基于有限元法的永磁球形电动机三维瞬态分析

基于有限元法的永磁球形电动机三维瞬态分析[摘要]为了分析永磁球形电动机三维瞬态特性，采用有限元法对电机特性进行了相关的研究。

本文介绍了有限元法的基本原理以及Ansoft公司的Maxwell 3D瞬态场计算原理。

建立了永磁球形电动机三维有限元模型，设置运动区域，仿真分析得到转矩，绕组磁链以及电机反电势动态特性。

为了研究相关电机参数对瞬态特性影响，给出不同的绕组电流和转子转速并进行对比，得出不同的电机参数对电机瞬态特性有一定的影响。

[关键词]球形电动机有限元法瞬态分析转矩特性0引言当前应用广泛的机器人、机械手主要靠多台单自由度元件进行配合，这种装置有很大的缺点，比如体积庞大，精密度低，动、静态性能差等。

为了改善系统的性能，国内外学者将研究重点放到了球形电动机的研究上。

球形电动机可以大大简化机构的复杂度，提高定位精度和响应速度，缩小机构体积，从而达到快速定位的目的。

因此，球形电动机的研究有着广阔的前景。

早些年，国内外关于球形电动机的研究主要包括：Laithwaite等人的感应型球形电动机[1]，Kok-Meng Lee等人的变磁阻型球形电动机[2]，Kaneko首先提出的球形直流电动机，华中理工大学提出的双馈型球形电动机等[3]。

但近年来，随着永磁材料的日益发展和在电机中的广泛应用，具有多自由度的永磁式球形电动机由于具有体积小、重量轻、力能指标高、控制简单的优点，已经成为多自由度电动机研究的热点之一。

合肥工业大学对永磁步进电动机进行了一系列的研究[4-6]。

新加坡南洋理工大学研制了一台三自由度永磁球形电动机，并对其进了建模和设计[7-10]。

天津大学将Halbach阵列应用到永磁球形电动机上，来改善电机的电磁场分布，使气隙磁场的波形更接近于正弦波形，提高了电机的运行性能[11-15]。

但目前关于永磁球形电动机磁场和转矩特性的分析基本是围绕其稳态特性进行的分析。

在实际的电磁场问题中，不仅要进行稳态工况和某个暂态时刻工况的分析，有时还需要对某一时间段内的暂态工况进行分析，得到所关心的宏观电气参量或微观电磁参量与时间的瞬时关系。

对于这种瞬时关系的仿真就必须借助瞬态磁场计算，本文便是围绕永磁球形电动机的瞬态特性进行的仿真分析。

首先建立永磁球形电动机三维模型，然后利用有限元法对建立的三维模型进行瞬态分析得出其瞬态特性。

1永磁球形电动机瞬态分析的理论基础1.1有限元法基本原理电机的电磁场数值分析主要采用有限元法、边界元法和有限差分法，其中，最有效、应用最广泛的是有限元法。

有限元法有其特殊的优点，包括特殊的数据压缩存贮方法可节约大量的计算机内存和CPU时间；可以解决几何形状复杂的电机电磁场问题；可适用于有多种材料组成、内部具有较多媒质分界面的电机电磁场分析；可较好的处理非线性问题。

有限元法是以变分原理和近似插值离散为基础的一种数值计算方法。

该方法首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是泛函极值问题，然后利用对场域的网格剖分离散和在单元上对场函数的插值近似，将变分问题转化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一个代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。

对于计算静电场问题的泊松方程在场域为Ω时，它的等价泛函为即使得该泛函取得极值的函数必满足方程（1）。

因此，求解方程（1）问题转化成了求解式（2）所示的泛函极值问题。

若将场域Ω离散化，即划分为许多个小体积（单元），且在每个单元内将电位的分布近似看作是线性变化的，即单元内各点的电位由该单元各顶点电位线性表示，因此，式（2）中对场域Ω的积分可以变为在各单元上的积分之和。

由于给出了电位函数的近似表达式，各单元上的积分则可以求出，从而式（2）可以变为一个不存在积分的一个多元函数，即式中S、G 为已知系数矩阵。

为使函数I（）取得极值，仅需使式（3）所示的多元函数对每个自变量的导数为零，即I（φ）=0（i=1，2….，n）从而可得到一个以单元节点上电位为未知量的方程组，其矩阵形式为求解该代数方程组，即可得到各节点的电位值，进而可以通过节点电位求得单元的电场强度。

这就是有限元法的理论基础。

1.2 Maxwell 3D瞬态场计算原理Maxwell 3D是Ansoft公司推出的一种强大、准确的三维电磁、机电和温度场的分析软件，采用有限元法计算电场、直流磁场和交流涡流场。

其建模简单快捷，抛弃了原始的点线面体的构架，后处理场图的三维显示也是众多软件中的佼佼者。

本文便是利用Ansoft公司的有限元软件Maxwell 3D对永磁球形电动机进行的瞬间磁场分析。

在三维瞬态场中采用的是T-Ω算法，但是可以采用局部剖分法来计算三维瞬态运动所带来的效应。

对于低频瞬态磁场，麦克斯韦方程组可以写成（5）。

在式（5）的基础上，可以构造出两个恒等式，如式（6）所示。

在求解三维瞬态磁场时，其棱边上的矢量位自由度采用了一阶元计算，而节点上的标量位自由度采用二阶元计算。

在三维瞬态磁场中，可以调用电压源或电流源作为模型激励源，而绕组又分为两种，一种是绞线型绕组，一种是实体绕组。

其中绞线绕组不考虑涡流分布，认为绕组内的电密是完全均匀的，实体绕组则需要计算其趋肤效应。

在施加电压源时，绕组上的电流并不知道，所以需要进行绕组回路上的电压计算。

对于绞线型绕组，因其电阻值是一个集中参数，所以在外加电压源的时候，可以直接由电压源和直流电阻计算得到电流的数值，而对于实体线圈，因为其电阻值与频率、材料等有关，所以该电阻也称作交流电阻。

在对实体线圈施加电压源的时候其交流电阻值并不知道，Ansoft是先按照式（7）进行计算的。

其中J0i 是第i个回路上的电密，同样包含X、Y、Z三个方向上的分量。

如果是变化的磁场，那么还应该计算绕组反电势，反电势可以按照式（8）计算。

在三维瞬态场中，瞬态包含两个含义，一个是瞬态的电磁过程，一个是瞬态的机械过程。

在处理机械瞬态过程中，需要引入对位移或角度的离散计算，其离散格式可按照式（9）描述。

其中的x表示机械位移量，可以是距离也可以是角度。

以上便是三维瞬态场计算原理。

2永磁球形电动机三维有限元建模利用Ansoft软件建立永磁球形电动机三维实体模型，并对其进行有限元剖分。

球形电动机定子壁沿赤道均匀分布三层圆柱形无铁心定子线圈，每层12个线圈，转子为球形，环圆周一共12极，其极性交替排列。

永磁体采用平行充磁方式。

表1给出了模型参数。

图1是永磁球形电动机三维实体模型。

图2是有限元剖分示意图。

为了减小计算量，只对赤道上的单个定子线圈进行充电。

由于是对球形电动机进行瞬态分析，需建立Band区域包围三维模型，并设立Band区域运动方式为绕z轴的旋转运动，转速设定为20 rpm。

3仿真结果分析建立好三维有限元模型后，还需先设定求解器参数，这里将仿真时间设置为1s，间隔时间设为0.2s，为了使计算结果精确将计算步长设置为0.02s。

接着，模型和参数均检查无误后，开始运行，得到仿真结果。

3.1定转子相对位置和瞬态磁场分析图3中分别显示了t=0s，t=0.2s，t=0.6时定转子的相对位置以及磁场分布图。

从上面三幅对比图中可以看出定转子的相对位置在随时间的变化而发生变化。

当t=0s时定子位于两块磁极的交线处，且此时磁场强度最强。

当t=0.6s时定子的中心线几乎与转子中的一块磁极的中心重合，此时磁场强度最弱。

图4显示了定转子相对位置角随时间的变化曲线。

3.2转矩特性和电磁力分析图五给出了电磁转矩随时间变化的波形图，从图中可以看出电磁转矩特性按余弦规律分布。

这与文献中研究的永磁球形电动机稳态转矩特性是一致的。

在文献[13]中，转矩值随着定转子相对角度的变化而发生变化，在瞬态分析中，由于定转子相对位置随时间发生变化，从而转矩值也相应的发生变化。

从图5中可以看出，当t=0s和t=0.4s时转矩值接近于正向最大值，这是因为当t=0s和t=0.4s 时定子刚好位于两个永磁体这间的交界面，定转子极轴线互相垂直，电机电磁转矩值位于波峰，为正向最大静转矩；而当t=0.2s和t=0.6s时定转子极轴线互相垂直但极性，电磁转矩值位于波谷，为反向最大静转矩；而当t=0.1s和t=0.3s时定子极轴线与转子极轴线重合，此时电磁转矩为零。

图6给出了定子线圈在z轴方向上的受力波形图。

3.3绕组磁链和反电势分析图7中给出了定子绕组磁链随时间变化曲线，从图中可以看出磁链随时间呈正弦分布。

且当t=0.1s和t=0.5s时绕组磁链接近于波峰，而当t=0.3s和t=0.7s时绕阻磁链接近于波谷。

图8给出了电动机反电势随时间变化曲线，从图中可以看出电动机刚开始旋转时反电势较大，当状态稳定后，反电势急剧下降且特性趋近于正弦波变化。

4电机参数对瞬态特性影响分析由于瞬态特性分析的是当电动机转动时电动机转矩特性随时间的变化关系。

所以接下来研究一下绕组电流和转子转速变化时，电动机转矩特性随时间变化关系。

4.1绕组电流变化时瞬态特性分析上面分析了当定子线圈通电电流为2000A恒定电流时相应的瞬态特性，接下来保持转子转速为20rpm不变，将定子电流通上正弦交流电，I=2000sin（8t）A，进行仿真分析得出相应的瞬态转矩特性。

定子绕组电流波形图如图9所示。

电磁转矩随时间变化波形图如图10所示。

对比图5和图10可以看出当绕组通以正弦交流电时，转矩的变化已不是近似余弦变化，而是呈现多个波峰和波谷的不规则变化。

当t=0.2s时转矩接近于波谷的位置，处于负向最大值；当t=0.6s时，转矩接近于波峰的位置，处于正向最大值。

4.2转子转速变化时瞬态特性分析接下来分析当绕组电流保持2000A不变时，将转速提高到120rpm时相应的瞬态转矩特性。

图11给出了当速度改变时定转子相对位置的变化波形。

而相应的电磁转矩随时间变化波形图如图12所示。

对比图5和图12可以看出当转子转速提高时，电磁转矩的变化频率加快，在同一个时间段出现多个波峰和波谷，但在每一个周期内波形变化与图5是一致的。

5结论在实际电磁场问题中，常常会遇到电压、电流、外加场是无规则变化的，被求解问题随时间做一定有规则的运动，以及所加载激励是时间、位置或者速度的函数关系，这样的问题采用静态场是解决不了的，为了研究永磁球形电动机的动态特性，本文建立了一种永磁球形电动机的三维模型，并用Ansoft软件对该三维模型进行有限元剖分，并仿真分析得出永磁球形电动机三维瞬态特性，得到永磁球形电动机转矩特性随时间变化波形以及绕阻磁链和电动机反电势随时间变化规律。

并且研究讨论了相关电机参数对永磁球形电动机动态特性的影响。

因此，对永磁球形电动机进行瞬态特性分析为进一步研究永磁球形电动机运动特性以及磁场特性建立了相应的理论基础。