1.4 菲涅耳公式
Fresnel(菲涅尔)公式
=
n22 cos i1 − in1 n22 cos i1 + in1
n12 sin2 i1 − n22 n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ p
结论： rs = rp = 1 表示反射比为 1，光能量完全反射回介质 1，因此称作全内反射。
11
Phase Shift r,r ,t,t
s psp
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
菲涅耳公式——精选推荐
§1-6 菲涅耳公式一．菲涅耳公式电磁波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，在电动力学中将讲到入射、反射和折射三束波在分界面上振幅的大小和方向之间的关系，这一关系可由菲涅耳公式表达出来，上节提到的在反射过程中发生的半波损失问题，就可以用这个公式来解释，这一公式对以后讲到的许多光学现象，都能圆满地加以说明。
菲涅耳公式的内容说明如下：在任何时刻，我们都可以把入射波、反射波和折射波的电矢量分成两个分量，一个平行于入射面，另一个垂直于入射面。
有关各量的平等分量与垂直分量依次用指标P 和S 来表示。
以1i 、'1i 和2i 分别表示入射角、反射角和折射角，它们确定了各波的传播方向（在大多数情况下，只要注意各波的磁场矢量即可，因为知道了各个波的传播方向，各波的磁场矢量就可按右螺旋关系确定）。
以1A 、'1A 和2A 来依次表示入射波、反射波和折射波的电矢量的振幅，它们的分量相应就是1P A 、1'P A 、2P A 和1s A 、1's A 、2s A 。
由于三个波的传播方向各不相同，必须分别规定各分量的某一个方向作为正方向，这种规定当然是任意的。
但是只要在一个问题材的全部讨论过程中始终采取同一种正方向的选择，由此得到的各个关系式就具有普遍的意义，(a)(b)(图1-16)图1-16中xy 平面为两介质的分界面，z 轴为法线方向，xz 平面为入射面，规定电矢量的s 分量以沿着y +方向的为正，这对于入射、反射和折射三个波都相同，图中III II I 、、三个面依次表示入射、反射和折射三个波的波面。
电矢量的P 分量沿着这三个波面与入射面的交线，它们的正方向分别规定为如图1-16)()(b a 、所示，且S 分量、P 分量和传播方向三者构成右螺旋关系。
在传播过程中，电矢量的方向是在不断变化的，我们所注意的仅是在反射、折射过程这一瞬时的变化，所以菲涅耳公式所表示的有关各量的方向都是指紧靠两介质分界面O 点处而言的（在图中为清楚起见，将通过O 点的三个波面画III II I 、、画在离开O 点较远之处）。
菲涅耳公式,全反射,反射
当入射波电矢量取任意方位角α时，
s sin 2 p cos2 s sin 2 p cos2
若入射光为自然光，其反射比为
n (s p) / 2
自然光在 1 450的区域内反射率几乎不变，约等于正入
射的值。正入射时，
n
(n n
ts
A2s A1s
2 cos1 sin2 sin(1 2 )
2n1 cos1 n1 cos1 n2 cos2
（2）P波（平行于入射面分量）的菲涅耳公式
rp P波的振幅反射系数
t p P波的振幅透射系数
rp
A1' p A1 p
tg(1 2 ) tg(1 2 )
W1为入射光能量，由于反射而损失的能量占41%。 为减少光能量损失，近代光学技术普遍采用在光学元 件表面镀增透膜。
（五）反射和折射时的偏振关系 一束自然光可分解为两束振动方向相互垂直的、 等幅的、不相干的线偏振光。
将自然光中两个相互垂直的等幅振动之一完全移去得到 的光，称为完全偏振光，也可称为线偏振光或平面偏振光。
布儒斯特角不同于全反射的临界角
n1
n2
当且仅当 tgio
n1>n2或n1<n2都可以。
n2 n1
时，反射光才是线偏振光。且
而全反射:入射角i i临都是全反射。由于 sin i临
故只有n1>n2才会发生全反射。
Байду номын сангаас
n2 n1
,
例题：已知某材料在空气中的布儒斯特角为580， 求它的折射 率？若将它放在水中（水的折射率为 1.33），求布儒斯特角？ 该材料对水的相对折射率是多少？
菲尼尔公式
菲涅尔公式是描述光在两种介质交界面上反射和折射现象的一组公式，由法国物理学家菲涅尔在19世纪提出。
该公式包含了入射光线的角度、两种介质的折射率以及反射和折射光线的角度等因素。
菲涅尔公式可以用来计算反射和透射光线的强度和相对方向，是光学研究中非常重要的工具。
它的表达式形式较为复杂，包括两个方程式：一个是描述垂直入射光线的情况，另一个是描述斜入射光线的情况。
具体表达式如下：
垂直入射光线：
反射系数R = ((n1-n2)/(n1+n2))²
透射系数T = 1-R
斜入射光线：
反射系数R = ((n1cosθ1 - n2cosθ2)/(n1cosθ1 + n2cosθ2))²
透射系数T = 1-R
其中，n1和n2表示两种介质的折射率，θ1和θ2表示入射光线和反射/折射光线的夹角（取决于光线从哪种介质入射），cos表示夹角的余弦值。
- 1 -。
菲涅耳公式
斯托克斯定律
2 t01t10 1 r01
r10 r01
2 (1 r01 )r12e i r01 r12e i i r r r01 r e 1 r12r01e i 1 r12r01e i
2 r12 (1 r01 ) sin r arctg 2 2 r01 (1 r12 ) r12 (1 r01 ) cos
90
0
i 0 + r = 90 r 由折射定律： sin i 0 n2 n 21 = = n1 sin r sin i 0 sin i 0 tg i 0 = = 0 sin r sin ( 90 i 0 ) 布儒斯特定律
n2 n tg i 0 = = 21 n1
n 21 =1.50 [例] 玻璃对空气的折射率为： 0 . tg i 0 = 1.50 . . i 0 = 56
i2
A2
w2
反射光束的截面积 A1 ′= A1 cosi2 透射光束的截面积 A2 = A1 cosi1
反射率
A1 S1 n1 E1 E1 W1 S1 2 R r W1 S1 A1 S1 n1 E12 E 1
2
2
R p rp , Rs rs
2
2
透射率
W2 S 2 A2 n2 E2 cos i2 n2 cos i2 2 T t 2 W1 S1 A1 n1 cos i1 n1 E1 cos i1
2
n2 cos i2 2 Tp tp n1 cos i1
n2 cos i2 2 Ts ts n1 cos i1
若光从介质n2射向介质n1 反射率
S
.
P
S
菲涅耳公式
菲涅耳公式
费涅耳公式，也称费涅耳定律，它是由德国物理学家威廉·费涅耳在1850年提出的一种物理公式，主要用于研究不同温度下液体的密度和比重。
它可以用来计算一定温度下液体的密度和比重，也可以用来研究液体的物理性质。
费涅耳公式的表达式为：ρ=ρ0（1-α（t-t0）），其中ρ表示温度t时的液体密度，ρ0表示温度t0时的液体密度，α表示温度变化时的热膨胀系数。
这个公式表明，任何液体的温度变化都会导致其密度和比重发生变化。
费涅耳公式也可以用来研究液体的物理性质，因为液体温度的变化会对液体的物理性质产生影响。
例如，当液体温度升高时，液体的粘度和抗拉强度会降低；当液体温度升高时，液体的比表面张力会增加。
费涅耳公式的发现对于物理学的发展有着重要的意义，它给出了不同温度下液体的密度和比重之间的关系，使得研究液体的物理性质变得更加精确和客观。
它也为控制液体的性质提供了有效的方法，使得很多工业生产变得更加高效和可控。
总之，费涅耳公式是一个重要的物理学公式，它为液体的研究和控制提供了重要的理论基础。
菲涅耳公式汇总.
根据电磁场边界条件，得
cos i1 E2 cos i2 E1 cos i1 E1
H2 H1 H1
n2 E2 n1E1 n1E1
E1(n2 cos i1 n1 cos i2 ) E1 (n2 cos i1 n1 cos i2 ) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
O
Y
i2
H2
1s 2 s 1s 2 s
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cos i S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
E2 2n1 cos i1 ts E1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula） 电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行 分量连续。 （3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。 （4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂 直分量连续。
q
解： tg i 1= 1.33 1 tg i 2= 1.50 1.33
i1
i 1= 53.60 i 2= 48.440
n 1=1
r
n =1.33
2
i2
q
r = 900 i 1 = 36.940
因为三角形内角之和为 1800 ∴ q + ( 900+ r )+ ( 900 i 2 ) =1800
n 3 =1.50
折射和反射定律菲涅耳公式
(26)
tp
2cosi sini sin(t i )sin(t i )
(27)
13
三、根据Fresnel公式讨论反射波和 透射波的性质 内容
1. n1<n2的情况 2. n1>n2的情况
14
1. n1<n2的情况
在光学上，这种情况称为光从光疏媒质向光密媒质入射。 根据折射定律可知：θi>θt 。
ts
Er0s Ei0s
2n1 cosi n1 cosi n2 cost
(9)
n1 n2
rp
Er0 p Ei0 p
n1 cost n1 cost
n2 cropsi n2 cosi
Er0 p cosi cost
Ei0(p12) n1 n2
co将s它i 们c变os形t
波的横截面面积与投射在界面上的面积存在着关系
I is
n1
20c
|
Ei 0 s
|2
(31)
Wis=IisA0cosθi (32)
I rs
n1
20c
|
Er0s
|2
Wrs=IrsA0cosθr=IrsA0cosθi
Ai
1
As
i
2
A0 At t
I ts
n1
20c
|
Et 0 s
n2/n1=2.0
差别消失，用r0和t0分别表示正入射 时的反射和透射系数，则有：
rs
r0
n1 n1
n2 n2
(29)
t0
2n1 n1 n2
图4
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（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。
（2）反射角等于入射角；以及， n1 sin i1 n2 sin i2 再由磁矢量在界面（即z=0）处的条件： H 1s H 1s ' H 2 s 并利用在非铁磁质中的关系： r 1, n r r r • 菲涅耳给出在分界面处，入射波、反射波、折射波的s 分量的振幅关系为：
注： J s 为表 面传导电流 密度； s 为表 面自由电荷 密度。
1 E1n 2 E2 n E E 1t 2t 1 H1n 2 H 2 n H1t H 2t
电位移矢量法线分量连续 电场强度矢量切线分量连续 磁感应强度矢量法线分量连续 磁场强度切线分量连续
rp 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
rs 0 rs 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
接近正入射(i1 < iB )
S n1 > n 2
接近掠入射(i1 > iB )
.
P
S
.
P
rs 0 rs 0
rp 0
S
.
P
P
rp 0
.
S
无相位突变
无相位突变
S n1 < n 2
更令人信服的、进一步的维纳实验：
对于s光， E1s // E '1s ，H1 p H '1 p
对于p光， E1 p E '1 p ，H1s // H '1s 证明乳胶感光是电场所致，而磁场没有起作用。
记录到明暗条纹 记录到均匀黑度
原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。
.
P P
rs 0
S
rs 0
rp 0
S
.
P
S
rp 0
P
有相位突变
有相位突变
总结洛埃镜实验和维纳实验，以及理论分 析，可得半波损失产生的条件：
• 当光从光疏介质向光密介质入射时，反 射光相位发生变化。但只有入射角接近0°或 90°，即垂直入射或掠射时，反射光相位发 生π的突变。 • 在任何情况下透射光都没有半波损。
n2 tg i 0 = n1
外腔式激光管加装布儒斯特窗，以产生线偏振激光。
· ·
i0
i0
······
布儒斯特窗
i0
· ·
i0
M2 激光输出
M1
假如封闭管子两端的玻璃窗口是垂直于管轴线的玻 璃片，那么自然光每经过一个窗口表面就有大约4% 的反射损失(96%透入)。光在M1 M2之间每个单程要 4次穿过窗口表面。这样，光来回反射时，反射损耗 太大就不能形成激光。
则在界面上能流反射 率和透射率分别为：
R s rs
2
sin 2 (i2 i1 ) sin (i2 i1 )
2
n2 cos i2 2 sin i1 cos i2 4 sin i2 cos i1 Ts ts n1 cos i1 sin i2 cos i1 sin 2 (i1 i2 )
把电矢量分成两个分量:
p分量—— 平行于入射面 （光线方向与界面法线所确定的平面， 如图中 xy面为界面，z轴为法线。） s分量—— 垂直于入射面。 图中的y轴方向。
E1 p
E1p
E1s
i1 i1
O
E1s
i2
E2s
x
E2 p
规定s 分量的正方向为沿 y 轴正方 向，p 分量的正方向为与s 分量和传播 方向构成右手螺旋关系：
• 研究该问题的基本思路：我们可以把入射波 电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量 垂直于入射面，称为“s”分量；另一个分量 位在入射面内，称为“p”分量。
• 根据叠加原理：可以只研究入射波电场仅含s 分量和仅含p分量这两种特殊情况；当两种 分量同时存在时，则只要先分别计算由单个 分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢 量相加即可得到结果。
关于菲涅耳公式的讨论
一、菲涅耳公式中的能量守恒
既然
E02
表示光的能量流动，为什么
2
E1s
E1s ' E 2 s ?
2
2
平面电磁波的能流密度：
1 S 2
2 E0
一般 r 1
n r
1 S 2
0 2 ( n E0 ) 0
2 (n E0 ) 成正比。 平面电磁波的能流密度与
讨论： A
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0 rp 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
当 n1 n2 , i1 i2 时
rs 0 rs 0
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。 B
i1 iB
i1 i2 / 2
rp 0
（1）p分量的振幅反射率：
E1 p n2 cos i1 n1 cos i2 tan(i1 i2 ) rp E1 p n2 cos i1 n1 cos i2 tan(i1 i2 )
（2）s分量的振幅反射率：
E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i2 i1 ) rs E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i2 i1 )
所以，
2
2
sin i1 cos i2 4 sin 2 i2 cos2 i1 R s Ts 2 1 sin (i2 i1 ) sin i2 cos i1 sin 2 (i1 i2 )
sin 2 (i2 i1 )
可见，s分量能量守恒；同理可得，p分量能量 守恒。所以，菲涅耳公式满足能量守恒
电磁场边界条件：电磁场边值关系由麦克斯韦积分方程给出，反 映了电磁场在两种介质分界面处的突变的规律。
d L E dl dt SB dS n ( E2 E1 ) 0 d H dl I L n ( H 2 H 1 ) J s f SD dS dt n ( D2 D1 ) s S D dS Q f n ( B2 B1 ) 0 SB dS 0 在绝缘介质界 反射光偏振态 自然光 部分偏振光（自然光＋S 光） 折射光偏振态 自然光 部 分 偏 振 光 自然光
iB
线偏振光（S 光） 部分偏振光（自然光＋S 光） 自然光
(ic ) 2
三、维纳(O.Wiener 1890年)实验证明—— 电场是主要的
光与物质的相互作用，本质上是光与电子的相互作用。运 动的电子既有电荷亦有磁矩，光是电磁波。在光与电子的相互 作用中，是电场起主要作用，还是磁场起主要作用，还是电场 和磁场起等同的作用？-----维纳实验回答了这个问题。
z
ˆ ˆ ˆ ps k
对于s分量，设:
E 1s y0 A1s exp i (k1 r 1t ) , , E 1s y0 A1s exp i (k1 r '1 t ) E 2 s y0 A2 s exp i (k 2 r 2 t )
其中:
k1 x 0 k1 sin i1 z 0 k1 cos i1 k1 ' x 0 k1 ' cos i1x ' y 0 k1 ' cos i1 y ' z 0 k1 ' cos i1z ' k2 x 0 k2 cos i2 x y 0 k2 cos i2 y z 0 k2 cos i2 z
光疏到光密，正入射的反射光的电场矢量有半波 损失，而磁场矢量没有。在a0点观察到的是暗纹，确 定和乳胶相互作用过程中起作用的是光波的电矢量。
证明乳胶感光是电场所致， 而磁场没有起作用。
原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。
劳埃镜实验 点光源
A´ A
（3）p分量的振幅透射率：
E2 p 2n1 cos i1 p t E1 p n2 cos i1 n1 cos i2
（4）s分量的振幅透射率：
E2 s 2n1 cos i1 2 cos i1 sin i2 ts E1s n1 cos i1 n2 cos i2 sin(i1 i2 )
2 sin i2 cos i1 ts sin( i1 i2 )
tp 0
0 i / 2
tg (i1 i2 ) rp tg (i2 i1 )
ts 0
sin( i2 i1 ) rs sin( i2 i1 )
rs 、 可正可负。振幅的正负号改变， rp
就意味着相位改变π。（半波损失）
sin( i2 i1 ) rs A1s sin( i2 i1 ) A1' s
A2 s 2 sin i2 cos i1 ts A1s sin( i1 i2 )
• 同理可得出在分界面处，p分量的振幅关系。
• 折射、反射定律只解决了平面光波在两个介质分界 面上的传播方向问题。 • 菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入射波 （复）振幅之间的关系，是物理光学中的又一组基 本公式：
1.4 菲涅耳公式
（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827）
光射在两种介质的界面上时，将发生反射和折 射。能流的分配与入射角有关，还存在相位的跃变 和偏振态的变化。 从电磁场的边界条件出发，可以得到 反射和折 射定律，以及入射与反射、折射的振幅关系——解 决光在界面上的强度分配问题。 菲涅耳在麦克斯韦之前得到了反射、折射公式.
k2 x 0 k2 sin i2 z 0 k2 cos i2