复数知识点归纳(可编辑修改word版)
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复 数1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
数学总结复数知识点归纳
数学总结复数知识点归纳一、复数的定义复数是数学中一种特殊的数。
它由实部和虚部组成，通常写成a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，3+4i就是一个复数，其中实部是3，虚部是4。
复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。
二、基本运算1. 复数加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad+bc)i4. 复数除法：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)= (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)三、幂指数形式1. 复数的幂指数形式表达：z = r(cosθ + isinθ) = r(e^(iθ))2. 复数的乘幂：z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ)) = r^n(e^(inθ))3. 复数的根：z^(1/n) = (r^(1/n))(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))四、三角形式1. 三角形式的定义：z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ2. 三角形式的加法：z₁ + z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂)= (r₁cosθ₁ + r₂cosθ₂) + i(r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)= r(cosθ+ isinθ)3. 三角形式的乘法：z₁ * z₂ = r₁∠θ₁ * r₂∠θ₂= r₁r₂∠(θ₁+θ₂)五、欧拉公式欧拉公式是数学中非常重要的公式，也被称为数学中最美丽的公式之一，它将三角函数、指数函数和虚数单位联系在了一起。
复数知识点归纳(可编辑修改word版)
精心整理复数【知识梳理】一'复数的基本概念1、虚数单位的性质，叫做虚数单位，并规定：①/可与实数进行四则运算；②这样方程"=-1就有解了，解2、复数的概念(1)定义：形如a + bi(ch heR)的数叫做复数，其中f叫做虚数单位，《叫做，b叫做。
全体复数所成的集合C叫做复数集。
复数通常用字母Z表示，即z = a + hi(a. h^R)对于复数的定义要注意以下几点：® z = a + bi(a, bWR)被称为复数的代数形式，其中加表示b与虚数单位j相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式(2)分类:例题：当实数W为何值时，复数伽-5加+ 6) +伽2-3加”是实数？虚数？纯虚数? 二'复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知(x + y-3) + (x-4)/ = 0求x*的值a + hi与c + di共轨o a = cj7 = —d («,b,c、d w R)Z = a + hi的共觇复数记作z = a- hi ,且z •四'复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，兀轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
页脚内容精心整理2、复数的儿何意义复数z = a + hi 与复平面内的点Z(a.h)及平面向量OZ=(a.h) (a.h e R)是一一对应关系(复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数 例题：(1)当实数w 为何值时，复平面内表示复数Z = (itr - S/H +15) + (/tr - 5m -14)/的点①位于第三象限；②位于直线y = x 上(2) 复平面内AB = (2,6),已知CD//AB ,求CD 对应的复数 3、复数的模:桥的模，记彳勺b 球"+林，表示点(條仍到原点的距离，卑若Zi=a + hi, % =c + di,则ZI-Z2表示仗上)到(c\d)的距离，即 例题：已知z = 2 + i ,琲z j 申的值 五'复数的运算(1) 运算法则：设 Zi=« + bi，Z2=c+〃i, a, b, c,① Z] ± Z2 = G + 加 + C + 山=(G + c) + (/? + d ) j ② Zi • Z2 = (" + bi) • (c + di) = (ac -hd) + (be + ad )i③ Z] _(a + bi) _ (a + hi){c- di) _ (ac + hd) + (be - ad)i Z2 (c + di) (c + di) - (c -di) (2) 儿何总义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行•如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的儿何意义，即=+ ,= 六'常用结论(1) i , r =-b F = -i, /■* = 1求厂，只需将《除以4看余数是儿就是j 的儿次 例题：严=(2) (l+/)- = 2/ (!-/)-=-2/ (3) (一]±£沪=1,(]±£O 3=_]2 2 2 2【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J ”或"X ”)(1) 方程界+x+1=0没有解.()页脚内容⑵复数z=a-^ln(a, bWR)中，虚部为仞.()(3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( (4) 原点是实轴与虚轴的交点.()(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(【考点自测】向量＜9^的模叫做复数z = G +-E A J(a —c)2+e-d)2yZa1.(2015•安徽)设i是虚数单位，则复数(I-i)(l+2i)等于(A・3 + 3iB•— 1 +3iC・3 + iD•— 1 +i2.(2015•课标全国1 )已知复数Z满足(zT)i=l+i，贝Uz等于(A・一2-iB・一2 + iC・2-iD・2 + i 3•在复平面内，复数6+5i, -2 + 3i对应的点分别为q, B•若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(A・4+8iB・8+2iC・2+4iD・4+i4.已知"，"SR, i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(«+hi)2等于(A・3-4iB・3+4iC・4-3iD・4+3i 5.已知O+2i)=4+3i,则2=【题型分析】题型一复数的概念例1⑴设i是虚数单位•若复数z=a-(aGR)是纯虚数，则"的值为(A. — 3B.— 1C.1D.3(2)己知aSR,复数zi=2+di, Z2=l-2i,若为纯虚数，则复数的虚部为(A・lB・iC・D・0⑶若0=（"* +加+1） +伽2 + m_4）i伽SR）, Z2 = 3-2i,贝1」"加=1” 是"ZI=Z2” 的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分乂不必要条件引申探究1.对本例⑴中的复数Z,若lzl=，求"的值2.在本例⑵中，若为实数，则a二思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项精心整理（1）复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只謝e复数化为代数形式,列岀实部和虚部满足的方程（不等式）组即可.（2）解题时一定要先看复数是否为U + bi（u , bSR）的形式,以确定实部和虚部.跟踪训练1 （1）若复数z=Cv2-l）+Cv-l）i为纯虚数，则实数X的值为（A.-IB-0CJD.-1 或I （2）（2014•浙江）已知1是虚数单位，心bSR,则S=b=r是“（“+bi）2=2i”的（A•充分不必要条件B•必要不充分条件C.充分必要条件D•既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2 （1）（2015-湖北）i为虚数单位，河7的共辄复数为（A.iB. —iC.lD.— 1 (2)(2015•北京)复数i(2-i)等于(AJ+2iB・l-2iC・一l+2iD・一l-2i命题点2复数的除法运算例3 （1）（2015-湖南）S知= l+i（i为虚数单位），则复数Z等于（A.l+iBJ — iC.— I +iD.— 1 ⑵()6+ =命题点3复数的运算与复数概念的综合间题例4 （1）（2015・天津）i是虚数单位，若复数（l—2i）S+i）是纯虚数，则实数a的值为⑵（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则Z的实部为命题点4复数的综合运算例5 （1）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数Z的共轨复数•若z=l+i，则+ i•等于（A・一2B・一2iC・2D・2i⑵若复数Z满足（3—4i）z=l4+3ih则Z的虚部为（A.—4B.—C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法•复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.⑵复数的除法•除法的关键是分子分母同乘以分母的共馳复数,解题中要注意把i的幕写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综^题,先?IJ用复数的运算法则化简,F化为a + , bWR)的形式,再结合相关定义解答.⑷复数的运算与复数几何意义的综合题•先利用复数的运算法则化简,一般化为a + ln(a , bSR)的形式,再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除，后算加减,有括号要先算括号里面的.跟踪训练2 (1)(206山东)若复数Z满足=i,其中i为虚数单位，贝"等于(A.I — iB・l +iC・—1 — iD.— 1 +i(2严= __________ .(3)+ 2016= ______题型三复数的几何意义例6 (1)(2014-重庆)实部为一2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(A•第一象限B•第-•象限C•第三象限D•第四象限⑵△ABC的三个顶点对应的复数分别为ZI, Z2, Z3r若复数Z满足U-zil=lz-Z21=lz-Z3U贝iJz对应的点为△ABC的( )页脚内容A•内心B•垂心C.lfi心D・外心思维升华因为复平面内的点.向量及向量对应的复数是——对应的，要求某个向量对应的复数时, 只要找出所求向a的始点和终点,或者用向量相等直接给岀结论即可.跟踪训练3仃J如图，在复平面内，点A表示复数Z,则图中表示Z的共觇复数的点是(A・AB・BC・CD・D⑵已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+di)2在复平面内对应的点在第一象限,【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知川y为共辄复数，且(x+y)-—3xyi=4—6i,求后y.页脚内容精心整理思维点拨 ⑴」y 为共牠复数，可用复数的基本形式表示岀来； ⑵利用复数相等,将复数问题转化为实数问题. 温馨提醒（1）复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.（2） 本题求解的关键是先把心y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方 法.（3）本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1・复数的代数形式的运算主要有加.减.乘.除及求低次方根•除法实际上是分母实数化的过程. 2•复数z = « +仞@ . bSR ）是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法•对”个复数Z = a + bi （“ ,eR ）,既要从整体的角度去认识它,把复 数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3•在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题，平移往街口加法、减法相结合. 【失误与防范】1 •判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2•两个虚数不能比较大小.3•注意复数的虚部是指在卄洌@ , bWR ）中的实数»即虚部是一个实数.【巩固练习】1.（2015-福建）若（1+0+（2 — 3i ）=«+bi3 beR, i 是虚数单位），则G 方的值分别等于（ A.3, —2C3 -3 2•设z=+i,则Izl 等于（A.BCD.2 3.（2015•课标全国］［）若"为实数，且（2+"i ）（a — 2i ） = -4i,则"等于（ A.-IB-0CJD-2 4•若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z,则表示复数的点是（A.EB.FC.GD.H5. （2014•江西）是Z 的共觇复数，若z+=2,（Z —）i=2（i 为虚数单位），则z 等于（ A.l +iB ・ —1 — iC. — 1 +iD ・l — i6. (2015•江苏)设复数z 满足z2=3+4i(i 是虚数单位)，则Z 的模为. 7•若=u+bia b 为实数，i 为虚数单位)，贝iJ«+/7= ____________ •&复数(3 + i)加一(2+i)对应的点在第三象限内，则实数山的取值范圉是 9•汁算：(1)； (2)；⑶+ ； (4).10.复数z 】 = + (10-«2)i, z2=+(加一5)i,若i+z2是实数，求实数《的值.【能力提升】 B ・3,2 D.-L411 •复数Z" Z2满足Z I=/N+(4—/zP)ir Z2=2cos&+0+3sin&)i("h 几&eR),并且Zi=Z2，则x 的取值范^是(12.设和)="+"(“eN)则集合中元素的个数为(AJB.2C.3D.无数个13•已知复数且lz-2l=.则的最大值为_______________________ •14.设《eR,若复数Z= +在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则《的值为.15.若1+i是关于X的实系数方程界+应+Q=0的一个复数根，则〃= _________________【巩固练习参考答案】1 A・2・B・3・B・4・D・5・D・6・・7・3・&"】＜• 9•解(1)= = - 1 - 3i・ (2) = = = = + i・(3) + = + = + =- 1.(4)=10•解1 +Z2 = + ("2 - 10)1 + + (2a - 5)1= + [(o^ - 10) + (2a - 5)]i =+ (a- + 2a - 15)i.V1 + Z2 是实数,A«- + - 15 = 0 ,解彳專a= - 5 或w = 3.又(0 + 5)(。
(完整版)复数知识点归纳
(完整版)复数知识点归纳完整版：复数知识点归纳复数是英语中用来表示多个数量的形式。
在英语中，名词的复数形式并不总是简单地在单数形式后面加上“-s”。
实际上，还有很多规则和例外需要我们掌握。
在这篇文章中，我们将对复数的一些主要知识点进行归纳总结。
一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后面加上“-s”构成复数形式。
例如：book - books, dog - dogs, cat - cats2. 以s、x、ch、sh和o结尾的名词，在单数形式后面加上“-es”构成复数形式。
例如：box - boxes, match - matches, potato - potatoes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上“-es”构成复数形式。
例如：baby - babies, country - countries4. 以f或fe结尾的名词，通常将f或fe改为v，再加上“-es”构成复数形式。
例如：knife - knives, leaf - leaves5. 特殊规则：5.1 不规则名词的复数形式需要特殊记忆，例如：child - children, tooth - teeth, mouse - mice5.2 以-o结尾的名词有一些是按照一般规则加“-s”的，例如：piano - pianos, photo - photos，但也有一些是按照“-es”规则变化的，例如：potato - potatoes, tomato - tomatoes二、特殊名词除了一般规则之外，还有一些名词的复数形式是非常特殊的。
下面列举几个常见的例子：1. 人称代词的复数形式：I - weyou - youhe - theyshe - theyit - they2. 不列举变化的名词：例如：sheep（羊）、fish（鱼）、deer（鹿）等，它们在复数形式和单数形式相同。
3. 以“-is”结尾的名词，复数形式将“-is”改为“-es”：例如：thesis（论文）- theses（论文）4. 以“-us”结尾的名词，复数形式将“-us”改为“-i”：例如：cactus（仙人掌）- cacti（仙人掌）5. 以“-o”结尾的名词，复数形式有时将“-o”改为“-i”，有时加“-es”：例如：photo（照片）- photos（照片），radio（无线电）- radios （无线电）6. 以“-f”结尾的名词，复数形式将“-f”改为“-ves”：例如：leaf（叶子）- leaves（叶子）三、复数形式的用法1. 表示数量：例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。
(完整版)复数基础知识点
1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集⎧⎧⎧整数⎪⎪有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)⎩无理数(无限不循环⎪虚数(a ≠0)⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪虚数(a =0)⎩非纯⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
复平面内的点Z （a,b ）复数z =a +bi平面向量OZ4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.5.复数的四则运算设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；，（2）减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i ，特别z ⋅z =a 2+b 2；c +di（a ,b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方a +bi法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：（4）除法z =c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )iz ==⋅=；a +bi a +bi a -bi a 2+b 2（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
复数各章知识点总结
复数各章知识点总结一、复数的构成规则1.在大多数情况下，名词的复数形式是通过在词尾加上-s来构成的，如：book → books, table → tables, cat → cats。
2.以s, x, ch, sh结尾的名词，需要在词尾加上-es，如：bus → buses, box → boxes, church → churches, brush → brushes。
3.以辅音字母+y结尾的名词，需将y改为i，再加上-es，如：baby → babies, city → cities, party → parties。
4.以-o结尾的名词，通常加上-es构成复数，如：tomato → tomatoes, hero → heroes, potato → potatoes。
但也有一些例外，如photo → photos, piano → pianos。
5.以-f 或-fe结尾的名词，通常将f 或 fe改为ves构成复数，如：leaf → leaves, knife → knives, wife → wives。
6.有些名词的复数形式需要利用变位规则，如：man → men, woman → women, child → children, foot → feet。
7.一些名词的复数形式与它们的单数形式完全相同，如：sheep, deer, fish, aircraft。
二、特殊的不规则名词复数形式1.一些名词的复数形式完全不同于它们的单数形式，如：man → men, woman → women, child → children, foot → feet。
2.一些名词的复数形式是通过变位而成的，如：mouse → mice, tooth → teeth, louse → lice, goose → geese。
3.有些名词既没有单数形式，也没有复数形式，如：scissors, pants, trousers。
完整版)复数知识点总结
完整版)复数知识点总结复数一、复数的概念1.虚数单位i虚数单位i的平方等于1，即i²= 1.实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律。
i的乘方：i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=1，i⁴ⁿ⁺³=i，n∈N*，它们不超出bi的形式。
2.复数的定义形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，a,b分别叫做复数的实部与虚部。
3.复数相等a+bi=c+di，即a=c且b=d，那么这两个复数相等。
4.共轭复数当z=a+bi时，z的共轭复数为z=a bi。
性质：z=z；z₁±z₂=z₁±z₂；z₁×z₂=z₁×z₂；(z₂≠0)二、复平面及复数的坐标表示1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴。
2.复数的坐标表示点Z(a,b)表示复数z=a+bi。
3.复数的向量表示向量OZ表示复数z。
4.复数的模在复平面内，复数z=a+bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作|z|。
由定义知，|z|=√(a²+b²)。
三、复数的运算1.加法a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁+z₂对应的向量为OZ₁+OZ₂=(a+c,b+d)。
因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释。
2.减法a+bi)(c+di)=(a c)+(b d)i。
几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁z₂对应的向量为OZ₁OZ₂=Z₂Z₁=(a c,b d)。
z₁z₂=(a c)+(b d)i=(a c)²+(b d)²表示Z₁、Z₂两点之间的距离，也等于向量Z₁Z₂的模。
复数知识点总结word
复数知识点总结word复数形式的使用对于英语学习者来说是非常重要的，因为它与名词的单数形式有着明显的区别，同时也与动词的形式和代词的使用有一定的联系。
本文将会对复数的相关知识进行详细的总结，包括复数的构成规则、不规则复数形式、复合名词的复数形式等内容。
一、复数的构成规则1. 一般情况下，在名词的末尾加上-s来表示复数形式，例如：cat-cats, dog-dogs, book-books等。
2. 如果名词以s, x, ch, sh, o结尾，要在末尾加上-es来表示复数形式，例如：bus-buses，box-boxes, church-churches, tomato-tomatoes等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，在变为复数时要变y为i加es，例如：baby-babies, city-cities。
4. 以元音字母+y结尾的名词，直接加上-s即可，例如：boy-boys, day-days。
5. 以f或fe结尾的名词，要将f或fe变为v，再加上-es，例如：wolf-wolves, wife-wives。
6. 一些形容词和动词也可直接用来表示复数，例如：two, three等数字，can, have等动词。
二、不规则复数形式除了按照上述规则进行复数的构成外，还有一些名词的复数形式是不规则的，学习者需要单独记忆。
1. 单复数形式相同的名词，例如：sheep-sheep, deer-deer, fish-fish。
2. 以-o结尾的名词，除了加上-es之外，还有一些名词的复数形式是直接加上-s，例如：piano-pianos, photo-photos, radio-radios。
3. 一些外来语的名词，其复数形式并不是按照一般规则添加-s或-es，而是使用其原形，例如：cactus-cacti, datum-data等。
三、复数形式的使用除了表示数量之外，复数形式还可用于其他语法结构的表达。
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精心整理复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② i2=-1；这样方程x2=-1 就有解了，解为x =i 或x =-i2、复数的概念（1）定义：形如a +bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即z =a +bi (a，b∈R)对于复数的定义要注意以下几点：① z =a +bi (a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：例题：当实数m 为何值时，复数(m - 5m + 6) + (m2- 3m)i 是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知(x +y - 3) + (x - 4)i = 0 求x, y 的值三、共轭复数a +bi 与c +di 共轭⇔a =c,b =-d (a, b, c, d ∈R)_ _z =a +bi 的共轭复数记作z =a -bi ，且z ⋅z =a2+b2四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
页脚内容精心整理页脚内容a 2 +b 2 2、复数的几何意义→复数 z = a + bi 与复平面内的点Z (a , b ) 及平面向量OZ = (a , b ) (a , b ∈ R ) 是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数 z = (m 2 - 8m +15) + (m 2 - 5m -14)i 的点①位于第三象限；②位于直线 y = x 上→ → → →（2）复平面内 AB = (2,6) ，已知CD // AB ，求CD 对应的复数 3、复数的模：→向量OZ 的模叫做复数 z = a + bi 的模，记作 z 或 a + bi ，表示点(a , b ) 到原点的距离，即 z =a +b i = ， z = z若 z 1 = a + bi ，z 2 = c + di ，则 z 1 - z 2 表示(a , b ) 到(c , d ) 的距离，即 z 1 - z 2 =例题：已知 z = 2 + i ，求 z -1+ i 的值五、复数的运算（1） 运算法则：设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R① z 1 ± z 2 = a + bi + c + di = (a + c ) + (b + d )i ② z 1 ⋅ z 2 = (a + bi ) ⋅ (c + di ) = (ac - bd ) + (bc + ad )i ③ z 1 z 2= (a + bi ) = (c + di ) (a + bi )(c - di ) (c + di ) ⋅ (c - di ) = (ac + bd ) + (bc - ad )ic 2 +d 2（2） 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形 OZ 1ZZ 2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论（1） i ， i 2 = -1， i 3 = -i ， i 4 = 1求i n ，只需将n 除以 4 看余数是几就是i 的几次例题： i 675 =（2） (1+ i )2 = 2i ， (1- i )2 = -2i（3） (- 1 ± 3 i )3 = 1 ， ( 1 ± 3i )3 = -12 2 2 2 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x 2＋x ＋1＝0 没有解.()(a - c )2 + (b - d )2..(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【考点自测】1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z－1)i＝1＋i，则z 等于( )A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为A，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i4.已知a，b∈R，i 是虚数单位.若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2 等于( )A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝.【题型分析】题型一复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A.－3B.－1C.1D.3(2)已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )A.1B.iC.D.0(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a 的值.2.在本例(2)中，若为实数，则a＝.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项..精心整理(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A.－1B.0C.1D.－1 或1(2)(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2015·湖北)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为( )A.iB.－iC.1D.－1(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于( )A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2015·湖南)已知＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝.命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题例4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a 的值为. (2)(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为.命题点4 复数的综合运算例5 (1)(2014·安徽)设i 是虚数单位，表示复数z 的共轭复数.若z＝1＋i，则＋i·等于( )A.－2B.－2iC.2D.2i(2)若复数z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略页脚内容..(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015·山东)若复数z 满足＝i，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2016＝.(3)＋2016＝.题型三复数的几何意义例6 (1)(2014·重庆)实部为－2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z 满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A.内心B.垂心C.重心D.外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D(2)已知z 是复数，z＋2i、均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋a i)2 在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知x，y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y...精心整理思维点拨(1)x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把x、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【巩固练习】1.(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i 是虚数单位)，则a，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,42.设z＝＋i，则|z|等于( )A.B.C.D.23.(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，则a 等于( )A.－1B.0C.1D.24.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z，则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H5.(2014·江西)是z 的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )页脚内容..A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2015·江苏)设复数z 满足z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为.7.若＝a＋b i(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则a＋b＝.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).10.复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a 的值.【能力提升】11.复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )A.[－1,1]B.C.D.12.设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.无数个13.已知复数z＝x＋y i，且|z－2|＝，则的最大值为.14.设a∈R，若复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0 上，则a 的值为.15.若1＋i 是关于x 的实系数方程x2＋bx＋c＝0 的一个复数根，则b＝，c＝. 【巩固练习参考答案】1A.2.B.3.B.4.D.5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i. (3)＋＝＋＝＋＝－1. (4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5 或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5 且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4 ＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案 C..精心整理12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3 个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0 的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i 也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.页脚内容。