极点分布与系统稳定性研究
极点及系统稳定性
极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。
连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。
传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。
如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。
下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：1n a s -+++系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。
每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。
只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。
因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。
如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。
判断系统稳定性
摘要现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。
根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。
本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。
关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。
一、设计原理1.设计要求（1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。
（2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。
（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性（4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等）2、系统稳定性、特性分析进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。
采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。
诸如zplane、impz、stepz、freqz等。
对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。
当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。
系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。
由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。
系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
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信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
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信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
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信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
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信号与系统
幅频特性： 相频特性：
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信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
实验二：系统稳定性和稳态性能分析
实验二：系统稳定性和稳态性能分析主要内容：自动控制系统稳定性和稳态性能分析上机实验目的与要求：熟悉 MATLAB 软件对系统稳定性分析的基本命令语句 熟悉 MATLAB 软件对系统误差分析的 Simuink 仿真 通过编程或 Simuink 仿真完成系统稳定性和稳态性能分析一 实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二 实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用 MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
（2）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)k s G s s s s s +=+++，当取k =1，10，100用MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性。
只要将（1）代码中的k 值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性，并讨论系统增益k 变化对系统稳定性的影响。
2、稳态误差分析（1）已知如图所示的控制系统。
其中2(5)()(10)s G s s s +=+，试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。
从 Simulink 图形库浏览器中拖曳Sum （求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope （示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如右上图所示：（2）若将系统变为I 型系统，5()(10)G s s s =+，在阶跃输入、斜坡输入和加速度信号输入作用下，通过仿真来分析系统的稳态误差。
系统函数零极点时域特性和稳定性
若 pi为k阶极点，则 pi Ki1tk1 Ki2tk2
Ki(k1)t Kik e pit
②典型情况
ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t)
0
0t
1 h(t) u(t) s
pi =0 （二阶）
j
h(t)
0
0t
1 s2
h(t)
tu(t)
ⅱ) pi<0（实一阶）
j
a
0
h(t)
0t
1 eatu(t) sa
自由响应 齐次解
零输入响应 齐次解的一部分
强迫响应 特解
零状态响应 齐次解的一部分+特解
2．Ki , Kk 均由 pi , pk共同作用，即 自由响应：形式只由H(s)决定，幅度相位由H(s), E(s)共同决定 强迫响应：形式只由E(s)决定，幅度相位由H(s), E(s)共同决定
3．固有频率(自由频率)：系统行列式(系统特征方程)的根， 反映全部自由响应的形式
④∞处： 分母次数 > 分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数 分母次数 < 分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数
注意：零、极点个数相同
⑤零极点图中：×表示极点；○表示零点
[例1]： ①
H
(s)
s[(s 1)2 (s 1)2 (s2
1] 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶）
pi<0（实二阶）
j
a
0
h(t)
0t
(s
1 a)2
teatu(t)
起始增加，最终收敛
ⅲ) pi>0（实一阶）
j
h(t)
Matlab中的稳定性分析与控制设计方法
Matlab中的稳定性分析与控制设计方法简介：Matlab是一种功能强大的数值计算和科学编程平台，被广泛应用于控制系统设计和分析领域。
本文将介绍Matlab中的稳定性分析和控制设计方法，探讨如何利用Matlab进行系统稳定性分析、控制器设计和性能优化。
一、系统稳定性分析1. 稳定性概念稳定性是控制系统设计中一个重要的指标，指系统在一定输入下是否趋向于稳定的状态。
在Matlab中，我们可以使用稳定性分析工具箱来分析系统的稳定性。
该工具箱提供了多种稳定性判据和计算方法，如时间响应法、频率响应法和根轨迹法等。
2. 时间响应法时间响应法是一种使用系统的输入信号与输出响应之间的时域关系来分析系统稳定性的方法。
在Matlab中，我们可以使用step()函数来绘制系统的阶跃响应图，并通过观察图形来判断系统是否稳定。
此外，还可以使用impulse()函数来绘制系统的冲击响应图，以进一步验证系统的稳定性。
3. 频率响应法频率响应法是一种使用系统的输入信号与输出响应之间的频域关系来分析系统稳定性的方法。
在Matlab中，我们可以使用bode()函数来绘制系统的频率响应图，该图显示了系统在不同频率下的增益和相位特性。
通过分析频率响应图，我们可以判断系统是否存在频率特性上的不稳定性。
4. 根轨迹法根轨迹法是一种使用系统的传递函数的零点和极点分布来分析系统稳定性的方法。
在Matlab中，我们可以使用rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，该图显示了系统的极点随控制参数变化时的轨迹。
通过分析根轨迹图，我们可以确定系统的稳定边界和稳定性。
二、控制器设计方法1. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器设计方法，可以实现对系统的稳定性和性能进行调节。
在Matlab中，我们可以使用pidtool()函数来设计PID控制器。
该工具提供了可视化界面，可以通过调整参数来优化控制器的性能。
同时，Matlab还提供了pid()函数和tf()函数等用于创建PID控制器和传递函数模型的函数。
系统函数零极点时域特性和稳定性
1 h(t) 0 设：e(t) sgn[h(t)] 0 h(t) 0
1 h(t) 0
则 e(t) 1有界，e(t)h(t) h(t)
r(t) e(t) h(t) h( )e(t )d
r(0) h( )e( )d h( ) d
若 h(t) dt无界,则r(0)也无界 对某种有界e(t )
6.
因果稳定系统充要条件：
h(t) h(t)u(t)
0
h(t)
dt
M
7．BIBO稳定性把H(s)稳定性中的临界稳定性判为不稳定
h(t)=A或等幅振荡代表不满足绝对可积条件
[例3]：
H (s)
sin(0t )u (t )
s
s2 2
R(s)
s2
s
02
0 s2 02
r (t )
1 2
t
sin(0t )u (t )
n i 1
ki s pi
h(t)
n
hi (t)
i 1
n
ki e Pi t
i 1
故： pi e pit
若 pi为k阶极点，则 pi Ki1tk1 Ki2tk2
Ki(k1)t Kik e pit
②典型情况
ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t)
0
0t
1 h(t) u(t) s
pi =0 （二阶）
r (t )
[例4]：K 取何值时系统稳定、临界稳定？
+
V1 ( s) -
G(s)
1
(s 2)(s 1)
V2 (s)
K
解：V2 (s) [V1(s) KV2 (s)]G(s) 1
V2 (s) G(s) (s 1)( s 2)
浅谈线性系统稳定性的判断
IT 大视野Digital Space P .45浅谈线性系统稳定性的判断张涛 贵阳学院电子与通信工程学院摘要：系统的稳定性是我们设计系统时必学考虑的一项重要技术指标，在绝大多数情况下，我们都希望我们设计的系统是稳定的，线性系统又是最简单也是最重要的系统，我们学习系统分析和设计都是从线性系统开始的，所以学会和掌握判断线性系统的稳定性尤为重要，本文探讨如何判断一个系统是否为稳定，并结合MATLAB 软件仿真来使读者对稳定性判断依据有一个直观认识。
关键词：线性系统 稳定性 判断系统稳定性是我们分析和设计系统时必须考虑的问题，可以说我们设计的所有的系统都离不开稳定性这一技术。
那么怎么判断一个系统是否稳定呢，下面我们来看看稳定性的判断依据，通过举例探讨如何利用这些依据来判断系统是否稳定。
1系统稳定性的判断依据连续时间系统稳定性的充要条件是①离散时间系统稳定性的充要条件是②其中：，分别代表连续时间系统和离散时间系统的冲激响应。
上面两个判断公式要做积分或求和，比较麻烦。
对于线性时不变因果系统还可根据系统函数的极点分布情况进行判断，这样避免了复杂的计算。
对于连续时间系统的系统函数 的极点都在s 平面的左半平面，则系统稳定。
离散时间系统 的全部极点在单位圆内时，系统稳定。
2 举例说明如何判断一个系统是稳定系统下面结合一些具体例子来探讨如何判断一个系统是稳定系统。
例1已知一因果的线性时不变系统的冲激响应为，判断系统是否稳定？ 由于，当时，系统稳定；当时，系统不稳定。
例2已知平均滑动系统的冲激响应为判断该系统是否稳定？，所以系统稳定。
这两个例子都是利用时域范围内的判断方法，下面我们结合MATLAB 运用变换域的方法，即通过系统函数极点所处的位置来判断系统的稳定性。
例2已知系统函数为，判断该系统是否稳定？利用MATLAB 计算出系统函数的极点为poles = -1 -0.5 + 0.86603i -0.5 - 0.86603i 三个极点均在s 平面的左半平面，说明系统稳定。