陕西省黄陵中学2018届高三(重点班)上学期第三学月月考数学(文)试题(附答案)

高三重点班第三次学月考试数学（文）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{0,1,A =，3{|0}1x B x x -=<-，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,23，C ．{}23，D ．{}2 2．已知p ：函数22y x mx =-在[)1,+∞上单调递增；q ：1m ≤，则p 是q 的 （ ）A ．充要条件B ．既不充分也不要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．命题“0,2≥+∈∀x x R x ”的否定是 （ ）A ．0,2<+∈∀x x R x B ．0,2≤+∈∀x x R x C ．0,2000<+∈∃x x R x D ．0,2000≥+∈∃x x R x4．已知函数2sin()y x ωϕ=+为偶函数(0)ϕπ<<，其图像与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为12,x x 且12x x π-=，则 （ ） A ．2,2πωϕ==B ．1,22πωϕ== C ．1,24πωϕ== D. 2,4πωϕ== 5．若0.13a =，log 2b π=，22log sin 3c π=，则a ， b ，c 大小关系为 （ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >> 6．已知一组数据00(2,3),(4,6),(6,9),(,)x y 的线性回归方程为2+=∧x y ，则00y x -的值为（ ） A ． 2 B. 4C ．4-D ．2-7．已知α为锐角，且53sin =α，则cos()πα+=（ ）A ．35- B. 35 C ．45- D ．458．若()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ ）A ．2-B ．12C ．2D ．5 9．向量a ，b 满足2a =，2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（）A ．45B ． 60C ． 90D ． 120 10．在区间[]1,0-上任取两实数x 、y ，则3<y x 的概率是 （ ）A ．16 B ．13 C ．23 D ．5611．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，11,12017201620172016<-->⋅a a a a ，下列结论中正确的是（ ）A ．0<qB ．2016T 是数列{}n T 中的最大项C ．0120182016>-⋅a aD ．20172016S S > 12．已知偶函数()()0fx x ≠的导函数为()f x '，且满足(1)0f =，当0x >时，()()2xf x f x '＜，则使()f x >成立的x的取值范围为（ ） A ．()()10,1-∞-，B ．()()100,1-， C ．()()101,-+∞， D ． ()()11,-∞-+∞，二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如果实数y x ,满足：102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为 ；14．已知数列}{n a 满足2331-=+n n a a ，且3453a a a ++=，若01<⋅+k k a a ，则整数=k ； 15．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是： 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两 个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系 中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t 取[0,4]上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 ；16．某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论：①函数)(x f y =的图像是轴对称图形； ②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立； ③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等； ④当常数k 满足1>k 时，函数)(x f y =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分12分) 已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x ππ=++-+-，x R ∈．(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值．18．(本小题满分12分) 若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列； (2)设2log (1)n n b a =-，求数列11n n b b +禳镲睚镲铪的前n 项和n T ．19． （本题满分12分）在A B C ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，0cos cos )2(=--C a A c b ．（1）求角A 的大小； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积S 的最大值．20．（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：将月收入不低于55的人群称为“高收人族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”． （I ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否高收入族与是否赞成楼市限购令有关？（II ）现从月收入在[15,25)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成 楼市限购令的概率．21．（本小题满分12分） 已知函数11ln)(++=x xa x f ． （1）当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在[]e ,1上的最小值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点)21,1(P ，倾斜角3πα=，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θρ2sin 213+=．（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PA PB ⋅的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-．（1）若不等式()2f x ≤的解集为{}|15x x ≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若正数n m ,满足：n m amn 22+=，求n m +2的最小值．2017-2018学年高三数学试卷（文）答案高三数学文科备课组 2017.12.23一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{0,1,A =，3{|0}1x B x x -=<-，则A B =（ D ） A ．{}1,2B ．{}1,23，C ．{}23，D ．{}2 2．已知p ：函数22y x mx =-在[)1,+∞上单调递增；q ：1m ≤，则p 是q 的 （ D ） A ．充要条件 B ．既不充分也不要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 3．命题“,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ C ）A ．0,2<+∈∀x x R x B ．0,2≤+∈∀x x R x C ．0,2000<+∈∃x x R x D ．0,2000≥+∈∃x x R x4．已知函数2sin()y x ωϕ=+为偶函数(0)ϕπ<<，其图像与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为12,x x 且12x x π-=，则 （ A ） A ．2,2πωϕ==B ．1,22πωϕ== C ．1,24πωϕ== D. 2,4πωϕ== 5．若0.13a =，log 2b π=，22log sin 3c π=，则a ，b ，c 大小关系为 （ D ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >> 6．已知一组数据00(2,3),(4,6),(6,9),(,)x y 的线性回归方程为2+=∧x y ，则00y x -的值为（ D ） A ． 2 B. 4C ．4-D ．2-7．已知α为锐角，且53sin =α，则cos()πα+=（ C ）A ．35- B. 35 C ．45- D ．458．若()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ A ）A ．2-B ．12C ．2D ．5 9．向量a ，b 满足2a =，2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（ C ）A ．45B ． 60C ． 90D ． 120 10．在区间[]1,0-上任取两实数x 、y ，则3<y x 的概率是 （ A ）A ．16 B ．13 C ．23 D ．5611．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，11,12017201620172016<-->⋅a a a a ，下列结论中正确的是（ B ）A ．0<qB ．2016T 是数列{}n T 中的最大项C ．0120182016>-⋅a aD ．20172016S S > 12．已知偶函数()()0fx x ≠的导函数为()f x '，且满足(1)0f =，当0x >时，()()2xf x f x '＜，则使()f x >成立的x的取值范围为（ B ） A ．()()10,1-∞-，B ．()()100,1-， C ．()()101,-+∞， D ． ()()11,-∞-+∞，二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如果实数y x ,满足：102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为 72 ；14．已知数列}{n a 满足2331-=+n n a a ，且3453a a a ++=，若01<⋅+k k a a ，则整数=k 5 ； 15．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是： 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两 个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系 中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t 取[0,4]上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 8 ；16．某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论：①函数)(x f y =的图像是轴对称图形； ②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立； ③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等； ④当常数k 满足1>k 时，函数)(x f y =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ①②④ ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分12分) 已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x ππ=++-+-，x R ∈．(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值．解：(1)∵2()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x ππ=++-+-2sin 2cos cos 23x x π=+ --3分sin 2cos 2)4x x x π=+=+．—5分 ∴()f x 的最小正周期22T ππ==； --6分(2)∵[,]44x ππ∈-，∴32[,]444x πππ+∈-，∴当244x ππ+=-即4x π=-时，()f x 有最小值，min ()()14f x f π=-=-，--9分，∴当242x ππ+=即8x π=时，()f x 有最大值，max ()()8f x f π==—11分，故函数()f x 在区间[,]44ππ-1-． —12分18．(本小题满分12分) 若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列； (2)设2log (1)n n b a =-，求数列11n n b b +禳镲睚镲铪的前n 项和n T ．解：(1) ∵2n n S a n =+，∴当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =- ……1分， 当2n ³时，1121n n S a n --=+-，∴112(21)n n n n n a S S a n a n --=-=+-+-1221n n a a -=-+，即121n n a a -=-……3分，∴112(1)n n a a --=-，又11a =-，∴1120a -=-?，∴10n a -?， ∴1121n n a a --=-，∴数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列；……6分(2)由（1）得，11222n n n a --=-?-，∴12n n a =-；……8分，∴22log (1)log 2n n n b a n =-==，∴22log (1)log 2n n n b a n =-==，∴11111(1)1n n b b n n n n +==-++…10分， ∴1111111(1)()()()223341n T n n =-+-+-++-+1111nn n =-=++……12分19． （本题满分12分）在A B C ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，0cos cos )2(=--C a A c b ．（1）求角A 的大小； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积S 的最大值．解：（Ⅰ）∵0cos cos )2(=--C a A c b ，∴2cos cos cos 0b A c A a C --=，则由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=，....2分，即2sin cos sin()0B A C A -+=，又C A B π+=-，∴sin()sin C A B +=，∴sin (2cos 1)0B A -=，...4分，又在ABC ∆中，sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又0A π<<，∴3A π=．……6分（Ⅱ）又2a =，则由余弦定理得： 222242cos3b c bc b c bc bc π=+-=+-≥（当且仅当2b c ==时，等号成立）， (9)分，∴1sin 234S bc π==≤ABC ∆的面积S12分20．（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：将月收入不低于55的人群称为“高收人族”， 月收入低于55的人群称为“非高收入族”．（I ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否高收入族与是否赞成楼市限购令有关？ （II ）现从月收入在[15,25)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成 楼市限购令的概率．解：（I ）由题意，可得如下22⨯列联表，提出假设：是否高收入族与是否赞成楼市限购令无关，则()()()()()22n ad bc a b c d a c b d κ-==++++()250297113 6.272 6.63532184010⨯⨯-⨯=<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；...... 6分 （Ⅱ）由题意得：月收入在[15,25)中，有4人赞成楼市限购令，分别记为1A ，2A ，3A，4A ，1人不赞成楼市限购令，记为B ，现从中随机抽取两人，所有的基本事件有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，1(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，2(,)A B ，34(,)A A ，3(,)A B ，4(,)A B ，共10个， 它们是等可能性发生的，记事件M =“所抽取的两人都赞成楼市限购令”，则事件M 包含的基本事件有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，23(,)AA ，24(,)A A ，，34(,)A A ，共6个， ∴63()105P M ==，∴所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率为35．.....12分 21．（本小题满分12分） 已知函数11ln )(++=x xa x f ．（1）当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在[]e ,1上的最小值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：∵11ln)(++=x x a x f ，(0,)x ∈+∞，∴()1a x af x x x-'=-+=． ...1分附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（Ⅰ）当1a =时，1()x f x x-'=，0x >， ...2分，∴当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞； ...4分∴当1x =时，函数()f x 有极小值，极小值为(1)2f =，无极大值； ...5分 （Ⅱ）①当1a ≤时，∵[1,]x e ∈，∴()0f x '>，∴函数()f x 在[1,]e 上为增函数，∴函数()f x 在[1,]e 上的最小值为(1)2f =，显然满足条件； ....7分②当1a e <<时，则当[1,]x a ∈时，()0f x '<，则函数()f x 在[1,]a 上为减函数，当[,]x a e ∈时，()0f x '>，则函数()f x 在[,]a e 上为增函数，故当1x =时，函数()f x 在[1,]e 上取得唯一的极小值也就是最小值，∴min ()()f x f a =，但()(1)2f a f >=，故不满足题意，应舍去； ....9分③当a e ≥时，函数()f x 在[1,]e 为减函数，故函数()f x 在[1,]e 上的最小值为2)1()(=<f e f ，不满足题意，应舍去． ....11分；综上所述，存在实数1≤a ，使得函数()f x 在[1,]e 上的最小值为1． ...12分请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点)21,1(P ，倾斜角3πα=，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θρ2sin 213+=．（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PA PB ⋅的值．解：（Ⅰ）∵直线l 经过点1(1,)2P ，倾斜角3πα=，∴直线l的参数方程为：11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），.....3分，又∵曲线C 的极坐标方程为θρ2sin 213+=，∴22312s in ρθ=+，∴2222sin 3ρρθ+=，又c o s x ρθ=，sin y ρθ=，∴222x y ρ=+，∴22223x y y ++=，∴2233x y +=，即2213x y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为：2213x y +=； ...5分 （Ⅱ）把直线l的参数方程11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 的方程2233x y +=中，得：2211(1)3()322t +++=，即2104)50t t +-=，....8分，设点B A ,所对应的参数分别为1t ，2t ，则1PA t =，2PB t =，又由韦达定理得：1212t t =-， ∴121212PA PB t t t t ⋅===． ...10分23．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-． （1）若不等式()2f x ≤的解集为{}|15x x ≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若正数n m ,满足：n m amn 22+=，求n m +2的最小值． 解：（1）∵()||f x x a =-，()2f x ≤，∴||2x a -≤，∴22a x a -≤≤+，又不等式()2f x ≤ 的解集为{}|15x x ≤≤，∴2125a a -=⎧⎨+=⎩，解得3a =； ---5分（2）∵n m a m n 22+=，3a =，∴62mn m n =+，∴11163n m+=，又∵0,0m n >>， ∴2(2)m n m n +=+2365326533)3161(=+≥++=+⋅m n n m m n （当且仅当12m n ==取等号）∴n m 2的最小值是23． .....10分。