2009年广东清远卷数学试题(word版)
2009年广东省高考数学试卷（理科）
2009年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2009•广东）已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个．无穷多个2．（5分）（2009•广东）设z 是复数，a （z ）表示z n=1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，a （i ）=（ ）A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 3．（5分）（2009•广东）若函数y=f （x ）是函数y=a x （a ＞0，且a ≠1）的反函数，其图象经过点（，a ），则f （x ）=（ ）A ．log 2x B ．C ．D ．x 24．（5分）（2009•广东）已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n=1，2，…，且a 5•a 2n ﹣5=22n（n ≥3），则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n ﹣1=（ ）A ．（n ﹣1）2B ．n 2C ．（n+1）2D ．n 2﹣1 5．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：广东）给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 6．（5分）（2009•广东）一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为（的大小为（ ） A ．6 B ．2 C ．2 D ．2 7．（5分）（2009•广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、礼仪、礼仪、司机四项不同工作，司机四项不同工作，司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种，表示的样本的数字特征是表示的样本的数字特征是 ．若平面向量，满足，平行于轴，，=．，且的方程为 ．，b=．X ﹣1 0 1 2 P a b c 13．（5分）（2009•广东）若直线（t 为参数）与直线（s为参数）垂直，则k= ．14．（2009•广东）不等式的实数解为的实数解为 ．15．（5分）（2009•广东）如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O 的面积等于的面积等于 ．三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（12分）（2009•广东）已知向量与互相垂直，其中．（1）求sin θ和cos θ的值；的值； （2）若，求cos φ的值．的值．17．（12分）（2009•广东）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：下表： API 0～50 51～100 101～150 151～200 201～2050 2050 251251～300 ＞300 级别级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅳ Ⅳ Ⅴ 状况状况 优良轻微污染轻微污染 轻度污染轻度污染 中度污染中度污染 中度重污染重度污染重度污染对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如图． （1）求直方图中x 的值；的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．天的空气质量为良或轻微污染的概率．（3）求异面直线E1G1与EA+=0x）的导函数的图象与直线．设．）的距离的最小值为，求存在零点，并求出零点．（2）证明：．。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
中考_2009年广东省中考数学试题及答案
第7题图BAD C BA DC B A 2021年广东省中考数学试题及答案说明：全卷共4页，考试用时100分钟，总分值120分.一、选择题〔本大题5小题，每题3分，共15分〕在每题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 4的算术平方根是〔 〕A.±2B.2C.2±D.22. 计算()23a 结果是〔 〕A.6aB.9aC.5aD.8a3. 如下图几何体的主〔正〕视图是〔 〕4. ?广东省2021年重点建立工程方案〔草案〕?显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿 元，用科学计数法表示正确的选项是〔 〕A.元101026.7⨯ B.9106.72⨯元 C.1110726.0⨯元 D.111026.7⨯元5. 如下图的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下 一个小圆和一个小三角形，然后将纸片翻开是以下图中的哪一个〔 〕二、填空题〔本大题5小题，每题4分，共20分〕请将以下各题的正确答案填在答题卡相应的位置上. 6. 分解因式x x 823-=_______________________.7. ⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°， 那么BC=_________cm.8. 一种商品原价120元，按八折〔即原价的80%〕出售，那么 现售价应为__________元.9. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均一样，假设从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是54，那么n=__________________.第14题图E DC B A 第15题图45°30°FEPBA第13题图O CB Axy10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按以下图的方式铺地板，那么第〔3〕个图形中有黑色瓷砖________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖_______________块〔用含n 的代数式 表示〕.三、解答题〔一〕〔本大题5小题，每题6分，共30分〕 11. 计算-+-921sin30°+()03+π. 12. 解方程11122--=-x x 13. 如下图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1 的图像与反比例函数xy 9=的图像在第一象限相交于点A ，边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式.14. 如下图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点， 延长BC 到E ，使CE=CD.（1） 用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ， 垂足是M 〔不写作法，保存作图痕迹〕； 〔2〕求证：BM=EM.15. 如下图，A 、B 两城市相距100km.现方案在这两座城市间修筑一条高速公路〔即线段AB 〕，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上.森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内.请问方案修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？〔参考数据：414.12,732.13≈≈〕第18题图Q P OE D C B A 第17题图图2足球乒乓球20%篮球40%排球第19题图C 2C 1A 2B 2B 1O 1OA 1DCB AC OBB 1C C B A 111四、解答题〔二〕〔本大题4小题，每题7分，共28分〕16. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？假设病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？17. 某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查地方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了假设干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图〔如图1、图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数〕，请你根据图中提供的信息解答以下问题：〔1〕在这次研究中，一共调查了多少位学生？〔2〕喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ 〔3〕补全频数分布折线统计图.∥AC 交ＢＣ的延长线于点Ｅ. 〔１〕求△BDE 的周长； 〔２〕点Ｐ为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q.求证：BP=DQ.19. 如下图，在矩形ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1，对角线相交于点1A ；再以C A B A 111、为邻边作第2个平行四边形C C B A 111，对角线相交于点1O ；再以1111C O B O 、为 邻边作第3个平行四边形1211C B B O ……依此类推. 〔1〕求矩形ABCD 的面积；〔2〕求第1个平行四边形 、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积.第22题图N MDC B A 第20题图图2图1A五、解答题〔三〕〔本大题3小题，每题9分，共27分〕20.〔1〕如图1，圆内接△ABC 中，AB=BC=CA ，OD 、OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G ，求证：阴影局部四边形OFCG 的面积是△ABC 的面积的31. 〔2〕如图2，假设∠DOE 保持120°角度不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形〔图中阴影局部〕面积始终是△ABC 的面积的31.21. 小明用下面的方法求出方程032=-x 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.22. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，〔1〕证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；〔2〕设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积； 〔3〕当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ， 求此时x 的值.参考答案一、选择题二、填空题6.2x(x+2)(x-2)；7.4；8.96；9.8；10.10，3n+1. 三、解答题〔一〕 11. 解： 1131422=+-+=原式 12．解：去分母得：2=-(x+1) 解得：x=-3 检验：当x=-3时，分母219180x -=-=≠ 所以原方程的解是：x=-3. 13．解：2OBAC OB 9S ==正方形，∴ＯＢ＝ＡＢ＝３， ∴点Ａ的坐标为〔３，３〕∵点Ａ在一次函数ｙ＝ｋｘ＋１的图像上， ∴３ｋ＋１＝３，解得：ｋ＝23∴一次函数的关系式是：21.3y x =+ １４．〔１〕作图〔略〕 〔２〕证明：∵△ABC 是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC ＝∠ＡＣＢ＝６0° ∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ＝３0° ∵CD=CE ，∠ACB ＝∠E+∠CDE=６0°，∴∠E ＝３0° ∴∠E ＝∠ＣＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ ∵ＤＭ⊥ＢＥ，∴ＢＭ＝ＥＭ．１５．解：过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，那么有∠APQ=３0°，∠BPQ=45° 设PQ=x ，那么PQ=BQ=x ，AP=2AQ=2(100-x). 在Rt △APQ 中，∵tan ∠APQ=tan30º =AQ PQ ,100xx-=.∴50(3x =又∵50(363.4≈>50，∴方案修筑的这条高速公路会穿越保护区。
2009年普通高考(广东卷)及详细答案 word版
2009年普通高等学校招生全国统一考试物 理 （广东A 卷） 本试卷共8页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，有一个或一个以上选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
1．物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列表述正确的是A ．牛顿发现了万有引力定律B ．洛伦兹发现了电磁感应定律C ．光电效应证实了光的波动性D ．相对论的创立表明经典力学已不再适用2．科学家发现在月球上含有丰富的He 32（氦3），它是一种高效、清洁、安全的核聚变燃料，其参与的一种核聚变反应的方程式为He 32+He 32→H 112+He 42，关于He 32聚变下列表述正确的是A ．聚变反应不会释放能量B ．聚变反应产生了新的原子核C ．聚变反应没有质量亏损D ．目前核电站都采用He 32聚变反应发电3．某物体运动的速度图象如图1，根据图象可知 A ．0-2s 内的加速度为1m/s 2B ．0-5s 内的位移为10mC ．第1s 末与第3s 末的速度方向相同D ．第1s 末与第5s 末的速度方向相同4．硅光电池是利用光电效应原理制成的器件,下列表述正确的是A ．硅光电池是把光能转变为电能的一种装置B ．硅光电池中吸收了光子能量的电子都能逸出C ．逸出的光电子的最大初动能与入射光的频率无关D ．任意频率的光照射到硅光电池上都能产生光电效应5．发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道，发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图2．这样选址的优点是，在赤道附近A ．地球的引力较大B ．地球自转线速度较大图1C ．重力加速度较大D ．地球自转角速度较大6．如图3所示，在一个粗糙水平面上，彼此靠近地放置两个带同种电荷的小物块，由静止释放后，两个物块向相反方向运动，并最终停止，在物块的运动过程中，下列表述正确的是A ．两个物块的电势能逐渐减少B ．物块受到的库仑力不做功C ．两个物块的机械能守恒D ．物块受到的摩擦力始终小于其受到的库仑力7．某缓冲装置可抽象成图4所示的简单模型，图中K 1、轻质弹簧，下列表述正确的是A ．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B ．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C ．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D ．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变8．人在地面上用弹簧秤称得其体重为490N ，他将弹簧秤移至电梯内称其体重，t 0至t 3时间段内弹簧秤的示数如图5所示，电梯运行的v-t 图可能是（取电梯向上运动的方向为正）9．图6为远距离高压输电的示意图，关于远距离输电，下列表述正确的是A ．增加输电导线的横截面积有利于减少输电过程中的电能损失B ．高压输电是通过减小输电电流来减少电路的发热损耗C ．在输送电压一定时，输送的电功率越大，输电过程中的电能损失越小D ．高压输电必须综合考虑各种因素，不一定是电压越高越好10．如图7所示，电动势为E 、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接，只合上开关S 1，三个灯泡都能正常工作，如果再合上S 2，则下列表述正确的是A ．电源输出功率减小B ．L 1上消耗的功率增大C．通过R 1上的电流增大 D ．通过R 3上的电流增大11．如图8所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B 的t 图3 垫片 图4 图5 t t t匀强磁场中，质量为m 、带电量为+Q 的小滑块从斜面顶端由静止下滑。
2009广东高考数学试卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.巳知全集U R =，集合{212}M x x =-£-£和{21,1,2,}N x x k k ==-=×××的关系的韦恩（V e n n ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有2.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =3.若函数()y f x =是函数xy a =（0a >且1a ¹）的反函数，其图像经过点(,)a a ，则()f x =4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=×××，且25252(3)nn a a n -×=³，则当1n ³时，2123221l o g l o g l o g n a a a-++×××=5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；6.一质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60°角，且1F ，2F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为7.2010年广州亚运会组委会要从小张、年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有.A 36种 .B 12种 .C 18种 .D 48种28.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为n 甲和n 乙（如图2所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是.A 在1t 时刻，甲车在乙车前面.B 1t 时刻后，甲车在乙车后面.C 在0t 时刻，两车的位置相同二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2009年广州一模理科数学试题与答案word版
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理 科） 2009.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P AB P ⋅=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数()x x f 2sin =的最小正周期为A ．πB.π2C. π3D. π42．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时 至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A . 6万元 B . 8万元C . 10万元D .12万元4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为A. 10-B. 17C. 5D. 25．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A ．5>i ? B. 6>i ?C. 7>i ?D. 8>i ?6．已知p ：关于x 的不等式022>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ，则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7．在()nn nx a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中，若0252=+-n a a ，则自然数n 的值是A ．7B ．8C ．9D ．108．在区间[]1,0上任意取两个实数b a ,，则函数()b ax x x f -+=321在区间[]1,1-上有且仅一个零点的概率为 A ．81 B ．41 C ．43 D ．87二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～12题）9. 若()22log2=+a ，则=a3 .10．若⎰a x 0d x =1, 则实数a 的值是 .11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm 2.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有3132-=n n a S ，且91<<k S （∈k N *），则1a 的值为 ，k 的值为 .（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .14.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .15．（不等式选讲选做题）已知∈c b a ,,R ，且432,2222=++=++c b a c b a ，则实数a 的取值范围为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a .（1）若4=b , 求A sin 的值;(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.17.（本小题满分14分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响.（1）求p 的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥,F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点，连接EF DF DE ,,.(1) 求证: 平面//DEF 平面ABC ;(2) 若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时,求二面角D EF A --的平面角的余弦值.图419．(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名（∈x N *）.（1）设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； （2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？20．（本小题满分14分）已知动圆C 过点()0,2-A ，且与圆()642:22=+-y x M 相内切.（1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与（1）中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线112422=-yx交于不同两点,E F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE +=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D A C B D二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分． 9．9 10．2 11．80 12．-1；4 13．34 14．1 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,112三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力） 解: (1)∵053cos >=B , 且π<<B 0,∴ 54cos 1sin 2=-=B B . 由正弦定理得BbAa sin sin =.∴524542sin sin =⨯==b Ba A .(2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c .∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,FEDAP∴175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b .17．（本小题满分14分）（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ， 则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,.依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ， 解得43=p .故p 的值为43.（2）ξ的取值分别为,4,2,0.()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ，()2092==ξP ，()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ，ξ∴的分布列为ξ24p101 209 209∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点， ∴DE 是△PAB 的中位线.∴AB DE //. ∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC∴//DE 平面ABC . 同理可证 //DF 平面ABC .∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,∴平面DEF // 平面ABC .(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA ∴4222==+BCACAB .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31 AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131AC AB ⨯⨯⨯=26123122AC AB+⨯≤2312BC ⨯=32=.当且仅当AC AB =时等号成立，V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=.解法2：设x AB =，在R t △ABC 中，2224xABBCAC -=-=()20<<x .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31 AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=21312431xx -=42431x x -=()423122+--=x .∵40,202<<<<x x ,GFEDCBAP∴ 当22=x ，即2=x 时，V 取得最大值，其值为32，此时2==AC AB .求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG .∵ ⊥PA 平面ABC ，平面//ABC 平面DEF , ∴ ⊥PA 平面DEF .∵ ⊂EF 平面DEF , ∴ ⊥PA EF .∵ D PA DG = , ∴ ⊥EF 平面PAG . ∵⊂AG 平面PAG ,∴⊥EF AG .∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角. 在R t △EDF 中,121,2221=====BC EF AB DF DE ,∴21=DG .在R t △ADG 中,2541122=+=+=DGADAG ,552521cos ===∠AGDG AGD .∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55.解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系xyz A -,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A . ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,22,22,1,0,22EF AE . 设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0EF n AE n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.02222,022y x z x令2=x , 则1,2-==z y .∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量.∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,DA ,∴()()()5511221222=⨯-++=⋅=DA n n cos .∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55.19．（本小题满分12分） （本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx(905450N *，且)491≤≤x .（2）生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x .设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者. 令()()x g x f ≥，即xx -≥505090，解得71321≤≤x .所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <. 故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x Nx xx N x x x h .当321≤≤x 时，()0902'<-=xx h ，故()x h 在[]32,1上单调递减，则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）；当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增，则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）；()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h . 32=∴x .答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识） 解：（1）圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R .∵R AM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内. 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CA r =，且r R CM -=， 即AM CA CM >=+8. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为 ()012222>>=+b a bya x, 则2,4==c a .∴12222=-=c a b .∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+yx.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22yx m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k . 设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122834km x x k+=-+.△1()()()04844348222>-+-=m k km . ①由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22yx m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，则24332kkm x x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ② ∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，∴2232438k km kkm -=+-.∴02=km 或2231434kk -=+-.解得0k =或0m =.当0k =时,由①、②得 3232<<-m ， ∵∈m Z ,∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,;当0m =，由①、②得 33<<-k ， ∵∈k Z ,∴1,0,1-=k .∴满足条件的直线共有9条． 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力）解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n nb x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a求数列{}n a 的通项公式, 给出如下四种解法:解法1: 由nn n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111,故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.∴()1131231--⨯=⨯-n nn a , 即()[]nnn a 1231--=.解法2: 由nn n a a 21=++,两边同除以()11+-n , 得()()()nnnn n a a 21111--=---++,令()nnn a c 1-=, 则()nn n c c 21--=-+.故()()()123121--++-+-+=n n n c c c c c c c c ()()()()13222221-----------=n()()[]()2121211----⋅---=-n()[]1231--=n()2≥n .且1111-=-=a c 也适合上式,∴()nna 1-()[]1231--=n, 即()[]nnn a 1231--=.解法3： 由n n n a a 21=++，得1212+++=+n n n a a ， 两式相减得n n n n n a a 22212=-=-++.当n 为正奇数时,()()()235131--++-+-+=n n n a a a a a a a a 25322221-+++++=n41412121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312+=n()3≥n .且11=a 也适合上式.当n 为正偶数时,()()()246242--++-+-+=n n n a a a a a a a a 264222221-+++++=n41414122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312-=n()4≥n .且12112=-=a a 也适合上式. ∴ 当∈n N *时，n a ()[]nn1231--=.解法4：由nn n a a 21=++，11=a ，得122-=a ()()()1231212122-=---+-=，()()()123121211222332223+=----=+-=-=a a .猜想n a ()[]nn1231--=.下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当1=n 时,易知猜想成立;② 假设当k n =∈k (N *)时,猜想成立,即()[]kkk a 1231--=, 由k k k a a 21=++,得()[]()[]1111231123122+++--=---=-=k k kk k k k k a a ,故当1+=k n 时,猜想也成立. 由①、②得，对任意∈n N *，n a ()[]nn1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n nnn n n a a b()[]1229112---=+nn .(2)n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n .要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, 即()[]1229112---+nn ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+nn λ(*)对任意∈n N *都成立. ① 当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++nn ()01231>--+n λ,即()()1212911+-+nn ()01231>--+n λ,∵0121>-+n ,∴()1231+<nλ对任意正奇数n 都成立.当且仅当1=n 时,()1231+n有最小值1.∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+nn ()02231>--+n λ,即()()1212911-++nn ()01232>--nλ,∵012>-n , ∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立.当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23.∴<λ23.综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.。
2009年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年广东省高考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分）1．(5分)（2009•广东)已知全集U=R，则正确表示集合M=｛﹣1，0,1}和N=｛x｜x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N,得N={﹣1，0｝，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N=｛﹣1，0}．∵M=｛﹣1,0，1｝，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．(5分）（2009•广东）下列n的取值中，使i n=1（i是虚数单位）的是(）A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5【考点】虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍,在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．【解答】解：∵要使i n；=1，则n必须是4的整数倍,在下列的选项中只有C符合题意，故选C【点评】本题考查虚数单位及性质,是一个基础题,题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．3．（5分）（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=(﹣x，x2)，则向量+（)A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零,得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点,比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．【解答】解:+=（0，1+x2)，1+x2≠0,故+平行于y轴．故选C【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．4．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=a x﹣a（a＞0,且a≠1）的反函数，且f（)=1,则函数y=()A．log2x B．C．D．2x﹣2【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（）=1可得f﹣1（1)=，即a1﹣a =，解出a的值,即得函数y的解析式．【解答】解：∵f（）=1,∴f﹣1(1）=，由题意知a1﹣a =，∴a=2，y=a x﹣a(a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法,函数与反函数的关系．5．(5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=() A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程,由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2,即q2=2,又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=,故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中档题．6．(5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】从直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定,是基础题．7．（5分）（2009•广东）已知△ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（)A．2 B．4+2C．4﹣2D．﹣【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得：=4，∴b=2．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形；运用a:b：c=sinA：sinB:sinC解决角之间的转换关系．8．(5分)（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3)e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞,2） B．（0,3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x)′=（x﹣2）e x,求f（x)的单调递增区间，令f′(x）＞0,解得x＞2，故选D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．9．(5分）(2009•广东）函数y=2cos2(x﹣）﹣1是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2(x﹣)﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数,即函数y=2cos2(x﹣）﹣1是奇函数．故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．10．（5分）（2009•广东）广州2010年亚运会火炬传递在A，B,C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是（)A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20。
2009年广东中山中考数学试卷及答案(word)
2009年广东省中山市初中毕业生学业考试数 学说明:1.全卷共4页，考试用时100分钟，满分为120分.2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．4的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2C．D2．计算32()a 结果是（ ） A ．6aB ．9aC ．5aD ．8a3．如图所示几何体的主（正）视图是（ ）A ．C ．4．《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ． 107.2610⨯元 B ．972.610⨯元 C ．110.72610⨯元 D ．117.2610⨯元 5．方程组223010x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．1113x y =⎧⎨=⎩ 2213x y =-⎧⎨=-⎩ B ．12123311x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ C ． 12123311x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ Ｄ．12121133x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．6．分解因式2233x y x y --- ．7．已知O ⊙的直径8cm AB C =，为O ⊙上的一点，30BAC ∠=°，则BC = cm ．8．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 元．9．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是45，则n =_____________．10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第n 个图形中需要黑色瓷砖________块（用含n 的代数式表示）．……（1） （2） （3）三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11．（本题满分6分）计算：1sin 30π+32-+0°+()． 12．（本题满分6分）解方程22111x x =--- 13．（本题满分6分）如图所示，ABC △是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =，（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM EM =．14．（本题满分6分）已知：关于x 的方程2210x kx +-=（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．15．（本题满分6分）如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护第7题图B第10题图 AD第13题图30° A BFE P45°第15题图1.732 1.414）四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分） 16．（本题满分7分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 17．（本题满分7分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图．18．（本题满分7分）在ABCD 中，10AB =，AD m =，60D ∠=°，以AB 为直径作O ⊙， （1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； （2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．19．（本题满分7分）如图所示，在矩形ABCD 中，12AB AC =，=20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，再以11A B 、图2乒乓球20% 足球排球 篮球40%图1 第17题图 第18题图1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推． （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20、（本题满分9分）（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变， 求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．21．（本题满分9分）小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求A 1O 1A 2B 2 B 1C 1 B C 2A OD第19题图 C 第20题图D 图1 图222．（本题满分9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．广东省中山市2009年初中毕业生学业考试数学试题参考答案及评分建议一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 1．B 2．A 3．B 4．A 5．D二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）6．()(3)x y x y +-- 7．4 8．96 9．8 10．10，31n + 三、解答题（一）（本大题5小题，每题6分，共30分） 11．解：原式=113122+-+ ··················································································· 4分 =4． ······························································································· 6分12．解：方程两边同时乘以(1)(1)x x +-， ······························································· 2分 2(1)x =-+， ···································································································· 4分 3x =-， ··········································································································· 5分 经检验：3x =-是方程的解． ················································································ 6分 13．解：（1）作图见答案13题图，··························································· 2分NDA CB M第22题图答案13题图AC BDE M（2）ABC △是等边三角形，D 是AC 的中点，BD ∴平分ABC ∠（三线合一）， 2ABC DBE ∴∠=∠． ························································································· 4分 CE CD =，CED CDE ∴∠=∠．又ACB CED CDE ∠=∠+∠，2ACB E ∴∠=∠． ····························································································· 5分 又ABC ACB ∠=∠， 22DBC E ∴∠=∠， DBC E ∴∠=∠， BD DE ∴=． 又DM BE ⊥，BM EM ∴=． ·································································································· 6分 14．解：（1）2210x kx +-=，2242(1)8k k ∆=-⨯⨯-=+， ·············································································· 2分无论k 取何值，2k ≥0，所以280k +>，即0∆>，∴方程2210x kx +-=有两个不相等的实数根． ························································ 3分（2）设2210x kx +-=的另一个根为x ，则12k x -=-，1(1)2x -=-，·············································································· 4分 解得：12x =，1k =，∴2210x kx +-=的另一个根为12，k 的值为1． ····················································· 6分15．解：过点P 作PC AB ⊥，C 是垂足，则30APC ∠=°，45BPC ∠=°， ····································· 2分tan30AC PC =°，tan 45BC PC =°，AC BC AB +=， ························································ 4分 tan30tan 45100PC PC ∴+=°°，1100PC ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭， ··················································· 5分 50(350(3 1.732)63.450PC ∴=⨯->≈≈，答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．································································································ 6分 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分） 16．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ············································ 1分 依题意得：1(1)81x x x +++=， ··········································································· 3分答案15题图A BF E P C2(1)81x +=，19x +=或19x +=-，12810x x ==-，（舍去），··················································································· 5分 33(1)(18)729700x +=+=>． ············································································ 6分答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． ························································································································ 7分 17．解：（1）2020%100÷=（人）． ····································································· 1分（2）30100%30%100⨯=， ··················································································· 2分 120%40%30%10%---=，36010%36⨯=°°． ···························································································· 3分 （3）喜欢篮球的人数：40%10040⨯=（人）， ························································ 4分 喜欢排球的人数：10%10010⨯=（人）． ································································ 5分······················· 7分18．解：（1）分别过A O ，两点作AE CD OF CD ⊥⊥，，垂足分别为点E ，点F ， AE OF OF ∴∥，就是圆心O 到CD 的距离． 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD AE OF ∴∴=∥，． ·················································································· 2分在Rt ADE △中，60sin sin 60AE AED D AD AD∠=∠==°，，°， 答案17题图答案18题图（1）答案18题图（2）AE AE m OF AE m ====，，， ························································ 4分 圆心到CD 的距离OF． ··········································································· 5分 （2）32OF m =， 为O ⊙的直径，且10AB =，当5OF =时，CD 与O ⊙相切于F点，即523m m ==， (6)分 当3m =时，CD 与O ⊙相切． ······································································· 7分 19．解：（1）在Rt ABC△中，16BC =，1216192ABCD S AB BC ==⨯=矩形． ······································································ 2分（2）矩形ABCD ，对角线相交于点O ，4ABCD OBC S S ∴=△． ···························································································· 3分四边形1OBB C 是平行四边形，11OB CB OC BB ∴∥，∥，11OBC B CB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠，．又BC CB =，1OBC B CB ∴△≌△，112962OBB C OBC ABCD S S S ∴===△， ······································································· 5分 同理，111111148222A B C C OBB C ABCD S S S ==⨯⨯=， ························································ 6分第6个平行四边形的面积为6132ABCD S =． ······························································· 7分五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20．证明：（1）如图1，连结OA OC ，， 因为点O 是等边三角形ABC 的外心，所以Rt Rt Rt OFC OGC OGA △≌△≌△． ····························· 2分答案20题图（1）AE O G FBCD2OFCG OFC OAC S S S ==△△，因为13OAC ABC S S =△△， 所以13OFCGABC S S =△． ························································································ 4分 （2）解法一： 连结OA OB ，和OC ，则AOC COB BOA △≌△≌△，12∠=∠， ··························· 5分 不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，3412054120AOC DOE ∠=∠+∠=∠=∠+∠=°，°，35∴∠=∠． ······································································· 7分 在OAG △和OCF △中， 1235OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，OAG OCF ∴△≌△， ························································································· 8分 13OFCG AOC ABC S S S ∴==△△． ··············································································· 9分 解法二： 不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ， 作OH BC OK AC ⊥⊥，，垂足分别为H K 、， ·················· 5分 在四边形HOKC 中，9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°，°， 360909060120HOK ∴∠=-︒-︒=︒°-?， ························ 6分 即12120∠+∠=°．又23120GOF ∠=∠+∠=°，13∴∠=∠． ····································································································· 7分 AC BC =， OH OK ∴=，OGK OFH ∴△≌△， ························································································ 8分 13OFCG OHCK ABC S S S ∴==△． ················································································ 9分答案20题图（2）A E O GFB C D 1 2 3 45 答案第20题图（3） A EOGF B C D 1 3 2H K22．解：（1）在正方形中，， AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ··········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=， ···························································································· 4分22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 6分 （3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， ··················································· 7分 由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 9分（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）N DA CBM答案22题图。
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学数学 用专页 第 1 页 共 8 页 版权所有 少智报·数学专页 2009年清远市初中毕业生学业考试 数 学 科 试 题 说明：1．全卷共4页，考试时间为100分钟，满分120分． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．答案必须写在答题卡各题指字区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一半交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上．
1．5等于（ ）
A．5 B．5 C．15 D．15 2．不等式20x≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D． 3．今年我国参加高考人数约为10200000，将10200000用科学记数法表示为（ ）
A．710.210 B．71.0210 C．70.10210 D．710210 4．某物体的三视图如图1所示，那么该物体形状可能是（ ） A．圆柱 B．球 C．正方体 D．长方体 5．小明记录某社区七次参加“防甲型H1N1流感活动”的人数分别如下：33，32，32，31，32，28，26．这组数据的众数是（ ） A．28 B．31 C．32 D．33
6．方程216x的解是（ ） A．4x B．4x C．4x D．16x 7．已知O⊙的半径r，圆心O到直线l的距离为d，当dr时，直线l与O⊙的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
8．计算：23ab（ ）
A．22ab B．23ab C．26ab D．6ab
3 2 1 0 1 2 3 3
2 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3 3
2 1 0 1 2 3
图1 主视图 左视图 俯视图 http://www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！
学数学 用专页 第 2 页 共 8 页 版权所有 少智报·数学专页 9．如图2，ABCD∥，EFAB于EEF，交CD于F，已知160°，则2（ ） A．20° B．60° C．30° D．45°
10．如图3，AB是O⊙的直径，弦CDAB于点E，连结OC，若5OC，8CD，则tanCOE=（ ）
A．35 B．45 C．34 D．43 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把下列各题的正确答案填写在相应题号的答题卡上．
11．计算：3(2)= ．
12．当x 时，分式12x无意义． 13．已知反比例函数kyx的图象经过点(23)，，则此函数的关系式是 ． 14．如果a与5互为相反数，那么a ． 15．如图4所示，转盘平面被等分成四个扇形，并分别填上红、黄两种颜色，自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针停在黄色区域的概率为 ．
16．如图5，若111ABCABC△≌△，且11040AB°，°，则1C= ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 17．在“我喜欢的体育项目”调查活动中，小明调查了本班30人，记录结果如下：（其中喜欢打羽毛球的记为A，喜欢打乒乓球的记为B，喜欢踢足球的记为C，喜欢跑步的记为D） Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ 求Ａ的频率．
18．计算：201(1)π34．
图4 红 红 红 黄
A
B C
C
1
A1
B1
图5
C D
B A E
F 1 2
图2 A C D B E O 图3 http://www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！
学数学 用专页 第 3 页 共 8 页 版权所有 少智报·数学专页 19．已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如右图所示，请用图形A与B合拼成一个轴对称图形，并把它画在答题卡的表格中．
20．解分式方程：132xx 21．如图6，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sin0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？
四、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22．化简：222692693xxxxxx
23．如图7，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连结CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连结DG． 求证：CBECDG△≌△
24．在一个不透明的口袋中装有红球2个、黑球2个，它们只有颜色不同，若从口袋中一次摸出两个球，求摸到两个都是红球的概率．（要求画出树状图）
A B B C
A
图6
E B C
G D F A
图7 http://www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！
学数学 用专页 第 4 页 共 8 页 版权所有 少智报·数学专页 25．已知二次函数2yaxbxc中的xy，满足下表： x „ 2 1 0 1 2 „
y „ 4 0 2 2 0 „
求这个二次函数关系式．
五、解答题（本大题共3小题，第26小题7分，第27、28小题各8分，共23分） 26．如图8，已知AB是O⊙的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．
（1）求证：ABCPOA△∽△；
（2）若2OB，72OP，求BC的长．
27．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式． （2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据； 每千克饮料
果汁含量 果汁
甲 乙
A 0.5千克 0.2千克
B 0.3千克 0.4千克
请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？
28．如图9，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作MNBC∥，交AC于点N，在AMN△中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将AMN△沿MN折叠，使AMN△落在四边形
BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，
1AMN△
与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？
P O A C B
B C N M A 图9 http://www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！
学数学 用专页 第 5 页 共 8 页 版权所有 少智报·数学专页 2009年清远市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．A 2．B 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．C 9．C 10．D 二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．6； 12．2； 13．6yx； 14．5； 15．14； 16．30° 三、解答题：（每小题5分，共25分） 17．解：A的频率=61305···································································································· 5分
18．解：原式=11123 ···································································································· 4分 =13 ··········································································································································· 5分 19．解：拼成正确图形之一的给5分，例如
20．解：去分母，得36xx ····························································································· 2分 解得：3x ···························································································································· 3分 检验：把3x代入原方程得：左边=右边 ············································································ 4分 所以3x是原方程的解 ········································································································· 5分 21．解：由题意得：90BC，° sinsin0.52B≈ ········································································································· 2分
sinACBAB sin24000.5212ACABB·
（米） ··································· 5分
答：飞机飞行的高度约为1248米． 四、解答题：（每小题6分，共24分）
22．解：原式=2(3)(3)(3)(3)2(3)xxxxxx ··············································································· 4分