菲涅耳公式
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§1-6 菲涅耳公式一．菲涅耳公式电磁波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，在电动力学中将讲到入射、反射和折射三束波在分界面上振幅的大小和方向之间的关系，这一关系可由菲涅耳公式表达出来，上节提到的在反射过程中发生的半波损失问题，就可以用这个公式来解释，这一公式对以后讲到的许多光学现象，都能圆满地加以说明。
菲涅耳公式的内容说明如下：在任何时刻，我们都可以把入射波、反射波和折射波的电矢量分成两个分量，一个平行于入射面，另一个垂直于入射面。
有关各量的平等分量与垂直分量依次用指标P 和S 来表示。
以1i 、'1i 和2i 分别表示入射角、反射角和折射角，它们确定了各波的传播方向（在大多数情况下，只要注意各波的磁场矢量即可，因为知道了各个波的传播方向，各波的磁场矢量就可按右螺旋关系确定）。
以1A 、'1A 和2A 来依次表示入射波、反射波和折射波的电矢量的振幅，它们的分量相应就是1P A 、1'P A 、2P A 和1s A 、1's A 、2s A 。
由于三个波的传播方向各不相同，必须分别规定各分量的某一个方向作为正方向，这种规定当然是任意的。
但是只要在一个问题材的全部讨论过程中始终采取同一种正方向的选择，由此得到的各个关系式就具有普遍的意义，(a)(b)(图1-16)图1-16中xy 平面为两介质的分界面，z 轴为法线方向，xz 平面为入射面，规定电矢量的s 分量以沿着y +方向的为正，这对于入射、反射和折射三个波都相同，图中III II I 、、三个面依次表示入射、反射和折射三个波的波面。
电矢量的P 分量沿着这三个波面与入射面的交线，它们的正方向分别规定为如图1-16)()(b a 、所示，且S 分量、P 分量和传播方向三者构成右螺旋关系。
在传播过程中，电矢量的方向是在不断变化的，我们所注意的仅是在反射、折射过程这一瞬时的变化，所以菲涅耳公式所表示的有关各量的方向都是指紧靠两介质分界面O 点处而言的（在图中为清楚起见，将通过O 点的三个波面画III II I 、、画在离开O 点较远之处）。
菲涅耳公式推导课件
菲涅耳公式的推导
菲涅耳公式
描述光波在界面上反射和折射行为的公式，包括反射系数和 折射系数的计算。
推导过程
基于光的波动方程、波前的传播和波前的叠加原理，通过数 学推导得到菲涅耳公式。
04
菲涅耳公式的解析
半波损失现象的解释
Hale Waihona Puke 1 2 3半波损失现象
当光从光密介质射向光疏介质时，反射光在离开 分界面处会额外损失半个波长的光程。
波动方程的形式
$frac{partial^2 A}{partial x^2} + frac{partial^2 A}{partial y^2} + frac{partial^2 A}{partial z^2} = frac{1}{c^2} frac{partial^2 A}{partial t^2}$ ，其中$A$表示光波的振幅，$c$表示光速。
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菲涅耳公式推导课件
目 录
• 菲涅耳公式的背景和意义 • 光的干涉原理 • 菲涅耳公式的推导过程 • 菲涅耳公式的解析 • 菲涅耳公式的应用实例
01
菲涅耳公式的背景和意义
光的波动理论
01
光的波动理论认为光是一种波动 现象，具有波长、频率和相位等 特征。
02
该理论解释了光的干涉、衍射和 偏振等现象，为光学研究奠定了 基础。
全息照相技术
总结词
全息照相技术是菲涅耳公式的又一重要 应用，通过该公式可以实现高质量的全 息成像，并拓展全息技术的应用领域。
VS
详细描述
全息照相技术是一种记录和重现三维物体 光波前的方法。在全息照相中，菲涅耳公 式被用来计算物光波和参考光波在全息板 上的干涉场，从而得到全息图像。通过优 化菲涅耳公式的参数和应用，可以提高全 息图像的质量和稳定性，进一步拓展全息 技术的应用领域。
15菲涅耳公式
s⊗
p
p ⊗s n1 n2 p ⊗s
s •
p
p ⊗s n1 n2 p
p ⊗s
⊗s
(a) 正向规定
(b) 外反射
(c) 内反射
外反射 ：反射波 E 的S 、 P分量与入射波相比都发生了方向反 转，故产生了半波损。 转，故产生了半波损。内反射 内反射 内反射：无； ：无； ：无；透射光 透射光 透射光：无 ：无
� E1 p
n1 n2
� � H1 p k1பைடு நூலகம்
� ′ k1
� E1′p
� H1′p
i1 i1′ i2
� k2
� H2 p
� E2 p
振幅反射率 E1′p n2 cos i1 − n1 cos i2 rp = = E1 p n2 cos i1 + n1 cos i2 tan( i1 − i2 ) = tan( i1 + i2 ) 振幅透射率
−1 −1
结论： 入射能量全部回到介质 1 — 全反射 结论：入射能量全部回到介质
12
ts、 tp 随 i1 的增大而减小
13
两种情况下，随入射角的增大，S分量的光强反射率总是↑， 但P↓→0(iB)→↑ 外反射(光疏光密）i→90或内反射(光密光疏）i→ic，S，P → 100% 在湖岸边观察水下物体 （透射 ）时近物要比远物（反射角小 ）更清楚；相反，远处物体在 湖面的倒影（反射） 则比近处 的近物的倒影 更加清晰 （反射 近物的倒影更加清晰 更加清晰（反射 角大）
2 2 2 2
I ∝ nE02
= rs
2
光强反射率
n1 E1′ p n1 E1 p
2
= rp
2
光强透射率
(三)菲涅耳公式及其讨论(电磁场的连续条件) 表示反射波、折.
rs
对所有的θ1都是负值，表明反射时s波在界面上发生 了 的位相变化。
tg (1 2 ) n2 cos1 n1 cos 2 rp A1 p tg (1 2 ) n2 cos1 n1 cos 2
A1' p
rp
当 1 B 时为正值，表明其相位变化为0。 当 1 B 时为负值，表明在界面上，反射光的p波有 相位变化。
6块透镜系统，反射面12面，若n=1.52，光在各面入射
角很小，透过这一系统的光能量为
W2 (1 0.043)12W1 0.59W1
W1为入射光能量，由于反射而损失的能量占41%。 为减少光能量损失，近代光学技术普遍采用在光学元 件表面镀增透膜。
（五）反射和折射时的偏振关系
一束自然光可分解为两束振动方向相互垂直的、 等幅的、不相干的线偏振光。 将自然光中两个相互垂直的等幅振动之一完全移去得到 的光，称为完全偏振光，也可称为线偏振光或平面偏振光。 部分偏振光在垂直于光传播方向的平面内沿各方向振动 的光矢量都有，但振幅不对称，在某一方向振动较强，而与
对于反射波，应区分n1>n2和n1<n2两种情况，并注意
1 B和1 B 时的不同。
（1）当光从光疏介质射到光密介质时，
A1' s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2 rs A1s sin(1 2 ) n1 cos1 n2 cos 2
n 1 rp A1 p n 1 tp A2 p A1 p 2 n 1
A1' p
A2 s 2 ts A1s n 1
相对折射率
n
n2
n1
（二）反射和折射时的振幅关系 菲涅耳公式给出反射波或折射波与入射波的振幅的相对变 化，用振幅反射、透射系数来表示，并随入射角而变。
菲涅耳公式推导
菲涅耳公式推导一、引言菲涅耳公式是描述光在两介质交界面上的光线反射和折射的定律，对理解光的传播和光学现象具有重要意义。
它的推导基于麦克斯韦方程组和边界条件，通过数学方法得到了反射和折射的强度和角度之间的关系。
二、麦克斯韦方程组我们需要了解一些麦克斯韦方程组的基本知识。
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，包括四个方程：电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这些方程描述了电场和磁场的变化规律和相互作用关系，为推导菲涅耳公式提供了理论基础。
三、边界条件在光在两介质交界面上的反射和折射过程中，有一些边界条件需要满足。
首先，电场和磁场的切向分量在界面上必须连续，即电场和磁场的切向分量在界面上的值相等。
其次，法向分量的电场和磁场的导数在界面上必须连续，即电场和磁场的法向分量在界面上的导数值相等。
这些边界条件保证了光的连续性和一致性。
四、推导过程根据麦克斯韦方程组和边界条件，可以推导出菲涅耳公式。
首先考虑入射光线和界面法线的夹角，利用电场和磁场的边界条件，可以得到反射光的电场和磁场的幅度与入射光的关系。
然后考虑入射光线和界面法线的夹角，利用电场和磁场的边界条件，可以得到折射光的电场和磁场的幅度与入射光的关系。
最后，根据反射和折射的电场和磁场幅度，可以得到反射光和折射光的强度和角度之间的关系，即菲涅耳公式。
五、菲涅耳公式的应用菲涅耳公式在光学中有广泛的应用。
首先，它可以用于计算反射率和透射率，即入射光的一部分被反射，一部分被折射。
这对于设计反射镜、透镜和光学薄膜具有重要意义。
其次，菲涅耳公式可以用于计算反射和折射的角度，根据入射角度和介质折射率的关系，可以确定折射光线的方向。
此外，菲涅耳公式还可以用于研究偏振光的反射和折射现象，对于光的偏振性质研究具有重要意义。
六、总结菲涅耳公式是描述光在两介质交界面上的反射和折射现象的定律，通过麦克斯韦方程组和边界条件的推导得到。
它在光学研究中具有重要的理论和实际应用价值，可以用于计算反射率、透射率和光线的角度，对于光学器件设计和光学现象的解释具有重要意义。
菲涅耳公式推导
干涉现象是光的波动性的表现之 一，是光波之间相互作用的结果。
干涉现象可以在各种不同的光学 实验中观察到，如双缝干涉、薄
膜干涉等。
干涉的条件和原理
干涉的条件包括：相干光源、光束的 频率相同、相位差恒定等。
当两束相干光波相遇时，它们在空间 某些区域相互叠加，形成明暗相间的 干涉条纹。
干涉原理是建立在波动理论的基础上 的，光波在空间传播时，其振幅、相 位和波前等特性都会对光波的干涉产 生影响。
干涉仪器的设计原理
干涉仪器的设计需要考虑到光源波长、反射次数、 反射角度等因素，以及如何实现干涉效应的最大 化。
干涉仪器的结构
干涉仪器的结构通常包括反射镜、分束器、光路 调节装置等部分，这些部分的设计和制作精度对 干涉效果的影响非常大。
光学干涉实验的原理
光的波动性
干涉是光波动性的表现，当两束或多束相干光波相遇时，它们会 相互叠加产生加强或减弱的现象。
光学通信
在光纤通信中，可以利用 光学干涉技术实现信号的 调制和解调，提高通信的 可靠性和保密性。
光学传感
光学干涉技术还可以用于 压力、温度、位移等物理 量的测量，广泛应用于工 业生产和科学研究中。
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干涉图样的形成
干涉图样是指由光的 干涉现象产生的明暗 相间的条纹图案。
通过分析干涉图样， 可以获得光源的特性、 光学系统的结构参数 等信息。
干涉图样的形成与光 源的形状、光束的路 径、光波的波长等因 素有关。
03 光的衍射原理
光的衍射现象
光的衍射现象是指光在传播过 程中遇到障碍物时，会绕过障 碍物继续传播的现象。
当障碍物的尺寸与光的波长相 当或更小时，光会绕过障碍物， 形成衍射图样。
菲涅耳公式
tp =
E2 p E1 p
2n1 cos i1 = n2 cos i1 + n1 cos i2
2 cos i1 sin i2 tp = sin(i1 + i2 ) cos(i1 i2 )
菲涅耳公式
菲涅耳公式的几点说明：
1、适用于绝缘介质（相对于导电介质而言）。金属表面→ 自由电子→金属光学 2、适用于各向同性介质（相对各向异性介质而言）。各向 异性介质→介电张量ε 3、适用于弱场或线性介质。强场非线性极化→D≠εε0E 4、适用于光频段。光频段μ≈1,n≈√ε 。若计及磁导率，菲公 包含（ ε1， μ1）、 （ ε2， μ2）形式 5、ES 和EP 是同一矢量E的S分量和P分量，具有相同的频率； 公式中各ES和EP即可看作是复振幅，也可看作是瞬时值。
E = BV = μH
με
B = μH = μ0 μr H c = 1 μ 0ε 0
V=
ε 0ε r ε H= E= E μ μ0 μr
ω
k
E B
=V
k=
2π
λ
=
ω
c
n,
n = μrε r ε r
界面处振动矢量的分解
以入射面为基准，任一振动矢量可以分解为两个正交的振动 分量：一振动方向垂直于⊥入射面（s振动或s态）；另一振 动方向在入射面内（p振动或p态） v v v E和H中的一个为s态，另一个必为p态。 E × H = S E为s态，H为p态的波称为横向电偏振（TE波） H为s态，E为p态的波称为横向磁偏振（TM波）
s
H1t = H 2t
？ 正入射i1=i2=0，复振幅反射率和透射率
n2 n1 rp = = rs n2 + n1 t = 2n1 = t p s n2 + n1
菲涅耳公式
rp
E1 E1
n1 n1
cos i2 cos i2
n2 n2
cos i1 cos i1
n1 / cos i1 n2 / cos i2 1p 2 p n1 / cos i1 n2 / cos i2 1p 2 p
P光的有效折射率 p n / cos i
P光的振幅透射系数为
T1 T2
R总
第一界面 第二界面
T总
(1)R1 (2)T12R2
总反射率
(3)T12 R22 R1
(4)T12 R23R12
R总 R1 T12R2 T12R（2 R1R2） T12R（2 R1R2）2
R1
1
T12 R2 R1R2
R1 R2 2R1R2 1 R1R2
i 0) = tg
i0
布儒斯特定律
tg i 0 =
n2 n1
= n 21
[例]
玻璃对空气的折射率为：n
tg i 0= 1.50 ... i 0= 560
21
=1.50
利用玻璃堆获得偏振光 自然光
入射 . . .. . .. . . .. . . .. . . . . . .
. .
线偏振光
外腔式激光器之布儒斯特窗
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula）
电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度
j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行
分量连续。
（3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。
（4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度
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讨论： A
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0 rp 0
当
n1 n2 , i1 i2 时
1
rs 0 rs 0
当n
n2 , i1 i2
时
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。 B
当
i1 iB
i1 i2 / 2
n1 n2 , i1 i2
反射、折射时的偏振现象
入 射 角 i1 0 反射光偏振态 自然光 部分偏振光（自然光＋S 光） 折射光偏振态 自然光 部 分 偏 振 部分偏振光（自然光＋S 光） 光 自然光
iB
线偏振光（S 光）
2
(ic )
自然光
三、维纳(O.Wiener 1890年)实验证明—— 电场是主要的
光与物质的相互作用，本质上是光与电子的相互作用。运 动的电子既有电荷亦有磁矩，光是电磁波。在光与电子的相互 作用中，是电场起主要作用，还是磁场起主要作用，还是电场 和磁场起等同的作用？-----维纳实验回答了这个问题。
, ,
E 2 s y 0 A2 s
exp i ( k r ' t ) exp i ( k r t )
2 2
其中:
k1 x 0 k1 sin i1 z 0 k1 cos i1 k1 ' x 0 k1 ' cos i1x ' y 0 k1 ' cos i1 y ' z 0 k1 ' cos i1z ' k 2 x 0 k 2 cos i2 x y 0 k 2 cos i2 y z 0 k 2 cos i2 z
S
rs 0
rp 0
S
.
P
S
rp 0
P
有相位突变
有相位突变
总结洛埃镜实验和维纳实验，以及理论分 析，可得半波损失产生的条件：
• 当光从光疏介质向光密介质入射时，反 射光相位发生变化。但只有入射角接近0°或 90°，即垂直入射或掠射时，反射光相位发 生π的突变。 • 在任何情况下透射光都没有半波损。
由电磁场边界条件，在界面（即z=0）处有： E1s E1s ' E 2 s 因对于所有时间t，和所有x、y上式成立，所以： 1 1 ' 2
cos i1 y ' 0 , cos i 2 y 0
由此可知道，（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。 因而，
k1 ' 和 k 2 可表达为： k1 ' x 0 k1 sin i1 ' z 0 k1 cos i1 '
1
时
rp 0
rp 0
rs 0 rs 0
当n
n2 , i1 i2
时
接近正入射(i1 < iB )
S n1 > n 2
接近掠入射(i1 > iB )
rs 0
rp 0
.
P
S
.
P
rs 0
rp 0
S
.
P
P
.
S
无相位突变
无相位突变
rs 0
S n1 < n 2
.
P P
E1 p
E1 p
E1s
i1 i 1
O i 2
E2s
E1s
x
E2 p
规定s 分量的正方向为沿 y 轴正方 向，p 分量的正方向为与s 分量和传播 方向构成右手螺旋关系：
z
ˆ ˆ ˆ ps k
exp i ( k1 r 1t )
1 1
对于s分量，设:
E 1s y 0 A1s E 1s y 0 A1s
（3）p分量的振幅透射率：
tp E2 p E1 p 2n1 cos i1 n2 cos i1 n1 cos i2
（4）s分量的振幅透射率：
E2 s 2n1 cos i1 2 cos i1 sin i2 ts E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i1 i2 )
所以，
sin i1 cos i2 4 sin i2 cos i1 R s Ts 1 2 2 sin (i2 i1 ) sin i2 cos i1 sin (i1 i2 ) sin (i2 i1 )
2 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，s分量能量守恒；同理可得，p分量能量 守恒。所以，菲涅耳公式满足能量守恒
n ( E 2 E1 ) 0 n (H 2 H 1 ) J s n ( D 2 D1 ) s n ( B 2 B1 ) 0
注： J 为表 面传导电流 密度； s 为表 面自由电荷 密度。
s
在绝缘介质界面，无自由电荷和传导电流
1 E1n 2 E 2 n E 1t E 2 t 1 H 1n 2 H 2 n H H 2t 1t
电位移矢量法线分量连续 电场强度矢量切线分量连续 磁感应强度矢量法线分量连续 磁场强度切线分量连续
• 研究该问题的基本思路：我们可以把入射波 电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量 垂直于入射面，称为“s”分量；另一个分量 位在入射面内，称为“p”分量。
rs A1s A1s
'
sin( i2 i1 ) sin( i2 i1 )
ts
A2 s A1s
2 sin i2 cos i1 sin( i1 i2 )
• 同理可得出在分界面处，p分量的振幅关系。
• 折射、反射定律只解决了平面光波在两个介质分界 面上的传播方向问题。 • 菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入射波 （复）振幅之间的关系，是物理光学中的又一组基 本公式：
n2 tg i 0 = n1
外腔式激光管加装布儒斯特窗，以产生线偏振激光。
· ·
i0
i0
······
布儒斯特窗
i0
· ·
i0
M2 激光输出
M1
假如封闭管子两端的玻璃窗口是垂直于管轴线的玻 璃片，那么自然光每经过一个窗口表面就有大约4% 的反射损失(96%透入)。光在M1 M2之间每个单程要 4次穿过窗口表面。这样，光来回反射时，反射损耗 太大就不能形成激光。
成正比。
则在界面上能流反射 率和透射率分别为：
n2 cos i2 Ts ts n1 cos i1
2
R s rs
2
sin (i2 i1 ) sin (i2 i1 )
2 2
2
2
sin i1 cos i2 4 sin i2 cos i1 sin i2 cos i1 sin 2 (i1 i2 )
1.4 菲涅耳公式
（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827）
光射在两种介质的界面上时，将发生反射和折 射。能流的分配与入射角有关，还存在相位的跃变 和偏振态的变化。 从电磁场的边界条件出发，可以得到 反射和折 射定律，以及入射与反射、折射的振幅关系——解 决光在界面上的强度分配问题。 菲涅耳在麦克斯韦之前得到了反射、折射公式.
更令人信服的、进一步的维纳实验：
对于s光， E 1 s
// E '1 s ， H 1 p H '1 p
对于p光， E 1 p E '1 p ， H 1 s // H '1 s 证明乳胶感光是电场所致，而磁场没有起作用。
记录到明暗条纹 记录到均匀黑度
原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。
二、布儒斯特定律
（1）布儒斯特定律 当 i2 i1 / 2 时，
tg(i2 i1 )
tg (i2 i1 ) tg (i2 i1 )
以布儒斯特角入射
n1 n2
0
0
i0
i0
90 r
0
P光的反射系数： rp 由折射定律：
i 0 + r = 90
n2 sin i 0 sin i 0 = sin = sin ( 90 0 i ) = tg i 0 n1 r 0 布儒斯特定律
rp tg (i1 i2 ) tg (i1 i2 )
tp
2 sin i2 cos i1 sin( i1 i2 ) cos(i1 i2 )
rs
sin( i1 i2 ) sin( i1 i2 )
ts
2 sin i2 cos i1 sin( i1 i2 )
（1）p分量的振幅反射率：
电磁场边界条件：电磁场边值关系由麦克斯韦积分方程给出，反 映了电磁场在两种介质分界面处的突变的规律。
d E dl S B dS L dt H dl I d f S D dS L dt S D dS Q f S B dS 0
ts
tp 0
2 sin i2 cos i1 sin( i1 i2 )
ts 0
0 i / 2
rp tg (i1 i2 ) tg (i2 i1 )
rs
sin( i2 i1 ) sin( i2 i1 )
rs 、 可正可负。振幅的正负号改变， rp
就意味着相位改变π。（半波损失）
• 根据叠加原理：可以只研究入射波电场仅含s 分量和仅含p分量这两种特殊情况；当两种 分量同时存在时，则只要先分别计算由单个 分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢 量相加即可得到结果。