21-23菲涅耳公式
菲涅尔方程式
菲涅尔方程式
菲涅耳方程式（Fresnel Equations）是用来描述光在两种介质界面上反射和透射的现象和规律的方程式。
它由奥古斯汀·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪提出，并成为光学领域中的重要理论工具。
菲涅耳方程式分为反射方程和透射方程，分别描述了光在界面上的反射和折射（透射）行为。
这些方程式基于电磁波的传播和边界条件，可以通过麦克斯韦方程和边界条件进行推导。
反射方程描述了入射光波在介质界面上的反射行为。
对于垂直入射的光，反射系数（反射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳反射方程计算：
r = (n1 - n2) / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，r是反射系数。
透射方程描述了入射光波通过介质界面的折射行为。
同样对于垂直入射的光，透射系数（透射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳透射方程计算：
t = 2n1 / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，t是透射系数。
需要注意的是，菲涅耳方程式仅适用于垂直入射的光，并且忽略了光在界面上的散射和吸收行为。
在实际应用中，还需要考虑光的入射角度、极化状态和表面特性等因素，并结合其他衍射、干涉等现象来对界面上的光行为进行更全面的描述。
菲涅耳方程式在材料科学、光学器件设计和表面反射控制等领域中具有广泛的应用，并能解释和预测光在界面上的反射和透射现象。
21 23菲涅耳公式
?1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
此时，根据菲涅耳公式有 ?B +?2 = 900，即该入射角
与相应的折射角 互为余角。利用衍射定律，可得该 特定角度满足
tan ? B
?
n2 n1
(151)
该角 ?B 称为布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻 璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为 ?B = 56040?。
T ? Wt ? n2 cos ? 2 t 2 Wi n1 cos ?1
将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和 p 分量的反射率和透射率的表示式分别为
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
Rs
?
rs2
?
sin2 (?1 sin2 (?1
射角?1，就可由折射定律确定折射角 ?2，进而可由上
面的菲涅耳公式求出反射系数和透射系数。下图绘 出了在、n1< n2 和 n1 > n2 两种情况下，反射系数、透
射系数随入射角 ? 1的变化曲线。
1.0
tp
0.5
r p ts
0
?B
-0.5
rs 56.3
-1.0
?1
0 30 60 90
n1=1.0, n2=1.5
ki 1 2
n
?i ?r
kr
x
O ?t kt
Hale Waihona Puke 界面2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
r 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况 下，有
菲涅耳公式推导课件
菲涅耳公式的推导
菲涅耳公式
描述光波在界面上反射和折射行为的公式，包括反射系数和 折射系数的计算。
推导过程
基于光的波动方程、波前的传播和波前的叠加原理，通过数 学推导得到菲涅耳公式。
04
菲涅耳公式的解析
半波损失现象的解释
Hale Waihona Puke 1 2 3半波损失现象
当光从光密介质射向光疏介质时，反射光在离开 分界面处会额外损失半个波长的光程。
波动方程的形式
$frac{partial^2 A}{partial x^2} + frac{partial^2 A}{partial y^2} + frac{partial^2 A}{partial z^2} = frac{1}{c^2} frac{partial^2 A}{partial t^2}$ ，其中$A$表示光波的振幅，$c$表示光速。
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菲涅耳公式推导课件
目 录
• 菲涅耳公式的背景和意义 • 光的干涉原理 • 菲涅耳公式的推导过程 • 菲涅耳公式的解析 • 菲涅耳公式的应用实例
01
菲涅耳公式的背景和意义
光的波动理论
01
光的波动理论认为光是一种波动 现象，具有波长、频率和相位等 特征。
02
该理论解释了光的干涉、衍射和 偏振等现象，为光学研究奠定了 基础。
全息照相技术
总结词
全息照相技术是菲涅耳公式的又一重要 应用，通过该公式可以实现高质量的全 息成像，并拓展全息技术的应用领域。
VS
详细描述
全息照相技术是一种记录和重现三维物体 光波前的方法。在全息照相中，菲涅耳公 式被用来计算物光波和参考光波在全息板 上的干涉场，从而得到全息图像。通过优 化菲涅耳公式的参数和应用，可以提高全 息图像的质量和稳定性，进一步拓展全息 技术的应用领域。
菲涅尔公式 折射率
菲涅尔公式折射率菲涅尔公式是描述光在两种介质之间发生反射和折射时的现象的物理学方程。
这个公式是由奥古斯丁·菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪初提出的，对于理解光的行为在各种光学应用中至关重要。
1. 菲涅尔公式的基本原理：反射和折射：菲涅尔公式分别描述了光从一个介质到另一个介质的反射和折射。
这两个过程都涉及到光在两种介质之间的界面上发生的现象。
法线和入射角：菲涅尔公式中涉及到法线，即垂直于介质界面的直线。
入射角是光线与法线的夹角。
2. 反射的菲涅尔公式：反射的菲涅尔公式描述了入射光被反射的情况。
对于垂直入射光，反射率（反射光强与入射光强之比）由公式给出。
极化：菲涅尔公式还考虑了光的极化状态，分为垂直极化和平行极化。
3. 折射的菲涅尔公式：折射的菲涅尔公式描述了光从一种介质进入另一种介质时的行为。
这包括折射率对入射角的依赖性。
全反射：当光从折射率较大的介质射向折射率较小的介质时，可能发生全反射的现象。
4. 多层介质的复合菲涅尔公式：多层介质：在复杂的光学系统中，涉及到多个介质层时，可以使用复合菲涅尔公式来描述光的行为。
薄膜干涉：多层介质的复合菲涅尔公式对于理解薄膜干涉等现象非常有用。
5. 折射率的重要性：定义：折射率是介质中光传播速度与真空中光传播速度的比值。
不同介质具有不同的折射率。
频率依赖性：在某些情况下，折射率可能会依赖于光的频率，导致光的色散现象。
6. 应用和意义：光学设计：菲涅尔公式在光学系统的设计中被广泛应用，例如在反射镜、透镜和薄膜涂层等方面。
天文学：菲涅尔公式帮助解释光在大气层中的传播和反射，对于天文学中的观测和研究也具有重要作用。
结论：菲涅尔公式为理解光在介质之间相互作用提供了数学框架。
它在光学研究、光学设计和应用等领域中都有广泛的应用，为探索和利用光的性质提供了有力的工具。
Fresnel(菲涅尔)公式
0.6
n =1 1
n =1.5 2
0.4
r
r
s
p
t
t
s
p
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
=
n2 2
ε0 μ0
A2 2 cos i2
R = W1′ = W1
A1′ 2 A1 2
=
r2
T = W2 = n2 cos i2 A2 2 = n2 cos i2 t 2 W1 n1 cos i1 A1 2 n1 cos i1
R+T =1
σ cosi 1
σ cosi 1
i
n
1
1
n
σ
2
i
2
σ cosi 2
i1
−1
−
ωt
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎦⎥
=
exp
⎛ ⎜⎜⎝
∓k2
z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
−
菲涅耳公式
菲涅耳公式
费涅耳公式，也称费涅耳定律，它是由德国物理学家威廉·费涅耳在1850年提出的一种物理公式，主要用于研究不同温度下液体的密度和比重。
它可以用来计算一定温度下液体的密度和比重，也可以用来研究液体的物理性质。
费涅耳公式的表达式为：ρ=ρ0（1-α（t-t0）），其中ρ表示温度t时的液体密度，ρ0表示温度t0时的液体密度，α表示温度变化时的热膨胀系数。
这个公式表明，任何液体的温度变化都会导致其密度和比重发生变化。
费涅耳公式也可以用来研究液体的物理性质，因为液体温度的变化会对液体的物理性质产生影响。
例如，当液体温度升高时，液体的粘度和抗拉强度会降低；当液体温度升高时，液体的比表面张力会增加。
费涅耳公式的发现对于物理学的发展有着重要的意义，它给出了不同温度下液体的密度和比重之间的关系，使得研究液体的物理性质变得更加精确和客观。
它也为控制液体的性质提供了有效的方法，使得很多工业生产变得更加高效和可控。
总之，费涅耳公式是一个重要的物理学公式，它为液体的研究和控制提供了重要的理论基础。
菲涅尔衍射公式
菲涅尔衍射公式
菲涅尔衍射公式是描述衍射现象的重要公式之一，它由法国物理学家菲涅尔在19世纪提出。
该公式可以用来计算衍射光的强度和相位。
在衍射过程中，光波遇到障碍物或孔径时，会发生弯曲和扩散，形成衍射图样。
菲涅尔衍射公式可以用来计算这些图样的形状和强度分布。
该公式最初是针对光的波动性推导而来的，但在后来的研究中被证明也适用于其他波动现象，如声波和水波等。
菲涅尔衍射公式包含了复杂的积分和波函数，因此在实际应用中常常需要借助计算机进行求解。
不过，这个公式的重要性和广泛应用性使得它成为物理学和工程学等领域中的必备知识之一。
- 1 -。
菲涅耳公式汇总.
根据电磁场边界条件，得
cos i1 E2 cos i2 E1 cos i1 E1
H2 H1 H1
n2 E2 n1E1 n1E1
E1(n2 cos i1 n1 cos i2 ) E1 (n2 cos i1 n1 cos i2 ) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
O
Y
i2
H2
1s 2 s 1s 2 s
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cos i S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
E2 2n1 cos i1 ts E1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula） 电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行 分量连续。 （3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。 （4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂 直分量连续。
q
解： tg i 1= 1.33 1 tg i 2= 1.50 1.33
i1
i 1= 53.60 i 2= 48.440
n 1=1
r
n =1.33
2
i2
q
r = 900 i 1 = 36.940
因为三角形内角之和为 1800 ∴ q + ( 900+ r )+ ( 900 i 2 ) =1800
n 3 =1.50
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相应有
2
Rs
Rp
n2 n2
n1 n1
Ts
Tp
（n42 n2
n1 n1）2
(149) (150)
在掠入射( s 900 )时，Rs Rp 1 。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
当光以某一持定角度1 = B入射时，Rs 和 Rp 相差最
tan2 (1 tan2 (1
2 ) 2 )
Ts
n2cos2 n1cos1
ts2
sin 21 sin 22 sin2 (1 2 )
(145) (146) (147)
Tp
n2cos2 n1cos1
tp2
sin 21 sin 22 sin2 (1 2 ) cos2 (1
）
2
(148)
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity) 由上述关系式，显然有
ki 1 2
n
i r kr
x
O
t kt
界面
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
r 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况 下，有
r ix jy
根据电磁场的边界条件，可得
i r t
(120)
(ki kr ) r 0 (121)
1 0
E02i
cos 1
（140)
类似地，反射光和折射光的能量表示式为
Wr
1 2
1 0
E02r
cos 1
Wt
1 2
2 0
E02t
cos2
（141) （142)
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
由此可以得到反射率、透射率分别为
R Wr r2 Wi
且透明介质有
r 1
因此上面（2）式可变为
0 r1 0
Eip
0 r1 0
Erp
0 r 0
2
Etp
即
r1 Eip r1 Erp r2 Etp
n1Eip n1Erp n2 Etp (3)
Eipcos1 Erpcos1 Etpcos 2 (1)
联立(1)和(3) ,并代入 n1 sin1 n2 sin2
kisini krsinr (123)
kr
B
r
kisini ktsint (124)
n1 O
又因为 k n / c ，可将上
n2
二式改写为
nisini nrsinr (125)
ki 分界面
kt
i A
t
C
nisini ntsint (126)
这就是介质界面上的反射定律和折射定律。
2. 2 菲涅耳公式 (Fresnel formula )
第2章 光波在介质界面上的反射和折射 (The reflection and refraction of light
wave in the interface of medium )
由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射 和折射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而 进行一般的理论分析非常复杂。在这里，采用简化 的处理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据 麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
②反射率 R 随入射角 l 变化的趋势是：
但是，对于光由光密介质射向光疏介质（n1 > n2）和 光由光疏介质射向光密介质（ n1 < n2）两种不同情况 的反射规律有一个重大差别：当n1 > n2时，存在一个
得 p 分量 振幅反射比:
rp
Erp Eip
tg(1 2 ) tg(1 2 )
振幅透射比:
tp
Etp Eip
2sin2 cos1 sin(1 2 ) cos(1 2 )
3. 菲涅耳公式
(134)式和(135)式就是 s 分量的反射系数和透射系数 表示式。利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数 和透射系数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
Rs Ts 1
Rp Tp 1
综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三 个因素决定: 入射光的偏振态，入射角，界面两侧介 质的折射率。
下图给出了按光学玻璃(n＝1.52)和空气界面计
算得到的反射率 R 随入射角1变化的关系曲线。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
从上图可看出：
①一般情况下，Rs Rp ，即反射率与偏振状态有 关。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情况
rm
E0rm E0im
tm
E0tm E0 im
（129） （130）
3. 菲涅耳公式
假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位， 根据电磁场的边界条件及 s 分量、P 分量的正方向规 定，可得
和
Eis Ers Ets （131）
Hipcos1 Hrpcos1 Htpcos 2 （132）
利用 H E ，上式变为
射系数随入射角 1的变化曲线。
1.0
tp
0.5
rp ts
0
B
-0.5
rs 56.3
-1.0
1
0 30 60 90
n1=1.0, n2=1.5
1.0
0.5 rs C
0
-0.5 rp B 41.8
33.7
-1.0
1
0 30 60 90
n1=1.5, n2=1.0
3. 菲涅耳公式
3.2
rs
2.8
rp
2.4
如图所示，若有一个平面
光波以入射角1斜入射介
质分界面，平面光波的强 度为 Ii，则每秒入射到界 面上单位面积的能量为
Wi Ii cos1
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
考虑到光强表示式
I
成
1 2
0
E02
（17） ，上式可写
1 Wi 2
1.s 分量和 p 分量
通常把垂直于入射面（通过入射光和界面法线 方向的平面）振动的分量叫做 s 分量，把平行于入 射面振动的分量叫做 p 分量。为讨论方便起见，规 定 s 分量和 p 分量的正方向如图所示。
Erp Erp
Ers ki n1
kr
1 2 Ers
n2OBiblioteka 2ErpErs kt
1.s 分量和 p 分量
大，且 Rp= 0，在反射光中不存在 p 分量。
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
此时，根据菲涅耳公式有B +2 = 900，即该入射角
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界 面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面 光波，其电场表示式为
E E e－i(lt－kl r)
l
0l
l i, r, t (119)
z
式中，脚标 i，r，t 分 别代表入射光、反射 光和折射光。
T Wt n2 cos2 t 2 Wi n1 cos1
将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和 p 分量的反射率和透射率的表示式分别为
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
Rs
rs2
sin2 (1 sin2 (1
2 ) 2 )
Rp
rp2
ts
2.0
tp
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
0
10
20
30
40
50
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之 间的场振幅和相位关系（有关相位关系在后面还将 深入讨论），现在，进一步讨论反映它们之间能量 关系的反射率和透射率。在讨论过程中，不计吸收、 散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折 射光中重新分配，而总能量保持不变。
rs
sin(1 sin(1
2 ) 2 )
=
n1 n1
cos1 cos1
n2 n2
cos2 cos2
ts
2 cos1 sin2 sin(1 2 )