【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
2014届高考数学知识点总复习教案二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2,0)；由⎩⎨⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6.答案 A2．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝OM →·OA→的最大值为( )． A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x＋y 过点B (2，2)时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选C. 答案 C3．(2013·淮安质检)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7. 答案 C4．(2013·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )．A ．1吨B ．2吨C ．3吨D.113吨解析 设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为⎩⎨⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥1，y ≥2.所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域．作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，163时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·大纲全国)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析 画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x －z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1. 答案 －16．(2012·安徽)若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3. 答案 [－3,0] 三、解答题(共25分)7．(12分)(2013·合肥模拟)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2、随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·临沂一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )．A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·咸阳一模)设实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是________．解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设y x ＝t ，则y ＝tx ，求yx 的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32. 答案 324．(2011·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．解析 目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm ， ∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm 同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2) 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·黄山模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．6．(13分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？解 (1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎨⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》理 新人教B版
[第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·宁德质检] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋8>0，x <0，y <0表示的平面区域的整点坐标是( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(－1，－1)D ．(－1，－2)2．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，－2≤y ≤0，y ≥kx ＋2是一个梯形，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－1)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)3．[2013·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 24．[2013·浙江卷] 设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0，则z 的取值范围是________．能力提升5．[2013·课程标准卷] 已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)6．[2013·肇庆一模] 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，2y ≥x ，3x ＋2y ≥6，3y ≤x ＋9，则z ＝2x －y 的最大值是( )A.152 B.92 C.94D ．2 7．已知向量a ＝(x －z ，1)，b ＝(2，y ＋z )，且a ⊥b ，若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z 的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，则点N (a ＋b ，a －b )所在平面区域的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．89．[2013·四川卷] 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元10．[2013·石家庄一模] 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1，y －x ≤2，y ≥0，则z ＝x －2y 的最小值是________．11．[2013·西城一模] 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1，则2x ＋y 的最小值是________．12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧（x －y ）（3x －y ）≤0，x 2＋y 2≤1，则点(x ，y )所在的平面区域的面积为________．13．[2013·西安一模] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．14．(10分)若点P 在区域⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．15．(13分)[2013·广州二模] 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：为x kg，y kg，z kg.(1)试以x，y表示混合食物的成本P；(2)若混合食物至少需含35 000单位维生素C及40 000单位维生素D，问x，y，z取什么值时，混合食物的成本最少？难点突破16．(1)(6分)[2013·东北三省四市调研] 已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1∈(－1，1)，x 2∈(2，4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－16，－8)D ．(－11，3)(2)(6分)[2013·江苏卷] 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．课时作业(三十五)【基础热身】1．C [解析] 画出如图所示的不等式组表示的平面区域(不包括边界)，在平面区域内的整数点只有(－1，－1)，故选C.2．D [解析] y ＝kx ＋2过定点(0，2)，当直线y ＝kx ＋2过点(2，－2)时，k ＝－2－22－0＝－2，此时平面区域为三角形；当k <－2时，平面区域为梯形，故选D.3．B [解析] z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72 [解析] 约束条件得到的可行域为图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z2在B 点取得最大值，在O 点取得最小值，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72. 【能力提升】5．A [解析] 由正三角形的性质可求得点C ()1＋3，2，作出△ABC 表示的可行域(如下图所示不含△ABC 的三边)．可知当直线z ＝－x ＋y 经过点C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取得最小值，且z min ＝1－3；当直线z ＝－x ＋y 经过点B (1，3)时，z ＝－x ＋y 取得最大值，且z max ＝2.因为可行域不含△ABC 的三边，故z ＝－x ＋y 的取值范围是()1－3，2.故选A.6．B [解析] 2x －y ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝32，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，当直线z ＝2x －y 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32时，z 取得最大值z max ＝2×3－32＝92，故选B.7．C [解析] 因为a ⊥b ，所以(－，1)·(2，＋z )＝0，即z ＝2x ＋y .约束条件表示的平面区域如图所示，可解得A (－1，4)，B (－1，－1)，C (1，1)，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最大值，最大值为z max ＝2×1＋1＝3，故选C.8．C [解析] 令⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝u ＋v2，b ＝u －v 2，由点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，得⎩⎪⎨⎪⎧u ＋v ≥0，u －v ≥0，u ≤2，所以点N 所在平面区域为图中的阴影部分．所以该平面区域的面积为S ＝12×4×2＝4.9．C [解析] 设该公司每天生产甲产品桶，乙产品y 桶， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，利润函数z ＝300x ＋400y ，如图，在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12 的交点(4，4)处取得最大值．z max ＝300×4＋400×4＝2 800元．10．－72 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图)，可行域是△ABC ，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (1，0)，作直线x －2y ＝0，把直线向上平移，当直线x －2y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32时，z 取得最小值，最小值为z min ＝－12－2×32＝－72.11．－2 [解析] 2x 平移经过点(－1，0)时，2x ＋y 有最小值－2.12.π12[解析] 画出不等式组表示的平面区域，是夹在两直线y ＝x 与y ＝3x 之间在圆内部分的平面区域，即圆心角为π3－π4＝π12的两个扇形，其面积为2×12×π12×12＝π12.13．3 [解析] 因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0，1)， 当a ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a <0时，所围成的区域面积小于2，所以a >0，此时所围成的区域为三角形(如上图)，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.14．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0所表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x －4y 所表示的平行直线系过点A (0，2)时，目标函数取得最小值，此时对应的直线方程为3x －4y＋8＝0，其与直线3x －4y －12＝0的距离为d ＝8＋1232＋42＝4，即得点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值为4.15．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，P ＝5x ＋4y ＋3z .由x ＋y ＋z ＝100，得z ＝100－x －y ，代入P ＝5x ＋4y ＋3z ， 得P ＝300＋2x ＋y .(2)依题意知x ，y ，z 要满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，z ≥0，300x ＋500y ＋300z ≥35 000，700x ＋100y ＋300z ≥40 000.把z ＝100－x －y 代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，100－x －y ≥0，2x －y ≥50，y ≥25.如图，可行域(阴影部分)的一个顶点为A (37.5，25)．让目标函数2x ＋y ＋300＝P由此可知P ＝(300＋2x )＋y 在A (37.5，25)处取得最小值．∴当x ＝37.5(kg)，y ＝25(kg)，z ＝37.5(kg)时，混合食物的成本最少． 【难点突破】16．(1)D (2)[e ，7] [解析] (1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝（－1）2＋a （－1）＋b ＝1－a ＋b >0，f ′（1）＝12＋a ·1＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′（2）＝22＋a ·2＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′（4）＝42＋a ·4＋b ＝16＋4a ＋b >0，所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3，2)，(－5，4)，可验证得，当a ＝－5，b ＝43； 当a ＝－3，b ＝－4时，z ＝a ＋2b 取得最小值为－11. 于是z ＝a ＋2b 的取值范围是(－11，3)，故选D.(2)本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c ，三元换成两元．题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc≥5，a c ＋bc ≤4，b c ≥e a c，记x ＝a c ，y ＝b c ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ，y >0，且目标函数为z ＝yx ，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72，此时z max ＝7.又过原点作曲线y ＝e x 的切线，切点为(x 0，y 0)，因y ′＝e x ，故切线斜率k ＝e x 0，切线方程为y ＝e x 0x ，而y 0＝e x 0且y 0＝e x 0x 0，解之得x 0＝1，故切线方程为y ＝e x ，从而z min ＝e ，所求取值范围为[e ，7]．。
高三理科数学第一轮复习§6.3：二元一次不等式(组)与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
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第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
提示
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
解析
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
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解析
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
二元一次不等式组知识点讲解及习题
第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。
（二元一次不等式表示的区域）例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。
（点的分布）例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。
（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x xy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x(已知区域求不等式)例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。
（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为（已知不等式组求围成图形的面积）例5、求不等式组3,0,20xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,x yx yx yy->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点个数（绝对值不等式的画法）例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理
解析 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)， 故 AB＝ 2，AC＝2 2， 其面积为12×AB×AC＝2.
12345
解析答案
x－y≤0， 4.若 x，y 满足x＋y≤1，
x≥0，
则 z＝x＋2y 的最大值为____2____.
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方. (3)最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一， 有时唯一，有时有多个.
面积相等的两部分，则 k 的值是______.
思维升华
解析答案
x≥0， (1)不等式组x＋y≤3，
y≥x＋1
跟踪训练1
表示的平面区域为 Ω，直线 y＝kx－1 与区域 Ω 有
公共点，则实数 k 的取值范围为[_3_，__＋__∞__).
解析 直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知， 当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点 C(1,2)时，k最小，
答案
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x， y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都 相同 ，所以只需在此直线的同一 侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的 符号 即 可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
2－－1 此时 kCM＝ 1－0 ＝3，因此 k≥3，即 k∈[3，＋∞).
2014高考数学一轮复习课件6.2二元一次不等式(组)
•【尝试解答】 设生产A，B两种产品分别为 x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得
•目标函数为z＝7x＋12y. •作出可行域，如图阴影所示．
•当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经 过M时z取最大值．
•因此，点M的坐标为(20，24)． •∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和 24吨时，才能获得最大利润．
•利用线性规划求最值的步骤是： •(1)在平面直角坐标系内作出可行域； •(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进 行变形； •(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函 数变形后的直线，从而确定最优解； •(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．
1.画平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一 次不等式标准化． 2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其 a z z 几何意义，通过求y＝－ x＋ 的截距 的最值间接求出z的最 b b b z 值．要注意：当b＞0时，截距 取最大值时，z也取最大值； b z 截距 取最小值时，z也取最小值．当b＜0时，结论与b＞0的 b 情形恰好相反．
得点B(0，3)．
(1)由z＝x－y，得y＝x－z. 平移直线x－y＝0，则当其过点B(0，3)时，截距－z最 大；当过点A(1，1)时，截距－z最小，即z最大． ∴zmin＝0－3＝－3；zmax＝1－1＝0. (2)过O(0，0)作直线x＋2y＝3的垂线l交于点N. 观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别 达到最大与最小． |0＋0－3| 3 又|ON|＝ 2 2 ＝5 5，|OB|＝3. 1 ＋2 3 ∴z的取值范围是[ 5，3]． 5
【尝试解答】 由图可知，线性规划区域为△ABC边界 及内部． 4 4 y＝kx＋ 恰过A0， ， 3 3 4 y＝kx＋ 将区域平均分 3 成面积相等两部分， 4 ∴直线y＝kx＋ 一定过 3 线段BC的中点D，易求C(0，4)，B(1，1)， 1 5 ∴线段BC的中点D的坐标为( ， )． 2 2 5 1 4 7 因此 ＝k× ＋ ，k＝ . 2 2 3 3
【金版教程】2014届高考数学总复习 第6章 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件 理 新人教A版
(2)2 －2 提示：不等式组表示的可行域如图所示，
设 z＝x＋2y， 则 y＝－12x＋2z， 当直线 y＝－12x＋2z分别过 C(0,1)及 A(0，－1)时得 zmax ＝2，zmin＝－2.
核心要点研究
例 1 [2012·福建卷]若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约
束条件xx－＋2y－y－33≤≤00，， 则实数 m 的最大值为(
函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最
值，并回到原问题中作答．
[解析] 设种植黄瓜 x 亩，种植韭菜 y 亩，因此，原问
x＋y≤50， 题转化为在条件1x≥.2x0＋，0.9y≤54，
y≥0
下，求 z＝0.55×4x＋
0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利 用
第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决.
1种必会方法 确定不等式表示的区域时，可采用代入特殊点的方法来判 断，一般情况下，若直线不过原点时，则代入原点坐标判断．
课前自主导学
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三 个部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足________； ②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋ c>0； ③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by ＋c<0.
是( )
A．(0,0)
B．(－1,1)
2010~2014年高考真题第6章 第3节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
2010~2014年高考真题 第6章 不等式、推理与证明第3节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.答案：C2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.答案：B3．（2014山东，5分）已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C . 5D ．2解析：法一：不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.答案：B4．（2014广东，5分）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 的值最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－1，y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3，故m －n ＝6.答案：C5．（2014安徽，5分）．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：D6．（2014天津，5分）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2.先画出直线y ＝－12x ，然后将直线y ＝－12x 进行平移．当直线过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋y －2＝0得A (1,1)，故z 最小值＝1＋2×1＝3. 答案：B7．（2014北京，5分）若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.答案：D8．（2014福建，5分）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x＋y 的最小值为________．解析：可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数z ＝3x ＋y 经过点A (0,1)时，z ＝3x ＋y 取得最小值z min ＝3×0＋1＝1.答案：19．（2014浙江，5分）当实数x ，y 满足{ x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由线性规划的可行域(如图)，求出三个交点坐标分别为A (1,0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32，都代入1≤ax ＋y ≤4，可得1≤a ≤32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 10．（2014湖南，5分）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，k ＝－2.答案：－211．（2013山东，5分）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.答案：C12．（2013安徽，5分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，则点集{P |OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想．由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，可得∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB ，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ，⇒⎩⎨⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥03y ＋3x ≤6，时，由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝43，故选D. 答案：D13．（2013北京，5分）设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D. ⎝⎛⎫－∞，－53 解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力．问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m ＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2＜0，故－m －2m －2＞0，即m ＜－23.答案：C14．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2. 答案： 215．（2013北京，5分）设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想．作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255. 答案：25516．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，x ≥a (x －3).若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12C ．1D ．2解析：本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.答案：B17．(2013天津，5分)设变量x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用．约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y ＝2x ＋z 经过可行域中的点(5,3)时，z 取得最小值－7.答案：A18．(2013湖南，5分)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53D.52解析：本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题．求解本小题时一定要先比较直线x ＋2y ＝0与边界直线x ＋y ＝1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值．作出题设约束条件的平面区域(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝1，⇒⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，可得(x ＋2y )max＝13＋2×23＝53. 答案：C19．（2013广东，5分）给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用．解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．答案：620．（2013浙江，4分）设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力．已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点A (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点B (2,3)时，z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点A (4,4)时，z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合，综上可知k ＝2.答案：221．（2013陕西，5分）若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力．由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥1)，1－x (x <1)，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A (－1,2)时，2x －y 取最小值－4.答案：－422．（2012广东，5分）已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时， z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，此时，z ＝y ＋3x ＝11. 答案：B23．（2012辽宁，5分）设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y ＝－23x ，易知直线经过可行域上的点A (5,15)时，2x ＋3y 取得最大值55.答案：D24．（2011广东，5分）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ·OA 的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM ·OA ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z .令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.答案：B25．（2010山东，5分）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x－4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3解析：本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z ＝3x －4y 的最值一定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A (0,2)，B (3,5)，C (5,3)，代入目标函数可得z ＝3x －4y 的最大值为3，在C 点处取得；最小值为－11，在B 点处取得．答案：A。
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考点梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面 区域(半平面)包括边界直线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同， 也就是位于同一半平面内的点， 其 坐标适合同一个不等式 Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面 内的点，其坐标适合另一个不等式 Ax＋By＋C<0. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域， 是各个不 等式所表示的平面区域的公共部分．
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对求解 线性规划问题中的参数问题的考查有加强的趋势，这类 问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数，二 是在目标函数中含有参数；题型主要以选择、填空题为 主，属中档题．
揭秘3年高考 【真题探究】 (2012· ► 福建)若函数 y＝2x 图象
x y 3 0 x 2y 3 0 上存在点(x，y)满足约束条件 x m
y≥1， 解法一 不等式组y≤2x－1， 所表示的平面区域如图所示， x＋y≤m 当 m<2 时，不等式组表示的平面区域是空集；
【2014年高考会这样考】
1．考查二元一次不等式组表示的区域问题． 二元一次不等式(组)与简单的线 2．考查目标函数在可行域条件下的最优解问题．
第3讲
性规划问题
单击标题可完成对应小部 分的学习，每小部分独立 成块，可全讲，也可选讲
二元一次不等式表示的平面区域
抓住2个考点
助学微博
考点自测
线性规划的有关概念 考向一 二元一次不等式(组)表示
3
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1
A
2
B
3
B
4
[－3,3]
5
考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例
2x＋y－6≤0， 1】►(2012· 济南市模拟)不等式组x＋y－3≥0， y≤2，
对于面积问题，可先 画出平面区域，然后 判断其形状、求得相 应交点坐标、相关线 段长度等，利用面积 表示的平面区域如图所示(阴影部分) 公式求解；对于求参 △ABC 的面积即为所求． 问题，则需根据区域 求出点 A， C 的坐标分别为 A(1,2)， B， B(2,2)， C(3,0)， 的 形 状 判 断 不 等 式 1 组的边界，从而确定 则△ABC 的面积为 S＝ ×(2－1)×2＝1. 2 参数的取值或范围
所表示的平面区域的面
积等于 2，则 a 的值为( )． A．－5 B．1 C．2 D．3 解析 x－1≤0 与 x＋y－1≥0 表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由题意知不等式组所表示的平面区域 为一个三角形区域，
设为△ABC，则 A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且 a>0， 1 ∵S△ABC＝2，∴ (1＋a)× 1＝2，解得 a＝3. 答案 D 2
产品 产品 A(件) B(件) 研制成本与搭载费用之和(万元/件) 20 30 计划最大投资金额 300 万元 产品质量(千克/件) 10 5 最大搭载质量 110 千克 预计收益(万元/件) 80 60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计 收益达到最大，最大收益是多少？
【审题视点 】 设出变量(设 A 产品 x 件，B 产品 y 件)，根 据题意找出约 束条件和目标 函数，由线性 规划实际问题 的步骤可求 解．
本题找准区域是关键，恰当选择三角形底和高求面积是技巧。
考向二 线性目标函数的最值问题
【例 2】►(2012· 辽宁)设变量 x，y 满足
x y 10 0 x y 20 0 y 15 则 2x＋3y 的最大值为(
A．20 B．35 C．45 D．55
【方法锦囊 】 【审题视点 】
的平面区域
【例1】 【训练1】 【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】
突破3个考向
考向二 线性目标函数的最值问题 考向三 线性规划的实际应用
揭秘3年高考 活页限时训练
巧解线性规划中参变量问题
A级 B级
、 1 选择题 填空题 2、 解答题 3 、
、 1 选择题 填空题 2、 3 、 解答题
【例 3】►(2012· 黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船 进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、B，该所要根据该产品 的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具 体安排，通过调查，有关数据如表：
产品 产品 A(件) B(件) 研制成本与搭载费用之和(万元/件) 20 30 计划最大投资金额 300 万元 产品质量(千克/件) 10 5 最大搭载质量 110 千克 预计收益(万元/件) 80 60
)．
解 作出不等式组对应的平
面区域(如图所示)， 2 平移直线 y＝－ x， 3 易知直线经过可行域上的
点 A(5,15)时， 2x＋3y 取得最大值 55，故选择 D.
答案 D
线性目标函数的最 先根据约束条件作 优解一般在平面区 出可行域，再平移 域的顶点 目标函数所对应直 或边界处取得，所 线找出最大值点， 以对于一般的线性 代入 2x ＋3y 可求 规划问题，我们可 出最大值． 以直接解出可行域 的顶点，然后将坐 标代入目标函数求 出相应的数值，从 而确定目标函数的 最值．
【教你审题 】
第 1 步 作出 x y 3 0 x 2y 3 0 表示的区域；
则实数 m 的最大值为( )． 1 3 A. B．1 C. D．2 2 2 [解法] 可行域如图中的阴影部分所示， 函数 y＝2x 的图象经过可行域上的点，
第 2 步 作出函 数 y ＝ 2x 的 图 象；
ln x , x 0 【训练 2】 (2012· 陕西)设函数 f(x)＝ 2 x 1, x 0
考向二 线性目标函数的最值问题
D 是由 x 轴和 曲线 y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 z＝x－2y 在 D 上的最大值为________． 1 解 由题知在点(1,0)处的切线的斜率 k＝f′(1)＝1＝1， 则切线方程为 y＝x－1.区域 D 为如图阴影部分所示． 1 z 则 z 的最大值即为直线 y＝ x－ 在 y 2 2 轴上的最小截距，
【方法锦囊 】
对于有实际背 景的线性规划 问题，可行域 通常是位于第 一象限内的一 个凸多边形区 域，此时变动 直线的最佳位 置一般通过这 个凸多边形的 顶点．
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计 收益达到最大，最大收益是多少？
2x＋3y＝30， 2x＋y＝22， x＝9， 解得 y＝4，
(1)画出平面区域． 避免失误的重要方法就是首先使二元一次 两点提醒 不等式标准化． (2)求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b>0 时，直线过可行域 且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b<0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距 最小时，z 值最大．
2x＋y－6≤0， 解 不等式组x＋y－3≥0， y≤2，
表示的平面区域的面积为( ) A．4 B．1 C．5 D．无穷大
【审题视点 】 画出不等式组表示 的平面区域，确定 平面区域的形状， 从而求出面积． 【方法锦囊 】
答案
B
考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【训练
x＋y－1≥0， 1】 若不等式组x－1≤0， ax－y＋1≥0a为常数，
0
0
z 60
即 M(9,4)． 所以 zmax＝80×9＋60×4 ＝960(万元)． 故搭载 A 产品 9 件， 产品 4 件， B 可使
得总预计收益最大，为 960 万元
考向三 线性规划的实际应用
【训练 3】 (2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩， 投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 为使一年的种植总利润(总利润＝ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 总销售收入－总种植成本)最大， 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 那么 黄瓜和韭菜的 种植面积 (单 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 位：亩)分别为( )． A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
考点自测
1．不等式 2x－y≥0 表示的平面区域是( )．
2．(2012· 南安期末)在平面直角坐标系中，不等式组
x＋y－2≥0， x－y＋2≥0， x≤2
表示的平面区域的面积是(
)．
A．4 2 B．4 C．2 2 D．2 3．(2012· 广东)已知变量 x，y 满足约束条件 y≤2，x＋y≥1，x－y≤1， 则 z＝3x＋y 的最大值为( A．12 B．11 C．3 D．－1
解 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x、y 亩，
则总利润 z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y. x＋y≤50， 此时 x、y 满足条件1.2x＋0.9y≤54， x，y∈N＋， 画出可行域如图，
得最优解为 A(划中参变量问题
考点梳理
2．线性规划的有关概念
意义 由 x， 的一次不等式(或方程)组成的不等式组， y 是对 x， 线性约束条件 y 的约束条件 目标函数 关于 x、y 的解析式 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足____________的解(x，y) 可行域 所有___________组成的集合 线性约束条件 最优解 使目标函数达到________或________的可行解 可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的______或______ 最大值 线性规划问题 最小值 的问题 名称