高一数学必修向量在平面几何解题中的应用

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高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1.向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等,求线段的长,转化为求向量的长度; (2)证明线段、直线平行,转化为证明向量共线;(3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量的数量积为零; (4)平面几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题;(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题,通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,通过代数(坐标)运算解决平面几何问题.【自主测试1-1】在四边形ABCD 中,若AB →=13CD →,则四边形ABCD 是( )A .平行四边形B .梯形C .菱形D .矩形解析:由AB →=13CD →⇒AB ∥CD ,且AB ≠CD ,故四边形ABCD 为梯形,故选B .答案:B【自主测试1-2】在△ABC 中,已知|AB →|=|AC →|=4,且AB →·AC →=8,则这个三角形的形状是__________.解析:∵AB →·AC →=|AB →||AC →|cos ∠BAC=8,∴4×4×cos ∠BAC=8,∴∠BAC=60°.又|AB →|=|AC →|,∴△ABC 为等边三角形. 答案:等边三角形2.向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α,斜率为k ,A (x 1,y 1)∈l ,P (x ,y )∈l ,向量a =(m ,n )平行于l ,则k =y -y 1x -x 1=n m =tan α;反之,若直线l 的斜率k =nm,则向量(m ,n )一定与该直线平行.(2)向量(1,k )与直线l :y =kx +b 平行.(3)与a =(m ,n )平行且过点P (x 0,y 0)的直线方程为n (x -x 0)-m (y -y 0)=0. (4)过点P (x 0,y 0),且与向量a =(m ,n )垂直的直线方程为m (x -x 0)+n (y -y 0)=0. 【自主测试2-1】已知直线l :mx +2y +6=0,向量(1-m,1)与l 平行,则实数m 的值为( )A .-1B .1C .2D .-1或2 答案:D【自主测试2-2】过点A (3,-2)且垂直于向量n =(5,-3)的直线方程是__________. 答案:5x -3y -21=0 3.向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与自由向量有所不同.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.但是,在不计作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力.(2)速度是具有大小和方向的向量,因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度.【自主测试3】已知两个力F 1,F 2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N ,合力与F 1的夹角为60°,则F 1的大小为( )A .5 3 NB .5 NC .10 ND .52N 答案:B1.用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析:(1)要证两线段AB =CD ,可转化为证明|AB →|=|CD →|或AB →2=CD →2; (2)要证两线段AB ∥CD ,只要证明存在一实数λ≠0,使AB →=λCD →成立; (3)要证两线段AB ⊥CD ,可转化为证明AB →·CD →=0;(4)要证A ,B ,C 三点共线,只要证明存在一实数λ≠0,使AB →=λAC →,或若O 为平面上任一点,则只需要证明存在实数λ,μ(其中λ+μ=1),使OC →=λOA →+μOB →.2.对直线Ax +By +C =0的方向向量的理解剖析:(1)设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)为直线上不重合的两点,则P 1P 2→=(x 2-x 1,y 2-y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量.显然当x 1≠x 2时,向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1,y 2-y 1x 2-x 1与P1P 2→共线,因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-A B =1B(B ,-A )为直线l 的方向向量,由共线向量的特征可知(B ,-A )为直线l 的方向向量.(2)结合法向量的定义可知,向量(A ,B )与(B ,-A )垂直,从而向量(A ,B )为直线l 的法向量.3.教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件,再次研究两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0平行和垂直的条件,以及如何求出两条直线夹角θ的余弦.结论:l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2-A 2B 1=0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.cos θ=|A 1A 2+B 1B 2|A 21+B 21A 22+B 22.剖析:直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0的方向向量为n 1=(-B 1,A 1),直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的方向向量为n 2=(-B 2,A 2).若l 1∥l 2,则n 1∥n 2,从而有-B 1A 2=-A 1B 2,即A 1B 2-A 2B 1=0. 若l 1⊥l 2,则n 1·n 2=0,从而有B 1B 2+A 1A 2=0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0, 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 由于n 1·n 2=A 1A 2+B 1B 2, |n 1|=A 21+B 21,|n 2|=A 22+B 22, 所以cos 〈n 1,n 2〉=A 1A 2+B 1B 2A 21+B 21A 22+B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|A 1A 2+B 1B 2|A 21+B 21A 22+B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中,E ,F 分别是CD ,AD 的中点,BE ,CF 交于点P . 求证:(1)BE ⊥CF ;(2)AP =AB .分析:建系→确定点A ,B ,C ,E ,F ,P 的坐标→证BE →·CF →=0及|AP →|=|AB →|→还原为几何问题证明:建立如图所示平面直角坐标系,设AB =2,则有A (0,0),B (2,0),C (2,2),E (1,2),F (0,1).(1)BE →=(-1,2),CF →=(-2,-1). ∵BE →·CF →=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ∴BE →⊥CF →,即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ,y ), 则FP →=(x ,y -1),CF →=(-2,-1), ∵FP →∥CF →,∴-x =-2(y -1),即x =2y -2, 同理,由BP →∥BE →得y =-2x +4,由⎩⎪⎨⎪⎧x =2y -2,y =-2x +4,得⎩⎪⎨⎪⎧x =65,y =85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65,85.则|AP →|=⎝ ⎛⎭⎪⎫652+⎝ ⎛⎭⎪⎫852=2=|AB →|,即AP =AB . 反思由于向量集数形于一身,用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具,解题时一定注意用数形结合的思想.〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1,点D ,E 分别为AB ,BC 的中点,求cos ∠DOE . 解:建立平面直角坐标系如图,则向量OE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,OD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,∴OD →·OE →=12×1+1×12=1.又|OD →|=|OE →|=52,∴cos ∠DOE =OD →·OE →|OD →||OE →|=152×52=45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (-2,1),求: (1)与向量a =(3,1)平行的直线方程; (2)与向量b =(-1,2)垂直的直线方程.分析:在直线上任取一点P (x ,y ),则AP →=(x +2,y -1).根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可.解:设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ,y ). ∵A (-2,1),∴AP →=(x +2,y -1).(1)由题意,知AP →∥a ,则(x +2)×1-3(y -1)=0, 即x -3y +5=0.故所求直线方程为x -3y +5=0.(2)由题意,知AP →⊥b ,则(x +2)×(-1)+(y -1)×2=0, 即x -2y +4=0,故所求直线方程为x-2y+4=0.反思已知直线l的方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则向量(A,B)与直线l垂直,即向量(A,B)为直线l的法向量;向量(-B,A)与l平行,故过点P(x0,y0)与直线l平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.(1)求直线DE,EF,FD的方程;(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.分析:(1)利用向量共线的坐标表示求解;(2)利用向量垂直的坐标表示求解.解:(1)由已知,得点D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2).设M(x,y)是直线DE上任意一点,则DM∥DE.又DM=(x+1,y-1),DE=(-2,-2),所以(-2)×(x+1)-(-2)(y-1)=0,即x-y+2=0为直线DE的方程.同理可求,直线EF,FD的方程分别为x+5y+8=0,x+y=0.(2)设点N(x,y)是CH所在直线上的任意一点,则CN⊥AB.所以CN·AB=0.又CN=(x+6,y-2),AB=(4,4),所以4(x+6)+4(y-2)=0,即x+y+4=0为所求直线CH的方程.反思(1)利用向量法来解决解析几何问题,首先要将线段看成向量,再把坐标利用向量法则进行运算.(2)要掌握向量的常用知识:①共线;②垂直;③模;④夹角;⑤向量相等,则对应坐标相等.题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行,河的宽度为d=500 m,一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处,船的航行速度为|ν1|=10 km/h,水流速度为|ν2|=4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达对岸所用时间最少,ν1与ν2的夹角应为多少?分析:船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度.解:(1)依题意,要使船垂直到达对岸,就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以|ν|=ν21-ν22=100-16≈9.2(km/h),ν1与ν的夹角α满足sin α=0.4,α≈24°,故ν1与ν2的夹角θ=114°;船垂直到达对岸所用的时间t =d |ν|=0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图).ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ,而船到达对岸时,在竖直方向上行驶的路程为d =0.5 km ,从而所用的时间t =0.510sin θ.显然,当θ=90°时,t 最小,即船头始终向着对岸时,所用的时间最少,为t =0.510=0.05(h).反思注意“速度”是一个向量,既有大小又有方向.结合具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC →=13OA →+23OB →.(1)求证:A ,B ,C 三点共线;(2)已知A (1,cos x ),B (1+sin x ,cos x ),x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f (x )=OA →·OC →-⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2+23|AB→|的最小值为12,求实数m 的值.错解:(1)∵AB →=OB →-OA →,AC →=OC →-OA →=13OA →+23OB →-OA →=23OB →-23OA →=23AB →,∴AC →∥AB →,∴A ,B ,C 三点共线.(2)∵A (1,cos x ),B (1+sin x ,cos x ), ∴OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+23sin x ,cos x ,AB →=(sin x,0),从而|AB →|=|sin x |.故f (x )=-(sin x +m 2)2+m 4+2.又sin x ∈[-1,1],∴当sin x =1时,f (x )有最小值, 即-(1+m 2)2+m 4+2=12,解得m =±12.错因分析:错解中忽略了题目中x 的取值范围,造成正弦值的范围扩大. 正解:(1)∵AB →=OB →-OA →,AC →=OC →-OA →=13OA →+23OB →-OA →=23OB →-23OA →=23AB →,∴AC →∥AB →,∴A ,B ,C 三点共线.(2)∵A (1,cos x ),B (1+sin x ,cos x ), ∴OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+23sin x ,cos x ,AB →=(sin x,0),故|AB →|=sin x ,从而f (x )=-(sin x +m 2)2+m 4+2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,sin x ∈[0,1],∴当sin x =1时,f (x )有最小值, 即-(1+m 2)2+m 4+2=12,化简得m 2=14,解得m =±12.1.若向量n 与直线l 垂直,则称向量n 为直线l 的法向量,则直线x +2y +3=0的一个法向量为( )A .(1,2)B .(1,-2)C .(2,1)D .(2,-1)解析:可以确定已知直线l 的斜率k =-12,所以直线的方向向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12.由a ·n =0,可知应选A .答案:A2.已知A (2,1),B (3,2),C (-1,4),则△ABC 是( ) A .等边三角形 B .锐角三角形 C .直角三角形 D .钝角三角形 答案:C3.过点A (2,3)且垂直于向量a =(2,1)的直线方程是( ) A .2x +y -7=0 B .2x +y +7=0 C .x -2y +4=0 D .x -2y -4=0 答案:A4.在重600 N 的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A .3003N,3003NB .150 N,150 NC .3003N,300 ND .300 N,3003N解析:如图,作矩形OACB ,使∠AOC =30°,∠BOC =60°. 在△OAC 中,∠ACO =∠BOC =60°,∠OAC =90°,所以|OA |=|OC |cos 30°=3003N , |AC |=|OC |sin 30°=300 N , |OB |=|AC |=300 N. 答案:C5.通过点A (3,2)且与直线l :4x -3y +9=0平行的直线方程为__________. 答案:4x -3y -6=06.已知两个粒子a ,b 从同一点发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为v a =(4,3),v b =(3,4),则v a 在v b 上的正射影为__________.解析:由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ=12+125×5=2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ=5×2425=245.答案:2457.平面上不共线的三点A ,B ,C 使得AB +BC 所在的直线和AB -BC 所在的直线恰好互相垂直,则△ABC 必为__________三角形.解析:如图所示,作ABCD ,易知AB +BC =AC ,AB -BC =AB -AD =DB .依题意,知BD 与AC 互相垂直,故ABCD 为菱形,从而△ABC 为等腰三角形,且∠ABC 为顶角.答案:等腰 8.如图所示,已知ABCD 是菱形,AC 和BD 是它的两条对角线,求证:AC ⊥BD .证明:证法一:∵AC =AB +AD ,BD =AD -AB ,∴AC ·BD =(AB +AD )·(AD -AB )=|AD |2-|AB |2=0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD .证法二:以BC所在的直线为x轴,点B为原点建立平面直角坐标系.设B(0,0),A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.∵AC=BC-BA=(c-a,-b),BD=BA+BC=(a+c,b),∴AC·BD=c2-a2-b2=0.∴AC⊥BD,∴AC⊥BD.。

平面向量的几何意义在解题中的妙用

平面向量的几何意义在解题中的妙用

例 4(2010年 四川 省 高考题 )设 点 M 是 线段 BC
( ,一1),1口I=2,则 l 2a—b l的最大值为
。 的中点 ,点 A在 直 线 c外 , =16,l + l=
点拨:如图,J口J=2可以看成足表示向量 口的有 f AB—AC f,贝0 f f=( )。
向线段终点 的轨 迹 是半 径为 2的圆 ,b=( .一1)表
(A)8
(B)4
(c)2
(D)1
示 的有 向线段是 0台,I 2n~b【表示两个 向量 2a、b的差
点 拨 :如 图 ,利 用 三 角 形 法 则 和 平 行 四边 形 法 则 ,
’的长度 。问题转 化为求线段 的长度变化问题 。 不难理解 I + l和 l 一 l应该是平行 四边形的
:2 -- -+ 。

..
m:3,故选 B。
记 硬 背 “左 加 右 减 ”,以 为 是 先 向右 平 移 'IT个 单 位 ,再
点评 :根据平行 四边形性质 ,可以得到一条对角线
长 的一半恰等 于相邻两边 所对 应 的向量 的和 ,在解题
向下 平 移 2个 单 位 ,把 向 量 坐 标 的 符 号 看 成 表 示 图像
中很 有 用 。本 题 两 次 运 用 了 平 行 四 边 形 法 则 ,首 先 得
平 移 的 方 向 的 “加 ”与 “减 ”。
到 唐+ e=2 D,其 次 是 ‘4雪 +Ae=2 A ,在 解 题 中
二 巧 用 向量 的模 的 几 何 意 义
都 是 很 关 键 的结 论 。
例 2(2010年 江 苏 省 三 校 联 考 题 )已 知 向 量 b :
对 角 线长 的一 半 。 解 析 :由Bc2=16,得

向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用
0 06 4- 02
A D,  ̄
: 一
A - Y: - A ( A ≠o ) 即可, 而 - D - g, : 一 蔚 , 很容易
用 向量证 明直线与直线 平行 的一 般 向量是高 中数学不可缺少 的内容 , 它 是沟通代 数、 几何 与三角 函数的工具 。在
平 面 几 何 中 ,向 量 可 以将 很 多 问 题 代 数
了 ,因 为很 容 易看 出 E F / l A B∥D C, 且
AB = D C, 利用三角形相似 的原理 , 很 容易 得出 A 。 = A : 。下面我们一起看解题过程 :
化、 程序化 , 体现出数与形 的完美结合 , 新
课 标 对 向量 知 识 的 考 查 也 充 分 体 现 了综
孔 乙 己家 中 有 值 钱 的 东 西 吗 ? 文 中 的 一
段插叙为这样 的猜测提供 了依 据 : “ 听人
家 背 地 里谈 论 … …于 是 愈过 愈穷 , 弄 到将
来呢?梳理一下全文 , 可以确定孑 L 乙己的 酒钱有两个来源 , 一是帮别人抄 书有一点
收入 , 孔乙己“ 写 得一 手 好 字 , 便 替 人 家 钞
而知。
可惜孔 乙己最后 “ 是 自己发 昏, 竞 偷到丁 举人家里去了” ,但是疑问就在这里 , “ 现
在” 已经没有人请孔 乙己抄书 了, 而 且 他
的猜想 , 也许不一定 准确 , 但 可以为语文 教学提供一些趣味性的探究话题 , 教师们 不妨 以此为兴趣点 , 引导学生多角度探究
题。
平行 , 但是 , 这 一方 法 的思 维 过 程 复杂 , 导
致学生很难人手 , 无法解决 问题 。我们可 以尝试用 向量的方法证明 : 要证 明 删 ∥

向量在解题中的应用

向量在解题中的应用

向量在解题中的应用在平面几何和空间几何中,向量是一个常见的概念。

它不仅在数学教育中被广泛应用,还在工程、物理、计算机等领域中发挥着重要的作用。

本文将介绍向量在解题中的应用,并举例说明。

1. 向量的基本概念向量是一个有向线段。

它用一个带箭头的线段来表示,箭头表示向量的方向。

向量的起点称为原点,表示为$\\vec{AB}$,其中A为起点,B为终点。

对于两个向量 $\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}$ 和$\\vec{v}=\\overrightarrow{CD}$,它们相等当且仅当它们的长度相等且方向相同。

向量的长度也叫做模,表示为 $|\\vec{AB}|$,它可以用勾股定理求得:$$|\\vec{AB}|=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$其中,(x A,y A)和(x B,y B)分别为向量 $\\vec{AB}$ 的起点和终点的坐标。

向量加法是将两个向量的加起来,形成一个新向量的操作。

向量加法满足交换律和结合律。

向量减法就是向量加上该向量的相反向量。

向量的数量积也叫做点积,表示为 $\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$,它可以用以下公式求得:$$\\vec{u}\\cdot\\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y$$其中,$\\vec{u}=(u_x,u_y)$ 和 $\\vec{v}=(v_x,v_y)$ 分别为向量$\\vec{u}$ 和 $\\vec{v}$ 的坐标。

2. 向量的应用2.1. 平面几何中的向量应用在平面几何中,向量被广泛应用。

由于平面几何中需要求解的问题很多都与距离有关,因此向量的长度和方向属性特别适合求解这些问题。

向量在平面几何中的应用主要包括以下几个方面。

2.1.1. 向量的投影在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)在向量$\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}$ 上的投影为:$$\\text{proj}_{\\vec{u}}\\vec{AP}=\\frac{\\vec{AP}\\cdot\\vec{ u}}{|\\vec{u}|}\\frac{\\vec{u}}{|\\vec{u}|}$$其中,$\\frac{\\vec{AP}\\cdot\\vec{u}}{|\\vec{u}|}$ 表示$\\vec{AP}$ 在 $\\vec{u}$ 上的投影长度,$\\frac{\\vec{u}}{|\\vec{u}|}$ 表示 $\\vec{u}$ 的单位向量。

向量在平面几何、解析几何中的应用

向量在平面几何、解析几何中的应用

摘要:向量在平面几何与解析几何中多有应用,在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。

向量知识不但让难题迎刃而解,还可让学生形成通用性规则,利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。

关键词:平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤,各步骤间联系紧密,存在逻辑顺序,在审题后需仔细核对题目题干,寻求问题突破口,在将几何问题转化为代数问题后,可实现题目的高精度运算,达到预期目的。

因此类题型具有复杂特点,在学生做题量得到提升后,学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解,不但让图形对应特征得以描述,也让问题解决难度有所降低,下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证,在同学们阅读对应题干时,需带着对问题的解决思路求解。

二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容,在历年的高考试卷中有所涉及,也常与其他学科一同考试,为此提升向量教学效率,让学生灵活掌握向量知识,在拥有基本阅读审题能力的同时,提前了解向量习题的解题策略,不但有效保证做题效率,还让学生在复习前即可拥有一定知识储备,但现阶段教学存在的问题也较明显。

1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。

学生在学习人教版数学教材时,会学到复杂、零碎的知识,教师讲解新知识点时,也会向学生传授以往讲授过的知识点,用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态,并建立对应向量学习思维。

高考试卷题量有限,不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查,还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生,并具有区分性,向量本身具有一定基础性,学生在初中阶段即接触过向量知识,在培养学生独立完成习题能力的同时,即使学生完全掌握教材教学内容,也不一定做对高考对应的向量试题,在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时,学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。

面临新高考的改革,数学教师还需明确自身育人使命,适当给学生传授高考习题解题技巧,改变以往题海战术的陈旧教学模式,让学生热爱学习数学学科知识,并善于发现生活中的数学元素。

平面向量复习专题3——向量的应用(学生)

平面向量复习专题3——向量的应用(学生)

平面向量复习专题3——向量的应用
学习目标:向量在平面几何中的应用,向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题
例1(解析几何、位置关系的几何计算应用,练习册127页第9、14题)
在四边形ABCD 中,)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB
(1)若DA BC //,求x 与y 之间的关系式;
(2)满足(1)的条件,同时又有BD AC ⊥,求y x ,的值以及四边形ABCD 的面积.
变式 1 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则CB DE ⋅的值为_____________;DC DE ⋅的最大值为________________.
例2(平面几何证明问题,书126页4、5题,书127页13、14、16题)
已知ABC ∆,点O 为ABC ∆的重心(中线的交点),求证:0=++OC OB OA
例3(综合应用,三角函数应用问题,书127页15题,练习册128页18题) 设函数n m x f ⋅=)(,其中向量R x n x m ∈==),3,1(),1,2cos 2(
(1)求)(x f 的最小正周期;(2)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,
0πx 时,求()x f 的最大值.
总结:向量在几何中的应用,主要利用平面几何知识(平行、垂直)与向量运算的联系进行计算,从而达到几何知识代数化.
检测:。

高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

高考数学(理)之平面向量 专题04  平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标: 一)向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二)考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度较低;2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查,常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点:(1) 理解有关概念是基础,掌握线性运算、坐标运算的方法是关键;(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,应注意运用数形结合的数学思想,将共线、垂直等问题,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.4.难点:向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件,综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质,会用向量的几何意义解决问题,有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述:常见的向量法解决简单的平面几何问题: 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离(长度)问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用:已知ABC D 中,(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ,求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标(x ,y ),由AD 是BC 边上的高可得⊥,且B 、D 、C 共线,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为(1,1),AD =(-1,2). 【答案】AD =(-1,2)【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ,,(12)B --,,(31)C ,,且2BC AD =u u u r u u u r,则顶点D 的坐标为 ( ) A .722⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .122⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .(32),D .(13),【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ , 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1,点D E 、分别为AB BC 、的中点,求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r (1,),(,1),cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用:已知向量3(sin ,)4a x =r ,(cos ,1)b x =-r .设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ,已知在ABC ∆中,内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、,若a =2b =,sin B =()4cos(2)6f x A π++([0,]3x π∈)的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为,所以4A π=.因为+.所以, ,, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用:(1)已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.【解析】如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB , 则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得, 平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2(2)椭圆的焦点为F F ,点P 为其上的动点,当∠F P F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一:F 1(-,0)F 2(,0),设P (3cos ,2sin ).为钝角,.∴=9cos 2-5+4sin 2=5 cos 2-1<0.解得: ∴点P 横坐标的取值范围是(). 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r(θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】() 法二:F 1(-,0)F 2(,0),设P (x,y ).为钝角,∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得:353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是(). 【答案】() 2. 在物理学中的应用:如图所示,用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N ,则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的(对称) ,∴OA =OB ,∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ,∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD , ∴三角形OAD 为等边三角形 ,∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 , ∴OA =10 ,∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A .2-B .32-C .43- D .1-【解析】如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,所以()PA x y =-u u u r ,(1,)PB x y =---u u u r,(1,)PC x y =--u u u r ,所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ,22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-,当(0,2P 时,所求的最小值为32-,故选B . 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点()10A -,、()20B ,,E 、F 是y 轴上的两个动点,且||2EF =u u u r ,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________.【解析】根据题意,设E (0,a ),F (0,b );∴2EF a b =-=u u u r;∴a =b +2,或b =a +2;且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ,;∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r; 当a =b +2时,()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r;∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-; ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3,同理求出b =a +2时,AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为___________.【解析】设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |=___________. 【解析】方法一:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ,所以|2|+==a b .方法二:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA u u u r ,OB uuu r ,OC uuu r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α,且tan α=7,OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ,则m n +=___________.【解析】由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=. 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是___________.【解析】设向量,a b 的夹角为θ,则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ,即++-a b a b 的最小值是4,最大值是【答案】4,7. 【2016·江苏卷】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4, BF →·CF →=-1,则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →=a ,AC →=b ,则BA →·CA →=(-a )·(-b )=a ·b =4.又∵D 为BC 中点,E ,F 为AD 的两个三等分点,则AD →=12(AB →+AC →)=12a +12b ,AF →=23AD →=13a +13b ,AE →=13AD →=16a +16b ,BF →=BA →+AF →=-a +13a +13b =-23a +13b ,CF →=CA →+AF →=-b +13a +13b =13a -23b ,则BF →·CF →=⎝⎛⎭⎫-23a +13b ·⎝⎛⎭⎫13a -23b =-29a 2-29b 2+59a ·b =-29(a 2+b 2)+59×4=-1. 可得a 2+b 2=292.又BE →=BA →+AE →=-a +16a +16b =-56a +16b ,CE →=CA →+AE →=-b +16a +16b =16a -56b ,则BE →·CE →=⎝⎛⎭⎫-56a +16b ·⎝⎛⎭⎫16a -56b =-536(a 2+b 2)+2636a ·b =-536×292+2636×4=78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【解析】(1)因为co ()s ,sin x x =a,(3,=b ,a ∥b,所以3sin x x =. 若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[]0πx ∈,,所以5π6x =.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为[]0πx ∈,,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-【答案】(1)5π6x =;(2)0x =时,()f x 取到最大值3;5π6x =时,()f x取到最小值-.1.已知数列{}n a 为等差数列,且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ,若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,点O 为直线BC 外一点,则12017a a +=( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r , ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r, 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r , 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,∴3201511a a ++=, ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中, AD 为斜边BC 边的高,若1AC =u u u r , 3AB =u u u r,则CD AB ⋅=u u u r u u u r ( )【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B,所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ,得()2221x y -+=,又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ,它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14,()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ,故选B.【答案】B4.已知曲线C :x =直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r,则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点,设(,)P x y ,则(2,)Q m x y --,由题意20x -≤≤,26m x -=,解得23m ≤≤.3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示, 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中,∠ABC =120°,BA =2,BC =3,D ,E 是线段AC 的三等分点,则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →=(BA →+AD →)·(BC →+CE →)=⎝⎛⎭⎫BA →+13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →+13CA → =⎣⎡⎦⎤BA →+13(BC →-BA →)·⎣⎡⎦⎤BC →+13(BA →-BC →)=⎝⎛⎭⎫13BC →+23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →+13BA → =29BC →2+59BC →·BA →+29BA →2=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF . 若AE →·AF →=1,则λ的值为________. 【解析】法一、 如图,AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →,AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫AB →+13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →+1λAB →=⎝⎛⎭⎫1+13λAB →·BC →+1λAB →2+13BC →2=⎝⎛⎭⎫1+13λ×2×2×cos 120°+4λ+43=1,解得λ=2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A (0,1),C (0,-1),B (-3,0),D (3,0).由BC =3BE ,DC =λDF .可求点E ,F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫-233,-13,F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ, ∴AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫-233,-43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ-1=-2⎝⎛⎭⎫1-1λ+43⎝⎛⎭⎫1+1λ=1,解得λ=2. 【答案】28.在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2,若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE →=-4,则λ的值为________.【解析】AB →·AC →=3×2×cos 60°=3,AD →=13AB →+23AC →,则AD →·AE →=⎝⎛⎭⎫13AB →+23AC →·(λAC →-AB →)=λ-23AB →·AC →-13AB →2+2λ3AC →2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3119.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =__________;y =__________.【解析】MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →,∴x =12,y =-16.【答案】 12 -1610.在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ·19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥229λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ⎝⎛⎭⎫32,32,D ⎝⎛⎭⎫12,32.又BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则E ⎝⎛⎭⎫2-12λ,32λ,F ⎝⎛⎭⎫12+19λ,32,λ>0,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫2-12λ⎝⎛⎭⎫12+19λ+34λ=1718+29λ+12λ≥1718+229λ·12λ=2918,λ>0, 当且仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠P AQ =π4,则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1).设∠P AB =θ,则AP →=(2,2tan θ),AQ →=⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1,0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →=(2,2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1=2tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ+2tan θ=2(1-tan θ)1+tan θ+2tan θ=41+tan θ+2tan θ-2=41+tan θ+2(tan θ+1)-4≥42-4,当且仅当tan θ=2-1时,“=”成立,所以AP →·AQ →的最小值为42-4.法二(基底法) 设BP =x ,DQ =y ,由已知得,tan ∠P AB =x2,tan ∠QAD =y ,由已知得∠P AB +∠QAD =π4,所以tan ∠P AB +tan ∠QAD 1-tan ∠P AB tan ∠QAD =1,所以x +2y 2=1-xy2,x +2y =2-xy ≥2x ·2y ,解得0<xy ≤6-42,当且仅当x =2y 时,“=”成立.AP →·AQ →=22·(4+x 2)(1+y 2)=22·(xy )2+(x +2y )2-4xy +4=22·(xy )2+(2-xy )2-4xy +4=(xy )2-4xy +4=2-xy ≥42-4. 【答案】 42-412.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =________.【解析】 ∵OM →·CM →=0,∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线,设OM 的方程为y =kx , 由|2k |1+k 2=3,得k =±3,即yx =± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P 满足AP →=AB →+λAC →,且BP →·CP →=1,则实数λ的值为________.【解析】 由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =3,即BC = 3.又AC 2=AB 2+BC 2,所以∠B =90°.以点A 为坐标原点,AB →,BC →的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则B (1,0),C (1,3).由AP →=AB →+λAC →,得P (1+λ,3λ),则BP →·CP →=(λ,3λ)·(λ,3λ-3)=λ2+3λ(λ-1)=1,即4λ2-3λ-1=0,解得λ=-14或λ=1.【答案】 -14或114.证明:同一平面内,互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图,用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力,且r a ,r b ,rc 互成120°,模相等,按照向量的加法运算法则,有:r a +r b +r c = r a +(r b +r c )=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知:三角形OBD 为等边三角形, 故r a 与u u u r OD 共线且模相等,所以:u u u r OD = -r a ,即有:r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中,已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ,点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域(含边界)上,且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.(1)若23m n ==,求||OP u u u r ;(2)用,x y 表示m n -,并求m n -的最大值.【解析】(1)(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ,(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ,又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r,|OP ∴u u u r(2)OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩,两式相减得:m n y x -=-.令y x t -=,由图可知,当直线y x t =+过点(2,3)B 时,t 取得最大值1,故m n -的最大值为1.【答案】(1)(2)m n y x -=-,1.16.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),求1m +1n的最小值.【解析】 如图,建立平面直角坐标系,得A (0,0),B (4,0),D (0,4),C (1,4),则AB →=(4,0),AD →=(0,4).设AP →=(x ,y ),则BC 所在直线为4x +3y =16. 由AP →=mAB →+nAD →,即(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x =4m ,y =4n (m ,n >0), 所以16m +12n =16,即m +34n =1,那么1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ⎝⎛⎭⎫m +34n =74+3n 4m +m n ≥74+23n 4m ·m n =74+3=7+434(当且仅当3n 2=4m 2时取等号). 17.已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且m ⊥n . (1)求cos 2α的值; (2)若sin(α-β)=1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ,得2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1, 又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos α=55,cos 2α=2cos 2α-1=-35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,得α-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010,而sin α=1-cos 2α=255, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=255×31010-55×1010=22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以β=π4.。

平面向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用平面向量是高中数学中常见的概念之一,也是学习平面几何的基础知识。

它在平面几何中有着广泛的应用,本文将探讨平面向量在平面几何中的应用。

一、向量的加减法向量的加减法是平面向量中最基本的概念之一。

通过向量的加减法可以求出向量之间的关系,包括平移、共线、垂直等。

特别地,通过向量的加减法可以得到两条直线的方向向量,从而判断直线的位置关系。

例如,如果两条直线的方向向量共线,则这两条直线是平行的。

二、向量的数量积向量的数量积是平面向量中最重要的概念之一。

通过数量积可以求出向量之间的夹角,从而判断向量之间的位置关系。

特别地,如果两个向量的数量积为0,则这两个向量垂直。

在平面几何中,数量积可以应用于求解线段的长度,以及求解两条直线的夹角等。

三、向量的叉积向量的叉积是平面向量中较为高级的概念之一。

它可以用来求解向量之间的平面面积,从而进一步应用于求解多边形的面积和体积。

特别地,通过向量的叉积可以求解三角形的面积公式,即:$$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|$$其中,$S$为三角形的面积,$\vec{AB}$和$\vec{AC}$为三角形的两个边向量。

四、向量的投影向量的投影是平面向量中重要的概念之一。

它可以用来求解向量在另一个向量上的投影长度,从而应用于求解点到直线的距离、向量的正交投影以及向量的正交分解等。

在平面几何中,向量的投影可以进一步应用于求解角度平分线、中垂线等重要的几何概念。

五、向量的叠加向量的叠加是平面向量中较为高级的概念之一。

它可以用来求解平面图形的重心、质心等重要的几何概念。

特别地,在三角形中,三条中线的交点即为三角形的重心,而三角形的面积的三分之一乘以重心到任意一顶点的距离即为三角形的质心。

六、向量的推导向量的推导是平面向量中较为复杂的部分之一。

通过向量的推导可以应用于证明平面几何中的许多重要定理,例如向量的夹角公式、平面几何中的海涅定理等。

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一、向量有关知识复习
(1)向量共线的充要条件: a 与 b共线 a b R,b 0
使MQ=CM。求证:P、A、Q三点共线
解:设 AB a, AC b
P
C

AN
1 2
b, AMEv12aaluation
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N
eated with由CA此osp可pyo得rsigeCB.hMNStl2iNdM0PeQ0s412f-1bo2ar0a.1bN1EATsp3o.5seACPliteynLt tPdMr.ofilBe 5.2.0
AM EN (8, 4) (4 e, 2) 0
A
EB

解得:e=5 故△AEM的面积为10
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起,
使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,
求△AEM的面积
DF
C
解:如图建立坐标系,设E(e,0),由
eated
a (x1, y1),b (x2, y2),a b x1 x2, y1 y2
(4)平面向量基本定理
a e1 e2,其中e1,e2不共线。,为唯一确定的常数
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
C 例1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
求△AEM的面积
DF
C
分析:如图建立坐标系,设E(e,0),M(8,4),
N是AM的中点E,va故luNa(4t,i2o)n only.
M
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CENopyArNighAt E20=0(44,2-)2-(0e1,01)=A(4s-ep,2o)se Pty Ltd.
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由此可得:AC CB=(a+b)(a-b)
22
2
2
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0 ,∠ACB=90° 思考:能否用向量坐标形式证明?
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知:平行四边形ABCD。
D
C
求证:AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
B
分析:要证∠ACB=90°,只须证向
O
量AC CB,即 ACE CvaBlua0t。ion only.
eated解w:ith设AAOs=pao,OseC.=Sblides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 则CAoCpyraighb,t 2C0CBB04a-?20b11 Aspose Pty Ltd.
正由方题形意面可积得M为(684,4,E),可vNa得l是u边aA长tMio为的n8only. w中it点h A,s故pNo(s4e,2.S) lides for .NET 3.5
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PNrofile
M
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EN AN AE =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) A
EB
AM EN (8,4) (4 e,2) 0 解得:e=5 即AE=5
SAEM
1 2
AE BM
10
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a (x1, y1),b (x2, y2),a // b x1y2 x2y1 0
(2)向量垂直的充要条件: a b a b 0 a 0,b 0
a (x1, y1),b (xE2, yv2a),lauabtionx1ox2nlyy1.y2 0 eated(w3)it两hCA向os量ppy相orsi等ge.h充St要l2id0条e0件s4f-:o2ar0.1N1bEATsap3o.5sbeC, 且Plit方eyn向Lt 相tPdr同.of。ile 5.2.0
2
PA AN NP,PA (b a) a b
AQ AM MQ, AQ (b a) a b 即 PA AQ 故有 PA// AQ,且它们有 Q 公共点A,所以P、A、Q三点共线
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起,
使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,
求证:AD、BE、CF交于一点
A
解:设AD与BE交于H,
BC a
CA b Evaluation only.
HE
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BH CA(a p)b 0 ba pb 0
pa pb 0 p(a b) 0
CH BA 0 CH BA
即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例4、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N,
在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q,
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例3、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高
分析:因为平行四边形对边平行且相
等,故设 AB a, AD Eb 其va它lu线a段tio对n应o向nlyA.
B
eated量w用it它h A们s表p示os。e.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
解:C设opAyB riag, hADt 2b00,4则-20BC11 bA, DsApoas,eACPtya Lbt; DdB. a b
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