清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三精品PPT课件
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清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分高等数学课件第讲简单常微分方程一 共40页
y,
dy dx
,,
dny dx n ) 0
y
x x0
y0
dy
dx
x x0
y1
有n个
定解条件
d n1 y
y n 1
n1
dx 29.07.2019
x x0
13
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常微分方程的每一个都 解是一个 一元函数y f (x) 或是F(x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲.线
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到Байду номын сангаас程 dy 2xy dx
通解 yCx e2 (CR)
29.07.2019
19
(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
ydy 1 y2
dx 3x2
两端积分, 得 121y21C
2
3x
通解 1y2 1 C
16
(一) 分离变量法
[例1] 解方程 这两个方程的共同特点
(1) dy 2xy
是变量可分离型
dx
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy
f(x)(y)
分离变量
g(y)dyf(x)dx
dx
两边积分 g(y)dyf(x)dx 通解
29.07.2019
17
(1) [解]
dy 2xy dx
15
(一) 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
或f(x)d xg(y)dy
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
常微分方程
若存在 ( x, c1 ,
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续
2020/1/24
lim
x x0
f (x)
f ( lim x x0
x)
f ( x0 )
28
定义2： （函数在一点的单侧连续性）
设函数 f ( x) 在(a, x0 ]上有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
则 称 f ( x) 在 x0 处左连续;
设函数 f ( x) 在[ x0 , b)上有定义, 且
f ( x)与g( x)是 等 价 无 穷 小.
2020/1/24
记作 f (x) ~ g(x) (x ) 5
(2) 若 lim f ( x) 0, 则 称 当x 时, x g( x)
f ( x)与g( x)相 比 是 高 阶 无 穷 小. 记 作 f ( x) ( g( x)) ( x ).
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/1/24
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
( 因 为e x 1 ~ x ( x 0) )
a x 1 ~ x lna (x 0)
2020/1/24
17
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
lim 3x
清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续
05.12.2020
教学ppt
6
符“ 号 ”“ 与 O” (1 )若 lim f(x)0 ,则 记 f(x)(g(x))
x x0g(x)
(2)若M0, 使当 xN*(x0)时,有
f(x) M 则记成f(x)O(g(x)) g(x)
(xx0).
若 lim f(x)A ,则有 f(x)O (g(x))
05.12.2020
教学ppt
Hale Waihona Puke 511[例2]
1cosx
lim
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
05.12.2020
教学ppt
2
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
limf(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x 时的无. 穷
05.12.2020
教记 学ppt f作 (x)~g(x)
(x ) 5
(2)若lim f (x) 0, 则称当x 时, x g(x)
f (x)与g(x)相比是高阶无穷 . 小 记作 f (x) (g(x)) (x ).
(3)若 lx iam [gf((xx))k]A0,则 称 x 当 时 , f(x)与 g(x)相 比 k阶 是无.穷 小
常微分方程(第三版)课件第一章
2u 2u 2u 8. 2 2 4 xy y
§1.1 Sketch of ODE n阶隐式方程 n阶显式方程 方程组
偏微分方程 偏微分方程 不是微分方程
9. f 2 ( x) sin x
§1.1 Sketch of ODE
微分方程模型举例/Modeling of ODE/
CH.1 Introduction
本章要求/Requirements/
能快速判断微分方程的类型；
掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；
理解微分方程解的意义。
§1.1 Sketch of ODE
§ 1.1 微分方程概述/ Sketch of ODE/
微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有 力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。
§ 1.2 基本概念/Basic Conception/
1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解 5. 通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释-----方向场
§1.2 Basic Conception
常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/
电子课件
常微分方程
Ordinary differential equation
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编
常微分方程
Ordinary differential equation
• • • • • • • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 绪 论 一阶微分方程的初等解法 一阶微分方程的解的存在定理 高阶微分方程 线性微分方程组 定性理论初步1 2 一阶线性偏微分方程
常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常
§1.1 Sketch of ODE n阶隐式方程 n阶显式方程 方程组
偏微分方程 偏微分方程 不是微分方程
9. f 2 ( x) sin x
§1.1 Sketch of ODE
微分方程模型举例/Modeling of ODE/
CH.1 Introduction
本章要求/Requirements/
能快速判断微分方程的类型；
掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；
理解微分方程解的意义。
§1.1 Sketch of ODE
§ 1.1 微分方程概述/ Sketch of ODE/
微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有 力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。
§ 1.2 基本概念/Basic Conception/
1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解 5. 通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释-----方向场
§1.2 Basic Conception
常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/
电子课件
常微分方程
Ordinary differential equation
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编
常微分方程
Ordinary differential equation
• • • • • • • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 绪 论 一阶微分方程的初等解法 一阶微分方程的解的存在定理 高阶微分方程 线性微分方程组 定性理论初步1 2 一阶线性偏微分方程
常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常
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[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.
由牛顿冷却定律知
dTk(T2)0 (k0,比例)常数 dt 初始条件 T(0) 100
2020/11/28
10
另外还有一个条件: T(20)60
可用来确定比例常数k
分离变量，得
dT kdt (T 20)
两边积分，得
ln T (2)0 k tC 1
x1(Cy2 1)
2
C
2020/11/28
18
[例4] 一容器内盛有100升盐水,其中含盐
10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把
净水注入容器, 并以同样的速度使盐水
流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都
是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化
的规律.
2升
2020/11/28
2升 19
[解] 列方程，确定初始条件 已知，在任何一段时间内
13
由题意得
x y x y 2
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
xy 2y 0
y(2)
1
分离变量求得通解 y Cx2
由y(2)1,得C1 4
所求曲线方程 y为 1x2 4
2020/11/28
14
[例3] 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设反光镜镜面由 y曲 y(x线 )绕x轴
h dh
o
2020/11/28
23
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变， 看作是 t 时刻的盐水浓度
Q (t)
100
所以流出的盐量为
Q(t) 2dt 100
2020/11/28
21
于是有 dQ(t)Q(t)2dt 100
初始条件
Q(t) 10 t0
分离变量 通解
dQ dt Q 50
Q
Ce
t 50
y p
原方程变形成为
pf(x, p) 一阶
2020/11/28
3
[例 1 ]求x 2 解 y x y 1
[解] 特点是：不显含 y
令 y p p( x)
x2pxp1
p
1 x
p
1 x2
pC1 1lnx xx
y C1 1lnx xx
积分,得通解
yC1lnx1 2ln 2xC2
2020/11/28
4
[解2] 注意到方程的特殊性
x2yx( xy' )' ( xy' )'
1
x
xy'lnxC1
y C1 1lnx xx
积分,得通解
yC1lnx1 2ln 2xC2
2020/11/28
5
（三）y f ( y, y)型
不显含自变量 x
变量替换 令 y p p( y)
特解
Q 10e5t0
2020/11/28
22
28
[例5] 有一盛满水的圆锥形斗漏,高为10cm
顶角为 60,漏斗下面有一个截面积
为S 0.5cm2的小孔,问水全部流完 ,需要
多少时间?
[解] 此问题涉及水面高度 随时间的变化规律
h
10
根据水利学定律，流出速度
v0.6 2gh(cm /s)
hr
2020/11/28
12
[例2] 已知曲线上任一点P(x, y)处的切线在
x轴上的截距等于点P的横坐标的一半,
且过定点(2, 1), 求此曲线的方程 .
[解] 设曲线方程 y为y(x)
则该曲线上P任 (x, y一 )处点 的切线
方程为 Yyy(Xx)
令Y0,得切线 x轴 在上的截距为
xA
x
y y
2020/11/28
2020/11/28
7
(1p2)y2C1
p C1 y2 y
即 dy C1y2
dx
y
分离变量解得 (xC2)2y2C1
2020/11/28
8
二、常微分方程应用举例
列方程的常用方法 (1) 利用物理定律列方程
(2) 利用导数的几何意义列方程
(3) 利用微元分析法列方程
2020/11/28
9
[例1] 有一个 100C的物体 , 放在20C的房间,内 经过20分钟后 ,测量物体的温,知度其已降为 60C.问还需经过多长,时 物间 体的温度才能 降为30C?
T20 Ce kt
T20 Ce kt
T(0) 100代入上式，得 C80
T20 8e 0 kt
T(20)60代入，得
2020/11/28
k 1 ln 2 20
11
T2 08e0(2 10 ln 2)t
将 T=30 代入，解出 t 60
即，还需再经过 602040(分钟 ) 物体的温度即可降为 30C
第二十三讲 常微分方程（三）
一、可降阶微分方程
二、常微分方程应用举例
一、 高阶可降阶微分方程
（一 y'' ） f(x)型
逐次积分 积分一次
yf(x)dxC1
再积分一次
y(f(x )d)d x x C 1xC 2
2020/11/28
2
（二）y f ( x, y)型
不显含未知函数 y
变量替换 令 y p p( x)
容器内含盐改变量=流进盐量–流出盐量
若溶液的浓度不变，则
流出盐量=浓度流出的溶液量
问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决? 考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况
设时刻 t 时溶液的含盐量为 QQ(t)
2020/11/28
20
当时间从 t 变到 t+dt 时，容器内的含盐量 由 Q 变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为 dQ
旋转而成的
点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线 经反射都成为平行于x轴的平行光
y
M(x, •
y)
T
Ao
x
由光的反射定律
2020/11/28
15
于是有 AO OM
tg
y
y
y
AO x OM x x x2 y2
根据导数的几何意义
y tg
得到微分方程
y
y
一阶齐次
x x2 y2
变形为
dx x x2y2x(x)21 (1)
d d2xy2 d dx pd dp yd dx ypd dp y
原方程变形成为
2020/11/28
pdp f (y, p) 一阶 dy
6
[例 2 ]求 1 解 y y y 2 0
[解] 特点是：不显含 x
令 y p p( y)
方程化为 1ypp20
分离变量
pdp 1 p2
dy y
积分 1 2ln 1 (p2)ln y1 2ln C 1
dy
y
yy
2020/11/28
16
令 xu,即 xuy y
dx u y du
dy
dy
代入(1)式，得 分离变量
y du u2 1 dy
du dy u2 1 y
2020/11/28
17
积分，得
lnu ( u21)ln yln C
取指数
u u21Cy
u21(Cyu)2
1C2y22C(yu )C2y22Cx