矩阵论9稿第4章
第4章 矩阵的广义逆
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
矩阵论第四章矩阵函数
j = 1, 2,
n
倘若这 n 个数列都是收敛的，比如，收敛于 x (j0) ，自然就可认为：
x (1) , x ( 2) , x (k ) ,
收敛于 x (0) ， 即 k → ∞ ，x ( k ) → x ( 0)
⎛ x1( 0) ⎞ ⎜ ( 0) ⎟ ⎜x ⎟ )⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ( 0) ⎟ ⎝ n ⎠
§4.1
范数（Norm）
设在 n 维线性空间 V ( C ) 中，要研究向量序列
x (1) , x ( 2) , x (k ) , x (i ) ∈ V
（4.1—1）
的收敛性。我们当然会利用关于数列收敛的知识，来进行研究。不妨 认为在空间 V 中，取定了基 e (1) , e ( 2) ,
e ( n) 则
p →∞
N ∞ ( x ) = x m = max { xi }
（4.1—11）
下面来验证它们满足范数公理中的条件： （1）正定性：显然
⎛ （2）齐次性： N p ( ax ) = ⎜ ⎝
∑
i =1
n
axi
p
⎞ ⎟ ⎠
1/ p
⎛ n = a ⎜ ∑ xi ⎝ i =1 = a N p ( x)
p
⎞ ⎟ ⎠
（4.1—2）
x ( 0) = ( e (1) , e ( 2) ,
e ( n)
这样做法不免太琐碎，可否有整体解决的办法呢？当然可以，例 如取分量模之最大者来考察。可以采取的方式不只一个，自然就得研 究一下， 什么样的方式是有可能的， 或者说对方式本身应有什么限制。 范数本身就是用来整体解决这个问题可以采取的方式， 而范数公理就 是对这些方式所加的限制。 定义 映射 N：V (C ) → R 满足：
南京工业大学矩阵论第四章讲义 ch4.
第四章 矩阵分析在高等数学中，数列和函数的极限是一个很重要的基本概念，它贯穿在整个高等数学课程中。
在线性代数计算方法中，为了描述迭代法的收敛性，需要有向量，矩阵序列的极限概念。
另外，在高维空间讨论数值逼近和研究微分方程数值解等问题中，常要研究两个向量的逼近程度，这些都和向量、矩阵的范数概念有关，这一章主要讨论这些问题。
§4.1 向量和矩阵的序列和级数一、 向量序列的极限设有n R （所有n 维实向量组成的向量记为n R ）中的向量序列：,,,,,)()2()1( k记为)(k ，其中每一个向量)(k 是一个实n 维向量：),2,1(,),,,()()(2)(1)( k a a a k n k k k显然一个n 维向量序列)(k 中各向量的对应分量构成了n 个数列：;,,,,)(1)2(1)1(1)(1k k a a aa,,,,)()2()1()(k n n nk n a a aa 。
定义1 给定n 维向量序列)(k ，当 k ，如果各向量的对应分量构成的n 个数列 ),2,1,,,2,1()( k n i a k i都收敛，则称向量序列)(k 收敛。
设i k i k a a)(lim ，则),,,(21n a a a 称为)(k 的极限，记为：)(lim k k ，简记为)(,)( k k ，反之，如n 个数列中有一个发散，则称)(k 发散。
由定义可知，一个n 维向量序列的收敛等价于n 个数列的收敛，因此根据收敛数列的性质容易得到收敛的向量序列的性质。
性质1 一个收敛的向量序列的极限是唯一的。
性质2 设)(lim k k ，)(lim k k ， b a ,为常数，则：b a b a k k k)(lim )()( 。
例1 设k k k k sin 21）（，求 )(lim k k解：因为021limk k ，0sin lim kkk所以00lim )(k k 。
对于一般的n 维线性空间V 中的一个向量序列)(k ，可以取V 的一个基n ,,,21 ，设)(k 在这个基下的坐标为：),,,()()(2)(1k n k k a a a 。
矩阵论复习
可求出 A(λ ) 的行列式因子 （3）将矩阵 A(λ )的不变因子 d 1 (λ ), d 2 (λ ),L , d r (λ ) 分解成 一次因式的幂： 一次因式的幂：
(λ − λ1 ) n1 , (λ − λ 2 ) n2 ,L , (λ − λ s ) ns
可求出 A(λ ) 的初等因子
4.Jordan标准形的求法 标准形的求法 4. （1）求矩阵 A 的初等因子
& & & C n = V λ1 + V λ 2 + L + V λ r
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的一维不变子空间的直和. （4） C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和 的初等因子都是一次式. （5）A的初等因子都是一次式 的初等因子都是一次式 的最小多项式m(λ)没有重零点 没有重零点. （6）A的最小多项式 的最小多项式 没有重零点
即 A (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A .
4.线性变换的值域与核 4.线性变换的值域与核 维线性空间V上的线性变换 ε 上的线性变换， 设A 是 n 维线性空间 上的线性变换，1 , ε 2 ,L , ε n 是 V 的一组基， 的一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则 ， （1）A 的核为Ker ( A ) = {α ∈ V | A (α ) = 0}; （2）A 的值域为R( A ) = { A (α ) | α ∈ V };
α = x 1ε 1 + x 2 ε 2 + L + x n ε n .
2.线性子空间 2.线性子空间 是线性空间， 是 的非空子集， （1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 是线性空间 是 子空间的充分必要条件是
南航双语矩阵论matrix theory第4章部分习题参考答案
)
If i is a root of p( ) 0 , then p(i ) 0 . We obtain that eigenvalue of C T with eigenvector x (1, i ,, in 2 , in 1 )T .
Exercise 16
Let be an orthogonal transformation on a Euclidean space V (an inner product space over the real number field). If W is a -invariant subspace of V, show that the orthogonal complement of W is also -invariant. Proof Let V W W , where W is -invariant. Let {u1 , u2 ,, uk } be an orthonormal basis for
0 1 T C x 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 an 0 an 1 0 an 2 1 a1
T
i i 1 2 2 i i i n2 n 1 n 1 i i i n 1 n n 1 a a a p ( i n i n 1 i 1 i i
C T x i x . Then i is an
(b) If p( ) has n distinct roots, then all roots of p( ) are eigenvalues of C T . We obtain that the characteristic polynomial of C T and p( ) have the same n distinct roots. And also they have the same degree and the same leading coefficient. Hence, the characteristic polynomial of C T is the same as p( ) . Since C and C T have the same characteristic polynomial, we know that p( ) is the characteristic polynomial of C.
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
第4章.矩阵
第四章矩阵关于矩阵_1矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897）于1850年首先提出。
他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。
从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。
经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。
他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。
在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
关于矩阵_2•1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念•1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则•应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。
如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X 射线照相术等方面，都有广泛的应用例1_1•例1 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品B 1B 2B 3。
在某年第一季度，各厂的生产情况如下表：产品产量B 1B 2B 3A 1A 2203017201210102030121720这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的一个2×3阶矩阵。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡例2•运输问题: m 个产地,n 个销地，销地产地1 2 … n 产量12 m C 11 C 12 … C 1nC 21 C 22 … C 2nC m1 C m2 … C mna 1a 2a m 销量b 1 b 2 … b n矩阵定义•由mn 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行、n 列的数表：称为m 行n 列矩阵，简记为m ×n 矩阵，A=n m ij a ⨯=)(ij a 称为A 的第i 行第j 列元素。
特殊矩阵及其元素表示_1•实矩阵矩阵的元素全为实数，即a ij∈R，i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n •复矩阵矩阵元素为复数，即a ij∈C，i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n •零矩阵0矩阵元素全为零，即m×na ij= 0，i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n•对角阵A ：亦记作diag(a 11,a 22, … a nn )112200000,,,1,2,,00ij nn a a A a i j i j n a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∀≠=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L •单位矩阵I n ：亦记作E n 1000100,1,2,,1001n ij i j I a i j n i j ⎡⎤⎢⎥≠⎧⎢⎥===⎨⎢⎥=⎩⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L •数量阵：c 为一数亦记作cE n00000,1,2,,00ij c c i j A a i j nc i j c ⎡⎤⎢⎥≠⎧⎢⎥===⎨⎢⎥=⎩⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L•上三角矩阵A 常用U 表示1112122200,,,1,2,,00n n ij nn a a a a a A a i j i j n a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∀>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L •严格上三角矩阵A A 为上三角阵，且对角元全为0•下三角阵A 常用L 表示112122120000,,,1,2,,ij n n nn a a a A a i j i j na a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∀<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L •严格下三角阵A A 为下三角阵，且对角元全为0特殊矩阵及其元素表示_5•行向量m =1的特殊矩阵()12n a a a α=L •列向量n =1的特殊矩阵12m a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M特殊矩阵及其元素表示_6•n 维标准单位向量12100010, , , 001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L M M M特殊矩阵及其元素表示_7•n 阶基础矩阵E ij⎩⎨⎧===⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=其他且行0100100jl i k e i E kl ij 列j矩阵相等的定义•A = (a ij )m ×n ，B = (b ij )s ×t 则A = B 必须同时满足如下两个条件✓m = s , n = t✓a ij =b ij i=1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n特别提示具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。
04南航戴华矩阵论第四章l矩阵的因子分解
定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,
则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵
D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得
A LDU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
k 0 (i 1, , n 1) ，并且
上（下）三角矩阵的性质
• 什么是矩阵的LU分解？ • 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解
是否唯一？ • 如何计算矩阵的LU分解？ • LU分解有什么应用？
Hale Waihona Puke 定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得
A LU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即
其中 . vHu 1
(4.1.2)
(3) 对任意非零向量 a,b C n ,可适当选取 u, v和使得
E(u,v, )a b
(4.1.3)
4.1.2 初等下三角矩阵
令u li (0,,0,li1,i ,,lni )T ,v ei , 1，则
Li Li (li ) E(li , ei ,1)
取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即
||w|| =1，初等矩阵
H (w) E(w, w,2) I 2wwH
(4.1.7)
称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。
定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：
(1) det(H (w)) 1;
E(u, v, ) I uvH
(4.1.1)
称为初等矩阵.
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s c
（ c2 + s2 = 1 ）
[Tij (c , s ) ] −1 = [Tij (c , s ) ] T = Tij (c ,− s ) ,
det Tij = 1 .
⎧η i = cξ i + sξ j ⎡η 1 ⎤ ⎡ξ 1 ⎤ ⎪ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2． x = ⎢ M ⎥ , Tij x = ⎢ M ⎥ ⇒ ⎨η j = − sξ i + cξ j ⎪η = ξ ( k ≠ i , j ) ⎢ ⎢ k ⎦ ⎩ k ⎣η n ⎥ ⎦ ⎣ξ n ⎥
( )
(i = 3,4)
⎡1 ⎢0 1 L2 = ⎢ ⎢0 c 32 ⎢ ⎣0 c 42 ⎡a11 ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥, 1 ⎥ ⎥ 0 1⎦ a12 (1) a 22
⎡1 ⎢0 1 −1 L2 = ⎢ ⎢0 − c 32 ⎢ ⎣0 − c 42 a13 (1) a 23 a14 ⎤ (1) ⎥ Δ a 24 (2 ) ⎥ (2 ) ⎥ = A a 34 (2 ) ⎥ a 44 ⎦
1 (2 ) L− 3 A
矩阵论 9 稿（张凯院）
第四章
矩阵分解
4-2
1 −1 −1 ( 3) 即 L− ⇒ A = L1 L2 L3 A ( 3 = L1 L2 L3 = ⎢ ⎢c 31 ⎢ ⎣c 41
1 c 32 c 42
1 c 43
⎡1 1 ⎢ 0 T = T13T12 = 2⎢ ⎢ ⎣− 1
1 ⎤ ⎡ 3 4 0⎤ ⎡ 3 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ 2 0⎥ ⎥ ⋅ 5 ⎢ − 4 3 0⎥ = 5 2 ⎢ − 4 2 ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 5⎥ ⎦ ⎣ −3 0
Tx = 5 2e1
二、Householder 矩阵
H u = I n − 2uu T （ u ∈ R n 是单位列向量）
证 ① x = x z : n > 1 时，可取单位向量 u 使得 u ⊥ x ，于是
H u = I − 2uu T :
② x ≠ x z : 取u =
H u x = I x − 2uu T x = x = x z
x− x z x− x z
，有
T ⎡ ( 2( x − x z , x ) x − x z )( x − x z ) ⎤ ⎥x = x− (x − x z ) H u x = ⎢I − 2 2 2 ⎥ ⎢ x x z − x − x z ⎦ ⎣
kj
k1
⋅ u1 j + L + l k ,k −1 ⋅ uk −1, j )
]
计算框图：
l11 l 21 l 31 l 41 M
u12 l 22 l 32 l 42 M
u13 u23 l 33 l 43 M
u14 u24 u34 l 44 M
L L L L O
第1框 第2框 第3框 第4框 M
例1
Δ ~ 二、紧凑格式算法： A = LDU = L U （Crout 分解）
⎡ l 11 ⎢l ~ L = ⎢ 21 ⎢M ⎢ ⎣ l n1
l 22 M l n2
⎤ ⎡1 u12 L u1n ⎤ ⎥ ⎢ 1 L u2 n ⎥ ⎥, U = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ O O M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ L l nn ⎦ 1 ⎦ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 0 1⎦
1 (1 ) L− 2 A
(2 ) a 33 (2 ) a 43
③ Δ 3 ( A) = Δ 3 A
( )= a
(2 )
11 22
a a 33 :
(1) (2 )
a 33
(2 )
(2 ) a 43 ≠ 0 ⇒ c 43 = (2 ) a 33
⎡1 ⎢0 1 L3 = ⎢ ⎢0 0 1 ⎢ ⎣0 0 c 43 ⎡a11 ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣
(2 ) T (1 ) = T1(n2 ) LT12
[
]
−1
(2 ) T (1 ) = T12
[(
) L (T ( ) ) ] [T ( ) LT ( ) ]
T 2 1n T 1 1n 1 12
⎡ 3⎤ ⎥ 例1 x=⎢ ⎢4⎥ ，求 G-矩阵之积 T 使得 T x = x e1 ． ⎢ ⎣5⎥ ⎦
2 − 4 0⎤ ⎡ 5 ⎢ 2 1 − 2 1⎥ ⎥ ， 计算框图： ⎢ A= ⎢− 4 − 2 5 0⎥ ⎥ ⎢ 1 0 2⎦ ⎣ 0
5 2 5 −4 5 2 15 −2 −4 −2 5 1 0 1
0 5 2
2 −7
矩阵论 9 稿（张凯院）
第四章
矩阵分解
4-3
⎡ 5 ⎢ 1 ~ ⎢ 2 L= ⎢− 4 − 2 ⎢ ⎣ 0
(i , 1)元：a i 1 = l i 1 ⋅ 1 ⇒ l i 1 = a i 1 (i = 1,L, n) (1, j )元：a1 j = l11 ⋅ u1 j ⇒ u1 j =
a1 j l11
( j = 2,L, n)
(i , k )元：a ik (k , j )元 :
= l i 1 ⋅ u1k + L + l i ,k −1 ⋅ uk −1,k + l ik ⋅ 1
⎤ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ 1⎦ a12 (1) a 22
⎡1 ⎢0 1 1 ⎢ L− = 3 ⎢0 0 1 ⎢ ⎣0 0 − c 43 a13 (1 ) a 23 (2 ) a 33 a14 ⎤ (1 ) ⎥ Δ a 24 (3 ) ⎥ (2 ) ⎥ = A a 34 (3 ) ⎥ a 44 ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎦
(i ≥ k ) ( j > k)
⇒ l ik = a ik − (l i 1 ⋅ u1k + L + l i ,k −1 ⋅ uk −1,k ) a kj = l k 1 ⋅ u1 j + L + l k ,k −1 ⋅ uk −1, j + l kk ⋅ uk j
⇒ ukj =
1 l kk
[a − (l
(1) a 42 (1)
a13
a 23 (1) a 33
(1) a 43
(1)
a14 ⎤ (1) ⎥ Δ a 24 (1) ⎥ (1) ⎥ = A a 34 (1) ⎥ a 44 ⎦
(1 ) a 22 ≠ 0 ⇒ ci 2 = ) a i(1 2 (1) a 22
(1) ② Δ2 ( A) = Δ2 A (1) = a11 a 22 :
若 ξ i2 + ξ j2 ≠ 0 ，取 c =
ξi
(ξ
2 i
+ ξ j2
)
1 2
,
s=
ξj
(ξ
2 i
+ ξ j2
)
1 2
则 η i = ξ i2 + ξ j2
Th3
(
)
1 2
> 0, η j = 0 .
x ≠ 0 ⇒ ∃ 有限个 G-矩阵之积 T, st. Tx = x e1 ．
证 ① ξ 1 ≠ 0 （以 n = 4 为例）
构造 T14
(ξ (c , s ) ， c = (ξ
2 1 2 1
+ ξ 22 + ξ 32 + L + ξ 42
) )
1 2 1 2
, s=
ξ4
(ξ
2 1
+ L + ξ 42
)
1 2
： T14 x (3 ) = x e1
于是可得
T14T13T12 x = x e1
2 ② ξ 1 = L = ξ k −1 = 0, ξ k ≠ 0 (1 < k ≤ n ) : x = ξ k2 + L + ξ n
构造 T13 (c , s ) ， c =
(ξ (ξ
2 1
2 1
+ ξ 22
2 2
)
1 2 2 3
+ξ +ξ
)
1 2
, s=
ξ3
(ξ
2 1
+ξ +ξ
2 2
2 3
)
1 2
：
T13 x (2 )
⎡ 2 2 2 ⎢ ξ1 + ξ 2 + ξ 3 ⎢ 0 =⎢ 0 ⎢ ⎢ ξ4 ⎣
(
)
1 2
⎤ ⎥ ⎥ Δ (3 ) ⎥= x ⎥ ⎥ ⎦
矩阵论 9 稿（张凯院）
第四章
矩阵分解
4-1
第四章
矩阵分解
§4.1 三角分解 目的：将 An×n 分解为下三角矩阵与上三角矩阵的乘积. 一、分解原理：以 n = 4 为例 ① Δ1 ( A) = a11 :
a11 ≠ 0 ⇒ c i 1 = ai1 a11
(i = 2,3,4)
⎤ ⎤ ⎡1 ⎡ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢c 1 − c 21 1 21 −1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ L1 = , L1 = ⎢ c 31 0 1 ⎥ ⎢− c 31 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ c41 0 0 1⎦ ⎣ − c41 0 0 1⎦ ⎡a11 ⎢ 1 ⎢ L− A = 1 ⎢ ⎢ ⎣ a12 a 22 (1) a 32
§4.2
QR 分解
目的：将 An×n 分解为正交矩阵与上三角矩阵之积. 约定：本节涉及的矩阵为实矩阵，向量为实向量，数为实数．
一、Givens 矩阵
⎡I ⎢ ⎢ Tij (c , s ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1． TijTTij = I , ⎤ ⎥ (i ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ( j) I⎥ ⎦
c I −s
= x − 1 ⋅ (x − x z ) = x z
例2
⎡1 ⎤ ⎥ x=⎢ ⎢ 2⎥ ，求 H-矩阵 H 使得 H x = x e1 ． ⎢ ⎣ 2⎥ ⎦