3力矩与力偶理论
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第三章力矩和力偶
作用的唯一量度。可用上图所示的符号表 示。M为力偶的矩。
4.空间力偶 空间力偶 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体 刚体的作用效果决定于下列三个因素 刚体 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
解得
例2 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆 BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩 为 ，OA ＝ r = 0.5 m。图示位置时OA与OB垂 直， 。且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩及铰链 O、B处的约束反力。 解：取圆轮为研究 对象。
解得
以摇杆BC为研究对象。
§3-4 力的平移
3.平面力偶的等效定理 平面力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩大小相等，转向 相同，则两力偶彼此等效。
推 论： (1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它 对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作 用面内的位置无关。 (2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对 刚体的作用。
当力系平衡时，各力对任—点O之矩的代数和皆为零。即
注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。
§3–2 2
力偶和力偶矩
等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共 线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。
:由两个大小相等 方向相反 不共线 平行 大小相等、方向相反 不共线的平行 力偶 大小相等 方向相反且不共线 力组成的力系。 力偶臂d： 力偶臂 ：力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面： 力偶的作用面：力偶所在的平面。
力矩的单位常用N·m或kN·m。
4.空间力偶 空间力偶 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体 刚体的作用效果决定于下列三个因素 刚体 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
解得
例2 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆 BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩 为 ，OA ＝ r = 0.5 m。图示位置时OA与OB垂 直， 。且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩及铰链 O、B处的约束反力。 解：取圆轮为研究 对象。
解得
以摇杆BC为研究对象。
§3-4 力的平移
3.平面力偶的等效定理 平面力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩大小相等，转向 相同，则两力偶彼此等效。
推 论： (1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它 对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作 用面内的位置无关。 (2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对 刚体的作用。
当力系平衡时，各力对任—点O之矩的代数和皆为零。即
注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。
§3–2 2
力偶和力偶矩
等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共 线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。
:由两个大小相等 方向相反 不共线 平行 大小相等、方向相反 不共线的平行 力偶 大小相等 方向相反且不共线 力组成的力系。 力偶臂d： 力偶臂 ：力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面： 力偶的作用面：力偶所在的平面。
力矩的单位常用N·m或kN·m。
1-3力矩和力偶
第一章
1-3 力矩和力偶
学习目标
2
例题解析
知识要点
强化训练
1、了解力矩和力偶的概念 2、掌握力矩和力偶的计算方法
（一）力矩和力矩平衡条件 为了度量力使物体转动效应的大小而引进力矩的概念
1.力矩力矩等于从该点到力作用线上任一矢径与该力的矢量积，其转动效果由两个因素决定：
(1)力的大小与力臂的乘积；(2)力使物体绕点O的转动方向。力矩用M(F)表示。
1、力偶与力矩对物体的转动效果相同。（） [分析]正确，了解力和力偶性质虽不同，但有相同效果 2、作用于刚体上的力，其作用线可在刚体上任意平行移动，其作用效果不变。（） [分析]错误，熟悉力平移定理的正确定义，力平移时必须附加一个力偶 3、平面力偶系平衡充要件是：合力偶矩等于零。( ) [分析]正确，熟悉力偶系平衡条件选择 1、在平面中，力矩为零的条件是( ) A。力等于零B。力和力臂都不为零C。力与力臂乘积不为零D。力不过矩心 [分析]选A，明确力矩的两个因素
3n 4m
6n
6n
2m
=
=
3n
12n.m
4、平面力偶系平衡条件 平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零
5、力的平移定理 把作用在刚体上点A的力F平行移到一点B，但同时必需附加一个力偶，这个附加偶的矩 等原来的力F对新作用点B的矩 M＝B
F
F
F
B
A
B
A
＝
F
F
A
B
＝
M
1.力矩的单位由力和力臂的单位决定，在国际单位制中用N·m [分析]本题要求熟悉力矩的单位 2.力矩平衡条件是：作用在物体上各力对转动中心的力矩的代数和等于零。 即合力矩等于零公式表示为Mo(F)=0 [分析]本题要求掌握力矩平衡条件的定义和表达式 3.物体受到大小相等，方向相反，作用线平行的二力所组成力系称为力偶 [分析]本题要求了解力偶的定义，并理解其含义 4.力对物体的作用，既能使物体移动，又能使物体转动 [分析]本题要求了解两种不同的力对物体的作用效果
1-3 力矩和力偶
学习目标
2
例题解析
知识要点
强化训练
1、了解力矩和力偶的概念 2、掌握力矩和力偶的计算方法
（一）力矩和力矩平衡条件 为了度量力使物体转动效应的大小而引进力矩的概念
1.力矩力矩等于从该点到力作用线上任一矢径与该力的矢量积，其转动效果由两个因素决定：
(1)力的大小与力臂的乘积；(2)力使物体绕点O的转动方向。力矩用M(F)表示。
1、力偶与力矩对物体的转动效果相同。（） [分析]正确，了解力和力偶性质虽不同，但有相同效果 2、作用于刚体上的力，其作用线可在刚体上任意平行移动，其作用效果不变。（） [分析]错误，熟悉力平移定理的正确定义，力平移时必须附加一个力偶 3、平面力偶系平衡充要件是：合力偶矩等于零。( ) [分析]正确，熟悉力偶系平衡条件选择 1、在平面中，力矩为零的条件是( ) A。力等于零B。力和力臂都不为零C。力与力臂乘积不为零D。力不过矩心 [分析]选A，明确力矩的两个因素
3n 4m
6n
6n
2m
=
=
3n
12n.m
4、平面力偶系平衡条件 平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零
5、力的平移定理 把作用在刚体上点A的力F平行移到一点B，但同时必需附加一个力偶，这个附加偶的矩 等原来的力F对新作用点B的矩 M＝B
F
F
F
B
A
B
A
＝
F
F
A
B
＝
M
1.力矩的单位由力和力臂的单位决定，在国际单位制中用N·m [分析]本题要求熟悉力矩的单位 2.力矩平衡条件是：作用在物体上各力对转动中心的力矩的代数和等于零。 即合力矩等于零公式表示为Mo(F)=0 [分析]本题要求掌握力矩平衡条件的定义和表达式 3.物体受到大小相等，方向相反，作用线平行的二力所组成力系称为力偶 [分析]本题要求了解力偶的定义，并理解其含义 4.力对物体的作用，既能使物体移动，又能使物体转动 [分析]本题要求了解两种不同的力对物体的作用效果
项目三 力矩和力偶
平面力偶系合成以后，只有当合力偶矩等于零时，力偶系 才平衡。因此，平面力系的平衡条件是：力偶系中各分力偶的 力偶的力偶矩代数和为零
M=0
三、平面力系中的合成与平衡 作用在同一物体上的几个力偶称为力偶系。作用在同一平 面内的力偶称为平面力偶系。 由于力偶的特性可以推断，力偶系合成的结果必定是一个 合理偶，如果已知平面力系中各个力偶的力偶矩为M1、 M2…Mn,则合力偶的力偶矩M为各个分力偶的代数和。
M M 1 M 2 ... Mn = Min
O点称为力矩中心(简称矩心)；O点到力F作用线的垂直距 离Lh，称为力臂。式子中的正负表示力矩的方向。一般规定： 力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩取正值符号，反 之为负号，力矩的单位常用N〃m或KN〃m 当力的作用线通过矩心时，因其力力臂为零故力矩等于零， 这时，力不可能使物体绕矩心转动。 当力沿其作用线移动时，因为力矩不变，故力矩也不变，力 对物体的转动效果也不变。
解：分解力F到垂直手柄的力F1 和沿手柄方向的力F2
MA(F ) MA(F 1) MA(F 2) F 1L1 F 2L 2 FL1 cos 15
=-39.7 N.m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动
力矩和力偶
二、力偶和力偶矩 1.力偶和力偶矩 司机转动反向盘和钳工使用丝锥攻螺纹时，方向盘和丝锥 铰杠上通常受到大小相等、方向相反、作用线不在一条直线 上的两个平行力的作用。 在同一物体上作用等值反向的两个平行力，力的矢量和显 然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，是物体产 生转动。这种由大小相等、方向相反、作用线平行但不重合 的二力组成的力系称为力偶， 记作 （ F 、 。力偶中 F、 ） 二力之间的距离Ld称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的 作用面。
M=0
三、平面力系中的合成与平衡 作用在同一物体上的几个力偶称为力偶系。作用在同一平 面内的力偶称为平面力偶系。 由于力偶的特性可以推断，力偶系合成的结果必定是一个 合理偶，如果已知平面力系中各个力偶的力偶矩为M1、 M2…Mn,则合力偶的力偶矩M为各个分力偶的代数和。
M M 1 M 2 ... Mn = Min
O点称为力矩中心(简称矩心)；O点到力F作用线的垂直距 离Lh，称为力臂。式子中的正负表示力矩的方向。一般规定： 力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩取正值符号，反 之为负号，力矩的单位常用N〃m或KN〃m 当力的作用线通过矩心时，因其力力臂为零故力矩等于零， 这时，力不可能使物体绕矩心转动。 当力沿其作用线移动时，因为力矩不变，故力矩也不变，力 对物体的转动效果也不变。
解：分解力F到垂直手柄的力F1 和沿手柄方向的力F2
MA(F ) MA(F 1) MA(F 2) F 1L1 F 2L 2 FL1 cos 15
=-39.7 N.m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动
力矩和力偶
二、力偶和力偶矩 1.力偶和力偶矩 司机转动反向盘和钳工使用丝锥攻螺纹时，方向盘和丝锥 铰杠上通常受到大小相等、方向相反、作用线不在一条直线 上的两个平行力的作用。 在同一物体上作用等值反向的两个平行力，力的矢量和显 然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，是物体产 生转动。这种由大小相等、方向相反、作用线平行但不重合 的二力组成的力系称为力偶， 记作 （ F 、 。力偶中 F、 ） 二力之间的距离Ld称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的 作用面。
力矩与力偶理论资料
O
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
§3-3 力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
D
ND
§3-3 力偶系的合成与平衡
一、力偶系的合成
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
M m1 m2 mm m
§3-3 力偶系的合成与平衡
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
m 0
平衡方程的投影形式
mx 0 my 0 mz 0
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41.2N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx
2 ly
2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, j
Lx cosL, i 0, L
F Xi Yj Zk
则：：
i X
j Y
k Z
m0 ( F ) x 单位 y z
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
[m0 ( F )]x yZ zY [m0 ( F )] y zX xZ [ m0 ( F )]z xY yX
§3–1 力对点之矩
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
第三章 力矩和力偶理论
力偶－－两大小相等的反向平行力
o F’
B
m F
d
A
力偶没有合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力 与之平衡。它是力学中的又一基本要素，其作用使物体 发生转动，以力偶矩表示。
m(F , F ) mo (F ) mo (F ) F OA F OB Fd
m + 逆时针 – 顺时针
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
2. 力对轴之矩
力对轴之矩等于力在垂直于该轴 的平面上的投影对轴和平面的交 点之矩
m z ( F ) mo ( Fxy ) Fxy h 2 Aoab
F
z Fz a mz(F) o
Fxy
mx 0
my 0
mz 0
三个方程，解三个未知量。 一个方程，解一个未知量。
p.9
平面力偶系的平衡条件
m 0
理论力学
理论力学
本章主要内容
一、力矩和合力矩定理
1. 力对点之矩 2. 力对轴之矩
3. 力对点之矩和力对轴之矩的关系
4. 合力矩定理
二、力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
p.5
理论力学
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
4. 合力矩定理
mo ( R) mo ( F1 ) mo ( F2 ) mo ( Fn ) mo ( F ) m z ( R) m z ( F1 ) m z ( F2 ) m z ( Fn ) mz (F )
o F’
B
m F
d
A
力偶没有合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力 与之平衡。它是力学中的又一基本要素，其作用使物体 发生转动，以力偶矩表示。
m(F , F ) mo (F ) mo (F ) F OA F OB Fd
m + 逆时针 – 顺时针
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
2. 力对轴之矩
力对轴之矩等于力在垂直于该轴 的平面上的投影对轴和平面的交 点之矩
m z ( F ) mo ( Fxy ) Fxy h 2 Aoab
F
z Fz a mz(F) o
Fxy
mx 0
my 0
mz 0
三个方程，解三个未知量。 一个方程，解一个未知量。
p.9
平面力偶系的平衡条件
m 0
理论力学
理论力学
本章主要内容
一、力矩和合力矩定理
1. 力对点之矩 2. 力对轴之矩
3. 力对点之矩和力对轴之矩的关系
4. 合力矩定理
二、力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
p.5
理论力学
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
4. 合力矩定理
mo ( R) mo ( F1 ) mo ( F2 ) mo ( Fn ) mo ( F ) m z ( R) m z ( F1 ) m z ( F2 ) m z ( Fn ) mz (F )
第三章 力矩理论与力偶理论
M2
例3-3 已知:F，q，b及六面体的边长a,b,h。试求力F对轴x的矩。 解： 利用力矩关系定理 力F对点O的矩
x
zF
b
q M O bk F F Fx i Fy j Fz k O F cos q cos bi F cos q sin bj F sin qk M O bF cosq (sin bi cos bj )
ix iy iz
M
i
0
例3-3：结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的 约束力小,并确定约束力的方向（不计构件自重）
解:
1、研究OA杆 A
2、研究AB杆 A
M
B
F
O
M
（A）
B
F F
O
（B）
F
例3-4：图示杆BC上固定销子可在杆AD的光滑直槽中滑动， 已知：L=0.2m，M1=200N· m，a300，求：平衡时M2。
第三章
一、力对点的矩 1、平面
力矩理论与力偶理论
§3-1 力矩理论
0:矩心，d：力臂
M 0 (F)= ±Fd
单位：kN· m
+ _
2、空间
定义:
z
Байду номын сангаас
2）方向按右手法则（r F）确定；
3）作用在点O。 解析表达式： r xi yj zk ,
1）其大小；M O ( F ) F d 2 AOAB
合力偶矩矢的方向余弦
cos M , i 0.6786 cos M , j 0.2811 cos M,k 0.6786
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
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O
F3 F1
y
l1 l2
x
45° 45°
l3
y
O
F1
解：
x
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影：
§3-3 力偶系的合成与平衡
Lx l1x l2 x l3 x 0
Ly L1 y l2 y l3 y 0 10 30 cos 45 11 .2 N m
d
小与力偶臂d 的乘积，加上
适当的正负号。
l Fd
F2
F1
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩 取正号；反之，取负号。 量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§3–2 力偶与力偶矩
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等
效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
F X i Yj Z k
则：：
i j k z Z m 0 ( F ) x 单位 y X Y
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
[ m 0 ( F )] x y Z zY [ m 0 ( F )] y zX x Z [ m 0 ( F )] z x Y y X
§3-3 力偶系的合成与平衡
例题 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上 分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶，而使机构在图示位 置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不 计杆重，试求 l1 和 l2 间的关系。
B A A O
α
SAB
l1
SBA
B
l1
l2
NO D
cosL, j
Lx L
0,
l2
l1
45° 45°
l3
y
O
Ly L
0.262 ,
cosL, k
Lz L
0.965 ,
L, k 15 12 '
需加一力偶，其矩矢为l4=-L
§3–4 力的平移定理
作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必 须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原力 对平移点的矩
力偶系的合成与平衡
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
M m1 m2 mm m
§3-3 力偶系的合成与平衡
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
m 0
平衡方程的投影形式
mx 0 my 0 mz 0
例题 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧 面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F1）的矩l1=20N•m； 力偶（F2 ，F2）的矩l2=20 N•m；力偶（F3 ，F3）的矩 l3=20 N•m。试求合力偶矩矢L。又问使这个刚体平衡，还须施 加怎样一个力偶。
z
F2
z
F2 F3
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
§3-3 力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S AB r cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
D
ND
§3-3 力偶系的合成与平衡
l
F
(3)、力偶作用面的方位。 3、符号：m(l)
右手规则
§3–2 力偶与力偶矩
4、力偶矩矢与力矢的区别 力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。 m 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。 5、力偶等效定理又可陈述为: 力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§3–2 力偶与力偶矩
§3-3
一、力偶系的合成
m0 (F ) Fd 单位：牛-米(N-m)， 千牛-米(KN-m)
性质：
单位 1。当力沿其作用线移动时，力对点之矩不变
2。当力等于零或力作用线通过矩心时，力对点之 矩为零。
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
m0 (F ) r F
其中：
r x i yj zk
第三章
力矩及力偶理论
第 三 章
基 本 力 系
§3–1
力对点之矩
§3–2
§3–3 §3–4
力偶与力偶矩
力偶系的合成与平衡 力的平移定理
§3–1 力对点之矩
一、 力对点之矩 力对点之矩——设平面内任取一点O(矩 心)，O点到力 F 作用线的距离称为力臂 ，则力F 使物体绕O点的转动效应定义为 力对点之矩。
小结
1、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件
求解力偶系的平衡问题
作业
3—2、 4、 9
§3–1 力对点之矩
三、 合力矩定理
m 0 ( R ) rA R rA ( F1 F 2 ) rA F1 rA F 2 m 0 ( F1 ) m 0 ( F 2 )
合力对任一点的矩矢等于其分力对同一点 的矩矢的矢量和
§3–2 力偶与力偶矩
一、 力偶和力偶矩 1、力偶——大小相等的二反向平行力。
F
d d
F
=
§3–2 力偶与力偶矩
2. 平行平面内力偶的等效条件 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
§3–2 力偶与力偶矩
§3–2 力偶与力偶矩
三、力偶矩矢 1、概念：
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。 2、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。
F
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41 .2 N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx 2 ly 2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, i
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素 。 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
§3–2 力偶与力偶矩
工程实例
§3–2 力偶与力偶矩
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线 之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大
F3 F1
y
l1 l2
x
45° 45°
l3
y
O
F1
解：
x
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影：
§3-3 力偶系的合成与平衡
Lx l1x l2 x l3 x 0
Ly L1 y l2 y l3 y 0 10 30 cos 45 11 .2 N m
d
小与力偶臂d 的乘积，加上
适当的正负号。
l Fd
F2
F1
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩 取正号；反之，取负号。 量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§3–2 力偶与力偶矩
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等
效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
F X i Yj Z k
则：：
i j k z Z m 0 ( F ) x 单位 y X Y
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
[ m 0 ( F )] x y Z zY [ m 0 ( F )] y zX x Z [ m 0 ( F )] z x Y y X
§3-3 力偶系的合成与平衡
例题 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上 分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶，而使机构在图示位 置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不 计杆重，试求 l1 和 l2 间的关系。
B A A O
α
SAB
l1
SBA
B
l1
l2
NO D
cosL, j
Lx L
0,
l2
l1
45° 45°
l3
y
O
Ly L
0.262 ,
cosL, k
Lz L
0.965 ,
L, k 15 12 '
需加一力偶，其矩矢为l4=-L
§3–4 力的平移定理
作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必 须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原力 对平移点的矩
力偶系的合成与平衡
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
M m1 m2 mm m
§3-3 力偶系的合成与平衡
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
m 0
平衡方程的投影形式
mx 0 my 0 mz 0
例题 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧 面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F1）的矩l1=20N•m； 力偶（F2 ，F2）的矩l2=20 N•m；力偶（F3 ，F3）的矩 l3=20 N•m。试求合力偶矩矢L。又问使这个刚体平衡，还须施 加怎样一个力偶。
z
F2
z
F2 F3
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
§3-3 力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S AB r cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
D
ND
§3-3 力偶系的合成与平衡
l
F
(3)、力偶作用面的方位。 3、符号：m(l)
右手规则
§3–2 力偶与力偶矩
4、力偶矩矢与力矢的区别 力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。 m 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。 5、力偶等效定理又可陈述为: 力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§3–2 力偶与力偶矩
§3-3
一、力偶系的合成
m0 (F ) Fd 单位：牛-米(N-m)， 千牛-米(KN-m)
性质：
单位 1。当力沿其作用线移动时，力对点之矩不变
2。当力等于零或力作用线通过矩心时，力对点之 矩为零。
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
m0 (F ) r F
其中：
r x i yj zk
第三章
力矩及力偶理论
第 三 章
基 本 力 系
§3–1
力对点之矩
§3–2
§3–3 §3–4
力偶与力偶矩
力偶系的合成与平衡 力的平移定理
§3–1 力对点之矩
一、 力对点之矩 力对点之矩——设平面内任取一点O(矩 心)，O点到力 F 作用线的距离称为力臂 ，则力F 使物体绕O点的转动效应定义为 力对点之矩。
小结
1、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件
求解力偶系的平衡问题
作业
3—2、 4、 9
§3–1 力对点之矩
三、 合力矩定理
m 0 ( R ) rA R rA ( F1 F 2 ) rA F1 rA F 2 m 0 ( F1 ) m 0 ( F 2 )
合力对任一点的矩矢等于其分力对同一点 的矩矢的矢量和
§3–2 力偶与力偶矩
一、 力偶和力偶矩 1、力偶——大小相等的二反向平行力。
F
d d
F
=
§3–2 力偶与力偶矩
2. 平行平面内力偶的等效条件 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
§3–2 力偶与力偶矩
§3–2 力偶与力偶矩
三、力偶矩矢 1、概念：
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。 2、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。
F
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41 .2 N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx 2 ly 2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, i
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素 。 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
§3–2 力偶与力偶矩
工程实例
§3–2 力偶与力偶矩
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线 之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大