高考数学(文)大一轮复习习题变化率与导数、导数的运算 word版含答案
2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算【课件】
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2 ＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在 0.5 秒时的瞬时速度为_____3_._1_______米/秒．
【解析】 ∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴他在 0.5 秒时的瞬时速度为 h′(0.5)＝3.1 米/秒．
易错易混 5．(多选)下列求导运算正确的是( BC ) A.x＋1x′＝1＋x12 B．(log2x)′＝xl1n2 C．(3x)′＝3x·ln3 D．(x2cosx)′＝－2xsinx
【解析】
因为
x＋1x
′＝1－
1 x2
，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝
1 xln2
，所以选项B
正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正
(2)函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的 方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
『基础过关』
思考辨析
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x0)是函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数 f(x)＝sin(－x)的导数是 f ′(x)＝cosx.( × )
3
2．分别求下列函数的导数 (1)y＝x2sinx； (2)y＝lnx＋1x； (3)y＝coesx x； (4)y＝ln(2x－5)； (5)y＝xsin2x＋2πcos2x＋2π.
高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业13变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
课时作业变化率与导数、导数的计算一、选择题．已知()＝( ＋)，′()＝，则等于( )．．．．解析：因为()＝＋，所以′()＝＋＋＝＋，又因为′()＝，所以＋＝，解得＝.答案：．若()＝′()＋，则′()等于( )．．．－．－解析：′()＝′()＋，令＝，则′()＝′()＋，得′()＝－，所以′()＝′()＋＝－.答案：．已知曲线＝－的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为( ) ．－．．或－．解析：设切点坐标为(，)，因为′＝－，所以′＝－＝－，即＋－＝，解得＝或＝－(舍)，故选.答案：．已知直线＝＋与曲线＝(＋)相切，则的值为( )．．．－．－解析：设切点坐标为(，)，由′＝知′＝＝，即＋＝.解方程组得故选.答案：．下面四个图象中，有一个是函数()＝＋＋(－)＋(∈)的导函数＝′()的图象，则(－)＝( )．－．－或解析：∵′()＝＋＋－，∴′()的图象开口向上，则②④排除．若′()的图象为①，此时＝，(－)＝；若′()的图象为③，此时－＝，又对称轴＝－>，∴＝－，∴(－)＝－.答案：．设为实数，函数()＝＋＋(－)的导函数为′()，且′()是偶函数，则曲线＝()在点(，())处的切线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝解析：′()＝＋＋－，由于′()是偶函数，所以＝，此时′()＝－，′()＝，()＝，所以曲线＝()在点(，())处的切线方程为－＝(－)，即－－＝.答案：二、填空题．函数＝()的图象在点(，())处的切线方程为＝＋，′()为()的导函数，则()＋′()＝．解析：(，())在切线＝＋上，∴()＝，又′()＝，∴()＋′()＝.答案：。
高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算
当 x< 0 时 y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由 y′＝1x，所以 y′|x ＝x1＝x11，所以切线方程为 y－ln(－x1)＝x11(x－x1)，
又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝x11(－x1)，解得 x1＝－e，所以切 线方程为 y－1＝－1e(x＋e)，即 y＝－1ex.
角度2 求切点坐标或参数的值(范围)
[例2] (1)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x
＋b，则
()
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 则a的取值范围是______________________________________________．
答案：e2
4．函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝________. 解析：∵f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋21f′π3，∴f′π3＝43π，∴f π6＝3π62＋23π. 答案：3π62＋23π
[一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然 后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
022x2 ＋ 021
1 xln
2，D
正确．
答案：A B D
2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系 式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为 ( )
高考数学复习、高中数学 变化率与导数、导数的计算附答案解析
第三章 导数及其应用第1节 变化率与导数、导数的计算课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y =c ，y =x ，y =x 2，y =x 3，y =1x，y =x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f （ax +b ））的导数；6.会使用导数公式表。
【知识衍化体验】知识梳理1．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的 ，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即“当x 0∆→时，f x 0＋Δx －f x 0Δx →f ′(x 0)”.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x ).2．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f(x)上 的斜率k ，即k ＝ ；切线方程为 ．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f(t)，则f′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的 ．3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)；(2)(x n)′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝ ；(4)(cos x )′＝ ； (5)(a x)′＝ ；(6)(e x)′＝ ； (7)(log a x )′＝ ；(8)(ln x )′＝ . 4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ； 特别地：[C ·f (x )]′＝ (C 为常数)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝ (g (x )≠0)．5．复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【微点提醒】1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，贰直线与二次曲线相切只有一个公共点．5.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．基础自测1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )A.194 B.174 C.154 D.1342．设函数f (x )可导，则f （1＋Δx ）－f （1）3Δx 等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)3．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝04．函数f (x )＝x (2017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2018，则x 0的值为( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是 A ．e B ．－e C.1e D ．－1e【考点聚焦突破】考点一 导数的基本运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1-1】求下列函数的导数：(1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3) y ＝lnx x 2＋1.（4）y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 (5)y ＝12x －13.角度2 导数运算的应用【例1-2】已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x(2x －2)＋f (x )，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x (x ＋1)B ．f (x )＝e x (x －1)C ．f (x )＝e x (x ＋1)2D ．f (x )＝e x (x －1)2规律方法 1.连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．2.分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.3.对数形式：先化为和、差的形式，再求导.4.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.5.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.6.复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝11－2x .考点二导数的几何意义 角度1 求切点坐标与切线方程【例2-1】（1）(2015陕西，5分)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．（2）(2018全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．(3)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．角度2 求参数的值或范围【例2-2】（1）(2018全国Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．（2）对函数f(x)＝－e x－x图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cos x图象上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，2] B．(－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1)角度3 求公切线的方程【例2-3】 (1)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2(2)若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．规律方法 1.求曲线切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意区分曲线在某点出的切线和曲线过某点的曲线。
2020年高考数学一轮复习考点13变化率与导数导数的运算必刷题理含解析
考点13 变化率与导数、导数的运算1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1,f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0).因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1, 故切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D. 5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B.6、已知a 为实数,函数f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为f'(x ),且f'(x )是偶函数,则曲线y=f (x )在原点处的切线方程为( )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3【答案】B【解析】因为f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x ,所以f'(x )=3x 2+2ax+(a-3). 又f'(x )为偶函数,所以a=0,所以f (x )=x 3-3x ,f'(x )=3x 2-3.所以f'(0)=-3. 故所求的切线方程为y=-3x.7、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e【答案】B【解析】由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.8、已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，则实数a 的值为( )A.23 B ．12 C ．34 D ．1【答案】B【解析】由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，则由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24可得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B.9、已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D. x-y+1=0【答案】B【解析】设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图像相切于点(x 0,y 0), 则解得∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.10、已知曲线f (x )＝e 2x－2e x＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)【答案】B【解析】由题得f ′(x )＝2e 2x－2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x＋a ＝3有两个不同的正解，令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g (0)>0且Δ>0，即a －3>0且4－8(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.11、已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033【答案】A【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.12、已知函数f (x )＝ln x ＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的导函数为f ′(x )，若使得f ′(x 0)＝f (x 0)成立的x 0满足x 0<1，则α的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π4D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3【答案】B【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，由f ′(x 0)＝f (x 0)，得1x 0＝ln x 0＋tan α，∴tanα＝1x 0－ln x 0.又0<x 0<1，∴1x 0－ln x 0>1，即tan α>1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.故选B.13、已知函数f (x )=e x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 . 【答案】e【解析】∵f (x )=e x ln x ,∴f'(x )=e x ln x+.∴f'(1)=eln 1+=e .14、已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.【答案】e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.15、已知函数f (x )=x++b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b= . 【答案】-8 【解析】∵f'(x )=1-=,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f (1)=1+a+b=b , ∴在点(1,f (1))处的切线方程为y-b=2(x-1), ∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.16、已知f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 【答案】－3π【解析】f ′(x )＝－sin x ·x －cos x x 2，当x ＝π2时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π，又f (π)＝－1π，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－3π. 17、函数f (x )=x e x 的图像在点(1,f (1))处的切线方程是 . 【答案】y=2e x-e【解析】∵f (x )=x e x ,∴f (1)=e,f'(x )=e x +x e x ,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图像在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .18、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞【解析】由题意知曲线的切线斜率为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.19、若函数f (x )= x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[2,+∞)【解析】∵f (x )= x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+.∵f (x )的图像存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x )存在零点, ∴x+-a=0有解, ∴a=x+≥2(x>0).20、直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 【答案】-3【解析】设f (x )=(ax+1)e x ,∵f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,∴f(x)=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.21、已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．【答案】(1) 2x－y－2＝0 (2) (－1,0)【解析】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。
2021年高考数学一轮复习 第三章 第1讲 变化率与导数、导数的运算 文(含解析)
2021年高考数学一轮复习 第三章 第1讲 变化率与导数、导数的运算 文（含解析）一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析 构造函数F (x )＝f x x (x >0)，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f x x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f aa<f b b，即bf (a )<af (b )．答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1aC ．8＋8a ＋2aD ．16解析f(2)＝8＋8a＋2a，令g(a)＝8＋8a＋2a，则g′(a)＝8－2a2，由g′(a)>0得a>12，由g′(a)<0得0<a<12，∴a＝12时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B5．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212 D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案 C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝12x2＋m，其中m为常数，g(x)＝13x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝12x2－13x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝t 2′20－t －t 220－t ′20－t 2＝40t －t 220－t2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－10220－102＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月． 答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2exe x－12.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5； 切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0； 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. (1)解 由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明 当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x 2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9xx＋6.5w!L=UxJ%33163 818B 膋JH35395 8A43 詃25295 62CF 拏u。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测第二章第10讲变化率与导数、导数的计算Word版含答案
第10讲 变化率与导数、导数的计算, [学生用书P47])1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0_f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n －1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．1.教材习题改编 函数y ＝f (x )的图象如图，则导函数f ′(x )的大致图象为( )B [解析] 由导数的几何意义可知，f ′(x )为常数，且f ′(x )＜0. 2.教材习题改编 函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos xB [解析] y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 3.教材习题改编 已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________．[解析] 因为f ′(x )＝－8＋4x ，所以f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. [答案] 34.教材习题改编 函数y ＝x ln x 与x 轴的交点为P ，则曲线y ＝x ln x 在点P 处的切线方程为________．[解析] 由y ＝0得x ln x ＝0，即x ＝1， 所以P 点的坐标为(1，0)．又y ′＝ln x ＋1，所以曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝1＝ln 1＋1＝1.故切线方程为y ＝x －1.[答案] y ＝x －15．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[解析] 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x ，所以y ′＝－e －x ， 所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2，所以y 0＝e ln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． [答案] (－ln 2，2)导数的计算[学生用书P47][典例引领](1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝⎛⎭⎫π3＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．(2)求下列函数的导数：①y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；②y ＝x 2sin x ；③y ＝3x e x －2x ＋e ；④y ＝ln xx 2＋1.【解】 (1)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x .所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.故填36－4π.(2)①因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.②y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . ③y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.④y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.[通关练习]1．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(2 017)＝________．[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ，所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017，即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故填－2 018. [答案] －2 0182．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e x ln x .[解] (1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )． (2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x. (3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x .导数的几何意义(高频考点)[学生用书P48]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是____________．(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．(3)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．【解析】 (1)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe ＋x ，所以当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .(2)因为 f ′(x )＝3ax 2＋1， 所以f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． 因为切线过点(2，7)，所以7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)． 【答案】 (1)y ＝2x (2)1 (3)(1，1)[题点通关]角度一 已知切点求切线方程 1．(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0B [解析] 因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋aex 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为________．[解析] 函数f (x )＝e x ＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x －aex .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x －ae x ＝－(e －x －a ·e x )，则e x (1－a )＝e －x (a －1)，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x ＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2.[答案] ln 2角度三 已知切线方程求参数值3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2C [解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C., [学生用书P49])——导数与其他知识的交汇抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．(2017·武汉高三月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016的值为________．[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝12 017.则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016＝log 2 017(x 1·x 2·…·x 2 016)＝log 2 01712 017＝－1.[答案] －1, [学生用书P311(独立成册)])1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1πC [解析] 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4A [解析] 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [解析] 设两切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．选项A 中，y ′＝cos x ，cos x 1cos x 2＝－1，当x 1＝0，x 2＝π时满足，故选项A 中的函数具有T 性质；选项B 、C 、D 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A. 4．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0，1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0C [解析] 因为y ＝sin x ＋e x ， 所以y ′＝cos x ＋e x ， 所以y ′|x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，所以曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 5．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3B [解析] 因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2D [解析] 因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 7．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝________．[解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x＋1，故f ′(2017)＝12 017＋1＝2 0182 017.[答案] 2 0182 0178．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2，8)，则直线l 的方程为________． [解析] 由题意知，A (2，8)在y ＝x n 上，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2，8)．所以y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.[答案] 12x －y －16＝0 9．(2017·郑州第二次质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________．[解析] 由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. [答案] 0 10．(2017·保定一模)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x，因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2017·安徽安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上B [解析] f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，令f ″(x )＝0，则有4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B. 13．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2， 所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14. 14．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值； (2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
高考数学模拟试题-第16讲 变化率与导数、导数的计算(解析版)
第16讲 变化率与导数、导数的计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()e ln 1axf x x =++，()04f '=，则a =( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由()()e ln 1ax f x x =++，得()1e 1ax f x a x '=++， 又()04f '=，所以()014f a '=+=，则3a =． 故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（ ） A ．2 B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【解析】由已知得()22sin 11x xf x x +=++，则()()()()()2222cos 12sin 21x x x x xxf x ++-+'+=⋅，显然()f x '为偶函数.令()()22sin 11x xg x f x x +=-=+，显然()g x 为奇函数.又()f x '为偶函数，所以()()3893890f f ''--=，()()()()389389389138912f f g g +-=++-+=， 所以()()()()3893893893892f f f f ''++---=. 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（ ） ①)(333log x x e '=；①)(21log ln 2x x '=；①)(x xe e '=；①1ln x x '⎛⎫=⎪ ⎭⎝；①)(1x x xe e '=+．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①()'33ln 3x x =, 故错误;①()'21log ln 2x x =⋅, 故正确; ①()'x x e e =, 故正确;①()''1211ln ln ln x x x x -⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⋅⎝⎭, 故错误; ①()'x x x xe e x e =+⋅, 故错误;故选：B.4．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【答案】C【解析】因为()2ln 1sin y x x =++ 所以2cos 1y x x '=++ 当0x =时，3y，此时tan 3α=，①2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα⋅=⋅====+++．故选：C.5．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．13【答案】B【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B6．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）过点()1,2P 作曲线C ：4y x=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．280x y +-= B ．240x y +-= C ．240x y +-= D ．240x y +--=【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，24y x '=-，所以在A 点处的切线方程为()11214y y x x x -=--，将()1,2P 代入得()1121421y x x -=--，因为114y x =，化简得11280x y +-=，同理可得22280x y +-=，所以直线AB 的方程为280x y +-=， 故选：A ．7．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()02323f f f f ''<<-<C ．()()()()03322f f f f ''<<-<D ．()()()()03232f f f f ''<-<<【答案】C【解析】从()f x 的图象可以看出，点B 处切线的斜率大于直线AB 的斜率，直线AB 的斜率大于点A 处切线的斜率，点A 处切线的斜率大于0，根据导数的几何意义可得(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-，即0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<.故选：C8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=， ∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.9．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2e B ．(]0,e C ．[)2,e +∞ D ．(],2e e【答案】A【解析】设()()21122121122,1,,ln 1,2,,2,a a A x x B x a x y x y k x k x x ''--====切线：()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--切线：()()222ln 1a y a x x x x --=-，即22ln 1a y x a a x x =-+-，()122222122,41ln 1ln 1a x x a x x x a a x ⎧=⎪∴∴=-⎨⎪--=-+-⎩ 令()()()()22141ln ,81ln 4f x x x f x x x x x ⎛⎫=-=-+- ⎝'⎪⎭()88ln 448ln 412ln 0,x x x x x x x x x x =--=-=-==()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以(]max ()2,0,2.f x fe a e ==∴∈故选：A ．10．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（ ） A ．(sin )cos x x '= B ．211()x x'=C ．31(log )3ln x x'= D ．1(ln )x x'=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD11．（多选）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列曲线在x =0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ）A ．曲线2sin y x x =-B ．曲线2sin y x x =-C ．曲线()2e xy x =-D ．曲线11e x y x -=+【答案】BC【解析】若2sin y x x =-，则2cos y x '=-，当0x =时，10y '=>，故选项A 不符合题意； 若2sin y x x =-，则12cos y x '=-，当0x =时，10y '=-<，故选项B 符合题意； 若()2e xy x =-，则()1e xy x '=-，当0x =时，10y '=-<，故选项C 符合题意；若11e x y x -=+，则()211e x x y x +'=+，当0x =时，10y '=>，故选项D 不符合题意，故选：BC12．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________. 【答案】2e x x +【解析】由题意得()()00f f '=，且()()()()0e 201xf x f x f ''=+--，令0x =，得(0)1f =，故()2e xf x x =+故答案为：2e x x +13．（2022·广东·模拟预测）已知2ln ()1xf x x =+，则曲线在(1,1)处的切线方程为________． 【答案】y x = 【解析】因为2ln ()1xf x x =+ 所以24431ln 22ln 12ln ()x x xx x x x x f x x x x ⋅-⋅--=='=， 所以(1)1f '=，①切线方程为11y x -=-，即y x =． 故答案为：y x =.14．（2022·北京市第一六一中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①①①的函数f (x )=___________： ①1212()()()f x x f x f x =： ①当()0,x ∞∈+时，()0f x '>； ①()f x '是偶函数．【答案】()3f x x =（答案不唯一）【解析】取()3f x x =，则()()()()33312121212x f x x x x x f x f x ===，满足①， ()23f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足①，()23f x x '=的定义域为R ，又()()()2233f x x x f x '-=-==，故()f x '是偶函数，满足①.故答案为：()3f x x =（答案不唯一）15．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 1e y x =1ey x =- 【解析】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =- 16．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+【解析】①()e x y x a =+，①(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ①切线过原点，①()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,①切线有两条，①240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,①a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞17．（2022·山东威海·三模）已知曲线212:e ,:2(0)x C y x C y x x a a =+=-++>，若有且只有一条直线同时与1C ，2C 都相切，则=a ________． 【答案】1【解析】设l 与1C 相切于111(,e )x P x x +，与2C 相切于点2222(,2)Q x x x a -++，由1:e xC y x =+，得'e 1x y =+，则与1C 相切于点P 的切线方程为：1111e (e 1)()x x y x x x --=+-，即1111(1e )e e x x xy x x =+-+，由22:2C y x x a =-++，22y x '=-+，则与2C 相切于点P 的切线方程为：222222(22)()y x x a x x x +--=-+-，即22222y x x x x a =-+++，222(22)y x x a x =-++，因为两切线重合，所以，121e 22x x +=-①，11212e e x x x a x -=+①，由①得121e 2x x -=，代入①得，111214(1)e 412e e x x xx a -=+-+，化简得，11121e 6e 4e 14x x x x a -+=--，明显可见，10x =，1a =时等式成立.故答案为：118．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程. 【解】（1）因为ln y x x =，则1ln ln 1y x x x x'=+⋅=+； （2）所求切线斜率为1ln11k =+=，当1x =时，0y =，切点坐标为()1,0， 因此，函数ln y x x =的图象在点1x =处的切线方程为1y x =-.19．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．【解】(1)由题意知，(1)1(1)0f -=---=，2()31x f x '=-，(1)312f '-=-=，则()y f x =在点()1,0-处的切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()22g x x '==，解得21x =，则(1)122g a =+=+，解得3a =；(2)2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭， 令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.【素养提升】1．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（ ） A ．30n m <<- B ．3n m >- C ．0n < D ．30n m <=-【答案】A【解析】设切点为()3,t t -，由323y x y x '=-⇒=-，故切线方程为()323y t t x t +=--，因为()(),0m n m <在切线上，所以代入切线方程得32230t mt n --=， 则关于t 的方程有三个不同的实数根，令()3223g t t mt n =--，则()2660g t t mt t m '=-=⇒=或0=t ，所以当(),t m ∈-∞，()0,∞+时，()0g t '>，()g t 为增函数， 当(),0t m ∈-时，()0g t '<，()g t 为减函数， 且t →-∞时，()g t →-∞，t →+∞时，()g t →+∞，所以只需()()()()300g t g m m n g t g n ⎧==-->⎪⎨==-<⎪⎩极大值极小值，解得30n m <<-故选：A2．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <【答案】B【解析】由()e x f x x =，()()1e xf x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()x f x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()02001e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e xm x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B3．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）已知函数()e xx f x =(e为自然对数的底数)，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线.下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，若只能作两条切线，则24e b =B ．当0a =，24e b >时，则可作三条切线 C ．当02a <<时，可作三条切线，则24e e a a a b -<< D ．当2a =，0b >时，有且只有两条切线【答案】AC【解析】函数()e x x f x =，所以()'1e x x f x -=， 设切点000(,)e x x x ，则切线的斜率为()0'001ex x k f x -==， 则切线方程为：000001()e ex x x x y x x -=--， 选项A ，当0a =时，则24e b =， 设()2ex x g x =，所以()'(2)e x x x g x -=，所以，当(,0)x ∈-∞，()'g x ＜0，()g x 单调递减，当(2,)x ∈+∞，()'g x ＞0，()g x 单调递增，如图：当0x =时，()g x 取得极小值，极小值为0，当2x =时，()g x 取得极大值，极小值为24e ， 若只能做两条切线，y b =与()2e x x g x =有且只有两个交点，则24e b =，故选项正确； 选项B ，当0a =时，24e b ＞时，则y b =与()2ex x g x =有且只有一个交点，因此可做一条切线，故该选项错误；选项C ，当02a <<时，则0200(1)e x x x a b +-=，设2((e )1)xx a x x h +-=，所以2'(2)2(2)()e )e (x x h x a x a x x x a -++-==--，因为02a <<，所以，当(,)x a ∈-∞，()'h x ＜0，()h x 单调递减，当(,)x a ∈+∞，()'h x ＞0，()h x 单调递增，如图：所以，当x a =时，()h x 取得极小值，极小值为e a a ，当2x =时，()h x 取得极大值，极小值为24e a -，由可作三条切线，则y b =与()h x 有3个交点，则24e e a a a b -<<，故该选项正确； 选项D ，当2a =时，则02002(1)e x x x b +-=，此时，设22(e )(1)xk x x x +-=，所以，2'244(2)0e ()e x x k x x x x -+--=-≤=，所以()k x 单调递减，且()0k x ＞，如图：所以，当0b >时，y b =与()k x 只有1个交点，因此有且只有1条切线，故该选项错误. 故选：AC.4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））若曲线31:C y x =与曲线2:e (0)x C y a a =>存在2条公共切线，则a 的值是_________． 【答案】327e【解析】设公切线在3y x =上的切点为()311,x x ，在()e 0x y a a =>上的切点为()22,e x x a ，则曲线在切点的切线方程的斜率分别为213y x '=，2e x y a '=，对应的切线方程分别为321113()y x x x x -=-、222e e ()x x y a a x x -=-， 即231132y x x x =-、222e e (1)x x y a x a x =+-，所以22213123e 2e (1)x x x a x a x ⎧=⎨-=-⎩，得32112231x x x =-，有123(1)2x x =-， 则2223e 3[(1)]2x a x =⋅-，整理，得222(1)427e x x a -=， 设2(1)()e xx g x -=，则()0>g x ，(1)(3)()e x x x g x ---'=， 令()013g x x '>⇒<<，令()01g x x '<⇒<或3x >，所以函数()g x 在(1,3)上单调递减，在(,1)-∞和(3,)+∞上单调递增， 因为两条曲线有2条公共切线，所以函数427y a =与()y g x =图像有两个交点， 又34(1)0(3)e g g ==，，且()0>g x ，如图， 所以34427e a =，解得327ea =. 故答案为：327e .5．（2022·河北邯郸·二模）已知点P 为曲线ln ex y =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．【答案】e -【解析】设1(,ln )e P x x，所以OP = 设2221()()(ln )e g x x x =+⋅，22222ln 11e ()2()2(ln )e x x g x x x x x +'=+⋅⋅⋅=， 当1e x >时，2222ln 1ln e e x x >-⇒>-，222e2x >，所以()0,()'>g x g x 单调递增， 当10e x <<时，2222ln 1ln e e x x <-⇒<-，222e2x <， 所以()0,()g x g x '<单调递减， 当1e x =时，函数()g x 有最小值，即OP 有最小值，所以11(,)e eP -， 此时直线OP 的方程为y x =-，设直线y x =-与曲线ln y a x =相切于点00(,ln )x a x ， 由00ln 1a a y a x y x a x x '=⇒=⇒=-⇒=-，显然00(,ln )x a x 在直线y x =-上， 则00ln a x x =-，因此有ln()e a a a a -=⇒=-，故答案为：e -。
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课时跟踪检测 (十三) 变化率与导数、导数的运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x， ∴f ′(0)＝1.所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0.3．f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2016·湖南衡阳八中一模)已知函数f (x )＝a xln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a ＞0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．曲线y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C 由于y′＝e－1x，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝e x—ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.2．(2017·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n ＝( )A．－1 B．1C．3 D．4解析：选C 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.3．已知f(x)＝ax4＋b cos x＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为( ) A．－6 B．－8C．6 D．8解析：选D ∵f′(x)＝4ax3－b sin x＋7.∴f′(－x)＝4a(－x)3－b sin(－x)＋7＝－4ax3＋b sin x＋7.∴f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2 017)＝6，∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.4．(2017·衡水调研)曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A ∵y＝1－2x＋2＝xx＋2，∴y′＝x＋2－xx＋22＝2x＋22，y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( ) A．－1 B．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.6．(2017·武汉调研)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________． 解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝07．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12(－1,0)8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·t a n x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3).解：(1)y ′＝(x ·t a n x )′＝x ′t a n x ＋x (t a n x )′＝t a n x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝t a n x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝t a n x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′＋(x ＋1)′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得，f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34， ∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-342．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。