椭圆的标准方程及其性质
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。
2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。
3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
4.椭圆的面积为πab。
5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。
6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。
7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。
8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。
9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。
椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。
则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
整理得到。
(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。
化简得到。
x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从而得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2.椭圆的中心在原点O(0,0)。
3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。
5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。
6.椭圆的面积为πab。
7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
椭圆的标准方程与性质
椭圆的标准方程与性质教学目标：1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.高考相关点：在高考中所占分数：13分考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。
涉及到的基础知识1．引入椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：有以下3种情况(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质题型总结类型一 椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线.,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥2PF u u u r ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3练习2：已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6 B．5 C．4 D．3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b>0)，由e＝22，知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝16，故a＝4.∴b2＝8，∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.【答案】x216＋y28＝1练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．【答案】x2+3y2/2=1类型三椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．【解析】直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B1F 的方程为x c ＋y－b ＝1，二者联立，得T(2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c)，则M(ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上，∴2222()1()4()c a c a c a c ++=--，c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5.【答案】27－5练习1：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．【答案】∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k3+k4==，又，∴，∴k3+k4===-5．故答案为-5．类型四直线与椭圆的位置关系例4：(2014·四川卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为6 3 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。
椭圆及其性质
椭圆及其性质【知识要点】1、椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数|)|(21F F 大于的点的轨迹叫做椭圆。
为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆方程的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离比是一个常数)10(<<e e 的点的轨迹（或集合）叫做椭圆。
定点叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
2、椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a b x a y =+.②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+ 3、椭圆的几何性质方程)0(12222 b a b y a x =+)0(12222 b a b x a y =+图像焦点 顶点 准线 焦半径 对称性 离心率4、通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c5、共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 6、焦点三角形的面积：若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .7、弦长：椭圆被直线m kx y +=所截得的弦长是 ；【典型例题】一、常见量的求解：长轴长短轴长焦点坐标准线顶点坐标离心率400251622=+y x 64422=+y x二、求椭圆的标准方程1．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.2．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标； (2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．3．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．4．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程； (2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．三、椭圆定义的认识1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ；2．椭圆x225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ；3．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．四、求离心率1、若椭圆19422=++y k x 的离心率e=21,则k 的值是2．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．3、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．23五、直线与椭圆1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠32．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x 24＝1的下焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 之长．3．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．4．(福建卷)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．附加题：求过椭圆03624364922=+-++y x y x 的焦点，斜率为2 的弦长，及弦的中点到该焦点的距离。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一种特殊的曲线，与圆形相似，但略有变形。
它在数学、几何学和物理学等领域中具有重要的应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程，包括椭圆的定义、性质、参数方程和标准方程。
椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，它们确定了椭圆的形状和大小。
椭圆的形状由椭圆的离心率确定，离心率是焦点距离的比例离心率小于1，等于1时是一个圆形，大于1时是一个双曲线。
椭圆的性质：1.对于给定的两个焦点和恒定的距离之和，椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和始终相等。
2.椭圆的中心是两个焦点的中点。
3.椭圆的长轴是两焦点之间的距离，短轴是椭圆的纵坐标轴上的最大距离。
4.椭圆的离心率定义为焦距除以长轴。
离心率小于1，等于1时是一个圆，大于1时是一个双曲线。
5.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点。
假设椭圆的中心是原点，长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。
则椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的取值范围是[0,2π]，每个t对应椭圆上的一个点。
椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是一种用代数表达式来描述椭圆的方程。
标准方程基于椭圆的中心和长轴短轴的定义。
假设椭圆的中心是(h,k)，长轴和短轴的长度分别是2a和2b。
则椭圆的标准方程为：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1标准方程的推导：为了推导椭圆的标准方程，我们可以先考虑椭圆的定义。
由于椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数，我们可以设椭圆上一个点的坐标为(x,y)。
根据焦点的位置，我们可以得到以下两个方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a其中c为焦点到原点的距离。
由于离心率的定义为e=c/a，我们可以得到c=ea。
椭圆标准方程及几何性质
解：设动圆 M 的半径为 r，圆心 M(x，y)，两定圆 －3），半径 r1＝8，r2＝2. 圆心 C1(0,3)，C2(0， 则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2. ∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10. 又|C1C2|＝6，∴动圆圆心 M 的轨迹是椭圆，且焦 点为 C1(0,3)，C2(0， －3)，且 2a＝10， ∴ a＝5，c＝3， 2 2 2 ∴b ＝a －c ＝25－9＝16. y2 x2 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程是25＋16＝1.
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
2 2 x y 两焦点距离的和等于10； + =1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 + =1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
知识总结
探究定义 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
y M
y F2
M x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
y
M F 1
o
y
F2
F2 x
F1（-c，0）、F2（c，0）
焦点在y轴：
y 2 x2 + 2 = 1(a b 0) 2 a b
M
o
F1
x
F1（0，-c ）、F2（0，c）
椭圆的标准方程及性质的应用新教材选择性必修人教版选择性必修第一册
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.类比点与圆的位置关系，点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有怎样的位置关系？知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.1.(1)点P (2,1)与椭圆x 24＋y 29＝1的位置关系是________． (2)若点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________． (1)点P 在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P (2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？知识点2 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． (2)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b ,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (3)直线y ＝k (x －a )(k ≠0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．( )[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)× 因为P (b ,0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(3)√ 直线y ＝k (x －a )(k ≠0)过点(a ,0)且斜率存在，所以直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．类型1 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线与椭圆位置关系的判断方法[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．[解] 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.类型2 弦长和中点弦问题【例2】 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵坐标)之和可求，由此思考解决问题的方法.[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．本例中把条件改为“点M (2,1)是直线x ＋2y －4＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由x 21a 2＋y 21b 2＝1和x 22a 2＋y 22b 2＝1，得4(x 1－x 2)a 2＝－2(y 1－y 2)b 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b 2a 2.又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴b 2a 2＝14. 所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32.2．把本例条件中“使弦被M 点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P 的轨迹方程．[解] 设弦的中点为P (x ，y )，两端点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1.∴2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)4，从而k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 4y .又k l ＝k PM ＝y －1x －2，∴－x 4y ＝y －1x －2.整理得x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.故轨迹方程为x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．[跟进训练]2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] 因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.法一：解方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432 ＝1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0消去y 得3x 2－5x ＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB ) ＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.类型3 直线与椭圆的最短距离问题【例3】 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， 由Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 得m 2＝16，∴m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4即3x －2y －8＝0距l 最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y ＝32x －4与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为 d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 27＝1，y ＝32x －4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－74，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.[跟进训练]3．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.类型4 与椭圆有关的综合问题【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．[解] (1)由题意可得M (0，b )，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a ＝2，则椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0， 即－3<m <3，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，可得AB 中点横坐标为2m3， |AB |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·16m 29－8m 2－83＝433－m 2，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12|AB |＝2|m |3， 即233－m 2＝2|m |3，解得m ＝±62∈(－3，3)，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．[跟进训练]4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2.由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m ,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°， 则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2. 等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， 令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0， 化简得，8(m －1)2k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相交或相切A [把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离．]3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12D [由可知a ＝5，b ＝3，c ＝52－32＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.]4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是________． 2b 2a [最短弦是过焦点F (c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b 2a .]回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋12－4y1y2.k2·(y1＋y2)(3)如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．。
§19.1椭圆的标准方程和性质
M
F1
O
F2
x
• • • •
第一步 第二步 第三步 第四步
插入银行卡； 输入取款密码； 输入取款金额； 从出钞口取走钱；
二、如何得到椭圆曲线的方程?
问题1:求曲线方程的基本步骤？ （1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程； （4）化简方程； （5）证明（可省略）。 问题2:如何建立适当的坐标系？
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
因为：2a=10,2c=8
2 2 2 2 2
所以a=5,c=4
b a c 5 4 9
则椭圆的标准方程为
(2)两个焦点的坐标分别是（0,-2）（0,2） 并且椭圆经过点 ( 3 , 5 ) 2 2 2 2 y x 解:(2)焦点在y轴上，标准方程为： a 2 b 2 1 32 5 32 5 2 2a ( ) ( 2) ( ) ( 2)2 2 2 2 2 3 1 10 10 2 10 a 10 2 2
x c y 2a
2
2 2 2
2 x c y
2 x c y x c y 2 2 2
x c y 4a 4a
2 2
a x c y a cx 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a x 2a cx a c a y a 2a cx c x
x2 y 2 y 2 x2 3 1或 1 49 40 49 40
x2 2 1 y 1 16 2 2 y x 2 1 16 11
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1）两个焦点的坐标分别是（-4,0）（4,0） 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
椭圆的标准方程及性质
知识梳理椭圆定义椭圆的定义椭圆焦点，焦距中点在原点，焦点在 x 轴 椭圆的标准方程中点在原点，焦点在 y 轴椭圆的性质对称性顶点 范围第十四讲 椭圆的标准方程及性质热身练习1. 已知点 P (1，2)和圆 C ： x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 ，过 P 作 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是 ．2. 若实数 x 、y 满足等式(x - 2)2 + y 2 = 3 ，那么 y 的最大值为．x3. 过点 M (-3,-3) 且被圆 x 2 + y 2 = 25 截得弦长为 8 的直线的方程为．24. 圆心在直线 x -y -4=0 上，且经过两圆 x 2 + y 2 - 4x - 3 = 0 和 x 2 + y 2 - 4 y - 3 = 0 的交点的圆的方程是 ．5. 已知点 A (0，2)和圆 C ： (x - 6)2 + ( y - 4)2 =36 ，一条光线从 A 点出发射到 x 轴上后沿圆的切5线方向反射，则这条光线从 A 点到切点所经过的路程为．一、椭圆的定义及应用(1) 文字形式在平面内到两定点 F 1、F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两例题解析x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 x 2 + y 2 - 4x + 4 x 2 + y 2 + 4x + 4 定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．(2) 代数式形式集 合 P ＝{M | |MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c . (3)坐标形式(x －c )2＋y 2＋ (x ＋c )2＋y 2＝2a ①若 a > c ，则集合 P 为椭圆； ②若 a = c ，则集合 P 为线段； ③若 a < c ，则集合 P 为空集． 【例 1】已知两个定点 F 1 (-4, 0) , F 2 (4, 0) ,(1) 若 MF 1 + MF 2 (2) 若 MF 1 + MF 2 (3) 若 MF 1 + MF 2 =10,则点M 的轨迹方程是 .=8, 则点M 的轨迹方程是 .=6, 则点 M 的轨迹方程是.【例 2】已知圆 C 的方程为（x ﹣1）2+y 2=9，点 p 为圆上一动点，定点 A （﹣1，0），线段 AP 的垂直平分线与直线 CP 交于点 M ，则为点 M 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【例 3】一动圆与已知圆 O 1：（x+3）2+y 2=1 外切，与圆 O 2：（x ﹣3）2+y 2=81 内切，试求动圆圆心 M 的轨迹方程．【巩固训练】1. 下列方程表示椭圆的是（）（A ） + = 4 （B ） + = 2 （C ） + = 6 （D ） + = 22. 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2．从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP ′，求线段PP ′中点 M 的轨迹．(x + c )2 + y 2 (x + c )2 + y 2 (x - c )2 + y 22二、求椭圆的标准方程取过焦点 F 1 , F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的垂直平分线为 y 轴。
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椭圆的标准方程及其性质
课题：椭圆的标准方程及其性质 教具：多媒体 白班 黑板
课型：复习课 授课人：刘艳超 课时：1节课
教学目标：
知识目标：1、理解椭圆的定义
2、掌握椭圆的两种标准方程的联系及区别
3、掌握椭圆的性质，特别是长轴长和短轴长及离心率
能力目标：1、通过探究式教学提高学生探究问题、分析问题的能力，感知应用
数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法。
2、体会“实践出真知”的含义。
情感目标：通过学生自己动手，动脑和亲身试验来理解知识，体现数学知识与现
实生活的联系。
教学重难点：椭圆的两种标准方程的联系及区别
椭圆的性质，特别是长轴长和短轴长及离心率
教学方法：探究归纳法 实验观察法
教学手段.：多媒体辅助教学
教学流程：分析历届高考知识分布，强调重要性 知识回顾，引出椭圆定
义及标准方程的求法 贴近高考，重点分析椭圆的性质
知识点小结 高考试题分析，巩固训练
教学过程
一、近年高考题型分值分析，强调本节知识的重要性
多媒体呈现
二、知识点一：引出椭圆定义
回忆圆的定义是什么？圆的标准方程及其推导过程（学生要思考后回答，多
媒体动态演示） 引出椭圆的定义及其标准方程的求法（学生动手演示）
三、知识点二：椭圆的标准方程
第一步：利用求曲线方程的步骤推导椭圆的标准方程 ：
通过上一节对圆的标准方程的复习，同学们已经掌握了求曲线方程的步骤，
2
简单叙述推导过程，本节课不再具体推导，留给学生课下自己完成。
第二步：列出椭圆的标准方程，强调注意事项
焦点在x轴的椭圆： 焦点在y轴的椭圆：
焦点坐标：焦点坐标F1（-c,0) F2(c,0) 焦点坐标F1（0，-c) F2(0,c)
二者的区别与联系：
联系：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
区别：（1）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴
上。
第三步：同步训练
1、已知椭圆的方程为： ，则 a=_____，b=_______，
c=_______，焦点坐标为：_________________，焦距等于______;若CD为过
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________
2、已知椭圆的方程为： ,则 a=_____，b=_______，c=_______，焦
点坐标为：________________，焦距等于_________;
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等
于______， 则∆F1PF2的周长为___________
四、知识点三：椭圆的性质(以焦点在x轴的椭圆为例)
1、范围：
2、顶点:
3、对称性：从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
4、离心率：定义：椭圆焦距与离心率的比值，
范围：0
1）离心率e 越大，椭圆就越扁（瘦）；
2）离心率e 越小，椭圆就越圆（胖）；
五、课堂总结：（表格呈现）
六、近年高考题分析：
1、（2013）椭圆x2+y2/4=1的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（2010）方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
（ ）
A、（0，+ ） B、（1，+ ）
C、（0,2） D、（0,1）
3、(2009)(7分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，现有椭圆上一点M到两焦点
距离之和为20，且成等差数列，试求该椭圆的标准方程。
2
2
22
xy
1(ab0)
ab
2
2
22
yx
1(ab0)
ab
22
12516xy
22
145xy
,xayb椭圆落在直线组成的矩形中。
12
12
(,0)(,0)(0,)(0,)AaAaBbBb
c
ea