人教A版高中数学必修五周练七
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《三不等式》归纳整合
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3．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)二元一次不等式(组)的几何意义 二元一次不等式(组)的几何意义是二元一次不等式(组)表示 的平面区域．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的 平面区域．区域不包括边界时，边界直线(Ax＋By＋C＝0)应 画成虚线． (2)二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋ By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊 点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表 示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定 域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
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【例3】 f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围是 ________． 解析 (1)当a＝0时，f(x)<0恒成立，故a＝0符合题意；
(2)当 a≠0 时，由题意得：aΔ<＝0a2＋4a<0 ⇔a－<40<a<0 ⇔
－4<a<0，综上所述：－4<a≤0. 答案 (－4,0]
(1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]；
(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；
当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]；
当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
(3)当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根x1，x2，且x1<x2， 那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4
人教版A版2017课标高中数学必修第一册第五章综合测试试卷-含答案03
第五章综合测试一、单项选择题1.已知 1 845α=︒，则在弧度制下为（ ） A .10πB .21π4C .31π4D .41π42.点()1,2P -是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（ ）A B . C .25- D .153.如果点sin cos cos P θθθ⋅（，）位于第三象限，那么角θ位于（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3ππsin cos 22θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A .15 B .15-C .75 D .75-5.若函数()()2cos f x x ωϕ=+对任意实数x 都有ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于（ ） A .2-B .2C .2±D .不能确定6.与函数πtan 2+4y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ）A .π2x =B .π2y =C .π4x =D .π8y =7.已知π(0,2cos 212ααα∈=+，则cos α=（ ）A B C D .158.已知sin α=()sin αβ-=，,αβ是锐角，则β=（ ） A .5π12B .π3C .4πD .35二、多项选择题9.下列说法错误的是（ ）A .长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B .若tan 0α≥，则πππ()2k k k α+∈Z ≤≤C .若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=D .当π2π2π()4k k k α+∈Z ＜＜时，sin cos αα<10.已知函数()cos 22f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A .()f x 的周期为πB .π3x =是()f x 的一条对称轴 C .ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间 D .ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间 11.已知函数()|tan |cos f x x x =，则下列说法正确的是（ ） A .()f x 的最小正周期为πB .()f x 的值域为[1,1]-C .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .()f x 的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称12.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A .()f x 是偶函数B .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C .()f x 在[π,π]-有4个零点D .()f x 的最大值为2三、填空题13.为得到函数2sin 3y x =的图象，只需将函数sin y x =的图象横坐标________到原来的________倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍；14.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数πy 4sin 6x k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此图像可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________.15.若函数2sin y x x =+的最大值为3，则a 的值为__________. 16.已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________.四、解答题17.已知cos α是方程25760x x --=的根，求()()25π3πsin sin tan 2πtan π22π3πcos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值.18.已知函数()π3tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与单调区间；（2）比较π2f ⎛⎫⎪⎝⎭与π8f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小.19.已知曲线sin()(0,0)y A x A ωϕω=+＞＞上的一个最高点的坐标为（6π）此点与相邻最低点之间的曲线与x 轴交于点（2π3，0）且ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求曲线的函数表达式；（2）用“五点法”画出函数在[0,2π]上的图象.20.已知π1tan 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求tan α的值；（2）求()()22πsin 22πsin 21cos π2sin αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值.21.设函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，单位圆O 上存在两点A ，B ，满足π3AOB ∠=，AC ，BD 均与x 轴垂直，设ππ62xOA αα⎛⎫∠= ⎪⎝⎭＜，AOC △与BOD △的面积之和为()f α.（1）若()38f α=，求α的值； （2）若对任意的ππ,62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在(),0x ∈-∞，使得()318f x m x α++≤成立，求实数m 的取值范围.第五章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】∵180π︒=，π1180︒=∴，则π41π1 84518451804︒=⨯=.故选D .2.【答案】A【解析】由三角函数的定义可得sin α==()sin πsin αα-==.故选A . 3.【答案】B【解析】∵点(sin cos ,cos )P θθθ⋅位于第三象限，sin cos 0θθ⋅∴＜，cos 0θ＜.∴sin 0θ＞.∴θ是第二象限角. 4.【答案】C 【解析】∵sin 4tan cos 3θθθ==-，()0,πθ∈，sin 0θ＞，cos 0θ＜，又∵22sin cos 1θθ+=，4sin 5θ=∴，3cos 5θ=-，3ππ7sin cos cos sin 225θθθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C .5.【答案】C【解析】由ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象的对称轴为π3x =，因为余弦函数在对称轴取到函数的最值，所以π=23f ⎛⎫± ⎪⎝⎭.故选C .6.【答案】D【解析】由ππ2π,42x k k +=+∈Z ，得ππ,82k x k =+∈Z ，令0k =，得π8x =.π8x =∴为函数图象的一条渐近线，即直线π8x =与函数的图象不相交.故选D .7.【答案】A【解析】因为π(0,)2α∈，所以cos 0α＞，因此有22sin 2cos 214sin sin cos 2cos 11cos 2a a ααααα=-+⇒==+⇒，而22cos sin 1αα+=，所以有cos α=，故本题选A .8.【答案】C【解析】因为,αβ是锐角，ππ(,)22αβ-∈-，所以cos()0αβ-＞cos α==，cos αβ-==（）.∴()()()sin sin sin cos cos sin a a βααβαβαβ=⎡--⎤=---=+⎣⎦ ∵β为锐角∴π4β=.故选C . 二、9.【答案】ABC【解析】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误； 对于B ，若tan 0α≥，则πππ()2k k k α+∈Z ≤＜，命题错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，命题错误；对于D ，当π2π2π()4k k k α+∈Z ＜＜时，sin cos αα<，命题正确.故选：ABC10.【答案】ABD【解析】由()cos 22f x x x =-可得：π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的周期为2ππ2T ==；所以A 正确； 将π3x =代入π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：πππ2cos 22333f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()f x 取得最小值2-，所以π3x =是()f x 的一条对称轴，所以B 正确； 令π23t x =+，则π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2cos y t =，π23t x =+复合而成；当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π23t x =+在ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递增，2cos y t =在π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不单调，由复合函数的单调性规律可得：ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个递增区间；所以C 错误.当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[0,π]t ∈，π23t x =+在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递增，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
高中数学不等式2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法课后课时精练课件新人教A版必修5
(2)由题意，得14－ ＋a2＋ a＋b＝ b＝0， 0， 解得ba＝＝－－21， . ∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0， ∴不等式 x2－x＋2>0 的解集为 R.
10．已知 M 是关于 x 的不等式 2x2＋(3a－7)x＋3＋a－ 2a2<0 的解集，且 M 中的一个元素是 0，求实数 a 的取值范 围，并用 a 表示出该不等式的解集．
9．已知不等式 x2－2x－3<0 的解集为 A，不等式 x2＋x －6<0 的解集为 B.
(1)求 A∩B； (2)若不等式 x2＋ax＋b<0 的解集为 A∩B，求不等式 ax2 ＋x＋b<0 的解集．
解 (1)由 x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴A＝(－1,3)． 由 x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴B＝(－3,2)，∴A∩B＝(－1,2)．
4．已知不等式 ax2－5x＋b>0 的解集为{x|－3<x<2}，则 不等式 bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x－13
1 <x<2
B.xx<－31 或x>21
C．{x|－3<x<2}
D.xx<－21 或x>31
解析 由题意可知，ax2－5x＋b＝0 的两个根分别为－ 3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝5a，－3×2＝ba， 解得 a＝－5，b＝30，则所求不等式可化为 30x2－5x－5>0， 即(2x－1)(3x＋1)>0，解得 x<－13或 x>12.故选 B.
04课后课时精练
A 级：基础巩固练 一、选择题 1．函数 y＝ x2＋x－12的定义域是( ) A．{x|x＜－4 或 x＞3} B．{x|－4＜x＜3} C．{x|x≤－4 或 x≥3} D．{x|－4≤x≤3}
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (2)
2.2 基本不等式A 级 必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为( )A.x ≥2yB.x>2yC.x ≤2yD.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x 的值为( ) A.54B.12C.13D.343.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab 的最大值为( ) A.14B.12C.1D.24.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是( ) A.1B.2C.-1D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为( ) A.2B.-12C.-2D.126.[探究点三·江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是( )A.2B.3C.4D.57.[探究点一·湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是( )A.因为a,b 为正实数,所以ba+ab≥2√ba·ab=2B.因为a>3,所以4a +a>2√4a·a =4C.因为a<0,所以4a+a ≥2√4a·a =4D.因为x,y ∈R,xy<0,所以x y+y x=-[(-x y)+(-y x)]≤-2√(-x y)·(-yx)=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立8.[探究点二](多选题)若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a 2+b 2≥2abB.a+b ≥2√abC.1a+1b >√abD.b a+ab≥29.[探究点三]已知t>0,则t 2-3t+1t的最小值为 .10.[探究点二]已知a,b,c 为正数,求证:b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b 的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2√a ·1a =2,b+2b ≥2√b ·2b =2√2.那么y ≥2+2√2-1=1+2√2,则最小值为1+2√2.小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2a b,而3+b a+2a b≥3+2√b a ·2ab=3+2√2,则最小值为3+2√2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误? (2)请说明你判断的理由.B 级 关键能力提升练12.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8A.∀x ∈R,且x≠0,x+1x≥2 B.∃x ∈R,使得x 2+1≤2x C.若x>0,y>0,则√x 2+y 22≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则√xy 的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①1a+1b ≤4a+b,②b 2a+a 2b≥a+b,③√a 2+b 22≥a+b 2,这三个不等式中,不正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.[安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b 满足a+b=2,则下列结论正确的是( ) A.ab ≤1 B.√a +√b ≥2 C.a 3+b 3≤2D.a 2+b 2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是( ) A.√ab 2<1a+1b B.ab ≤a 2+b 22C.ab ≤(a+b 2)2 D.(a+b 2)2≤a 2+b 2217.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .18.已知不等式(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,求正实数a 的最小值.C 级 学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x 的图象上,则1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是 . 答案：1.B 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x 2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x)取得最大值54.故选B. 3.A 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b ≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14.故选A.4.A 因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x >0,1y >0,1x +1y ≥2√1x ·1y =2√1xy =2×12=1,当且仅当1x=1y ,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.C 因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2√(-x )·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立,所以x+1x的最大值为-2.故选C.6.D 由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b 2)2=5,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.7.ABD 对于A,a,b 为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b 时,ba=a b成立,满足基本不等式的条件,A 正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a ≥2√4a·a =4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a 使a=4a成立,所以4a+a>4,B 正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C 错误;对于D,x,y ∈R,xy<0,则-x y>0,-yx>0,且(-x y)·(-y x)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-x y=-yx成立,满足基本不等式的条件,D 正确.故选ABD.8.AD 对于A 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,故a 2+b 2≥2ab,A 正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2√ab =2,B 错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<√ab=2,C 错误;对于D,因为ab>0,所以a b>0,b a>0,所以b a+a b≥2√b a·ab=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D 正确.故选AD. 9.-1 ∵t>0,∴t 2-3t+1t =t+1t-3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.10.证明左边=ba +ca -1+cb +ab -1+ac +bc -1=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3.∵a,b,c 为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b 时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c 时,等号成立);c b +b c ≥2(当且仅当b=c 时,等号成立).从而(b a +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6(当且仅当a=b=c 时,等号成立).∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3≥3,即b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2√a ·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2√b ·2b =2√2,当等号成立时b=√2,那么y 取得最小值1+2√2时,a+b=1+√2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,b a+2a b≥2√2,等号成立的条件为b 2=2a 2,即b=√2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b 的值,所以小华的解法正确. 12.C x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2√(x +1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.13.BCD 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B 正确;对于C,若x>0,y>0,则(x 2+y 2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x 2y 2,可化为√x 2+y 22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C 正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√xy ,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴√xy ≤9,D 正确.故选BCD.14.B 因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a 3+b 3-a 2b-ab 2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,两边同除ab,可得b 2a+a 2b≥a+b 成立,所以②正确;对于③,由2a 2+2b 2=a 2+b 2+a 2+b 2≥a 2+b 2+2ab=(a+b)2,可得a 2+b 2≥(a+b )22,即a 2+b 22≥(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2成立,所以③正确.故选B.15.AD 因为正实数a,b 满足a+b=2,对于A 选项,ab ≤(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A 正确;对于B 选项,因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b)=4,则√a +√b ≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B 错误;对于C 选项,当a=32,b=12时,a 3+b 3=(32)3+(12)3=72>2,C 错误;对于D 选项,a 2+b 2=a 2+b 2+a 2+b 22≥a 2+b 2+2ab2=(a+b )22=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D 正确.故选AD. 16.BCD 当a>0,b>0时,因为21a +1b≤√ab ,所以√ab≤1a+1b,当且仅当a=b 时,等号成立,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 17.√(a -b )(b -c )≤a -c 2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ). 当且仅当b=a+c 2时,等号成立.18.解(x+y)(1x +ay )=1+a+yx +ax y,∵x>0,y>0,a>0,∴y x+ax y≥2√y x·ax y=2√a ,∴1+a+yx +ax y≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时,等号成立.∴要使(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.19.8 ∵点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,∴b=1a,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴1a 2b+1ab2+16ab a+b=1a+1b+16a+b=a+b ab+16a+b=a+b+16a+b≥8,当且仅当a+b=16a+b,即a+b=4时,等号成立,所以1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是8.。
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
高中数学第五章三角函数5-7三角函数的应用课时作业新人教A版必修第一册
5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．简谐运动y ＝4sin (5x －π3)的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3 B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．如图，为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝53．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A4．音叉是呈“Y ”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P 离开平衡位置的位移y 与时间t 的函数关系为y ＝11 000sin ωt .图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )A ．200B ．400C ．200πD ．400π5．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5C ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s6．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin (5π12t －π6)，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m.7．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t 秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h 厘米满足下列关系：h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)，则每秒钟小球能振动________次．关键能力综合练 1.如图，一个质点在半径为2的圆O 上以P 点为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是( )A ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t －π4）B ．y ＝2sin (2π3t －π4)C ．y ＝2sin (2π3t ＋π4)D ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t ＋π4） 2．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设甲某的血压满足函数式p (t )＝102＋24sin (160πt )，其中p (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，对于甲某而言，下列说法正确的是( )A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值、舒张压高于标准值3．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港．如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．104．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20) 给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]5．(多选)如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O 到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q ，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是( )A ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数为h (t )＝50sin (πt 15＋π3)＋10B ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为(15k ，60)(k ∈Z )C ．经过10分钟点Q 距离地面35米D ．摩天轮从开始转动一圈，点Q 距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x －6)](A >0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.7．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动．习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系(夜间零点开始计时).A －B ＝________.8．某一天6～14时某地的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin (π8x ＋3π4)＋20(x ∈[6，14])，其中，x 表示时间，y 表示温度．求这一天中6～14时的最大温差，并指出何时达到最高气温．9．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．核心素养升级练1．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状(雨棚的厚度忽略不计)，已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为( )A ．H 3B ．H4C ．H 5D ．H62．[2022·福建厦门高一期末]在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y ，该小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足y ＝23.439 391 1·sin (0.017 202 5x )，则一个回归年对应的天数约为________(精确到0.01)；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期________．(π0.017 202 5≈182.624)3．“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y (米)与时间t (0≤t ≤24)(单位：小时)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．答案：C解析：相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．答案：A解析：由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝604＝15，则ω＝2πT ＝2π15. 3．答案：B解析：将t ＝1200代入I ＝5sin (100πt ＋π3)得I ＝2.5 A ．4．答案：D解析：由图象可得，ω>0，T ＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π.5．答案：BCD解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，所以A 错，D 正确； 该质点的振幅为5，所以B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．综上，BCD 正确．6．答案：1解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin (5π－π6)＝2sin 5π6＝1，即12点时潮水的高度是1 m ． 7．答案：12π解析：函数h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)的周期T ＝2π，故频率为12π.所以每秒钟小球能振动12π次．关键能力综合练1．答案：A解析：由于y 表示距离，为非负数，所以BC 选项错误．P 点的初始位置为(2，－2)，在第四象限，所以A 选项符合，D 选项不符合． 2．答案：C解析：∵p (t )＝102＋24sin (160πt )， ∴p (t )min ＝102－24＝78，p (t )max ＝102＋24＝126.所以，甲某血压的收缩压为126 mmHg ，舒张压为78 mmHg. 因此，收缩压高于标准值、舒张压低于标准值． 3．答案：C解析：从图象可以看出，函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k 最小值为2，即当sin (ωx ＋φ)＝－1时，函数取得最小值，即－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以y ＝3sin (ωx ＋φ)＋5，当sin (ωx ＋φ)＝1时，函数取得最大值，y max ＝3＋5＝8，这段时间水深(单位：m)的最大值为8.4．答案：C解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，所以函数F (t )＝50＋4sin t2在[4k π－π，4k π＋π](k ∈Z )上单调递增，当k ＝1时，t ∈[3π，5π]⊆[0，20]，此时[10，15]⊆[3π，5π].故选C.5．答案：CD解析：由题意知∠xOQ ＝π2，OQ 在t 分钟转过的角为2π30t ＝π15t ，所以以OQ 为终边的角为π15t ＋π2，所以点Q 距离水平地面的高度与时间的关系为h (t )＝50sin (πt 15＋π2)＋60＝50cos πt15＋60，故A 错误； 由πt 15＝k π＋π2，k ∈Z ，得t ＝15t ＋152，k ∈Z ，所以(15k ，60)(k ∈Z )不是对称中心，故B 错误；经过10分钟，h (10)＝50cos 10π15＋60＝35，故C 正确；由50cos πt 15＋60≤85，得cos πt 15≤12，得π3≤πt 15≤5π3，解得5≤t ≤25，共20分钟，故D 正确．6．答案：20.5解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos [π6(x －6)]，当x ＝10时，y ＝23＋5cos (π6×4)＝20.5.7．答案：－4.2或写成－215解析：由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈[0，24])，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝5.0－A ＋B ＝4.2，解得A ＝0.4，B ＝4.6，故A －B ＝－4.2.8．解析：由x ∈[6，14]，得3π2≤π8x ＋3π4≤5π2，所以当π8x ＋3π4＝3π2，即x ＝6时，y 取得最小值10，当π8x ＋3π4＝5π2，即x ＝14时，y 取得最大值30， 所以这一天中6～14时的最大温差为20，且14时达到最高气温． 9．解析：(1)最大用电量为50万kW ·h ，最小用电量为30万kW ·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin (wx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πw ＝14－8， ∴w ＝π6.∴y ＝10sin (π6x ＋φ)＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin (π6x ＋π6)＋40，x ∈[8，14].核心素养升级练1．答案：C解析：雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H －A ，雨棚的最高点到地面的距离为H ＋A ，由题意有H －A ≥23(H ＋A )，解得A ≤H5，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为H5.2．答案：365.25 四解析：因为周期T ＝2πω＝2π0.017 202 5≈182.624×2＝365.248≈365.25，所以一个回归年对应的天数约为365.25；一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为365.25×4＝1 461. 因为1 461＝208×7＋5，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四．3．解析：(1)画出散点图，连线如下图所示：设y ＝A sin ωt ＋b ，根据最大值13，最小值9，可列方程为⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝13－A ＋b ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3b ＝10， 再由T ＝2πω＝12，得ω＝π6，y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24).(2)3sin π6t ＋10－8≥3.5⇒sin π6t ≥12.∵0≤t ≤24， ∴0≤π6t ≤4π，∴π6≤π6t ≤5π6，或π6＋2π≤π6t ≤5π6＋2π， 解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．。
高中数学 周练卷1测评(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
周练卷(一)一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(∁U B)＝(B)A．{3}B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}解析：∵∁U B＝{2,5}，A＝{2,3,5}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}．故选B.2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(C)A．1 B．3C．5 D．9解析：因为x∈A，y∈A，x－y的值分别为0，－1，－2,1,0，－1，2,1,0，由集合中元素互异性知，B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{－2，－1,0,1,2}．故选C.3．已知下面的关系式：①a⊆{a}；②0∈{0}；③0∈∅；④{1}∈{1,2}．其中正确的个数是(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可知，①错误，②正确，③错误，④错误．故选A.4．集合M＝{(x，y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}，N＝{－3,1}，则M与N的关系是(D)A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M，N无公共元素解析：因为M＝{(x，y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集，而N＝{－3,1}是数集，所以两个集合没有公共元素，故选D.5．已知：全集U＝{x|－3<x≤4}，A＝{x|－3<x≤－1}，B＝{x|－1<x≤4}，则不正确的选项是(C)A．A∪B＝U B．A∩B＝∅C．A∪(∁U B)＝U D．(∁U A)∩(∁U B)＝∅解析：∁U B＝{x|－3<x≤－1}，A∪(∁U B)＝{x|－3<x≤－1}，故C 不正确，故选C.6．有关集合的性质：(1)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；(2)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(3)A∪(∁U A)＝U；(4)A∩(∁U A)＝∅.其中正确的个数有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，正确；(2)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，正确；(3)A ∪(∁U A )＝U ，正确；(4)A ∩(∁U A )＝∅，正确，则正确的个数有4个，故选D.7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <3或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若(∁U A )∩B ≠∅，则实数a 的取值X 围为( A )A ．{a |a >3}B ．{a |a ≥3}C ．{a |a ≥7}D ．{a |a >7}解析：因为A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a >3.故选A.8．对于数集M ，N ，定义M ＋N ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，M ÷N ＝{x |x ＝a b ，a ∈M ，b ∈N }．若集合P ＝{1,2}，则集合(P ＋P )÷P的所有元素之和为( D )A.272B.152C.212D.232解析：由题意得P ＋P ＝{2,3,4}，(P ＋P )÷P ＝{2,3,4}÷{1,2}＝{1，32，2,3,4}，所以集合(P ＋P )÷P 的所有元素之和为1＋32＋2＋3＋4＝232.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知a 2∈{a,1,0}，则a 的值为－1.解析：由元素的确定性可知a2＝a或a2＝1或a2＝0.若a2＝a，求得a＝0或a＝1，此时集合为{0,1,0}或{1,1,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去；若a2＝1，求得a＝－1或a＝1，a＝1时，集合为{1,1,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1；若a2＝0，求得a ＝0，此时集合为{0,1,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上所述，a＝－1.10．设A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a ＝1.解析：由A∩B＝{3}得3∈B，又a2＋4≥4，所以a＋2＝3，解得a＝1.11．设集合M＝{x|x>1，x∈R}，N＝{y|y＝2x2，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}，则(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}，M∩P＝∅.解析：因为M＝{x|x>1，x∈R}，所以∁R M＝{x|x≤1，x∈R}，又N ＝{y|y＝2x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M ＝{x|x>1，x∈R}表示数集，而P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R，y∈R}表示点集，所以M∩P＝∅.三、解答题(共45分)12．(15分)已知集合A＝{2,5，a＋1}，B＝{1,3，a}，且A∩B＝{2,3}．(1)某某数a 的值及A ∪B ；(2)设全集U ＝{x ∈N |x ≤6}，求(∁U A )∩(∁U B )．解：(1)∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈A ，即a ＋1＝3，得a ＝2，则A ＝{2,5,3}，B ＝{1,3,2}，A ∪B ＝{1,2,3,5}．(2)由题得U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，(∁U A )∩(∁U B )＝{0,1,4,6}∩{0,4,5,6}＝{0,4,6}．13．(15分)已知集合A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |5－a <x <a }．(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若C ⊆B ，某某数a 的取值X 围．解：(1)A ∪B ＝{x |2<x <10}．∵∁R A ＝{x |x ≤2或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)①当C ＝∅时，满足C ⊆B ，此时5－a ≥a ，得a ≤52；②当C ≠∅时，要C ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a <a ，5－a ≥2，a ≤10，解得52<a ≤3.由①②，得a ≤3.∴a的取值X围是{a|a≤3}．14．(15分)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B 中有多少个元素．解：(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)因为A×B＝{(1,2)，(2,2)}，所以A＝{1,2}，B＝{2}．(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B 中有12个元素．。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作周练七(2013年高一下学期期中模拟试题)命题人 刘云清一．选择题：每小题5分，共50分．每小题四个选项中，只一项是符合要求的． 1.下列命题正确的是A.若,0a b x y >>>则ax by >B. 若11x y>则x y < C. 若x y >则22x y > D .若33x y >则x y >2.不等式2230x x -++<的解集是A ．﹛x|3x <-或1x >﹜ B.﹛x|1x <-或3x >﹜ C. ﹛x|13x -<<﹜ D.﹛x|31x -<<﹜3.已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =A ．23 B. 13 C.13- D. 23- 4.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≥+-，则A 的取值范围是A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C.,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5. 已知△ABC 的三边长分别为a-2，a ，a+2，且它的最大角的正弦值为23，则这个三角形的面积是 （ ）A ．415B ．4315 C ．432 D ．43356.已知关于x 的不等式20ax x +<的解集中的整数恰有2个，则A ．1132a <≤ B. 1132a ≤<C. 1132a <≤或1123a -≤<-D. 1132a ≤<或1123a -<≤-7.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n，(n a R ∈),则公比为A ．4-B ．2C ．4D ．168. 已知{}n a ，{}n b 都是等差数列，前n 项和分别记为,n n A B ，若213n n A n B n+=，则44a b = A ．59 B. 35 C 1927 D. 579.记实数,a b 中的最大数为{}max .a b ,定义数列{}n a ： {}2max ,2n n a n =，则数列{}n a 的前10项和为A ．2046 B.2047 C.2048 D.204910.等差数列{}n a （公差不为0）的部分项构成等比数列{}n b ，已知n n k b a =，12k = 24k =，312k =，则4k =A .26 B. 28 C. 44 D. 48题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二．填空题：本大题共5小题．每小题5分．共25分． 11. 不等式10x x+>的解集是 12 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。
13．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，给出下列命题①数列｛a n ｝的前n 项和111n n a aS q+-=-；②若 1q >，则数列｛a n ｝是递增数列；③若a 1＜a 2＜a 3 ，则数列｛a n ｝是递增数列。
其中正确的命题序号是 14.已知函数()tan f x x =.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________时，0)(=k a f .15. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程就超过2200km ，如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程（km ）范围是________. 三．解答题：共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知321341,,a a S S S -=，成等差数列，求{}n a 的通项公式．17.（12分）在ABC ∆中，35cos ,sin 513A B ==. （1）求sin C 的值；（2）若ABC ∆的面积为145，求AC 边的长.18.（12分）已知三角形的三个顶点为(2,4),A (1,2),B -(2,3)C -，求BC 边上的高AD 所在的直线方程．19.（12分）设0,a >,解关于x 的不等式()221a x a x -->⎡⎤⎣⎦.20..（13分）Ⅰ(文科)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为015,75==βα，如果这时气球的高度100=h 米，求河流的宽度BC 。
Ⅱ(理科)数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的： 1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点.2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
（Ⅰ）ABC ∆中，AB AC =，费马点记为P ，证明：PB PC =； （Ⅱ）若Q 为ABC ∆内任意一点，73AB AC ,BC ===求QA QB QC ++的最小值.21.（14分）Ⅰ(文科)在等差数列{}n a 中，已知710,715105-==a a 。
（I ）求通项n a 和前n 项和n S ；（II ）求n S 的最大值以及取得最大值时的序号n 的值； （III ）求数列{}n a 的前n 项和n T .II (理科)已知数列{}n a 满足1313a ,a ==，且对任意2n ,n N *≥∈都有112a n n n a a -++=（Ⅰ）求24a ,a ；（Ⅱ）证明：{}n a 是等差数列,并求通项公式n a ；（Ⅲ）设n n n b a= ⋅ 2 ， (n N*) ∈，数列{}n b 的前n 项和记为n S ,求n S .DBCA期中模拟试题参考答案1.D2. B3.A4.D5解析：先判断出a+2所对角最大，设为α，则sin α=23，∴cos α=±21.当cos α=21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2-2a(a-2)·cos α，解得a=0，不合题意.当cos α=-21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2-2a(a-2)·cos α，解得a=5或a=0(舍去). ∴S=21 (a-2)·a ·sin α=21×3×5×23=4315.答：B6.B 7 C 8.D 9.B 10.C11. ﹛x|1x <-或0x >﹜ 12.6 13. ③ 14. 1415解析：设这辆汽车原来每天行驶的路程为xkm ，则8(19)2200,9(12)8(19),x x x +>⎧⎨-<+⎩解之，得256<x<260.答案：256<x<26016．解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a -=得：()211a q q -=，① …………2分由134,,S S S 成等差数列得：4331,S S S S -=-∴432a a a =+ 则21q q =+ ② ∴152q ±=…………7分 ①代入②得：11a = …………10分 ∴通项公式115()2n n a -±= …………12分17．解：（1）由已知得：4sin sin 5A B => ∴02B A π<<<，12cos 13B = ……………3分从而63sin sin()65C A B =+= ……………6分（2）由正弦定理得：63sin sin 25AC AB C AC B == ……………9分∴ABC ∆的面积21163414sin 222555S AB AC A AC =⋅⋅=⋅⋅= 解得53AC = …………12分18．解：直线BC 的斜率为3(2)5213BC k --==---， ∵AD BC ⊥， ∴35AD k =，根据点斜式，得到所求直线的方程为34(2)5y x -=-， 即35140x y -+=.19.解：由()221a x a x -->⎡⎤⎣⎦得：()()20ax a a x a --->⎡⎤⎣⎦∵0,a >∴()()120x a x a --->⎡⎤⎣⎦ ………3分 ① 当2a =时，有()210x -->∴1x <，不等式的解集是(),1-∞ ………5分 ② 当02a <<时，20a -<有()102a x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭∴12ax a <<-， 不等式的解集是,12a a ⎛⎫⎪-⎝⎭………9分③ 当2a >时，20a ->有()102a x x a ⎛⎫--> ⎪-⎝⎭∴1x <或2ax a >-，不等式的解集是﹛x|1x <或2ax a >-﹜ ………12分20. I 文科解：设A 在地面上的射影为D ，则AD=h ，由题设βααβα-=∠=∴=∠=∠BAC hAB ACB ABD ,sin ,, （2分）在ABC ∆中由正弦定理得βαβαβαββαsin sin )sin(,sin sin sin )sin(-=∴==-h BC h AB BC （6分）将已知数据代入计算，得 3200=BC （12分）II 理科解：（Ⅰ）① 当0120A ≥时，费马点P 与A 重合，∴PB PC =；……2分 ②当00120A <<时，则费马点P 在三角形内部，且0120APB BPC CPA ∠=∠=∠=（方法一）在,ABP ACP ∆∆中，由正弦定理知：120AB APsin sin ABP=∠ 0120AC APsin sin ACP=∠ ∵AB AC =∴sin APB sin ACP,∠=∠ APB ACP,∠=∠则APB ACP,∆≅∆∴PB PC = ………7分（方法二）在,ABP ACP ∆∆中，由余弦定理知：2222AB PA PB PA PB cos APB,=+-⋅∠ 2222AC PA PC PA PC cos APC,=+-⋅∠∵AB AC =，0120APB APC ∠=∠=∴22PB PA PB PC PA PC,+⋅=+⋅∴0(PB PC )(PB PC PA),-⋅++=∴PB PC = ………7分（Ⅱ）由已知得：ABC ∆是锐角三角形，∴Q 为三角形的费马P 时， QA QB QC ++取到最小值………9分在PBC ∆中，0120BPC ∠=∵73AB AC ,BC ===，由（Ⅰ）知：1PB PC ==在PAC ∆中，由余弦定理知：2222AC PA PC PA PC cos APC,=+-⋅∠∴20712120PA PA cos ,=+-⋅解得2PA =∴QA QB QC ++最小值为4. ………13分21. I 文科解（I ）)15(145),8(75n n S n a n n -=-=（6分） （II ）n=7或8时20)(max =n S （9分）（III ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤-=)9(,401475145)8(),15(1452n n n n n n T n （14分）II 理科解：（Ⅰ）∵对任意2n ,n N*≥∈都有112a n n n a a -++= 令2n =得：1322a a a += ， ∴ 2a 2=令3n =得：2432a a a += ， ∴ 4a 4= ………3分（Ⅱ）∵对任意2n ,n N*≥∈都有112a n n n a a -++=∴1n n a a +-=1a n n a -- ………5分∴数列{}n a 是等差数列,通项公式n a n.= ………9分 （Ⅲ）n S =231222322n n ⋅+⋅+⋅++⋅ ① 2n S =2341122232(1)22n n n n +⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②①-②得n S -=23122222n n n +++++-⋅=1(1)22n n +--∴1(1)22n n S n +=-+。