菲涅耳公式 折反射定律
Fresnel(菲涅尔)公式
=
n22 cos i1 − in1 n22 cos i1 + in1
n12 sin2 i1 − n22 n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ p
结论： rs = rp = 1 表示反射比为 1，光能量完全反射回介质 1，因此称作全内反射。
11
Phase Shift r,r ,t,t
s psp
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
物理光学折射与反射公式整理
物理光学折射与反射公式整理折射与反射是物理光学中的基本现象，它们描述了光在不同介质间传播时的行为。
在本文中，我们将整理折射与反射公式，以便更好地理解和应用这些概念。
1. 反射公式当光线从一种介质射向另一种介质的界面时，一部分光线会发生反射，即光线回射到原来的介质中。
反射公式用于计算反射角和入射角之间的关系。
根据反射定律，入射角（θ₁）等于反射角（θ₂）：θ₁ = θ₂这个公式适用于所有类型的反射，无论是在光滑的表面上还是在粗糙的表面上。
2. 折射公式当光线从一种介质射入另一种介质时，光线会发生偏折，即光线改变传播方向。
折射公式用于计算入射角和折射角之间的关系。
根据斯涅尔定律（也称为折射定律），入射角（θ₁）和折射角（θ₂）满足以下关系：n₁sin(θ₁) = n₂sin(θ₂)其中，n₁和n₂分别代表两个介质的折射率。
折射率是介质中光传播速度与真空中光传播速度的比值。
3. 全反射临界角当光线从光密介质射向光疏介质时，当入射角大于一个特定的角度（临界角），发生全反射。
此时，光线完全反射回原介质，不再折射入另一介质。
临界角可以通过折射公式计算得出。
当折射角（θ₂）等于90度时，入射角（θ₁）即为临界角（θc）。
此时，折射公式可以简化为：n₁sin(θc) = n₂如果入射角小于临界角，则出射角将变大，并根据折射公式计算。
4. 光的菲涅尔公式菲涅尔公式用于计算光线从一个介质射向另一个介质时的反射和透射的强度。
反射分为平行极化光和垂直极化光两种情况。
对于平行极化光，反射系数（r₁）由以下公式给出：r₁ = (n₁cos(θ₁) - n₂cos(θ₂)) / (n₁cos(θ₁) + n₂cos(θ₂))对于垂直极化光，反射系数（r₂）由以下公式给出：r₂ = (n₂cos(θ₁) - n₁cos(θ₂)) / (n₂cos(θ₁) + n₁cos(θ₂))透射系数（t）由以下公式给出：t = 2n₁cos(θ₁) / (n₁cos(θ₁) + n₂cos(θ₂))这些公式描述了反射和透射光的幅度与入射角、折射角以及介质折射率之间的关系。
2.10光在电介质表面的反射和折射菲涅尔公式(修正版)
p s
W1'p WW11'sp W1s
Rp Rs
p s
W2 p
WW12ps W1s
cos i2
ccoossii12 cos i1
Tp
Ts
(4) 能量守恒公式：
W1'p W2 p W1p ，W1's W2s W1s
p p 1 ，s s 1
E2s均为复数 E1ss1
E1P E1'
A1P exp(i1p ), E1s
A1' exp(i1' ) E1' p
p1'
A1sEe1x'sps1(' i1s
)
E1' p E2
A1' p exp(i1' p ), A2 exp(i2 )
E1's
A1's
（2）当 i1 iB 时，i1 i2 900
rp
tan( i1 tan( i1
i2 ) i2 )
tan(i1 i2) 0 ，tan(i1 i2 ) 0
rp 0 ，是负的实数
rp rp rp exp(i )
'p(out) ，有相位突变 p(out) 的相位突变如图所示
Rp
cos i2 cos i1
TP
1
，Rs
cos i2 cos i1
Ts
1
rp
2 n2 cos i2 n1 cos i1
tp
2
1
，rs
2 n2 cos i2 n1 cos i1
菲涅耳公式 折反射定律
Chapter 1 表里前提之阳早格格创做1.1 介量中的Maxwell’s equations 及物量圆程微分形式=t =J+t ==0B E DH D B ρ⎧∂∇⨯-⎪∂⎪⎪∂∇⨯⎨∂⎪⎪∇⎪∇⎩（1-1）传导电流稀度J 的单位为安培/米2(A/m2)，自由电荷稀度ρ的单位为库仑/米2(C/m2).共时有电磁场对付资料介量效率的闭系式，即物量圆程（大概称本构圆程）00==()J=D E E P B H H M Eεεμμσ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪⎩（1-2） 麦克斯韦圆程组及物量圆程形貌了所有电磁场空间及齐时间历程中电磁场的分集及变更情况.果此，所有闭于电磁波的爆收及传播问题，均可归纳到正在给定的初初条件战鸿沟条件下供解麦克斯韦圆程组的问题，那也正是用以办理光波正在百般介量、百般鸿沟条件下传播问题的闭键及核心. 1.2 积分形式及鸿沟条件由于二介量分界里上正在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 爆收跃变，果此那些量的导数往往不连绝.那时不克不迭正在界里上间接应用微分形式的Maxwell’s equations ，而必须由其积分形式出收导出界里上的鸿沟条件.积分形式0L S L S S Sd E dl B d S dt d H dl I D d S dtD d S Q B d S ⎧=-⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1-3）得鸿沟条件为21212121()0()()()0n E E n H H n D D n B B ασ⎧⨯-=⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩（1-4）式（1-4）的简曲阐明依次如下（简曲历程详睹《光教电磁表里》P20）：（1）电场强度矢量E 的切背分量连绝，n 为界里的法背分量. （2）α为界里上的里传导电流的线稀度.当界里上无传导电流时，α=0，此时H 的切背分量连绝.比圆正在绝缘介量表面无自由电荷战传导电流.（3）σ为界里上的自由电荷里稀度.（4）磁感触强度矢量B 的法背分量正在界里上连绝. Chapter 2 电磁波正在分层介量中的传播 2.1 反射定律战合射定律光由一种介量进射到另一种介量时，正在界里上将爆收反射战合射.现假设二介量为匀称、透明、各背共性介量，分界里为无贫大的仄里，进社、反射战合射光均为仄里光波，其电场表白式为进射波0exp[()]i i i i E E i t k r ω=- 反射波0exp[()]r r r r E E i t k r ω=- 合射波0exp[()]t t t t E E i t k r ω=- 界里二侧的总电场为：由电场的鸿沟条件21()0n E E ⨯-=，有000exp[()]exp[()]exp[()]i i i r r r t t t n E i t k r n E i t k r n E i t k r ωωω⨯-⋅+⨯-⋅=⨯-⋅欲使上式对付任性的时间t 战界里上r 均创造，则必定有：i r t ωωωω===（1-5）i r t k r k r k r ⋅=⋅=⋅（1-6）可睹，时间频次ω是进射电磁波大概光波的固有个性，它不果媒量而同，也不会果合射大概反射而变更.()0()0r i t i k k r k k r ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩（1-7） 由于r 不妨正在界里内采用分歧目标，上式本量上表示着矢量()r i k k -战()t i k k -均与界里的法线n 仄止，由此不妨推知，i k 、r k 、t k 与n 共里，该仄里称为进射里.由此可得出论断：反射波战合射波均正在进射里内.上式是矢量形式的合、反射定律.将上式写成标量形式，并约掉共共的位子量，可得cos()cos()cos()222i i r r t t k k k πππθθθ-=-=-（1-8）又由于1/i k n c ω=，1/r k n c ω=，2/t k n c ω=，得12()sin sin i r i t n n θθθθ=⎧⎨=⎩反射角等于入射角（折射定律）（1-9） 2.2 菲涅耳公式合、反射定律给出了反射波、合射波战进射波传播目标之间的闭系.而反射波、合射波战进射波正在振幅战位相之间的定量闭系由Fresnel 公式去形貌.电场E 是矢量，可将其收会为一对付正接的电场分量，一个振荡目标笔曲于进射里，称为‘s’分量，其余一个振荡目标正在（大概者道仄止于）进射里，称为‘p’分量.最先钻研进射波仅含‘s’分量战仅含‘p’分量那二种特殊情况.当二种分量共时存留时，则只消分别先估计由单个分量身分的合射、反射电场；而后根据矢量叠加本理举止矢量相加即可得到截止.（1）单独存留s 分量的情形最先确定：电场战磁场的s 分量笔曲于纸里， 背中为正，背内为背.正在界里上电场切背分量连绝： 其余由式（1-5）、（1-6），可得000is rs ts E E E +=（2-1）正在界里上磁场的切背分量连绝： 注意1H k E μω=⨯，如图所示.所以共理有000cos cos cos ip i rp r tp t H H H θθθ-+=-（2-2）非磁性各背共性介量中E 、H 的数值之间的闭系： 那么式（2-1）整治为101020cos cos cos is i rs r ts t n E n E n E θθθ-+=-（2-3）联坐式（2-1）（2-3）可得 （2）单独存留p 分量的情形最先确定：p 分量依照其正在界里上的投影目标，背左为正，背左为背.根据E 、H 的鸿沟条件得：再利用E 、H 的数值闭系以及正接性，得到综上所述，S 波及P 波的反射系数战透射系数的表白式为： 上头左边的式子便是出名的Fresnel 公式.利用合射定律，Fresnel 公式还不妨写成左边的形式. 2.3 反射波战透射波的本量2.3.1 n1<n2的情况 （1）反射系数战透射系数①二个透射系数ts 战tp 皆随着进射角i θ删大而单调落矮，即进射波越倾斜，透射波越强，而且正在正背确定下，ts 战tp皆大于整，即合射光不爆收相位突变.②rs 末究小于整，其千万于值随着进射角单调删大.根据正目标确定可知，正在界里上反射波电场的s 分量振荡目标末究与进射波s 分量好同，既存留π相位突变（又称半波益坏）. ③对付于rp ，它的代数值随着进射角i θ单调减小，然而是经历了一个由正到背的变更.由公式tan()tan()i t p i t r θθθθ-=+，当0p r =时有90i t θθ+=，即sin cos i t θθ=，又由合射定律12sin sin i t n n θθ=，联坐可得此时进射角为布儒斯特角121B n tg n θ-=.布儒斯特定律真量：如果仄里波以布儒斯特角进射，则不管进射波的电场振荡怎么样，反射波不再含有p 分量，惟有s 分量；反射角与合射角互为余角. （2）反射率战透射率上图中i A r A t A 为波的横截里里积，0A 为波投射正在界里上的里积.若进射光波的强度为is I ，则每秒进射到界里上头0A 积的能量为0cos is is i is i W I A I A θ== 又由光强表白式200||2n I E cμ=，上式可写成类似天，反射光战合射光的能量表白式为 于是反射率战合射率分别为类似天，当进射波只含有p 分量的时，不妨供出p 分量的反射率Rp 战透射率Tp ：s R 与s T 之间、p R 与p T 之间均存留‘互补’闭系，即：那标明，正在界里处，进射波的能量局部变换为反射波战合射波的能量（条件：界里处不集射、吸支等能量益坏）. 当进射波共时含有s 分量战p 分量时，由于二个分量的目标互相笔曲，所以正在所有天面、所有时刻皆有： 进而有：类似另有r rs rp W W W =+，t ts tp W W W =+ 不妨定义反射率R 战透射率T 为：r i W R W =，tiW T W =注意：进射光波的s 分量(p 分量)只对付合射率、反射率的s 分量(p 分量)有孝敬.如果进射波中s 战p 分量的强度比为α，i is ip W W W α=+，则有： 1[]1s p R R R αα=++战1[]1s p T T T αα=++ 即R 战T 分别是s R 、p R 战s T 、p T 的加权仄衡.然而是仍旧有：1R T +=正进射时，s 分量战p 分量的好别消得.若用R0战T0表示此时的反射率战透射率，则有：22120012()n n R r n n -==+以及2222120021124()n n n T t n n n ==+ 利用那二个等式不妨估算非正进射然而是进射角很小(30i θ<)的反射率战透射率.2.3.2 n1>n2的情况那种情形即由光稀媒量进射到光疏媒量的情形. 由合射定律可知，把90t θ=所对付应的进射角称为齐反射临界角，用c θ表示.即21sin c n n θ=. 果此分i c θθ≤战i c θθ>二种情况去计划. （1）当i c θθ≤时此时90t θ≤，不妨间接用Fresnel 公式去计划反射波战合射波的本量，收会要收战n1<n2的情形真足相共.对付于s 分量去道，当i c θθ<时，0s r >，证明无半波益坏，正如上图中的蓝线所示；对付于p 分量去道，正在i B θθ<范畴内，0p r <，证明有半波益坏，而正在B i c θθθ<<范畴内，0p r >，证明无半波益坏. 注意21sin tan c B n n θθ==，所以必定是B c θθ<，证明布儒斯特定律依旧灵验，共时也证明无论是n1>n2仍旧n1<n2的情形，布儒斯特定律皆创造.ts 战tp 均大于1，且随着i θ的删大而删大，然而是那不料味着透射率T 大于1以及T 必定随i θ的删大而删大. （2）当i c θθ>时果为齐反射临界角谦脚21sin c n n θ=.由该式可睹，当i c θθ>时，会出现21sin i n n θ>的局里，那隐然是分歧理的.此时合射定律12sin sin i t n n θθ=不再创造.然而是为了不妨将菲涅耳公式用于齐反射的情况，正在形式上仍旧要利用闭系式12sin sin t i n n θθ=.由于t θ正在真数范畴内不存留，不妨将有闭参量扩展到复数范畴.而i θ末究是真参量，为此应将cos t θ写成如下的真数形式： 有闭2cos θ与真数的物理意思及其与正号的本果，留正在后里证明.将上式代进菲涅耳公式，得到复反射系数 而且有式中，21/n n n =，是二介量的相对付合射率；||s r 、||p r 为反射光与进射光的s 分量、p 分量光场振幅大小之比.rs ϕ、rp ϕ为齐反射时，反射光中的s 分量、p 分量光场相对付进射光的相位变更.由上式可睹，爆收齐反射时，反射光强等于进射光强，而反射光的相位变更较搀纯.他们之间的相位好由下式决断： 果此，正在n 一定的情况下，适合天统造进射角，即可改变相位好，进而改变反射光的偏偏振状态.比圆菲涅耳棱镜的本理.当光由光稀介量射背光疏介量，并正在界里上爆收齐反射时，投射光强为整.那便有一个问题：此时正在光疏介量中有无光场呢？当把ts 、tp 的Fresnel 公式推广到复数域举止估计，将会创造ts 、tp 皆不等于整，亦即光疏媒量内有合射光波.正在爆收齐反射时，光波场将透进到第二个介量很薄的一层（约为光波波少）范畴内，那个波喊倏逝波.现假设介量界里为xOy仄里，进射里为xOz仄里，则正在普遍情况下可将透射波场表示为上式可改写为那是一个沿着z目标振幅衰减，沿着界里x目标传播的非匀称波，也便是齐反射的倏逝波.由此不妨证明前里计划的精确性：惟有cos与真数形式，而且与正号，才不妨得到客瞅上t存留的倏逝波.倏逝波正在进射波刚刚刚刚达到界里之初需要花一定的能量以修坐倏逝波电磁场中，当达到宁静状态之后，不需要再背它提供能量，倏逝波只沿着界里处传播，不加进第二媒量里里.果而齐反射时Rs=1、ts≠0战Rp=1、tp≠0本去不违犯能量守恒定律.简曲本量参瞅《物理光教与应用光教》P382.4 Stocks倒顺闭系Stokes' reversible relation不妨导出分歧介量二侧合射系数、反射系数的闭系.如上左图所示，假设进射光束的振幅为A，相映反射光束与合射光束为Ar，At.再设一束振幅为Ar的光束顺背传播（上左图中蓝色光束Ar）相映反射战合射分别是Arr、Art；再设一束振幅为t 的光束顺背传播（上左图中橙色光束At ），相映反射战合射分别为At r'、At t'.由于最初的反射光止波战合射光止波r 、t 正顺对消.则其余第二、第三象限的光束也对消，得到斯托克斯倒顺闭系，即： A 'A '0rr Att Art Atr +=⎧⎨+=⎩（第二象限）（第三象限）整治后，得2'1'0r tt r r ⎧+=⎨+=⎩r 、t 为从n1介量到n2介量进射时的反射战合射系数；r'、t'为从n2到n1介量进射时的反射战合射系数.。
光波在介质界面上的反射和折射 菲涅耳公式
( ki k r ) r 0 ( ki k t ) r 0
(123) (124)
n1 n2 O
kr ki kt
r
B
分界面
(121) (122)
i
t
A C
2.1 反射定律和折射定律 又因为 k n / c ，可将上二式改写为
H ip cos1 H rp cos1 H tp cos 2 (132)
利用
H E ，上式变为
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式 再利用折射定律，并由（131）式和（133）式消去 Ets，经整理可得
Ers sin ( 2 1 ) Eis sin ( 2 1 )
sin (1 2 ) rs =sin (1 2 )
(134)
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式 利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系 数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
O
kr
2
Ers k t
1.s 分量和 p 分量
E p1
H s1
z
1 Hs
E p2 H s2
y
o
E p1
x
2. 反射系数和透射系数 假设介质中的电场矢量为
El E0l e－i(l t－kl r ) l i, r, t ( 127)
其 s 分量和 p 分量表示式为
Elm E0lm e－i(l t－kl r ) m s, p （ 128）
2. 反射系数和透射系数 则定义 s 分量、p 分量的反射系数、透射系数分别为
菲涅耳公式 折反射定律(优质课资)
Chapter 1 理论基础1.1 介质中的Maxwell ’s equations 及物质方程 微分形式=t =J+t ==0B E D H D B ρ⎧∂∇⨯-⎪∂⎪⎪∂∇⨯⎨∂⎪⎪∇⎪∇⎩ （1-1）传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。
同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程） 00==()J=D E E P B H H M E εεμμσ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪⎩ （1-2） 麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。
因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。
1.2 积分形式及边界条件由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。
这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell ’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。
积分形式0L S L S S S d E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ⎧=-⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1-3）得边界条件为21212121()0()()()0n E E n H H n D D n B B ασ⎧⨯-=⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩ （1-4）式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）：（1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。
（2）α为界面上的面传导电流的线密度。
当界面上无传导电流时，α=0，此时H 的切向分量连续。
比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。
（3）σ为界面上的自由电荷面密度。
（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。
fresnel公式
fresnel公式Fresnel公式是描述光在两种介质之间传播时发生反射和折射的规律。
它由奥古斯汀·让·菲涅耳在19世纪初提出。
Fresnel公式分为反射和折射两个部分，分别描述了光的入射、反射和透射的振幅和相位之间的关系。
根据Fresnel公式，入射光线在介质界面上会发生一部分反射，另一部分则会折射进入下一个介质。
对于垂直入射的光线，反射系数和折射系数可以按以下公式计算：反射系数R = |(n1 - n2) / (n1 + n2)|^2折射系数T = 1 - R其中，n1和n2分别为上一个介质和下一个介质的折射率。
反射系数表示入射光线被反射的比例，折射系数表示入射光线被折射的比例。
对于非垂直入射的光线，Fresnel公式还包括极化方向的影响。
在这种情况下，入射光线可以分为垂直极化（s极化）和平行极化（p极化）两部分。
对于s极化，反射和折射系数分别为：反射系数Rs = |(n1*cos(θ1) - n2*co s(θ2)) / (n1*cos(θ1) + n2*cos(θ2))|^2折射系数Ts = 1 - Rs其中，θ1和θ2分别为入射角和折射角。
对于p极化，反射和折射系数分别为：反射系数Rp = |(n2*cos(θ1) - n1*cos(θ2)) / (n2*cos(θ1) + n1*cos(θ2))|^2折射系数Tp = 1 - RpFresnel公式在光学领域和光学器件设计中具有广泛应用。
例如，它可以被用来优化反射镜、透镜和光学薄膜的性能，以及研究光在介质中的传播和吸收等现象。
总结来说，Fresnel公式描述了光线在介质界面上的反射和折射行为，它提供了计算反射和折射系数的数学表达式，便于研究光的传播和相位的变化。
光波在介质界面上的反射和折射 菲涅耳公式
m s , p （ 1 2 8 ）
Ers sin(2 1) Eis sin(2 1)
(k ik r)r0 (1 2 1 )
rm
E0rm E0im
(129)
3. 菲涅耳公式 由 （134）式和（133）式消去 Ers，经运算整理得
ts=-n1co2 sn11con s2 c1os2
(135)
rs=-ssiinn((1122))
(134)
( E i s E r s ) n 1 c o s 1 E t s n 2 c o s2( 1 3 3 )
3. 菲涅耳公式
利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系 数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
rs
sin(12)=n1cos1n2cos2 sin(12) n1cos1n2cos2
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为 无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波, 其电场表示式为
E l E 0 le － i( lt－ k lr) l i,r,t(1 1 9 )
z
ki 1 2
(ki kr)r0 (121) (ki kt)r0 (122)
kr
B
r
n1 O
n2
ki 分界面
kt
i A
t
C
2.1 反射定律和折射定律 又因为 k n/c ，可将上二式改写为
nisini nrsinr (125) nisini ntsint (126)
这就是介质界面上的反射定律和折射定律，折射定 律又称为斯涅耳（Snell）定律。
n
折射和反射定律、菲涅耳公式
公式(8)、(9)、(12)、(13)称为Fresnel公式：
rs
ts
Er 0 s n1 cos i n2 cos t Ei 0 s n1 cos i n2 cos t
Er 0 s 2n1 cos i Ei 0 s n1 cos i n2 cos t
(8) (9) (12) (13)
θt k t n H ts
图3
H rs
即：E 的p分量的切向分量一致向右 E H k 组成右手坐标系
H 的正方向如图所示
1 2
E rp
根据 E H 的边界条件得：
E tp
H i 0s H r 0s H t 0s (10)
Ei 0 p cosi Er 0 p cos r Et 0 p cost (11)
sin( i t ) rs sin( i t ) tan( i t ) rp tan( i t ) 2 cos i sin t ts sin( i t ) tp 2 cos i sin i sin( t i ) sin( t i )
3
界面两侧的总电场为：
E1 Ei Er Ei 0 exp[i(ki r it )] Er 0 exp[i(kr r rt )] E2 Et Et 0 exp[i(kt r t t )] n (E2 E1 ) 0 电场的边界条件 n Ei0 exp[i(ki r i t )] n Er 0 exp[i(kr r r t )] n Et 0 exp[i(kt r t t )]
ts
tp
位相跃变(半波损失) sin( i t ) rs sin( i t ) 负号写成 exp(i )
菲涅尔积分公式
菲涅尔积分公式
菲涅尔积分公式是光学和工程学中非常重要的公式之一，它用于描述光在两种不同介质之间反射和折射的过程。
这个公式是由物理学家和数学家奥古斯特·菲涅尔在19世纪初提出的，它基于光的波动理论，描述了光波在两种不同介质之间的传播行为。
菲涅尔积分公式包含两个部分：反射系数和折射系数。
反射系数用于描述光在两种不同介质之间的反射行为，而折射系数用于描述光在两种不同介质之间的折射行为。
这两个系数都与入射角、反射角和折射角有关，同时也与两种介质的折射率有关。
反射系数和折射系数的具体形式如下：
1. 反射系数R = (n2 * sinθi - n1 * sinθt) / (n2 * sinθi + n1 * sinθt)，其中n1 和n2 分别是两种介质的折射率，θi 和θt 分别是入射角和反射角。
2. 折射系数T = 2 * n1 * sinθi / (n2 * sinθt + n1 * sinθi)，其中n1 和n2 分别是两种介质的折射率，θi 和θt 分别是入射角和折射角。
在光学和工程学中，菲涅尔积分公式被广泛应用于计算光在各种不同介质之间的反射和折射行为。
这个公式对于光学设计、成像系统分析、光学仪器制造等领域非常重要。
除了菲涅尔积分公式外，还有许多其他公式和定理用于描述光的行为，例如斯涅尔定律、反射定理、折射定理等。
这些公式和定理都是基于光的波动理论或量子理论，是光学和工程学领域的重要工具。
综上所述，菲涅尔积分公式是一个重要的公式，用于描述光在两种不同介质之间反射和折射的行为。
它基于光的波动理论，包含反射系数和折射系数两个部分，对于光学设计和工程学领域非常重要。
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Chapter 1 理论基础1.1 介质中的Maxwell ’s equations 与物质方程微分形式=t =J+t ==0B E D H D B ρ⎧∂∇⨯-⎪∂⎪⎪∂∇⨯⎨∂⎪⎪∇⎪∇⎩（1-1）传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。
同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）00==()J=D E E PB H H M Eεεμμσ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪⎩（1-2）麦克斯韦方程组与物质方程描写了整个电磁场空间与全时间过程中电磁场的分布与变化情况。
因此，所有关于电磁波的产生与传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键与核心。
1.2 积分形式与边界条件由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。
这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell ’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。
积分形式0L S L S S S d E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ⎧=-⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1-3） 得边界条件为（1-4）式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）： （1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。
（2）α为界面上的面传导电流的线密度。
当界面上无传导电流时，α=0，此时H 的切向分量连续。
比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。
（3）σ为界面上的自由电荷面密度。
（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。
Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播2.1 反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。
现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为入射波0exp[()]i i i i E E i t k r ω=- 反射波0exp[()]r r r r E E i t k r ω=- 折射波0exp[()]t t t t E E i t k r ω=- 界面两侧的总电场为：10020exp[()]exp[()]exp[()]i r i i i r r r t t t t E E E E i t k r E i t k r E E E i t k r ωωω⎧=+=-⋅+-⋅⎪⎨==-⋅⎪⎩ 由电场的边界条件21()0n E E ⨯-=，有000exp[()]exp[()]exp[()]i i i r r r t t t n E i t k r n E i t k r n E i t k r ωωω⨯-⋅+⨯-⋅=⨯-⋅欲使上式对任意的时间t 和界面上r 均成立，则必然有：i r t ωωωω===（1-5）i r t k r k r k r⋅=⋅=⋅（1-6）可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。
（1-7）由于r 可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量()r i k k -和()t i k k -均与界面的法线n 平行，由此可以推知，i k 、r k 、t k 与n 共面，该平面称为入射面。
由此可得出结论：反射波和折射波均在入射面内。
上式是矢量形式的折、反射定律。
将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得cos()cos()cos()222i i r r t t k k k πππθθθ-=-=-（1-8）又由于1/i k n c ω=，1/r k n c ω=，2/t k n c ω=，得12()sin sin i r i t n n θθθθ=⎧⎨=⎩反射角等于入射角（折射定律）（1-9）2.2 菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。
而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。
电场E 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s ’分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p ’分量。
首先研究入射波仅含‘s ’分量和仅含‘p ’分量这两种特殊情况。
当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。
（1）单独存在s 分量的情形首先规定：电场和磁场的s 分量垂直于纸面， 向外为正，向内为负。
在界面上电场切向分量连续：21()0n E E ⨯-=另外由式（1-5）、（1-6），可得000is rs ts E E E += （2-1）在界面上磁场的切向分量连续：21()0n H H ⨯-=注意，如图所示。
所以同理有000cos cos cos ip i rp r tp tH H H θθθ-+=-（2-2）非磁性各向同性介质中E 、H 的数值之间的关系：那么式（2-1）整理为101020cos cos cos is i rs r ts tn E n E n E θθθ-+=-（2-3）联立式（2-1）（2-3）可得012012cos cos cos cos rs i ts is i tE n n r E n n θθθθ-==+010122cos cos cos ts is is i tE n t E n n θθθ==+（2）单独存在p 分量的情形首先规定：p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。
根据E 、H 的边界条件得：000is rs ts H H H +=000cos cos cos ip i rp r tp t E E E θθθ+=再利用E 、H 的数值关系以与正交性，得到021021cos cos cos cos rp i t p ipi tE n n r E n n θθθθ-==+010212cos cos cos tp ip ipi tE n t E n n θθθ==+综上所述，S 波与P 波的反射系数和透射系数的表达式为：0120120210210101201021cos cos cos cos cos cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos rs i t s is i trp i t pip i tts is is i t tp i p ip i t E n n r E n n E n n r E n n E n t E n n E n t E n n θθθθθθθθθθθθθθ-⎧==⎪+⎪⎪-==⎪+⎪⎨⎪==⎪+⎪⎪==⎪+⎩sin()sin()tan()tan()2cos sin sin()2cos sin sin()cos()i t si t i t p i ti t s i t i tp i t i t r r t t θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-⎧=-⎪+⎪-⎪=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎪⎪=⎪+-⎩上面左边的式子就是著名的Fresnel 公式。
利用折射定律，Fresnel 公式还可以写成右边的形式。
2.3 反射波和透射波的性质2.3.1 n1<n2的情况 （1）反射系数和透射系数①两个透射系数t s 和t p 都随着入射角i θ增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，t s 和t p 都大于零，即折射光不发生相位突变。
② r s 始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。
根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s 分量振动方向始终与入射波s 分量相反，既存在π相位突变（又称半波损失）。
③对于r p ，它的代数值随着入射角i θ单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。
由公式，当0p r =时有90i t θθ+=，即sin cos i t θθ=，又由折射定律12sin sin i t n n θθ=，联立可得此时入射角为布儒斯特角。
布儒斯特定律内容：如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p 分量，只有s 分量；反射角与折射角互为余角。
（2）反射率和透射率上图中i A r A t A 为波的横截面面积，0A 为波投射在界面上的面积。
若入射光波的强度为is I ，则每秒入射到界面上0A 面积的能量为0cos is is i is i W I A I A θ==又由光强表达式，上式可写成21000||cos 2is is i n W E A cθμ=类似地，反射光和折射光的能量表达式为21000||cos 2rs rs i n W E A c θμ= 22000||cos 2ts ts t n W E A cθμ=于是反射率和折射率分别为2221||cos cos ||cos cos rs rs s s is ists t ts t s s is i is i W I R r W I W I n T t W I n θθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⋅=⋅⎪⎩类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率R p和透射率T p：2221||cos cos||cos cosrp rpp pip iptp tpt tp pip i ip iW IR rW IW I nT tW I nθθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⋅=⋅⎪⎩sR与sT之间、pR与pT之间均存在‘互补’关系，即：这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失）。
当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：222||||||i is ipE E E=+从而有：i is ip i is ipI I I W W W=+⇒=+类似还有r rs rp W W W =+，t ts tp W W W =+ 可以定义反射率R 和透射率T 为： ，注意：入射光波的s 分量(p 分量)只对折射率、反射率的s 分量(p 分量)有贡献。
如果入射波中s 和p 分量的强度比为α，i is ip W W W α=+，则有：1[]1s p R R R αα=++和 即R 和T 分别是s R 、p R 和s T 、p T 的加权平均。
但是仍然有：1R T += 正入射时，s 分量和p 分量的差异消失。
若用R 0和T 0表示此时的反射率和透射率，则有：以与2222120021124()n n n T t n n n ==+利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(30i θ<)的反射率和透射率。