，舍去)则满足题意的整数a 的值的积是(−2)×(−1)×1×2×3=12． 故选D ．12.【答案】C【解析】 【试题解析】【分析】本题考查不等式组解法和分式方程解法.先解关于xx 的不等式组，由不等式组有四个整数解列出a 的不等式，再解关于y 的分式方程，根据解为非负数列出关于a 的不等式，两个关于a 的不等式组成不等式组，求出其整数解，即可计算出答案．【解答】解：解不等式组{x−12<1+x35x −2≥x +a得a+24≤x <5．因为该不等式组只有4个整数解，所以0<a+24≤1，解得−2<a ≤2.解关于y 的分式方程y+ay−1+2a1−y =2，得y =2−a ． 因为当y =1，即a =1时，该分式方程无解，所以a ≠1. 因为该方程的解为非负数，所以2−a ≥0，所以a ≤2. 综上可知，−2<a ≤2且a ≠1，故符合条件的所有整数a 为−1，0，2，它们的和为1．故选C ．13.【答案】a ≤−4且a ≠−8【解析】【试题解析】解：去分母得：2x +a =x −4， 解得：x =−a −4，由分式方程的解为非负数，得到−a −4≥0且−a −4≠4， 解得：a ≤−4且a ≠−8， 故答案为：a ≤−4且a ≠−8分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出a 的范围即可． 此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．14.【答案】2或−1【解析】解：去分母，得：x(x +a)−3(x −1)=x(x −1)， 整理，得：(a −2)x =−3，当a =2时，分式方程无解，当a ≠2时，若x =1，则a −2=−3，即a =−1； 若x =0，则(a −2)×0=−3(无解)； 综上所述，a =2或−1， 故答案为：2或−1．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.据此解答可得．本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解．15.【答案】3【解析】.解：方程两边都乘(x−2)，得3x−x+2=m+3∵原方程有增根，∴最简公分母(x−2)=0，解得x=2，当x=2时，m=3．故答案为3．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母(x−2)=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16.【答案】x=13【解析】解：方程x−1x =x+1x−1，去分母得：(x−1)2=x(x+1)，整理得：x2−2x+1=x2+x，解得：x=13，经检验x=13是分式方程的解．故答案为：x=13．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.【答案】解：(1)设B种奖品的单价是a元，则A种奖品的单价是(a+18)元，根据题意得：300a+18=120a，解得a=12，经检验a=12是所列方程的根，a+18=30，答：A、B两种奖品的单价分别为30元、12元；(2)解：设购买A奖品x个，则购买B奖品(18−x)个，由题意得：{8⩽x⩽1830x+12(18−x)⩽400,解得8⩽x⩽1029，因为x取整数，所以x可取8，9，10，当X=8时，18−8=10，当X=9时，18−9=9，当X=10时，18−10=8，所以共有以下三种方案：①购买A奖品8个，B奖品10个；②购买A奖品9个，B奖品9个；③购买A奖品10个，B奖品8个．【解析】【试题解析】本题主要考查用分式方程以及不等式组解实际问题，找出等量关系与不等量关系是解决问题的关键．(1)由题知每个A奖品比每个B奖品的价格贵18元，所以设B每一个a元时，B每一个(a+18)元，由“花300元购买A奖品的个数与花120元购买B奖品的个数相同”知，只要表示出A、B的个数，列出方程即可，同时注意，分式方程要验根；(2)方案问题，由“A与B两种奖品共18个，其中A奖品的个数不少于8个”，知设A奖品x个时，8⩽x⩽18，由“计划总费用不超过400元”知：30x+12(18−x)⩽400，解不等式组，通过x取整数得答案．18.【答案】x1=2019，x2=12019【解析】解：(1)猜想方程x+1x =2019+12019的解是x1=2019，x2=12019，故答案为：x1=2019，x2=12019；(2)猜想关于x的方程x−1x =−13+3的解为x1=3，x2=−13，理由为：方程变形得：x+(−1x )=3+(−13)，依此类推得到解为x1=3，x2=−13；(3)y+2y+5y+2=265，方程变形得：y+2y+4+1y+2=265，y+2+1y+2=5+15，可得y+2=5或y+2=15，解得：y1=3，y2=−95．(1)观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；(2)方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；(3)方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．此题考查了分式方程的解和数字类的规律问题，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．19.【答案】解：(1)设B种书架的单价为x元，根据题意，得600x+20=480x．解得x=80．经检验：x=80是原分式方程的解．∴x+20=100．答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．(2)设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80(15−m)≤1400．解得m≤10．答：最多可购买10个A种书架．【解析】(1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(x+20)元，根据数量=总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设准备购买m个A种书架，则购买B种书架(15−m)个，根据题意列出不等式并解答．本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．20.【答案】解：(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，根据题意，得6000x×43=8800x+20解得：x=200．(2)设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得(30+40−10)y+0.8×10y≥(1+36%)(6000+8800)解得：y≥296答：至少标价296元．【解析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；(2)设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．。
鲁教版(五四制)八年级数学上册第二章综合测试卷含答案
鲁教版（五四制）八年级数学上册第二章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·烟台龙口市期中】分式xx ＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A ．x ＝－1B ．x ≠－1C ．x ≠0D ．x ＞－12．【2023·威海荣成市月考】分式22x －4，32x ，4x －2的最简公分母是( )A ．2xB ．2x －4C ．2x (2x －4)D ．2x (x －2)3．【母题：教材P 45复习题T 8】分式|x |－2x －2的值为0，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．不存在这样的x4．【2023·泰安新泰市月考】如果把分式x 2＋y 22xy 中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．扩大9倍5．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3y 2z 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－xz 2y 43×⎝ ⎛⎭⎪⎫z 3xy 24的结果是( ) A ．－x 2 B ．－x 3 C ．－x 2y 4 D ．－z4x6．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是( )A.a －2b a 2－b 2B.x －1x 2＋1C.x ＋y x 2－y 2D.a 2－b 2(a ＋b )27．若4x x 2－4＝a x ＋2－b x －2，则a －2b 的值是( )A ．－6B ．6C ．－2D ．28．【2022·河北】若x 和y 互为倒数，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －1x 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．定义ab ＝2a ＋1b ，则3x ＝42的解为( )A ．x ＝15B ．x ＝25 C ．x ＝35 D ．x ＝4510．若关于x 的方程3x ＋ax x ＋1＝2－3x ＋1有增根x ＝－1，则2a －3的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．611．【2022·铁岭】小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28 km 所用时间与小明骑行24 km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2 km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行x km ，所列方程正确的是( )A.28x ＝24x ＋2B.28x ＋2＝24xC.28x －2＝24xD.28x ＝24x －212．已知关于x 的分式方程2x ＋3x －2＝k （x －2）（x ＋3）＋2的解满足－4<x <－1，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为( )A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 二、填空题(每题3分，共18分)13．【母题：教材P 22习题T 1】式子－23a ，a a ＋b ，x y 2，a ＋1π，x －1x 中，分式有________个．14．若x 2x －1□xx －1的运算结果为x ，则在“□”中添加的运算符号为________．(请从“＋、－、×、÷”中选择填写) 15．若x 2＋3x ＝－1，则x －1x ＋1＝________．16．【2022·绵阳】方程xx －3＝x ＋1x －1的解是________．17．若关于x 的分式方程3－2x x －3＋2－nx3－x＝－1无解，则常数n 的值是________．18. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙工程队比甲工程队每天少改造20 m ，甲工程队改造400 m 的道路与乙工程队改造300 m 的道路所用时间相同，甲工程队每天改造的道路长度是________ m.三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．计算：(1)3xy 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y x 2；(2)【2023·淄博张店区月考】2x －6x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2.20.先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－b 2－1a ＋b ÷ba 2－2ab ＋b2，其中a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1，b ＝(－2 023)0.21．【2023·淄博高青县期中】解分式方程：(1)x 2x －3＋53－2x ＝4；(2)1x －1－2x ＋1＝4x 2－1.22．若关于x 的方程x ＋1x 2－x －13x ＝1＋k3x －3有增根，求k 的值．23．已知关于x 的方程x ＋3x －3＋ax3－x＝1有正整数解，且关于y 的不等式组⎩⎨⎧2y －55＜2，a －y －1≤0，至少有两个奇数解，求满足条件的整数a 的值．24．如图，A玉米试验田是半径为R m的圆去掉宽为1 m的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg.(1)哪块试验田的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？25．【2022·东营】为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1 000元购进甲种水果比用1 200元购进乙种水果的质量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少．(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？答案一、1.B 2.D3．A 【点拨】由分式的值为零的条件得|x |－2＝0且x －2≠0，由|x |－2＝0，得x ＝2或x ＝－2， 由x －2≠0，得x ≠2. 综上，x ＝－2.4．B 【点拨】由题意得(3x )2＋(3y )22·3x ·3y ＝9x 2＋9y 218xy ＝x 2＋y 22xy . 5．D 【点拨】原式＝x 6y 4z 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 12x 3z 6×z 12x 4y 8＝－z 4x . 6．A7．B 【点拨】去分母并化简得4x ＝(a －b )x ＋(－2a －2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，－2a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.∴a －2b ＝2－2×(－2)＝6.8．B 【点拨】∵x 和y 互为倒数，∴xy ＝1.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎪⎫2y －1x＝2xy －1＋2－1xy ＝2×1－1＋2－1 ＝2－1＋2－1 ＝2.9．B 【点拨】根据题中的定义得3x ＝2×3＋1x ＝6＋1x ，42＝2×4＋12＝172. ∵3x ＝42，∴6＋1x ＝172，解得x ＝25， 经检验，x ＝25是分式方程的根．10．B 【点拨】方程两边都乘x (x ＋1)，得3(x ＋1)＋ax 2＝2x (x ＋1)－3x ，∵原方程有增根x ＝－1， ∴当x ＝－1时，a ＝3， ∴2a －3＝3.故选B.11．D 【点拨】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行(x －2)km ，利用时间＝路程÷速度，结合小强骑行28 km 所用时间与小明骑行24 km 所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程．12．A 【点拨】解2x ＋3x －2＝k(x －2)(x ＋3)＋2，得x ＝k7－3.∵－4<x <－1，(x －2)(x ＋3)≠0，∴－4<k 7－3<－1，k 7⎝ ⎛⎭⎪⎫k7－5≠0，解得－7<k <14且k ≠0. 又∵k 为整数，∴k ＝－6，－5，－4，－3，－2，－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13.∴符合条件的所有k 值的乘积为正数．二、13.3 14.－或÷15．－2 【点拨】x －1x ＋1＝x (x ＋1)－1x ＋1＝x 2＋x －1x ＋1， ∵x 2＋3x ＝－1，∴x 2＝－1－3x ，∴原式＝－1－3x ＋x －1x ＋1＝－2x －2x ＋1＝－2(x ＋1)x ＋1＝－2. 16．x ＝－3 【点拨】方程两边同乘(x －3)(x －1)，得x (x －1)＝(x ＋1)(x －3)，解得x ＝－3，检验：当x ＝－3时，(x －3)(x －1)≠0，∴方程的解为x ＝－3.17．1或53 【点拨】两边都乘(x －3)，得3－2x ＋nx －2＝－x ＋3，当n ≠1时，解得x ＝2n －1. 当n ＝1时，整式方程无解，则分式方程无解；∵当x ＝3时，分母为0，分式方程无解，∴2n －1＝3，∴当n ＝53时，分式方程无解．故常数n 的值是1或53.18．80 【点拨】设甲工程队每天改造的道路长度是x m ，则乙工程队每天改造的道路长度是(x －20)m ，由题意，得400x ＝300x －20，解得x ＝80，经检验，x ＝80是所列方程的解，且符合题意，∴甲工程队每天改造的道路长度是80 m.三、19.解：(1)原式＝－3xy 2÷63y 6x 3×122y 2x 2＝－3xy 2×x 3216y 6×144y 2x 2＝－2x 2y 2.(2)原式＝2(x －3)x －2÷5－(x ＋2)(x －2)x －2＝2(x －3)x －2·x －29－x 2＝－2(x －3)(x ＋3)(x －3)＝－2x ＋3.20．解：原式＝[a(a ＋b )(a －b )－1a ＋b ]·(a －b )2b＝a (a ＋b )(a －b )·(a －b )2b －1a ＋b ·(a －b )2b＝a 2－ab b (a ＋b )－a 2－2ab ＋b 2b (a ＋b ) ＝b (a －b )b (a ＋b ) ＝a －b a ＋b ， ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，b ＝(－2 023)0＝1， ∴原式＝3－13＋1＝12. 21．解：(1)方程两边乘(2x －3)， 得x －5＝4(2x －3)，解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，2x －3≠0， ∴原分式方程的解为x ＝1. (2)方程两边乘(x －1)(x ＋1)， 得x ＋1－2(x －1)＝4，解得x ＝－1. 检验：当x ＝－1时，x 2－1＝0， ∴原分式方程无解． 22．解：原方程化为x ＋1x (x －1)－13x ＝1＋k 3(x －1). 方程两边都乘3x (x －1)， 得3x ＋3－x ＋1＝x ＋kx . 由分式方程有增根，得3x (x －1)＝0. 解得x ＝0或x ＝1. 把x ＝0代入整式方程，得4＝0，矛盾，舍去；把x ＝1代入整式方程，得k ＝5.∴k 的值是5.23．解：根据题意解不等式组⎩⎨⎧2y －55＜2，a －y －1≤0，得a －1≤y ＜152.∵关于y 的不等式组至少有两个奇数解，∴a －1≤5，解得a ≤6.由x ＋3x －3＋ax 3－x＝1，解得x ＝6a . ∵x －3≠0，∴x ≠3.∴6a ≠3，即a ≠2.∵方程有正整数解，且a 为整数，∴a ＝1，3，6.24．解：(1)A 玉米试验田的面积是π(R －1)2 m 2，单位面积产量是450π(R －1)2 kg/m 2； B 玉米试验田的面积是π(R 2－12)m 2，单位面积产量是450π(R 2－12)kg/m 2. ∵(R 2－12)－(R －1)2＝2(R －1)＞0，∴0＜(R －1)2＜R 2－12.∴450π(R 2－12)＜450π(R －1)2.∴A 玉米试验田的单位面积产量高．(2)∵450π(R －1)2÷450π(R 2－12)＝450π(R －1)2×π(R ＋1)(R －1)450 ＝R ＋1R －1， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的R ＋1R －1倍． 25．解：(1)设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得 1 000()1－20%x＝1 200x ＋10， 解得x ＝5，经检验，x ＝5是分式方程的解且符合题意，则()1－20%x ＝0.8×5＝4.答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克．(2)设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果(150－a )千克，由题意得y ＝()6－4a ＋()8－5()150－a ＝－a ＋450， ∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的质量不低于乙种水果质量的2倍，∴a ≥2()150－a ，解得a ≥100，∴当a ＝100时，y 取最大值，此时y ＝－100＋450＝350，150－a＝50.答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润是350元．。
2022年鲁教版八年级数学上册第二章《分式与分式方程》综合卷附答案解析
2022年八年级数学上册第二章《分式与分式方程》综合测试卷(时间45分钟，满分100分)一．选择题（共8小题，每小题4分。
）1．不论x取何值，下列分式中一定有意义的是（）A．B．C．D．2．下列变形正确的是（）A．B．C．D．3．下列各式：，，，，，，中，分式有（）个．A．2B．3C．4D．54．分式，，中，最简分式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．化简：＝（）A．3x B．6x C．2D．2x6．计算（x2﹣xy）÷的结果是（）A．x2B．x2﹣y C．（x﹣y）2D．x7．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠8D．m＜6且m≠08．“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成二．填空题（共4小题，每小题5分。
）9．若分式值相等，则x的值为．10．若关于x的分式方程﹣2m＝无解，则m的值为．11．若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为．12．某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干组，实际分组时每组人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7组．求实际分组时每组的人数．三．解答题（共4小题，共48分）13．（12分）计算：（1）；（2）解分式方程：．14．(12分)先化简，再求值：，其中x＝4．15．（10分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？16．（14分）某商场用8万元购进一批新型衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果用去17.6万元．（1）该商场第一批购进衬衫多少件？（2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．不论x取何值，下列分式中一定有意义的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，故此选项错误；B、当x＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；C、x2+1≠0，x为任意实数，分式都意义，故此选项错误；D、当x＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；故选：C．2．下列变形正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、＝﹣＝（﹣a+b）．故本选项错误；B、＝﹣＝﹣．故本选项错误；C、当c＝0时，该变形错误；故本选项错误；D、＝＝，故本选项正确；故选：D．3．下列各式：，，，，，，中，分式有（）个．A．2B．3C．4D．5【解答】解：分式有：，，，，共有4个．故选：C．4．分式，，中，最简分式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：＝，不是最简分式，不能化简，是最简分式，＝，不是最简分式，所以最简分式有1个，故选：B．5．化简：＝（）A．3x B．6x C．2D．2x【解答】解：＝＝．故选：D．6．计算（x2﹣xy）÷的结果是（）A．x2B．x2﹣y C．（x﹣y）2D．x【解答】解：原式＝x（x﹣y）•＝x2．故选：A．7．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠8D．m＜6且m≠0【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因为关于x的方程+＝2的解为正数，所以2﹣＞0，解得：m＜6，因为x＝2时原方程无解，所以可得2﹣≠2，解得：m≠0．故选：D．8．“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成【解答】解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣5）m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．故选：B．二．填空题（共4小题）9．若分式值相等，则x的值为﹣2．【解答】解：由题知：，去分母得：x﹣4＝4x+2，解得：x＝﹣2．检验：当x＝﹣2时，（2x+1）（x﹣4）≠0，∴x＝﹣2是原分式方程的解．故答案为：﹣2．10．若关于x的分式方程﹣2m＝无解，则m的值为或．【解答】解：①分母为0，即是x＝3，将方程可转化为x﹣2m（x﹣3）＝3m﹣1，当x＝3时，m＝．②分母不为0，整理得：x﹣2mx+6m＝3m﹣1，x＝，因为方程无解，所以2m﹣1＝0，解得：m＝．故答案为：或．11．若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为﹣4或6．【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），∵分式方程会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，解得：x＝﹣2或x＝2，把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，解得：m＝6；把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，解得：m＝﹣4，则m的值是﹣4或6．故答案为：﹣4或6．12．某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干组，实际分组时每组人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7组．求实际分组时每组的人数15人．【解答】解：设原计划分组时每组的人数为x人，则实际分组时每组的人数为1.5x人，依题意得：﹣＝7，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×10＝15．∴实际分组时每组的人数为15人．故答案为：15人．三．解答题（共4小题）13．计算：（1）；（2）解分式方程：．【解答】解：（1）原式＝＝＝﹣x+1．（2）去分母得：12﹣2（x+3）＝x﹣3，解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣3）（x+3）＝0，故原分式方程无解．14．先化简，再求值：，其中x＝4．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．15．某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？【解答】解：设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，依题意，得：﹣＝40，解得：x＝45，经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意．答：每个小号垃圾桶的价格是45元．16．某商场用8万元购进一批新型衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果用去17.6万元．（1）该商场第一批购进衬衫多少件？（2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？【解答】解：（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是所列分式方程的解，且符合题意．答：商场第一批购进衬衫2000件．（2）（2000+2000×2﹣150）×58+150×58×0.8﹣80000﹣176000＝90260（元）．答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元．。
鲁教版(五四制)八年级数学上册第一章综合测试卷含答案
鲁教版（五四制）八年级数学上册第一章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·济宁任城区月考】下列从左至右的变形，属于因式分解的是( )A ．4a 2－8a ＝a (4a －8)B ．－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )C ．x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122D ．x 2＋1＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x2．【2023·泰安泰山区月考】多项式8a 3b 2＋12ab 3c 的公因式是( )A ．abcB ．4ab 2C ．ab 2D ．4ab 2c3．【2023·淄博张店区月考】下列式子中，分解因式结果为(3a －y )(3a＋y )的多项式是( ) A ．9a 2＋y 2 B ．－9a 2＋y 2 C ．9a 2－y 2 D ．－9a 2－y 24．【2023·东营期末】下列各式中不能用公式法分解因式的是( )A ．x 2－4B ．－x 2－4C ．x 2＋x ＋14 D ．－x 2＋4x －45．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x －1的是( )A ．x (x －3)＋(3－x )B ．x 2－1C ．x 2－2x ＋1D ．x 2＋2x ＋1 6．简便计算：(－2)100＋(－2)101＝( )A．－2100 B．－2101C．2100 D．－27．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x －▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的数字是()A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，88．已知a＝2b－5，则代数式a2－4ab＋4b2－5的值是() A．20 B．0C．－10 D．－309. 如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为()A．(b－6a)(b－2a)B．(b－3a)(b－2a)C．(b－5a)(b－a)D．(b－2a)210．【母题：教材P17复习题T5】248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数是()A．61和63 B．63和65C．65和67 D．64和6711．【2023·烟台期中】已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M，N的大小关系是()A．M≥N B．M＞NC．M≤N D．M＜N12．若(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，则b＋c的值是()A．－1 B．0 C．1 D．2二、填空题(每题3分，共18分)13．【2022·常州】分解因式：x2y＋xy2＝________．14．多项式9a2－4b2和9a2＋12ab＋4b2的公因式是________．15．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为________．16．若关于x的二次三项式x2＋kx＋b因式分解为(x－1)(x－3)，则k＋b的值为________．17．已知a＋b＝2，则a2－b2＋2a＋6b＋2的值为________．18．多项式4a2－9b n(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值共有______个．三、解答题(19题12分，20题6分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．【2023·东营广饶县月考】因式分解：(1)y (y ＋4)－4(y ＋1)； (2)(x 2＋1)2－4x 2； (3)12x 2＋xy ＋12y 2；(4)x (x －y )(a －b )－y (y －x )(b －a )．20．【母题：教材P 7习题T 4】用简便方法计算：(1)2 0232－2 0242； (2)2.22＋4.4×17.8＋17.82.21．已知x＋y＝5，(x－2)(y－2)＝－3，求下列代数式的值．(1)xy；(2)x2＋4xy＋y2；(3)x2＋xy＋5y.22.阅读：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2). ②∴c2＝a2＋b2. ③∴△ABC是直角三角形. ④请根据上述解题过程回答下列问题：(1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请你将正确的解题过程写下来．23．小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，割去半径为r的四个小圆，如图所示，小刚测得R＝6.8 dm，r＝1.6 dm，他想知道剩余部分(阴影部分)的面积，你能利用所学的因式分解的知识帮他计算吗？请写出求解过程．(结果保留π)24．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(1)图B可以解释的代数恒等式是________________．(2)现有足够多的如图C所示的正方形和长方形卡片．①若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的长方形，则需要1号卡片________张，2号卡片________张，3号卡片________张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形(每两张卡片之间既不重叠，也无空隙)，使该长方形的面积为2a2＋5ab＋2b2，并利用图形面积对2a2＋5ab＋2b2进行因式分解．25．【2023·烟台芝罘区期中】整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解的过程．将“x2＋2x”看成一个整体，令x2＋2x＝y，则原式＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2再将“y”还原即可．解：设x2＋2x＝y.原式＝y(y＋2)＋1(第一步)＝y2＋2y＋1(第二步)＝(y＋1)2(第三步)＝(x2＋2x＋1)2(第四步)．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－4x)(x2－4x＋8)＋16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1－2－3－…－2023)×(2＋3＋…＋2024)－(1－2－3－…－2024)×(2＋3＋…＋2023)．答案一、1.C 2.B3．C 4.B5．D【点拨】A.原式＝(x－3)(x－1)；B．原式＝(x＋1)(x－1)；C．原式＝(x－1)2；D．原式＝(x＋1)2.6．A【点拨】(－2)100＋(－2)101＝2100－2101＝2100(1－2)＝－2100. 7．B【点拨】由(x2＋4)(x＋2)(x－▲)得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x －2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16.8．A【点拨】∵a＝2b－5，∴a－2b＝－5，∴a2－4ab＋4b2－5＝(a－2b)2－5＝(－5)2－5＝25－5＝20.9．A【点拨】底面积为(b－2a)2，侧面积为a·(b－2a)·4＝4a(b－2a)，∴M＝(b－2a)2－4a·(b－2a)＝(b－2a)(b－2a－4a)，＝(b－2a)(b－6a)．10．B【点拨】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(224＋1)(212＋1)×65×63.11．A【点拨】∵M－N＝(3x2－x＋3)－(2x2＋3x－1)＝3x2－x＋3－2x2－3x＋1＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，∴M≥N.12．D【点拨】∵(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，∴b2－2bc＋c2＝4c－4－4bc＋4b，∴(b2＋2bc＋c2)－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c)2－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c－2)2＝0，∴b＋c＝2.二、13.xy(x＋y)14．3a＋2b【点拨】9a2－4b2＝(3a＋2b)(3a－2b)，9a2＋12ab＋4b2＝(3a＋2b)2，∴公因式是3a＋2b.15．13或－1116.－117．10【点拨】∵a＋b＝2，∴a2－b2＋2a＋6b＋2＝(a＋b)(a－b)＋2a＋6b＋2＝2(a－b)＋2a＋6b＋2＝2a－2b＋2a＋6b＋2＝4a＋4b＋2＝4(a＋b)＋2＝4×2＋2＝10.18．5 【点拨】多项式4a 2－9bn (其中n 是小于10的自然数，b ≠0)可以分解因式，则n 能取的值为0，2，4，6，8，共5个．三、19.解：(1)原式＝y 2＋4y －4y －4＝y 2－4＝(y ＋2)(y －2)．(2)原式＝(x 2＋1＋2x )(x 2＋1－2x )＝(x ＋1)2(x －1)2.(3)原式＝12(x 2＋2xy ＋y 2)＝12(x ＋y )2.(4)原式＝x (x －y )(a －b )－y (x －y )(a －b )＝(x －y )(a －b )(x －y )＝(x －y )2(a －b )．20．解：(1)原式＝(2 023＋2 024)×(2 023－2 024)＝4 047×(－1)＝－4 047.(2)原式＝2.22＋2×2.2×17.8＋17.82＝(2.2＋17.8)2＝202＝400.21．解：(1)∵(x －2)(y －2)＝－3，∴xy －2(x ＋y )＋4＝－3.∵x ＋y ＝5，∴xy ＝3.(2)∵x ＋y ＝5，xy ＝3，∴x 2＋4xy ＋y 2＝(x ＋y )2＋2xy ＝25＋6＝31.(3)x 2＋xy ＋5y ＝x (x ＋y )＋5y ，∵x ＋y ＝5，∴x 2＋xy ＋5y ＝5x ＋5y ＝5(x ＋y )＝5×5＝25.22．解：(1)从第③步开始出现错误，错误的原因是忽略了a 2－b 2＝0的可能．(2)正确的解题过程如下：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．∴c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0.∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴c2－a2－b2＝0或a2－b2＝0.∴c2＝a2＋b2或a＝b.∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．23．解：剩余部分的面积为πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．将R＝6.8 dm，r＝1.6 dm代入上式，得π×(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝36π(dm2)．24．解：(1)(2n)2＝4n2(2)①1；2；3②如图．2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b)．25．解：(1)①没有；最后的结果为(x＋1)4.②设x2－4x＝y.原式＝y(y＋8)＋16＝y2＋8y＋16＝(y＋4)2＝(x2－4x＋4)2＝(x－2)4.(2)设x＝1－2－3－…－2 023，y＝2＋3＋…＋2 024，则1－2－3－…－2 024＝x－2 024，2＋3＋…＋2023＝y－2 024，x＋y＝1＋2 024＝2 025，所以原式＝xy－(x－2 024)(y－2 024)＝xy－xy＋2 024(x＋y)－2 0242＝2 024×2 025－2 0242＝2 024(2 024＋1)－2 0242＝2 024.。
鲁教版五四制八年级数学上册第二章 分式与分式方程综合测评
第二章 分式与分式方程综合测评一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各式：15(1﹣x )，43xπ-，222x y -，221m m +，其中分式有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 2.计算(a 2+1)0等于（ ）A.0B.1C.a 2+1 D.211a + 3.下列分式属于最简分式的是（ ）A.2x xB.2x xC.22x y x y ++ D.211a a -+ 4.分式23yx -有意义的条件是（ ） A.x ≠0 B.y ≠0 C.x ≠3D.x ≠－35.用科学记数法表示的数－3.6×10－4写成小数是（ ） A.0.000 36 B.－0.003 6 C.－0.000 36 D.－36 000 6.将分式方程1－()521x x x ++＝31x +去分母整理后，得（ ）A.8x +1＝0B.8x －3＝0C.x 2－7x +2＝0D.x 2－7x －2＝0 7.下列约分正确的是（ ） A.3m m +＝1+3m B.2x y x +-＝1－2yC.963b a +＝321ba + D.()()x ab y b a --＝x y8.若a b ＝23，则a ba +的值等于（ ） A.53 B.25 C.52D.5 9.有一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为v 1 km/h ，下坡的速度为v 2 km/h ，则他在这段路上、下坡的平均速度是（ ）A.122v v + km/h B.1212v v v v + km/h C.12122v v v v + km/h D.无法确定10.红星市东方生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克.为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均每亩产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克.根据题意列方程为（ ）A.36x －3691.5x +＝20 B.36x －361.5x ＝20 C.3691.5x+－36x ＝20 D.36x +3691.5x +＝20二、填空题（每小题3分，共24分） 11.当x ＝＿＿＿时，分式123x -无意义. 12.分式12x ，212y ，－15xy 的最简公分母为＿＿＿.13.若分式211x x -+的值为0，那么x 等于＿＿＿.14.计算：3223a b c ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＿＿＿.15.若51x -与42x -的值相等，则x ＝＿＿＿. 16.如果分式61x+的值为正整数，则整数x 的值有＿＿＿个.17.关于x 的分式方程24m x -－12x +＝0无解，则m ＝＿＿＿.18.如图，从一个边长为a 的正方形纸片ABCD 中剪去一个宽为b 的长方形CDEF ，再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为c 的正方形BFHG ，若长方形CDEF 与AGHE 的面积比是3∶2，那么ba＝＿＿＿. 三、解答题（共46分）19.（每小题4分，共8分）计算： （1）(1－11x -)÷1x x -； （2）(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3. 20.（每小题4分，共8分）（1）先化简，再求值： (2x x -－32x -)·243x x --，其中x ＝4.（2）先化简(22x ++2544x x x +++)·()23x x x ++，然后选择一个你喜欢的数代入求值. 21.（每小题4分，共8分）解下列方程：（1）23x x -+532x-＝4； （2）x －3+263x x x -+＝0.22.（6分）一根长为1 m 、直径为80 mm 的圆柱形的光纤预制棒，可拉成至少400 km 长的光纤.试问：光纤预制棒被拉成400 km 时，1 cm 2是这种光纤此时的横截面积的多少倍？（结果用科学记数法表示，保留到0.1，要用到的公式：圆柱体体积＝底面圆面积×圆柱的高） 23.（8分）若关于x 的分式方程12ax x --+2＝12x-有正整数解，试确定a 的值. 24.（8分）在争创全国卫生城市的活动中，东城市“青年突击队”决定义务清运一堆重达100吨的垃D C BF HG圾，后因附近居民主动参与到义务劳动中，使任务提前完成.下面是记者与青年突击队员的一段对话：通过这段对话，请你求出青年突击队原来每小时清运多少吨垃圾？ 附加题（20分）25.（10分）已知A ＝22211x x x ++-－1xx -. （1）化简A ；（2）当x 满足不等式组10,30,x x -⎧⎨-⎩≥＜且x 为整数时，求A 的值.26.（10分）问题探索： （1）已知一个正分数nm（m ＞n ＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论.（2）若正分数nm（m ＞n ＞0）中分子和分母同时增加2，3，…，k （k ＞0，且k 为整数），情况如何？ （3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由. 参考答案：一、1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.C 10.A二、11.3212.10xy 213.1 14.－633827a b c 15.6 16.4 17.0或－4 18.13提示：因为长方形CDEF 与AGHE 的面积分别为ab 和c (a ﹣c )，所以ab ∶c (a ﹣c )＝3∶2.又c ＝a ﹣b ，所以()ab b a b -＝32.整理，得3b 2＝ab .所以b a ＝13.三、19.解：（1）(1－11x -)÷1x x -＝(11x x --－11x -)·1x x -＝－1x x -·1x x -＝1x x -·1x x-＝1.（2）(2ab 2c －3)－2÷(a －2b )3＝2－2a －2b －4c 6÷a －6b 3＝2－2a－2－(－6)b－4－3c 6＝2－2a 4b －7c 6＝4674a c b .20.解：（1）(2x x -－32x -)·243x x --＝32x x --·()()223x x x +--＝x +2.当x ＝4时，原式＝6. （2）(22x ++2544x x x +++)·()23x x x ++＝[22x ++()252x x ++]·()23x x x ++＝()()()2232x x x x ++++()()532x x x x +++＝()()()3332x x x x +++＝()32x x +.当x ＝1时，原式＝()3112⨯+＝1（求值结果不唯一，注意x 不能取0，－2，－3）.21.解：（1）方程两边乘(2x －3)，得x －5＝4(2x －3). 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x －3≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝1.（2）方程两边乘(x+3)，得(x －3)(x +3)+(6x －x 2)＝0. 解得x ＝32. 检验：当x ＝32时，x+3≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝32. 22. 解：光纤的横截面积为1×π×2380102-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭÷(400×103)＝4π×10－9（m 2），所以10－4÷(4π×10－9)≈8.0×103.答：1 cm 2约是这种光纤的横截面积的8.0×103倍. 23. 解：方程两边乘(x －2)，得1－ax +2(x －2)＝－1.解得x ＝22a-. 因为分式方程有正整数解且a 为整数，所以2－a ＝1或2，解得a ＝1或a=0. 检验：当a ＝1时，x ＝2，此时，x －2＝0，即原分式方程无解； 当a ＝0时，x ＝1，此时，x －2≠0，所以x ＝1是原分式方程的解. 所以a=0.24. 解：设青年突击队原来每小时清运x 吨垃圾，根据题意，得25x +100252x-＝5. 解得x ＝12.5.经检验，x ＝12.5是原方程的解且符合题意. 答：青年突击队原来每小时清运12.5吨垃圾.25. 解：（1） A ＝22211x x x ++-－1xx -＝()()()2111x x x ++-－1x x -＝11x x +-－1x x -＝11x x x +--＝11x -. （2）不等式组的解集为1≤x ＜3.因为x 为整数，所以x ＝1或2.因为A ＝11x -，所以x ≠1.当x ＝2时，A ＝11x -＝121-＝1. 26. 解：（1）分数值增大. 证明：因为n m －11n m ++＝()1n m m m -+，又m ＞n ＞0，所以()1n m m m -+＜0.所以n m ＜11n m ++，即分数值增大.（2）根据（1）的方法，将1换为k ，有n m ＜km kn ++（m ＞n ＞0，整数k ＞0）.（3）住宅的采光条件变好.理由：设原来的地板面积和窗户面积分别为x，y，增加面积为a，由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大.所以y ax a++＞yx，即住宅的采光条件变好了.初中数学试卷桑水出品。
_鲁教版(五四制)数学八年级上册第二章分式与方程式同步测试题
初中数学鲁教版八年级上册第二章测试题一、选择题1.若xy =34，则下列各式中不正确的是()A. x+yy =74B. yy−x=4 C. x−yy=14D. x+2yx=1132.要使分式x+2x−1有意义，x必须满足的条件是()A. x≠0B. x≠1C. x≠−2D. x≠−2且x≠13.已知分式x−b2x+a当x=2时，分式的值为零；当x=−2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为()A. −2B. 2C. 6D. −64.分式2m−1m+1为0的条件是()A. m=−1B. m=1C. m=12D. m=05.下列运算正确的是()A. (−a3)2=−a6B. 2a2+3a2=6a2C. 2a2⋅a3=2a6D. (−b22a )3=−b68a36.化简m−1m ÷m−1m2的结果是()A. mB. 1m C. m−1 D. 1m−17.下列计算结果的错误的是()A. 3xx2⋅x3x=1xB. 8a2b2⋅(−3a4b2)=−6a3C. aa2−1÷a2a2+a=1a−1D. a÷b⋅1b=a8.化简x÷xy ⋅1x的结果是()A. 1B. xyC. yx D. xy9.如果|a|a +|b|b+|c|c=1，则|abc|abc的值为()A. −1B. 1C. ±1D. 不确定10.计算a−1a +1a，正确的结果是()A. 1B. 12C. a D. 1a11. 已知分式A =4x 2−4，B =1x+2+12−x ，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是( )A. A =BB. A =−BC. A >BD. A <B12. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a )⋅a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 313. 河南省将在2020年底前实现县城以上城区5G 全覆盖.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设5G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是( )A.500x −50010x =45 B. 500x−5000x =45 C. 50010x −500x=45D.5000x−500x=4514. 关于x 的分式方程2x−3+x+m 3−x=2有增根，则m 的值是( )A. m =−1B. m =0C. m =3D. m =0或m =315. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是( )A. 2000x −2000x+50=2B. 2000x+50−2000x =2C.2000x−2000x−50=2D. 2000x−50−2000x=216. 若分式方程x+1x−4=2+ax−4有增根，则a 的值为( )A. 5B. 4C. 3D. 0二、填空题17. 当x ______时，分式x+2x−2有意义． 18. 计算：yx 2−y 2÷yx+y 的结果是 ． 19. 已知m −1m =√6，则m +1m 的值为______． 20. 分式的12y 2,−15xy 最简公分母为______．21. 有五张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a ，则使关于x 的方程1−axx−2+2=12−x 有正整数解的概率为______22.已知关于x的分式方程xx−1−2=m1−x的解是正数，则m的取值范围是______．三、解答题23.已知分式1−mm2−1÷(1+1m−1).(1)请对分式进行化简；(2)如图，若m为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第______段上．(填写序号即可)24.为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．(1)求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．25.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？26. 已知分式A =(a +1−3a−1)÷a 2−4a+4a−1．(1)化简这个分式；(2)当a >2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由． (3)若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A 、x+y y=74⇒3k+4k 4k=74，故正确；B 、yy−x =4⇒4k4k−3k =4，故正确； C 、x−y y=14⇒3k−4k 4k=−14，故错误； D 、x+2y x=113⇒3k+8k 3k=113，故正确．故选：C ．设x =3k ，y =4k.代入选项计算结果，排除错误答案．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．2.【答案】B【解析】解：要使分式有意义， 则x −1≠0， 解得x ≠1， 故选：B ．要使分式有意义，分式的分母不能为0．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的值即可．3.【答案】C【解析】解：∵x =2时，分式的值为零， ∴2−b =0， 解得b =2．∵x =−2时，分式没有意义， ∴2×(−2)+a =0， 解得a =4．∴a +b =4+2=6． 故选：C ．根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b 的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．4.【答案】C【解析】解：分式2m−1m+1为0的条件是：2m−1=0，m+1≠0，解得：m=12，故选：C．直接利用分式有意义和方式的值为0的条件分析得出答案．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．5.【答案】D【解析】解：A、(−a3)2=a6，此选项错误；B、2a2+3a2=5a2，此选项错误；C、2a2⋅a3=2a5，此选项错误；D、(−b22a )3=−b68a3，此选项正确；故选：D．分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．6.【答案】A【解析】【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=m−1m ⋅m2 m−1=m．故选A．【解析】解：(B)原式=a×1b ⋅1b=ab2，故选：D．根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分式乘除混合运算，关键是理解法则把乘除的混合运算统一成乘法运算．首先统一成乘法运算，然后约分即可．【解答】解：原式=x⋅yx ⋅1 x=yx．故选C．9.【答案】A【解析】解：由|a|a +|b|b+|c|c=1可得a、b、c中必有两正一负，故设a、b为正，c为负，则|abc|abc =−abcabc=−1．故选：A．由|a|a +|b|b+|c|c=1可得a、b、c中必有两正一负，设a、b为正，c为负，从而可得出答案．本题考查了分式的化简求值及绝对值的知识，难度不大，确定a、b、c的正负情况是关键．【解析】解：原式=a−1+1a=1．故选：A．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．11.【答案】B【解析】解：∵B=x−2−x−2(x+2)(x−2)=−4x2−4，∴A和B互为相反数，即A=−B．故选：B．先把B式进行化简，再判断出A和B的关系即可．本题考查的是分式的加减法，先根据题意判断出A和B互为相反数是解答此题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a2+2a−1=0变形即可解答本题．【解答】解：(a−4a )⋅a2a−2=a2−4a⋅a2a−2=(a+2)(a−2)a⋅a2a−2=a(a+2)=a2+2a，∵a2+2a−1=0，∴a2+2a=1，∴原式=1，故选：C．13.【答案】D【解析】解：∵5G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，∴4G网络的峰值速率为每秒传输x10兆数据．依题意，得：500x10−500x=45，即5000x −500x=45．故选：D．由5G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，可得出4G网络的峰值速率为每秒传输x10兆数据，根据在峰值速率下传输500兆数据时5G网络比4G网络快45秒，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘以最简公分母(x−3)，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘以(x−3)得，2−x−m=2(x−3)，∵分式方程有增根，∴x−3=0，解得x=3，∴2−3−m=2×(3−3)，解得m=−1．故选A．15.【答案】A【解析】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+50)米，根据题意，可列方程：2000x −2000x+50=2，故选：A．设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设(x+50)米，根据：原计划所用时间−实际所用时间=2，列出方程即可．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．16.【答案】A【解析】【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：x+1=2x−8+a，由分式方程有增根，得到x−4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：a=5，故选A．17.【答案】≠2【解析】解：若分式有意义，则x−2≠0，解得：x≠2．故答案为x≠2．分式有意义的条件是分母不为0．本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．18.【答案】1x−y【解析】本题主要考查的是分式的除法的有关知识，由题意利用分式除法的计算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数进行求解即可．【解答】解：原式=y(x+y)(x−y)×x+yy=1x−y．故答案为1x−y．19.【答案】±√10【解析】解：∵m−1m=√6，∴(m−1m )2=m2+1m2−2=6，即m2+1m2=8，∴(m+1m )2=m2+1m2+2=8+2=10，则m+1m=±√10．故答案为：±√10．利用完全平方公式的结构特征计算即可求出所求．此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．20.【答案】10xy2【解析】解：分式的12y2,−15xy的分母分别是2y2、5xy，则它们的最简公分母是10xy2．故答案是：10xy2．确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．本题主要考查了最简公分母，利用最简公分母的定义求解即可．21.【答案】16【解析】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．易得分式方程的解，看所给6个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：解分式方程得：x=2，2−a∵分式方程的解为正整数，∴2−a>0，∴a<2，∴a=0，1，∵分式方程的解为正整数，当a=1时，x=2不合题意，∴a=0，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为1，6．故答案为：1622.【答案】m>−2且m≠−1【解析】解：方程两边同时乘以x−1得，x−2(x−1)=−m，解得x=m+2．∵x为正数，∴m+2>0，解得m>−2．∵x≠1，∴m+2≠1，即m≠−1．∴m的取值范围是m>−2且m≠−1．故答案为m>−2且m≠−1．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．23.【答案】②【解析】解：(1)原式=1−m(m+1)(m−1)÷mm−1=1−m(m+1)(m−1)⋅m−1m=1−1m+1=m+1m+1−1m+1=mm+1；(2)∵m≠±1且m≠0，∴取m=2，则原式=22+1=23，∴该分式的值对应的点落在数轴上的第②段上，故答案为：②．(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式即可得；(2)根据分式有意义的条件排除不能取到的m的值，再任取一个正整数m，代入计算，从而得出答案．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．24.【答案】解：(1)设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为(x+30)元，120 x =2×120x+30，解得，x=30经检验，x=30是原分式方程的解，∴x+30=60，答：甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100−a)件，利润为w元，∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，∴a≥4(100−a)解得，a≥80w=(50−30)a+(100−60)(100−a)=−20a+4000，∵a≥80，∴当y=80时，w取得最大值，此时w=2400元，100−a=20，答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，最大利润是2400元．【解析】(1)根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；(2)根据题意，可以求得购买甲种品牌的T恤衫数量的取值范围，然后列出利润与甲种品牌的T恤衫数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．25.【答案】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x 万斤，依题意，得：3603x −80x=20，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【解析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26.【答案】解：(1)A=a2−1−3a−1÷(a−2)2a−1=(a+2)(a−2)a−1⋅a−1(a−2)2=a+2a−2；(2)变小了，理由如下：A−B=a+2a−2−a+5a+1=(a+2)(a+1)−(a+5)(a−2)(a+1)(a−2)=12(a−2)(a+1)，∵a>2，∴a−2>0，a+1>0，∴A−B=12(a−2)(a+1)>0，即A>B；(3)A=a+2a−2=1+4a−2，根据题意，a−2=±1、±2、±4，则a=1、0、−2、3、4、6，又a≠1，∴0+(−2)+3+4+6=11，即：符合条件的所有a值的和为11．【解析】(1)根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；(2)根据题意列出算式A−B=a+2a−2−a+5a+1，化简可得A−B=12(a−2)(a+1)，结合a的范围判断结果与0的大小即可得；(3)由A=a+2a−2=1+4a−2知a=±1、±2、±4，结合a的取值范围可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．。
鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程单元综合能力达标测试题1(附答案详解)
鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程单元综合能力达标测试题1（附答案详解） 1．若关于x 的方程2322x m x x-+--=3无解，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．-1 2．已知111m n m n +=+，则nmm n +等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．23有意义，则字母x 应满足的条件是( ).A ．x ＝2B ．x ＜2C ．x ≤2D ．x>2 4．下列分式中，最简分式是 ( )A ．222 2x xy x xy y +++B ．22816x x +- C ．2211x x +-D ．22969x x x -++ 5．方程13122x x -=--的解为（ ）A ．x=4B ．x=﹣3C ．x=6D ．此方程无解 6．计算23-的结果是（ ）．A ．6-B ．19 C ．9-D ．9 7．若关于x 的分式方程433x mx x -=--有增根，则m 的值是（）A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．3 8．下列运算正确的是（ ）A ．yy x y x y =---- B ．2233x y x y +=+C ．22x y x y x y -=--D ．2211211x x x x x -=--++9．分式2222(2)(43)()(6)a a a a a a a a -++-+-的最简形式是（ ）．A ．11a -B ．1aa - C ．11aa +-D ．11a a +- 10．下列运算正确的是（ ）A ．20=0B ．4 =±2C ．2﹣1=12D ．23=6 11．若21()9x x +=，则21()x x -的值为___________.12．-0.000003092用科学记数法表示，可记作_______________________.13．化简211m m -=+__________ 14．已知x 为整数，且分式2221x x +-的值为整数，则x = ______ ． 15．若关于x 的分式方程 2223m x x x+-=- 无解，则m 的值为_______． 16．11a a ab b --÷=______ 17．一种细菌的半径为0.0004m ,用科学记数法表示为____________m ．18．若1x有意义，则x _____； 19．2-1=_____________ 20．当x =_______时，分式3x 与26x -的值互为相反数． 21．化简并求值：223242a a a a a a---÷++，其中32a =-. 22．若x ＝1是方程21x x +-＋32x x +-＝(1)(2)m x x --的增根，则m ＝__________． 23．先化简，再求值（1）[（x ﹣y ）2+（x+y ）（x ﹣y ）]÷2x ，其中x=3，y=1.5（2）（1m +m ﹣2）÷()221m m m-+，其中m=﹣15．24．（1）计算：（3﹣π）0﹣﹣2|（2）解方程：31244x x x -+=-- 25．先化简，再求值：22444a a a -+-÷222a a a -+﹣3，其中a =72． 26．赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车速度和自行车速度各是多少？ 27．已知x +1y =z +1x=1，求y +1z 的值． 28．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：21xx-+＞0；231xx+-＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：(1)若a＞0，b＞0，则ab＞0；若a＜0，b＜0，则ab＞0；(2)若a＞0，b＜0，则ab＜0；若a＜0，b＞0，则ab＜0.反之：①若ab＞0，则ab>⎧⎨>⎩或ab<⎧⎨<⎩，②若ab＜0，则ab>⎧⎨<⎩或ab<⎧⎨>⎩．根据上述规律，①求不等式21xx-+< 0的解集．②直接写出不等式解集为x>3或x<1的最简分式不等式.参考答案1．D【解析】解：将分式方程变为整式方程得：2x -3+m =3x -6．整理得：x =m +3∵原分式方程无解，∴x =2，∴2=m +3，解得：m =－1．故选D ．点睛：本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根．2．B【解析】【分析】 先将111m n m n +=+转化为1m n mn m n+=+，再得到22m n mn +=-，然后转化为221n m n m mn m n mn mn+-+===-． 【详解】 ∵111m n m n+=+， ∴1m n mn m n +=+ ∴2()m n mn +=，∴22m n mn +=- ∴221n m n m mn m n mn mn+-+===-． 故选:B.【点睛】考查分式的化简求值，通过通分，对所给等式进行变形是解题的关键.3．D【解析】试题解析：由分式的分母不为0，得x ≠2；又因为二次根式的被开方数不能是负数，所以有802x ≥-，得2x ≥，且x ≠2， 所以x 的取值范围是x >2.故选D.4．C【解析】分析：根据最简分式的概念，分子与分母不含有公因式的分式即为最简分式，化简后判断即可. 详解：由题意可知：222x xy x 2xy y +++=2()()x x y x x y x y +=++，不是最简分式；22x 8x 16+-=2(4)2(4)(4)4x x x x +=+--，不是最简分式；22x 1x 1+-是最简分式；22x 9x 6x 9-++=2(3)(3)3(3)3x x x x x +--=++，不是最简分式. 故选：C.点睛：此题主要考查了最简分式，先把分式的分子、分母因式分解，然后确定有无公因式，是解题关键.5．C【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x 的值，代入最简公分母进行检验.【详解】方程两边同时乘以x －2得到1－（x －2）＝﹣3，解得x ＝6.将x ＝6代入x －2得6－2＝4，∴x ＝6就是原方程的解.故选C【点睛】本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.6．B【解析】3－2=213=19. 故选B.点睛：a－b=1ba，a≠0.7．B【解析】分析: 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．详解: 去分母得：x−4＝m，由分式方程有增根，得到x−3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：m＝-1，故选B．点睛: 此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．D【解析】【分析】根据分式的基本性质逐一分析即可得解．【详解】A.y yx y x y=----，分母的所有项都变号，故A错误；B.分子分母都乘以或除以同一个不为0的数分式的值不变，故B错误；C.分子分母都除以（x-y），故C错误；D.分子分母都除以（x-1），故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式,分式的值不变.9．D【解析】【分析】将分子分母化简，再约分即可．【详解】解：()()()()22222436a a a a a a a a -++-+- =(2)(1)(3)(1)(3)(2)a a a a a a a a -++-+- =11a a +- 故选：D【点睛】本题考查化简分式，解题关键为找公因式．10．C【解析】分析：根据负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的定义和计算公式分别对每一项进行判断即可．详解：A. 021=，故本选项错误；B.2= ，故本选项错误；C. 1122-=， 故本选项正确； D.3 28=，故本选项错误； 故选C.点睛：考查负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，掌握它们的运算法则是解题的关键. 11．5【解析】解：22129x x ++=，2217x x +=，22211()272x x x x -=+-=-=5．故答案为5． 12．63.09210--⨯【解析】－0.000003092=－3.092×10－6.故答案为－3.092×10－6. 点睛：掌握科学计数法的表示方法.13．1m -【解析】 试题解析：()()2111 1.11m m m m m m +--==-++ 故答案为： 1.m -14．0或2或3【解析】【分析】【详解】 分式()()()2212221111x x x x x x ++==-+--, ∵分式2221x x +-的值为整数， ∴x -1=﹣2或﹣1或1或2，∴x =﹣1或0或2或3，又∵x 2-1≠0，即x ≠±1，∴x =0或2或3.故答案为0或2或3.【点睛】解此题关键在于将原式化简，然后写出x 可能的值即可，但是需要注意的是分式的分母的值不能为零.15．-4或-6【解析】【详解】解：去分母得：x (m ＋2x )－2x (x －3)＝2(x －3)，(m ＋4)x ＝－6，当m ＋4=0时，即m ＝－4时，整式方程无解，分式方程也无解，符合题意当m ＋4≠0时，x ＝64m -+≠0， ∵分式方程无解，∴x －3＝64m -+－3＝0， 解得：m ＝－6；故m 的值为－4或－6． 故答案为－4或－6．16．1a【解析】 试题解析：1111.1a a a b ab b ab a a ---÷=⋅=- 故答案为：1.a 17．4410-⨯【解析】由科学记数法定义知：0.0004=4410-⨯， 故答案为：4410-⨯18．0x ≠【解析】【分析】根据除数不为零解答即可．【详解】当除数x ≠0时，1x有意义． 故答案为≠0．【点睛】根据有理数除法法则，除数不能为0． ．19． 【解析】【分析】根据负指数幂的运算法则即可解答.【详解】原式=2-1=1 2 .【点睛】本题考查了负指数幂的运算法则，牢记负指数幂的运算法则是解答本题的关键. 20．18【解析】【分析】根据相反数的定义列方程，解此方程即可得出答案.【详解】根据题意得：326x x =--解方程x=18，经检验：x=18是原方程的解，故答案为：18【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法并进行检验是解题关键·. 21．7.【解析】试题分析：先按分式的相关运算法则将原式化简，再代值计算即可.试题解析：原式=32(1)2(2)(2)a a aa a a a-+-⨯++-=3122aa a+-++=22a a-+当32a=-时，原式=32()7227 32()22--=⨯=-+.22．－3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=1代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：分式方程去分母得：x2-4+x2+2x-3=m，把x=1代入整式方程得：m=-3，故答案为：-3【点睛】此题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，解题关键是确定增根.23．（1）1.5；（2）4 5 .【解析】【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再将m的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x=[（x2-2xy+y2）+（x2-y2）]÷2x，=（2x2-2xy）÷2x，=x-y，当x=3，y=1.5时，原式=3-1.5=1.5；（2）（1m+m﹣2）÷()221mm m-+，=()21 1(2)•(1)m mm mm m+ +-⨯-=()221 (1)•(1)m mmm m+--当m=-15时，原式=−15+1=45． 【点睛】本题考查分式的化简求值、整式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 24．（1）x=4；（2）方程无解．【解析】【分析】（1）原式利用零指数幂，绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式=1﹣﹣1；（2）去分母得：﹣3+2x ﹣8=1﹣x ，解得：x=4，经检验x=4是方程的增根，方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．a ﹣3，12． 【解析】试题分析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入即可解答本题．试题解析：解：原式 =2223222a a a a a a （）（）（）（）-+⋅-+--=a ﹣3 当a =72时，原式=71322-=． 26．自行车速度为18千米/时，自驾车的速度为36千米/时.【解析】试题分析：设自行车的速度为x 千米/时，则自驾车速度为2x 千米/时，骑自行车上班需要时间为20x小时，自驾车上班需要时间为202x小时，根据骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时可列出方程：2020529x x-=，解方程，检验即可求得所求答案.试题解析：设自行车速度为x千米/时，根据题意得：2020529x x-=，解得x=18，检验：当x=18时，18x≠0，所以x=18是原方程的解∴自行车速度为18千米/时，自驾车的速度为：18×2=36（千米/时）.答：赵老师骑自行车上班的速度为18千米/时，自驾车上班的速度为36千米/时. 27．1.【解析】试题分析：根据已知首先利用x表示出y与1z的值，即可得出答案．试题解析：∵x+11zy x=+=1，∴1y=1-x，z=1-1x=1xx-，∴y=11x-，1z=1xx-，∴y+1z=11x-+1xx-=11xx--=1．28．（1）-1＜x＜2；（2）x3x1->-或x1x3->-等，（不唯一）【解析】试题分析:(1)根据有理数除法法则可得,2010xx->⎧⎨+<⎩或2010xx-<⎧⎨+>⎩,解不等式组即可求解,(2)根据不等式解集为x>3或x<1,可以写出满足条件的最简不等式:31xx->-或13xx-<-.试题解析:由题意得:2010xx->⎧⎨+<⎩或x20x10-<⎧⎨+>⎩,第一个不等式组无解,第二个的解集为-1＜x＜2,则原分式不等式的解集为-1＜x＜2.（2）301x x ->-或103x x -<-.（不唯一）。
鲁教版八年级一元二次方程应用练习题及参考答案(难度系数0.6)
八年级一元二次方程应用（难度系数0.6）一、单选题（共13题；共26分）1.某单位要组织篮球邀请赛，每两队之间都要赛一场且只赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意，可列方程（）A. x(x+1)=15B. x(x−1)=15C. 12x(x+1)=15 D. 12x(x−1)=15【答案】 D【考点】一元二次方程的应用2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【考点】一元二次方程的应用3.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【答案】C【考点】一元二次方程的应用4.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程（）A. (x＋1)2＝43B. x2＋2x＋1＝43C. x2＋x＋1＝43D. x(x＋1)＝43【答案】C【考点】一元二次方程的应用5.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A. x(x−1)=10B. x(x−1)2=10 C. x(x+1)=10 D. x(x+1)2=10【答案】B【考点】一元二次方程的应用6.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（）A. 12B. 35 C. 2﹣ √3 D. 4﹣2 √3 【答案】 D【考点】公式法解一元二次方程，一元二次方程的应用7.李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ） A.n(n+1)2＝20 B. n(n －1)＝20 C.n(n−1)2＝20 D. n(n ＋1)＝20【答案】B【考点】一元二次方程的应用8.某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A. x(x +1)=2550B. x(x −1)=2550C. 2x(x +1)=2550D. x(x −1)=2550×2 【答案】B【考点】一元二次方程的应用9.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人 【答案】B【考点】一元二次方程的应用10.在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x 个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ）A. 12x(x −1)=90 B. x （x ﹣1）=90 C. x(x −1)=902D. x （x+1）=90【答案】 B【考点】一元二次方程的应用11.祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A.x(x−1)2 =930 B.x(x+1)2=930 C. x （x+1）=930 D. x （x ﹣1）=930【答案】D【考点】一元二次方程的应用12.学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A. x2=21B. 12x（x﹣1）=21 C. 12x2=21 D. x（x﹣1）=21【答案】B【考点】一元二次方程的应用13.已知x2+3x+5=9，则代数式3x2+9x-2的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】 D【考点】一元二次方程的应用二、填空题（共17题；共17分）14.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________. 【答案】8【考点】一元二次方程的应用15.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有________个飞机场.【答案】6【考点】一元二次方程的应用16.网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为:________．【答案】x(x−1)=90【考点】一元二次方程的应用17.某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：________．【答案】x2﹣x﹣78=0【考点】一元二次方程的应用18.某学校九年级组织了一次乒乓球比赛，每班派一名同学代表班级进行比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，该校九年级共有________个班级。
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方程与不等式应用题（习题）例题示范
例1：现要把228 吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16 吨/辆和10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地
车型
甲地（元/辆）乙地（元/辆）
大货车720800
小货车500650
（1）求这两种货车各用多少辆．
（2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与
a 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【思路分析】
1．理解题意，梳理信息．
运往地车型
9
甲地（元/辆）
9
乙地（元/辆）
载重量
大货车8720 a800 8-a16
小货车10500 9-a650 a+110
2．建立数学模型
（1）结合题中信息“用大、小两种货车共18 辆，恰好能一次性运完这批物资”，考虑方程模型；
（2）结合题中信息“自变量的取值范围”，考虑建立不等式模型，寻找题目中的不等关系（显性和隐性）；
（3）结合题中信息“运费最少的货车调配方案”，考虑建立函数模型．3．求解验证，回归实际．
⎨ ⎪ 【过程书写】
解：（1）设大货车用 x 辆，则小货车用（18-x ）辆，根据题
意得，16x +10(18-x )=228
解得，x =8
即大货车用 8 辆，小货车用 10 辆．
（2）由题意得， w 720 a 800(8 a ) 500(9 a ) 650[10 (9 a )]
70 a 11550
a ≥ 0 8 a ≥ 0
∵ 9 a ≥ 0 10 (9 a ) ≥ 0
∴ 0 ≤ a ≤ 8 ，且 a 为整数
∴ w 70 a 11550（ 0 ≤ a ≤ 8 ，且a 为整数）
（3）由题意得，16 a 10(9 a ) ≥120
解得， a ≥ 5
∵ 0 ≤ a ≤ 8 ，且 a 为整数
∴ 5 ≤ a ≤ 8 ，且 a 为整数在 w 70 a 11550 中
∵ 70 0
∴w 随 a 的增大而增大
∴当 a =5 时， w min 11900（元） 即
最优方案为： 甲地 乙地
大货车 5 3
小货车 4 6
巩固练习
1.已知 2 辆A 型车和 1 辆B 型车载满货物时一次可运货 10 吨；
1 辆 A 型车和
2 辆 B 型车载满货物时一次可运货 11 吨．某物流公司
现有货物 31 吨，计划同时租用 A 型车和 B 型车，要求一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满货物时一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮助该物流公司设计出所有的租车方案；
（3）若每辆 A 型车的租金为 100 元/次，每辆 B 型车的租金为
120 元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
2.受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价与去年相比，每台
降价 500 元，如果卖出相同数量的手机，去年销售额为8 万元，今年销售额只有 6 万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，今年该店决定再经销乙型号手机，已知甲型号手机每台进价为 1 000 元，乙型号手机每台进价为 800 元，计划用不多于 1.84 万元且不少于 1.76 万元的资金购进这两种手机共 20 台，则该店有哪几种进货方案？
（3）若乙型号手机每台售价为 1 400 元，为了促销，打九折销售，而甲型号手机仍按今年的售价销售，则在（2）的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
3.小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”，他准备购置 80 只
相同规格的网箱，养殖 A，B 两种淡水鱼（两种鱼不能混养）．计划用于养鱼的总投资多于 6.7 万元，但不超过
6.91 万元，其中购置网箱等基础建设需要 1.2 万元．设他用x 只网箱
养殖 A 种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖 A，B 两种淡水鱼所需投入及产出情况如下表：
（2）哪种养殖方案获得的利润最大？
（3）根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A 种鱼价格上涨 40%，B 种鱼价格下降 20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？（利润=收入-支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）
思考小结
1.应用题的处理框架是什么？
①理解题意：分，找
借助等梳理信息；
②建立：方程模型、不等式（组）模型、函数模型等
③求解验证，回归实际
2.目前我们已经学习了几种数学模型，在什么情况下考虑对应的模型？
【参考答案】
巩固练习
1．（1）1 辆 A 型车载满货物时一次可运货 3 吨，1 辆 B 型车载满货物时一次可运货 4 吨．
（2）该物流公司共有 3 种租车方案．
方案一，租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆；方案
二，租用 A 型车 5 辆，B 型车 4 辆；方案三，
租用 A 型车 9 辆，B 型车 1 辆．
（3）最省钱的租车方案为，租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆．最少的
租车费为 940 元．
2．（1）今年甲型号手机每台售价为 1 500 元．
（2）该店共有 5 种进货方案．
方案一，购进甲型号手机 8 台，乙型号手机 12 台；方案二
，购进甲型号手机 9 台，乙型号手机 11 台；方案三，购进
甲型号手机 10 台，乙型号手机 10 台；方案四，购进甲型号
手机 11 台，乙型号手机 9 台；方案五，购进甲型号手机 12
台，乙型号手机 8 台．
（3）购进甲型号手机 12 台，乙型号手机 8 台，所获利润最大，最大利润为 9 680 元．
3．（1）小王共有 5 种养殖方案．
方案一，养殖 A 种淡水鱼 45 箱，B 种淡水鱼 35 箱；方案
二，养殖 A 种淡水鱼 46 箱，B 种淡水鱼 34 箱；方案三，
养殖 A 种淡水鱼 47 箱，B 种淡水鱼 33 箱；方案四，养殖 A
种淡水鱼 48 箱，B 种淡水鱼 32 箱方案五，养殖 A 种淡水鱼
49 箱，B 种淡水鱼 31 箱．
（2）养殖 A 种淡水鱼 45 箱，B 种淡水鱼 35 箱，所获利润最大．
（3）价格变化后，养殖 A 种淡水鱼 49 箱，B 种淡水鱼 31 箱，所获利润最大．
思考小结
1.①层次，结构，表格
②数学模型
2.共学了3 种数学模型，分别是是方程模型，不等式（组）模型，函数
模型
①有共需、同时、刚好、恰好、相同等关键词时，考虑方程模型
②有显示、隐性不等关系等，考虑不等式（组）模型
③有最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑函数
模型
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