随机过程与应用
随机过程基本概念及随机游走的应用
随机过程基本概念及随机游走的应用随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型。
随机过程可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
本文将介绍随机过程的基本概念和随机游走的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一个随时间变化而变化的随机变量序列。
具体而言，假设我们有一个时间轴{t1, t2, …, tn}，那么对于每个时刻ti，我们都会得到一个随机变量Xi，这就构成了一个随机过程。
一个随机过程可以用集合{Xt}表示，其中Xt表示在时刻t的随机变量。
对于一个随机过程，我们通常关心的是它的均值函数和相关函数。
均值函数E(Xt)表示在时刻t的随机变量的期望值，相关函数R(Xt, Xs)表示在时刻t和时刻s的随机变量的协方差，即E((Xt -E(Xt)) * (Xs - E(Xs)))。
在实际应用中，我们经常需要用到自协方差函数Cov(Xt, Xt+h)，表示在时刻t和时刻t+h的随机变量的协方差。
二、随机游走的应用随机游走是一种常见的随机过程，它可以用来描述一些随机漂移现象。
具体而言，假设我们有一个随机过程{Xt}，每次时刻t+1的随机变量都是时刻t的随机变量加上一个随机扰动，即Xt+1=Xt+Wt，其中Wt是一个独立同分布的随机变量，它的期望值为0，方差为σ^2。
随机游走可以用来描述许多自然现象，例如股票价格的波动、航空器的空气动力学特性等。
在股票价格的模型中，我们通常使用随机游走来描述价格的漂移现象，其中Wt表示股票价格的逐日波动。
在航空器模型中，我们使用随机游走来描述飞机的剧烈晃动现象，其中Wt表示飞机扰动的随机性。
除了股票价格和航空器的模型，随机游走还可以用来描述许多其他随机漂移现象，例如天气的变迁、金融市场的波动等。
三、结论本文介绍了随机过程的基本概念和随机游走的应用。
随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型，它可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
随机过程及其应用
随机过程及其应用随机过程是一个用数学来描述随机现象的工具，它可以描述一系列随机变量的演化过程。
随机过程是现代概率论的重要研究对象，具有非常广泛的应用，涵盖了金融、通信、物理、工程等许多领域。
一、随机过程的定义和分类随机过程可以定义为一个随时间而变化的随机变量序列。
根据其状态空间的性质，可以将随机过程分为离散型和连续型两类。
离散型随机过程本质上是一系列随机的离散变量；而连续型随机过程则是一系列随机的连续变量。
在实际应用中，随机过程往往被用来描述随机信号的演化，例如随机游走模型、布朗运动模型和马尔可夫链模型等。
随机过程也可以用于描述金融市场的变化，例如在期权定价和风险管理等领域，都有大量的随机过程模型被使用。
二、随机过程的应用1. 研究随机现象随机过程是研究随机现象的有力工具。
通过对随机过程的分析，可以得到一些关于随机现象的统计特征，例如随机变量的分布、期望、方差等，从而更好地理解和描述随机现象。
2. 金融市场随机过程在金融市场中的应用非常广泛。
例如，期权定价中的布莱克-斯科尔斯模型就是一个基于随机过程的模型，它可以用于计算期权价格和波动率等指标；风险管理中，随机过程也可以用于模拟不同的交易策略和风险暴露程度。
3. 信号处理随机过程在信号处理中也扮演着重要角色。
例如，通过对一段随机信号的随机过程进行建模，可以得到许多有用的信号特征，例如均值、功率谱密度，从而更好地理解和处理信号。
4. 物理学和工程学在物理学和工程学中，随机过程被广泛应用。
例如，随机过程可以用于描述材料疲劳、气象变化、电子信号传输等过程，进而帮助科学家们更好地理解和解决实际问题。
三、结语随机过程是现代概率论的重要研究对象，在很多领域都有广泛的应用。
通过对随机过程的研究和分析，可以更好地理解和描述随机现象，也可以得到一些有用的统计特征和信号特征。
希望本文可以为读者对随机过程的理解和应用提供一些帮助。
随机过程理论与应用
随机过程理论与应用随机过程是一种随机变量的演化过程，它在许多领域中有着广泛的应用。
随机过程理论是概率论中的一个重要分支，主要研究随机过程的性质和应用。
在这篇文章中，我们将介绍随机过程理论的基本概念和一些应用。
一、基本概念1、随机过程的定义随机过程是指一族随机变量，其中每一个随机变量代表了系统在不同时间下的状态。
换句话说，随机过程是由时间和随机变量组成的二元组 $(t,X_t)$，其中 $X_t$ 是在时刻 $t$ 系统的状态。
2、随机过程的分类随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
在离散时间的随机过程中，时间变量只能取离散的值，例如整数；而在连续时间的随机过程中，时间变量可以取任意实数值。
此外，随机过程还可以分为有限维和无限维两类。
在有限维的随机过程中，时间轴上只需要考虑一个固定时间段内的状态，而在无限维的随机过程中，时间轴上需要考虑整个时间段内的状态。
3、随机过程的性质随机过程具有随机性，其性质可以用下列概念来描述：（1）均值函数均值函数是随机过程在每个时刻 $t$ 的期望值。
如果均值函数是常数，在自然界中体现为此随机过程是稳定的。
（2）自协方差函数自协方差函数是随机过程 $X_t$ 和 $X_s$ 之间的关系函数，其中 $s$ 和 $t$ 是不同的时间。
当所有 $s$ 取值时，它是随机变量$X_t$ 的均值函数。
（3）二阶矩函数二阶矩函数是随机过程中方差的一部分。
它用来衡量随机变量在时间轴上的波动特性。
（4）功率谱密度函数功率谱密度函数是一种描述随机过程在不同频率下的能量分布的函数。
它在许多领域中有着广泛的应用，如通信、信号处理等。
二、应用1、通信随机过程在通信领域中有着广泛的应用。
在无线通信中，随机过程被用于描述信道的特性。
具体来说，它可以用来描述信道损耗、多径效应等因素。
2、金融随机过程在金融中也有着广泛的应用。
例如，在期权定价模型中，随机过程被用于描述股票价格的演变。
它可以用来计算期权价格，从而为金融市场的决策者提供依据。
随机过程与经济应用
随机过程与经济应用随机过程在经济学中有着广泛的应用。
本文将介绍随机过程的概念、特点以及在经济学中的具体应用。
一、随机过程的概念与特点随机过程是随机变量的序列或函数，它描述了在随机环境中随时间推移发生的事件。
随机过程可以是离散的，也可以是连续的。
随机过程的主要特点有：1. 状态空间：随机过程的状态可以用一个集合来描述，称为状态空间。
2. 概率分布：随机过程中的各个状态发生的概率是已知的。
不同状态之间的转换概率也是已知的。
3. 延续性：随机过程中的状态随着时间的推移而变化，具有一定的延续性。
4. 马尔可夫性：随机过程在给定其当前状态的条件下，其未来状态与其过去状态无关。
二、随机过程在经济学中的应用1. 股票价格的预测股票市场的波动是典型的随机过程。
通过对过去的市场数据进行分析，可以建立股票价格的随机过程模型，从而预测未来的股票价格走势。
2. 经济增长的模拟经济增长也可以看作是一个随机过程。
通过对过去的经济数据进行分析，可以建立经济增长的随机过程模型，从而模拟不同政策对经济的影响。
3. 风险管理在金融领域，风险管理是非常重要的。
通过建立随机过程模型来对金融市场的风险进行评估，可以帮助投资者进行风险的控制和管理。
4. 外汇市场的预测外汇市场的波动同样是一个随机过程。
通过对外汇市场的历史数据进行分析，可以建立外汇市场的随机过程模型，从而预测未来的汇率变动。
5. 供应链管理供应链管理中的需求量、供应量等变化也可以看作是一个随机过程。
通过对供应链数据的分析，可以建立供应链的随机过程模型，从而优化供应链的管理策略。
总之，随机过程在经济学中有着广泛的应用。
通过对随机过程的研究，可以更好地理解经济现象，并进行合理的预测和管理。
随机过程的应用还在不断扩展和深化，将来还会有更多的经济问题通过随机过程来解决。
随机过程及其应用
§4.5 随机过程的功率谱密度当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。
傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。
在频率域内，频率意味着信息变化的速度。
即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。
这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。
是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数()()x t t -∞<<+∞满足绝对可积条件时可以。
()x t dt +∞-∞<∞⎰然而，随机过程的样本函数，即1(){(),,(),}n X t x t x t =,1(),,()n x t x t 一般不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进行傅氏变换。
此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。
这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。
但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。
§4.5.1 功率谱密度♦ 为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S (t )的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。
♦定理 设S (t )是一个确定信号且时间在(,)-∞+∞上满足绝对可积条件，则S (t )的傅氏变换存在，或者说具有频谱()()j tS S t edt ωω+∞--∞=⎰1()()2j t S t S e d ωωωπ+∞-∞=⎰1()()FF S t s ω-−−→ 对于定理的物理解释是，S(t )代表电流或电压，则定理条件要求()s t dt +∞-∞<∞⎰，即是要求S(t )的总能量必须有限。
由积分变换的巴塞伐公式21()()()2j t S t dt S t S e d dt ωωωπ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰*1()()2S S d ωωωπ+∞-∞=⎰ 1()()2j t S S t e dtd ωωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ 即：221()()2S t dt S d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰下面我们来解释一下公式的物理含义：若把S (t )看作是通过1 Ω电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1 Ω电阻上的总能量，故右边的被积函数2()S ω相应地称为能谱密度。
随机过程的应用实例
随机过程的应用实例
一、简介
随机过程（Random Process）是一种描述随机性的数学模型，用于研究受一组随机事件影响的物理现象。
它是研究随机变化信号的有效方法，用来模拟研究在不确定情况下的不确定性事件，同时能够描述中间不确定性影响下的系统结果及其变化，从而帮助我们研究主体系统的性能趋势并做出投资决策。
二、随机过程的应用实例
1、天气预报
大多数天气预报都是基于随机过程的模型来实现的，通过测量当前环境的气象参量来预测将来几个小时到几天的气象情况。
一般来说，通过随机过程模型可以获得更准确的预报结果，比如估计在一段时间内温度的变化、降水量的变化等等。
2、金融风险管理
投资者希望能够在开放市场环境中获得收益，但是投资的风险会随着时间的推移而变化，因此投资者希望能够准确地预测未来投资风险，以此作出有利的投资决策。
这就要求金融风险管理者能够准确地估计投资的风险，因此金融风险管理者会使用随机过程模型来预测未来的投资风险，以此作出更好的投资决策。
3、通信系统
通信系统是由数字通信技术、信息处理技术、数字电路技术以及随机过程技术组成计算机网络。
数据在传输过程中会遇到一些随机的
干扰和噪声，因此采用随机过程模型可以准确地表示噪声的信号特征，从而更好地控制和管理网络系统的信息传输，以此实现更高的通信效率和更可靠的信息传输。
随机过程及其应用
随机过程及其应用随机过程是随机事件发生的某种规律性描述，可以看做是时间变量的非确定性函数。
它是概率论在时间序列上的推广，是一种随机的时间函数。
随机过程在许多科学领域都有着广泛的应用，其中最为典型的领域是金融、通信、控制、信号处理等。
一、随机过程的基本概念随机过程是随时间变化的随机现象，它的本质是一系列随机变量的集合，通常用X(t)表示。
其中，时间变量t可以离散或连续，随机变量为函数X(t)，因此随机过程可以看作是随机函数。
通常我们关注随机过程的两个方面：一是在给定时间t处，随机过程X(t)的取值；二是在时刻t1到t2之间，随机过程X(t)的取值对应的随机变量的联合分布。
二、随机过程的分类随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种。
离散时间随机过程指时间变量t取离散值；连续时间随机过程指时间变量t取连续值。
1. 离散时间随机过程离散时间随机过程的时间变量t取自整数集，一般用{n，n+1，n+2，…}表示。
离散时间随机过程也可以称作随机序列，通常用X(n)表示。
其中，X(n)是随机变量，其取值范围通常是从一个有限的集合中取。
不同取值的概率不一定相等，可以用概率分布函数来描述。
离散时间白噪声是离散时间随机过程的一种特殊形式，其每个时刻的取值服从均值为0、方差为1的正态分布。
白噪声在通信系统中是一种很重要的信源模型。
2. 连续时间随机过程连续时间随机过程的时间变量为实数集上的取值，通常用t表示。
和离散时间随机过程一样，连续时间随机过程也是由一系列随机变量组成，但是每个随机变量都对应一个时间点。
在连续时间随机过程中，随机变量可以是任何函数，而不局限于离散集合。
不同的时刻，随机过程的取值可能有相关性，也可能没有相关性。
通常使用自相关函数和功率谱密度函数来刻画随机过程的时间序列特性。
自相关函数描述随机过程在不同时刻的取值之间的相关性，而功率谱密度函数则描述随机过程在不同频率上的能量分布情况。
三、随机过程在金融中的应用在金融领域，随机过程是一种有效的建模工具。
随机过程的应用实例
随机过程的应用实例
随机过程的应用实例
一、运动模型
运动模型是应用随机过程最常见的实例，比如抛物运动、旋转运动、冲击运动等等。
一般来说，运动的过程可以用概率方程来描述，其中，参数和状态变量都是随机变量。
由于变化时间、空间、力等动态变化的特性，在每一个时刻变化的位置，受力，速度等也是个随机变量，可以用随机过程来表述。
二、城市交通
在城市交通方面，随机过程可以被用来描述车辆运动的情况，它可以用来分析拥堵情况，设计和优化路网，以及模拟出最优的交通运输方式等。
例如，可以计算城市交通中车辆运行的最优路线，有助于提高城市交通的效率。
三、系统评估
在系统评估方面，随机过程可以被用来模拟不确定性环境，估计系统参数，分析系统稳定性，模拟系统行为等。
例如，在自动控制系统中，可以用随机过程来模拟出存在风险的不确定性环境，以及系统参数的扰动，从而准确估计出系统的稳定性。
四、信号处理
在信号处理方面，随机过程也可以被用来分析信号的特性，提取信号的特征，以及建立信号的模型。
例如，在时频域中可以使用随机过程来分析信号的能量分布，从而进行智能信号处理。
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随机过程与应用随机变量将随机实验的结果与数值对应起来，即将随机实验的结果数量化，从而得到一个单值函数，称为随机变量。
离散型随机变量随机变量能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
例如MPSK 调制信号。
离散型随机变量用分布律描述。
连续型随机变量随机变量能取到的值充满一个区间，是无法一一列举出来的，这种随机变量称为连续型随机变量。
例如无线通信系统中的噪声功率。
连续型随机变量用概率密度函数描述。
随机变量的分布函数设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数{}()P F x X x =≤称为X 的分布函数。
具有以下基本性质： 1. 只增不减；2. 0≤F (x ) ≤1，并且F (-∞) =0， F (+∞) =1。
连续型随机变量的概率密度函数如果对于连续型随机变量的分布函数F (x )，存在非负函数f (x ) ,使得对于任意实数x 有 则称f (x )为X 的概率密度函数，简称为概率密度。
具有以下基本性质： 1.f (x )≥0；2.()1f x dx +∞-∞=⎰。
多维随机变量及其分布下面以二维随机变量为例进行说明。
设(X ,Y )是二维随机变量，对任意的实数x ,y 有二元函数{}(,)P ,,F x y X x Y y =≤≤则称F (x )为(X ,Y )的分布函数，或称为联合分布函数。
若对连续型二维随机变量有(,)(,),y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰则称f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数，或称为联合概率密度。
而X 和Y 同时各自也有自己的分布函数，称为二维随机变量的边缘分布函数，为了便于区别，分别记为FX (x )和FY (y )，同样对于连续型随机变量，有边缘概率密度fX (x )和fY (y )。
若对于所有的x ,y 有(,)()(),X Y F x y F x F y =则称X 和Y 是相互独立的。
数学期望对于离散型随机变量，数学期望定义为1()kkk E x xP ∞==∑ 对于连续型随机变量，数学期望定义为()()E x xf x dx ∞-∞=⎰数学期望的几个重要性质⏹ 对于常数C ，有E (C )=C ;⏹ 对于随机变量X 和常数C ，有E (CX )=CE (X );⏹ 对于任意的两个随机变量X 和Y ，有E (X +Y )=E (X )+ E (Y );对于相互独立的两个随机变量X 和Y ，有E (XY )=E (X ) E (Y);方差 对于随机变量X , 定义方差为D (X )=E {[X -E(X)]2} 方差的几个重要性质对于常数C ,有D (C )=0; 对于常数C 和随机变量X,有D (CX )=C 2D (X );D (X +Y )=D (X )+D (Y ).协方差 ：对于随机变量X , 定义协方差为COV (X,Y )=E {[X -E(X )][Y -E (Y )]}相关系数XYρ=方差对于随机变量X , 定义方差为D (X )=E {[X -E(X )]2} 方差的几个重要性质对于常数C ,有D (C )=0; 对于常数C 和随机变量X,有D(CX)=C2D(X); D (X +Y )=D (X )+D (Y ). 协方差 对于随机变量X , 定义协方差为 COV (X,Y )=E {[X -E(X )][Y -E (Y )]}相关系数XYρ=一些重要的随机分布 高斯分布(正态分布)其概率密度函数为:22()2()x f x μσ--当随机变量X 为标准正态分布时,有135(1),()0n nn n E X n σ⎧⋅⋅-=⎨⎩ 为奇数,为偶数 标准正态分布的分布函数为:22()t xF x dt e --∞在通信中经常需要用到下面的误差函数:2()x t erf x dte-=⎰容易求得标准正态分布函数可用误差函数表示为:11()22F x erf =+0-1分布X 取1的概率为p ，X 取0的概率为1-p ，其分布率为{}1(1)k k P X k p p -==-其数学期望和方差分别为{},E X p ={}1D X p =-二项式分布Xi 满足i.i.D ，取1的概率为p ，X 取0的概率为1-p ，假定: 1ni i Y X ==∑那么Y 服从二项式分布，其分布率为{}()(1)n k n kk P Y k p p -==- 实际上0-1分布为二项式分布的特例。
二项式分布的均值和方差为：(),()(1)E Y np D Y np p ==-二阶中心矩为{}222()/3EX ab ab =++Rayleigh 分布Rayleigh 分布经常用来对移动通信信道进行建模。
假设X1和X2为i.i.D 的均值为0的高斯 随机变量，如果12,YX i X =+⋅那么Y 的模服从Rayleigh分布，即ZY ==那么称Z 服从Rayleigh 分布，其概率密度为：22/22()x xf x eσσ-=2(),()(4)/2E X D X πσ==-Rice 分布经常用来对有直视路径（LOS ）的移动通信信道进行建模。
假设X 1和X 2为i.i.D 的均值不为0的高斯随机变量，如果那么Y 的模服从Rice分布，即ZY ==那么称Z 服从Rice 分布，其概率密度为：222(/2022()()x s xxsf x I eσσσ-+=22cos 12001,()x xs I x dx e πμμπ=+=⎰其中一个练习题求数字信号基带传输系统中，采用单极性NRZ 二元码的BER 性能。
其中NRZ 码的最高幅度为d ，接收端判决门限为d/2，信道噪声为均值为0的AWGN ，功率为σ2，并假设信源发0和1 的概率相等。
随机过程的概念引入定义随机过程：设E 是随机试验，它的样本空间是S ，若对于每一个e ，总有一个确定的时间函数与之对应。
这样对于所有e ，就可能得到一族时间 t 的函数，称为随机过程，族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
1. 按随机变量和指标集类型分类：（1）连续型随机过程：对于随机过程X (t ,e )，如果随机变量X (e )是连续变化的，t 也是连续变化的，则称 X (t ,e ) 为连续型随机过程。
注意这里指标集为0≤t ＜∞。
（2）离散型随机过程：对于随机过程，如果取值离散，而 t 是连续，则称为离散型随机过程，如MPSK 信号。
也可简单地说时间连续，状态离散。
注意此处分类还包括其它的形式，具体见课件。
按随机过程功能分类①平稳过程；②高斯过程；③马尔可夫过程；④二阶矩过程；⑤独立增量过程；⑥维纳过程；⑦白噪声过程等。
其它过程还很多，如泊松过程、分枝过程、更新过程、生灭过程等。
我们知道概率统计的研究对象是随机变量的变化规律，由此我们需要建立随机变量的数学模型或称函数关系，这里函数关系在概率统计中就叫分布函数（或称概率密度函数）。
类似的，随机过程也是要研究X (t)的变化规律，进而建立随机过程的数学模型或函数关系， 下面我们来分析如何建立所谓随机过程的函数关系。
对于一个随机过程X(t)，严格地说我们不能在图上用一条曲线简单地表示一个过程，因为按随机过程的定义，该随机过程可表为： 定义一维分布函数：对于随机过程X (t )，当取定时，X (t 1) 为随机变量，该随机变量的分布函数记为11(;){()}X F x t P X t x =≤则称 为随机过程 X (t ) 的一维分布函数。
同随机变量一样，若 对 x这里称 为随机过程在时刻 t 1 的一维概率密度。
例1.1 求随机过程()cos X t A t ω=的一维概率密度函数，式中w 一个服从标准正态分布的随机变量。
解 :对于任意取定时间11,()cos t T X t A t ω∈=是一个随机变量，由随机过程的一维分布函数及一维概率密度函数定义知111(;){()}{cos }X F x t P X t x P A t x ω==≤≤12(){(),(),,(),}n X t x t x t x t = 1t T ∈1()X t X 1(;)F x t X 1(;t )f x• 结合概率统计知识，显然随机过程 X (t ) 的一维分布函数、一维概率密度具有普遍随机变量分布函数和概率密度函数的各种性质。
惟一的差别是随机过程的一维分布函数和一维密度都是时间 t 的函数，即是一个动态的分布函数和概率密度。
由上面的分布知随机过程的一维分布函数仅仅描述了随机过程X (t )在t=(t1)时刻所对应的一个状态 X (t1) 的变化规律。
显然此时由随机过程的一维分布函数来近似描述X (t )的变化规律，其数学模型误差太大。
若随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反映出随机过程的全部特性及变化规律。
用同样的方法，我们可以引入随机过程显然，当n 取得愈大，随机过程X(t)的n 维分布函数就愈能描述随机过程的变化规律及其统计特性。
还需要指出，在实际工程中还会遇到需要同时研究两个或两上以上随机过程的变化规律，如商店每天营业额M (t )和顾客流量Q (t )相互间的关系及其变化规律。
类似地，我们可引入两个随机过程X (t )，Y (t )的联合分布函数与联合概率密度函数定义。
第2讲 作业 1. 若随机过程 ，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度2. 设随机过程 ，其中振幅A 及角频率 w 均为常数，相位 是在 上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
随机过程的数字特征从第2讲的分析可知，对于一个随机过程X(t)，要研究它的变化规律，常常需要建立起它的“函数关系”，也就是建立随机过程的多维分布。
因为随机过程X(t)的多维分布可以比较全面地描述随机过程的整个变化规律的统计特性，但要建立过程的分布函数一般比较复()(),X t X t At t =-∞<<+∞为(;)X f x t ()cos(),X t A t t R ωθ=+∈θ[,]ππ-杂，使用也不便，甚至不可能。
怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当随机过程的“函数关系”不好确定时，我们往往可以退而求其次，像引入随机变量的数字特征一样，引入随机过程的数字特征。
用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机过程变化的重要统计规律，而且用随机过程的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。
显然，对于随机变量X ，它的的数字特征我们主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描述随机过程X(t)的主要统计特性 §2.1 随机过程X(t)的数学期望对于某个给定时刻t ，随机过程成为一个随机变量，因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机过程的数学期望。