1.2怎样判定三角形相似(5)
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
1.2.5相似三角形的判定(总结课)
第19页，共40页。
DC
• 7. D,E分别为△ABC的AB, AC上的点,且DE∥BC，
∠DCB=∠A，
把每两个相似的三角形称为一
组，那么图中共有
A
相似三角形_____组。 D
E
B
第20页，共40页。
C
解7: ∵ DE∥BC
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
∴△ADE ∽ △ABC
本题可证。
DB
第24页，共40页。
证明:∵∠ACD= ∠ ABC
∠A = ∠ A
∴ △ABC △ACD
∴ AC = AB C AD AC
∴ AC2=AD·AB
A
DB
第25页，共40页。
题2. △ABC中,∠ BAC是直角,过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E,交AB于D,连结
AM.
求证：
E
① △ MAD ～△ MEA
② AM2=MD ·ME
D
A
B
第26页，共40页。
M
C
分析：已知中与线段有关的条
件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首
先考虑用两个角对应相等去判定两
个三角形相似。AM是△ MAD 与△
MEA 的公共边， 边MD,ME
故是对应 的比例中E项。
D
A
B
第27页，共40页。
AM = ME MD AM
即AM2=MD·ME
E
D
A
BM
C
第29页，共40页。
题3. 如如图，AB∥∥CCDD，，AAOO==OOBB，， DF=FB，DF交AC于E，
1.2怎样判断三角形相似(5)
1.2怎样判断三角形相似（5）一、【学习目标】能够运用两个三角形相似的判定定理解决简单的生活问题.（重点、考点）二、【学习过程】（一）【知识回顾】相似三角形1.相似三角形概念：2.相似三角形判定方法：（二）【课中导学】问题一：阅读教材第18-19页内容，回答下列问题：说相似三角形的判定定理。
问题二：例4：解析：本题是借助于相似三角形的对应边成比例的性质来解决现实生活中不方便直接测量高度的实际问题。
解决该问题的关键是：找出图中能解决问题的相似三角形，准确的把对应边的比例关系表示出来。
解：例题反思：（1）说一说解决本题用到了哪些知识？（2）解答例题中的两个问题所用的知识点一样吗？它们之间有何区别与联系？（3）你知道吗？在同一地区，同一时刻的太阳光下，不同物体的高与其影长的比相等,试用这个性质再设计一个测水塔高的方法？2.理解“挑战自我”后把它转化为具体的几何问题。
如下图示：根据题意①在图中标出能测出长度的线段与待求长度的线段？②∠ACB=∠DCE 吗？∠B=∠E 吗？为什么？ ∆ABC ∽∆DEC 吗？为什么？③根据题意表示出电线杆DE 的高？三、【归纳总结】四、【当堂达标】1.小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和BC 是两根互相平行的固定架，DE=10m ，BC=18m,小明从底部固定点B 开始攀登，攀行8m ，遇上第二个固定点D ，小明再攀行多少米就可以到达这个攀登架的顶部A ？五、反思提升1.一个钢筋三角架三边长分别是20cm ，45cm ，55cm ．现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而且只有长为30cm 和65cm 的两根钢筋，要以其中一根为边，从另一根上截下两根（允许有余料）作为两边，有几种不同截法？分别加以说明．B。
1.2怎样判定三角形相似(5)
东平县初中数学
1. 理解判定三角形相似的条件.
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接 测量物体的长度和高度的一些实际问题．
东平县初中数学
探索
相似三角形的应用
在同一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为 3 米 , 某一高楼的影长为 60 米 , 那 么高楼的高度是多少米?
C D E
B
东平县初中数学
例题
例题反思：测高的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似 三角形求解。
A
B
C
D E
东平县初中数学
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 与你的同伴交流 1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高 ：测量不能到达顶部的物体的高度，
通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理 解决. （2）测距：测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解.
东平县初中数学
例题
为了测量水塔的高度，在阳光下，小亮走进水 塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子 遮住.已知小亮的身高BC=1.6m，此时，他的影 子的长AC=1m，他距水塔的底 部E处11.5m，水塔的顶部为点 D.根据以上数据，你能算出水 塔的高度DE是多少吗？
东平县初中数学
如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，
东平县初中数学
2. 解决相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题。根据实物画出符合题意的数 学图形,并标上相应的字母； （2）找出相似的三角形；分清对应边和 对应角； （3）根据题意,求出答案.
东平县初中数学
教材P24练习1
P25练习2
东平县初中数学
例题
例2 如图 1- 25，有一块锐角三角形余料ABC， 它的边 BC = 12 cm，高 AD = 8 cm . 现要用 它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在 BC 上，其余的两个顶点分别在 AB，AC 上， 求裁出的正方形的边长.
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
1.2怎样判定三角形相似 课件 青岛版数学九年级上册
∵
DF=14DC，∴DAEF
=
12.∴DABE
=
DF AE
.
∴△ ABE ∽△ DEF.
感悟新知
知3－练
5-1.[月考·承德第四中学] 如图，已知：∠ BAE= ∠ CAD， AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40.求证：△ ABC ∽△ AED.
感悟新知
知3－练
证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40， ∴AABE＝2107.4＝1.2，AADC＝4480＝1.2. ∴AABE＝AADC.∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC， 即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.
感悟新知
知识点 4 相似三角形的判定定理3
知4－讲
相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 数学表达式：如图1.2-11，在△ ABC 和△ DEF 中，
∵DABE=BECF=FCDA， ∴△ ABC ∽△ DEF.
感悟新知
知4－讲
特别解读：应用时要注意比的顺序性，即分子为 同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边， 同时要注意边的对应情况，用长边对长边，短边对 短边的思路找对应边.
感悟新知
知2－练
4-1. 如图，在ABCD中，E 为AD 边上的点，且AD=3AE， 连接CE并延长交BA 的延长线于点F.求证：AB=2AF.
感悟新知
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE. ∴△AEF∽△DEC.∴DAFC＝DAEE. ∵AD＝3AE，∴ED＝2AE. ∴DAFC＝12.∴DC＝2AF. ∵AB＝CD，∴AB＝2AF.
相似三角形的判定方法
an dAl l t h i ng si nt (一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k ，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E、F分别是△ABC的边dnaemit、如图,AB⊥BD,CDcm,CD=40 cm,BD=140,PB的长满足什么条件明理由.，则图中相似三角形的对数有 dAl l t h i ng si nt he i r (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； (3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE ∽△ABC ，该图可看成把第一个图中的△ADE 绕点A 旋转某一角度而形成的． 从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学（上）导学案（第一章）
1.2怎样判定三角形相似（5）
撰稿人：吴丽丽审稿人：张恒雨
【学习目标】
1.理解并掌握判定三角形相似的条件；
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体长度和高度等的一些实际问题. 【课前预习】
阅读课本第18至19页的内容，思考并解答下列问题。
1.知识回顾
（1）相似三角形概念：
（2）相似三角形的判定方法：①②
③④
思考：在以上方法中，仅知角的条件，优先考虑哪种方法？仅知边的条件，优先考虑哪种方法？知道边角的条件，优先考虑哪种方法？
2.探究新知
例4：解析：本题是借助于相似三角形的对应边成比例的性质来解决现实生活中不方便直接测量高度的实际问题。
解决该问题的关键是：找出图中能解决问题的相似三角形，准确的把对应边的比例关系表示出来，代值计算.
解：
（2）你知道吗？在同一时刻的太阳光下，不同物体的高与其影长
的比相等,试用这个性质再设计一个测水塔高的方法？
【课中实施】
探索题（内容见课件）
随堂练习（内容见课件）：
九年级数学导学案第一章第2节（5）第1 页共2页
九年级数学导学案 第一章 第2节 （5）第 2 页 共 2页 教材P 20练习1：
【当堂达标】(10分)
1.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8
米，一棵大树的影长为4.8米，则树高为 .
2.如图小东用长为
3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗
杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）
A.12m
B.10m
C.8m
D.7m
3.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处,已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD , 且测得AB =1.2米，BP =1.8米，PD =12米,求该古城墙的高度.
4.如图所示，给出下列条件：
①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC
=； ④AB AD AC ∙=2
其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
【链接中考】
1.如图，等边三角形ABC 中，点D ，E 分别为BC ，AC 边上一点，BE 、AD 相交于点F ，且BD=EC.
（1）请证明△ABD ≌△BCE. (2) 求∠AFE. (3)指出其中的相似三角形，并选择一对进行证明.
2.如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，求CD 的长.。