高二数学下 第12章《圆锥曲线》测试 沪教版
沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线阶段训练3
沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线阶段训练3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若点,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在方程23=+y x x 所表示的曲线上，则a =_______． 2．若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则实数m 的取值范围是______. 3．到点(2,1)-和（2，1）的距离之和为4的点的轨迹方程是_______．4．已知222440x y x y ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称，则b =_______． 5．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．6．若曲线220-++=x xy y k 经过点(,)()P t t t R -∈，则k 的取值范围是_______．7．若关于x 1=+kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______． 8．若过点(,4)M a 总有两条直线与圆2260x y y +-=相切，则实数a 的取值范围是_______．9．已知(1,0),(1,2)--A M ，点B 在直线210x y -+=上运动，=+MP MA MB ，则点P 的轨迹方程是_______．10．若圆224x y +=与圆222210x y ax a +-+-=内切，则a 等于__________. 11．过点(2,3)P 向圆221x y +=作两条切线,PA PB ，则弦AB 所在的直线方程为_______．12．已知AC 、BD 为圆22:(1)(2)16-+-=O x y 的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则四边形ABCD 的面积()→∞n S n 的极限值为_______．二、单选题13．若直线2ax by +=与圆221x y +=有两个不同的公共点，那么点(,)b a 与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定 14．“0A C =≠且0B =”是“220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的方程”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要15．已知直线0ax by c与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且AB =，则OA OB ⋅等于（ ）．A ．12B ．2C ．12-D ．16．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥k 的取值范围是( )．A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞)C ．[D ．2[,0]3-三、解答题17．一动点P 在圆224x y +=上运动，求它与定点(3,0)Q 连线的中点M 的轨迹． 18．已知圆22:412390C x y x y ++-+=和直线:3450l x y -+=，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程．19．已知直线l ：y=x+m ，m ∈R.若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程.20．已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，试求四边形ABCD 的面积的最大值．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ．()1求k 的取值范围；()2是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．0或16- 【分析】直接将点代入曲线方程，解得答案.【详解】 点,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在方程23=+y x x 所表示的曲线上，则232a a a =⋅+，解得0a =或16a =-. 故答案为：0或16-. 【点睛】本题考查了曲线和点的位置关系，属于简单题.2．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得1140m +-⨯>，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则有1140m +-⨯>， 解的12m <，即m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题．3．1(22)y x =-≤≤【分析】记点()2,1A -、()21B ，，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()2,1A -、()21B ，，设所求点为P ，由PA PB AB +=，则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为1(22)y x =-≤≤故答案为：1(22)y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 4．4【分析】将圆心代入直线方程，计算得到答案.【详解】222440x y x y ++-+=，即()()22121x y ++-=，圆心为()1,2-， 圆心在直线2y x b =+上，故22b =-+，故4b =.故答案为：4.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，属于简单题.5．24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案. 【详解】 设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩， 代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =.故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.6．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】将点代入曲线方程得到222k t t =--，根据二次函数性质得到范围.【详解】曲线220-++=x xy y k 经过点(,)P t t -，则2220t k t t ++=+， 即221122222k t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，故1,2k ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了点和曲线的位置关系，属于简单题.7．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】画出y =1y kx =+的图像，如图所示，根据图像得到答案.【详解】1=+kx ，设y =224x y +=，0y ≥，画出y =1y kx =+的图像，如图所示：直线1y kx =+过定点()0,1，当直线过点()2,0和()2,0-时，12k =-和12k =. 根据图像知：11,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了根据方程解的个数问题求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像是解题的关键.8．(,)-∞-⋃+∞【分析】根据题意得到点在圆外，代入计算得到答案.【详解】过点(,4)M a 总有两条直线与圆2260x y y +-=相切，故点在圆外，故216240a +->，解得a >a <-.故答案为：(,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，意在考查学生计算能力和转化能力.9．21y x =-【分析】设(),B a b ，(),P x y ，根据向量运算得到22a x b y =-⎧⎨=-⎩，代入直线方程化简得到答案. 【详解】设(),B a b ，(),P x y ，=+MP MA MB ，则()()()1,22,21,2x y a b ++=+++，故22a xb y =-⎧⎨=-⎩，点B 在直线210x y -+=，故()()22210x y ---+=， 整理得到21y x =-.故答案为：21y x =-.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力.10．±1【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解.【详解】圆224x y +=，圆心为（0,0），半径为2；圆222210x y ax a +-+-=，转化为标准形式：()221x a y -+= ，即圆心为（a ，0），半径为1；211=-= ，解得1a =± 故填：±1【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值. 11．2310x y【分析】先确定A B 、在以OP 为直径的圆上，再根据两圆公共弦方程求法得结果.【详解】因为A B 、在以OP 为直径的圆上，即A B 、在圆(2)(3)0x x y y -+-=上，又A B 、在圆221x y +=上，所以弦AB 所在的直线方程为：22(2)(3)1x y x x y y +---=-，即2310x y故答案为：2310x y【点睛】本题考查切线长方程，考查基本分析求解能力，属中档题.12．32【分析】本题首先通过题意可知四边形ABCD 的面积2n AC BD S ⨯=，然后n →∞，可得()1,2M ，此时AC 、BD 都是直径，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为圆22:(1)(2)16-+-=O x y ，所以()1,2O ，4r =， 因为AC 、BD 为圆22:(1)(2)16-+-=O x y 的两条相互垂直的弦，所以四边形ABCD 的面积2n AC BD S ⨯=， 因为垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当n →∞时，()1,2M ， 所以此时AC 、BD 都是直径，883222n BD S AC ⨯⨯===， 故答案为32.【点睛】 本题考查四边形面积的计算，考查四边形与圆相切的相关问题，考查推理能力，是中档题. 13．A【分析】直线2ax by +=与圆221x y +=1<，即为2<由此可得点与圆的位置关系．【详解】解：因为直线2ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，即2<，因为点(,)b a 与224x y +=，圆224x y +=的半径为2，所以点P 在圆外. 故选:A ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，属于中档题.直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断． 14．B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆时，满足0,0A C B =≠=且2240D E AF +->，所以“0A C =≠且0B =”是“220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的方程”的必要不充分条件． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题． 15．C 【分析】根据题意，由余弦定理求出cos AOB ∠的值，进而求出OA OB ⋅的值即可. 【详解】解：根据题意得，圆22:1O x y +=的圆心()0,0O ，半径1r OA OB ===，又由AB =，则2221131cos 222OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===-⋅. ∴1cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠=-.故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及余弦定理的应用，属于基础题. 16．A 【解析】试题分析：圆心为()3,2，半径为2，圆心到直线的距离为d =2242MN ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭1MN ≥≤，解不等式得k 的取值范围3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：直线与圆相交的弦长问题 17．以3,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆周 【分析】设轨迹上动点M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为00(,)x y ，根据M 为PQ 的中点，得到00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得 00232x x y y =-⎧⎨=⎩，然后由动点P 在圆224x y +=上求解. 【详解】设轨迹上动点M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为00(,)x y ， 因为M 为PQ 的中点，所以00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得 00232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又因为动点P 在圆224x y +=上，所以22(23)(2)4-+=x y ， 所以22412450-++=x x y ，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 所求轨迹是以3,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆周.【点睛】本题主要考查轨迹的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．22(4)(2)1x y -++= 【分析】计算圆心关于直线的对称点，得到圆心和半径，得到圆方程. 【详解】圆C 的方程可转化为22(2)(6)1x y ++-=，其圆心为()2,6-，半径1r =．设所求圆的圆心为(,)C a b '，则线段CC '的中点26,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭应在直线l 上， 则26345022a b -+⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34200a b --=． 又两圆心的连线垂直于直线l ，即CC l '⊥，所以3(6)4(2)0b a -++=， 即43100a b +-=．由34200,43100.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解方程组，得4,2.a b =⎧⎨=-⎩，即所求圆的方程为22(4)(2)1x y -++=. 【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，将题目转化为点关于直线对称是解题的关键. 19．2(2)8x y -+= 【分析】根据圆M 与直线L 相切，求出P 的坐标，然后根据两点间距离公式求出圆的半径，进而求得圆的方程. 【详解】解：依题意，点P 的坐标为（0，m ），因为，所以，解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径故所求圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆与圆的方程，由圆M 与直线L 相切，求出P 的坐标是解题的关键，注意运算准确. 20．5 【分析】设圆心O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ，则222123d d OM ，由AC =BD =1||||2S AC BD =⋅的表达式，结合基本不等式可整理出5S ，从而可求出面积的最大值. 【详解】解：设圆心O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ，则222123d d OM ．则AC =BD =，所以四边形ABCD 的面积)()22121||||852S AC BD d d =⋅=-+=，当且仅当()()221244d d -=-，即12dd = 所以四边形ABCD 的面积最大为5.【点睛】本题考查了圆中弦长以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．（1）3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）不存在. 【解析】试题分析：（1）圆的方程可得圆心为(60)Q ，，半径为2，圆的面积为4π,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．直线l 与圆22(6)4x y －＋＝交于两个不同的点A ，B＜2，解不等式即可求出结果．（2）设1122()()A x y B x y ，，，，则OA ＋1212()OB x x y y ＝＋，＋，由()222{64y kx x y =+-+=得22(1)4(3)360k x k x ＋＋－＋＝，根据韦达定理和共线定理，即可解得34k =-．由（2）知3,04k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故可判断k 的情况．试题解析：（1）圆的方程可化为22(6)4x y －＋＝，可得圆心为(60)Q ，，半径为2，故圆的面积为4π．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．直线l 与圆22(6)4x y －＋＝交于两个不同的点A ，B等价于＜2，化简得2(86)0k k -->，解得304k -<<，即k 的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设1122()()A x y B x y ，，，，则OA ＋OB ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），由()222{64y kx x y =+-+=得22(1)4(3)360k x k x ＋＋－＋＝， 解此方程得x 1,221k +．则12x x +=－24(3)1k k -+，①又1212()4y y k x x ＋＝＋＋．②而()()0,26,0P Q ，，PQ ＝（6，－2）．所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于12122()6()x x y y ＋＝＋-，将①②代入上式，解得34k =-．由（2）知3,04k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故没有符合题意的常数k ．考点：1．直线与圆的位置关系；2．平面向量共线定理．22．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，k ≤≤或34k =±． 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L32=得34k =±，又0354DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程。
沪教版(上海) 高二第二学期 新高考辅导与训练 第12章 圆锥曲线 12.5 双曲线的标准方程
沪教版(上海) 高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线
12.5 双曲线的标准方程
一、解答题
(★★) 1. 在周长为48的直角三角形中，，求以为焦点，
且过点的双曲线方程.
(★★★) 2. 双曲线与圆有公共点，圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
(★★) 3. 设动点到点和的距离分别为，且存在常数，使得.证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程.
(★★) 4. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，求的最小值.
(★★★) 5. .已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为
.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
二、单选题
(★★) 6. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分
别是双曲线的左、右焦点，若，则（）
A．1或5B．6C．7D．9
(★★★) 7. 动圆与圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（）.
A．圆B．双曲线C．椭圆D．以上结论都不对三、填空题
(★★★) 8. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 .
(★★) 9. 已知定点A,B，且=4,动点P满足,则的最小值为 .
(★★★)10. 已知双曲线的左右焦点分别为,其一条渐近线方程为y = x ，点)在该双曲线上,则=___________.。
沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线阶段训练4
沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线阶段训练4学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =________ 3．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是_______4．设P 是双曲线2221(0)9x y a a -=>上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF =_______．5．若双曲线的渐近线方程为2y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是___．6．如果椭圆221164x y +=的弦被点()1,1平分，那么这条弦所在的直线方程是____． 7．如果圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关，那么它的焦点坐标是_____． 8．若方程221||32+=---x y k k表示焦点在y 轴上的双曲线，则它的半焦距c 的取值范围是____．9．已知双曲线22:1,4-=x C y P 是C 上的任意一点，设点A 的坐标为（3，0），则||PA 的最小值是____．10．以双曲线22145x y -=的中心为椭圆C 的中心，并以双曲线的焦点为椭圆C 的焦点且过点（5，0）的椭圆C 的标准方程是__________．11．点A 是椭圆221:194x y C +=与双曲线222:14-=x C y 的一个交点，且点A 与椭圆1C 两焦点距离之和为m ，距离之差的绝对值为n ，则m n +的值为_____．12．点1(1,1),A F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上一动点，则1||PA PF +的最大值是___________．二、单选题13．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（ ）A ．2BC ．2D ．14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B .若212BF F F ==2，则该椭圆的方程为A ．22143x y += B ．2213x y += C ．2212x y += D ．2214x y += 15．已知12,F F 是双曲线222:1(0)y C x b b-=>的两个焦点，P 是双曲线C 左支上的一点，且122,⊥PF PF PF 与两条渐近线相交于,M N 两点．若点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线C 的焦距为（ ）．A ．B ．C ．D ．416．关于曲线C ：421x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称；③曲线C 围成的面积大于π； ④曲线C 围成的面积小于π；则其中真命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．①②③D ．①②④三、解答题 17．若原点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP FP ⋅的取值范围．18．已知曲线C 上动点P 到两定点12(F F 距离的和为21()>a a ，直线l 过点(,0)A a -和(,)(0)>B a ta t 交曲线C 于点M ，直线MO 交曲线C 于点N ．（1）求曲线C 的方程；（2）设AMN 的面积S ，求S 的表达式．19．已知椭圆的一个顶点为()0,1A -，焦点在x 轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围．20．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为). （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:=l y kx C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>(其中O 为坐标原点)，求实数k 取值范围. 21．已知椭圆1C 的方程为2212521x y +=．在直线1y x =+上找一点0R ，求过0R 且以椭圆1C 的焦点为焦点的双曲线方程，使其实轴最长．参考答案1．【解析】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以c ===2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y += 2．14- 【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可.【详解】由双曲线方程可得0m <，焦点坐标在y 轴上，故可得虚轴长为2， 又因为虚轴长是实轴长的2倍，故可得4=，解得14m =-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查由,a b 之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.3．【解析】试题分析：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为，所以，答案为.考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质．点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦时，往往要运用椭圆的定义．4．7利用双曲线的渐近线方程求出a ，再利用双曲线的定义，即可求解.【详解】由题意，点P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 可得332a =，解得2a =，则c =， 又由12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，由1|3=PF ，可得点P 在双曲线的左支上， 根据双曲线的定义，可得1227223P F F a P =+=⨯+=.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理利用双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．2214y x -= 【分析】由题知双曲线的焦点在x 轴上，设出方程，根据渐近线方程，确定待定系数即可.【详解】因为双曲线焦点是， 故该双曲线的焦点在x 轴上.设双曲线方程为22221x y a b-= 因为双曲线的渐近线为2y x =±，则222+=5b a a b ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得1=2a b =⎧⎨⎩，则双曲线的方程为2214y x -=. 故答案为：2214y x -= 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据焦点位置，设出双曲线方程, 6．450x y +-=设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程.【详解】设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆221164x y +=上，则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得222212120164x x y y --+=，可得2212221214y y x x -=--，即()()()()1212121214y y y y x x x x -+=--+， 所以，直线AB 的斜率为121214AB y y k x x -==--， 因此，这条弦所在直线的方程为()1114y x -=--，即450x y +-=. 故答案为：450x y +-=.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，考查点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.7．(0,【分析】根据方程表示的圆锥曲线分类讨论．【详解】若5020λλ+>⎧⎨->⎩，即52λ-<<，则方程表示双曲线，c ==(0,；若5020λλ+<⎧⎨-<⎩，无解；若5020λλ+>⎧⎨-<⎩，即2λ>，方程表示椭圆22152y x λλ+=+-，c ==焦点坐标为(0,；5020λλ+<⎧⎨->⎩，即5λ<-，方程不表示任何曲线．故答案为：(0,．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，由方程求焦距．解题时要根据椭圆与双曲线的标准方程分类讨论，它们求半焦距c 的方法不相同．8．(1,)+∞【分析】 根据已知条件对方程221||32+=---x y k k 进行化简为2212||3y x k k -=--，方程表示为焦点在y 轴上的双曲线得到20,30k k ->->即3k >，从而方程可表示为：22123y x k k -=--，由22225c a b k =+=-，结合3k >可求出半焦距c 的取值范围.【详解】 因为方程221||32+=---x y k k两边除以1-， 方程可化简为2212||3y x k k -=--， 又因为方程表示为焦点在y 轴上的双曲线， 所以20,30k k ->->即3k >， 从而方程可表示为：22123y x k k -=--， 由于222251c a b k =+=->，所以半焦距c 的取值范围为1c >即()1,c ∈+∞故答案为：(1,)+∞【点睛】本题考查了双曲线方程以及双曲线方程中的,,a b c 等量关系，属于较易题.9 【分析】设P 坐标，利用两点间距离公式表示||PA ，再根据P 在双曲线上代入消元，最后根据二次函数性质求最值.【详解】设(,)P x y ，则221,4x y -=所以||PA ===因此当125x =时，||PA =【点睛】本题考查利用二次性质求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10．2212516x y += 【分析】 先求得双曲线22145x y -=的焦点，再根据双曲线的焦点为椭圆C 的焦点，得到椭圆的半焦距，然后根据椭圆过点（5，0）求解.【详解】 双曲线22145x y -=的焦点为 ()()123,0,3,0F F -， 因为 双曲线的焦点为椭圆C 的焦点，椭圆的半焦距为3c =，又因为椭圆C 过点（5，0），所以半长轴为5a =，所以216b =，所以椭圆C 的标准方程是2212516x y +=. 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法以及双曲线和椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．10【分析】根据已知可得椭圆与双曲线的焦点相同，根据椭圆和双曲线的定义求出,m n ，即可得出结论.【详解】椭圆221:194x y C +=的焦点为12F F ，双曲线222:14-=x C y 的焦点为， 所以椭圆与双曲线的焦点相同，点A 是椭圆221:194x y C +=与双曲线222:14-=x C y 的一个交点， 6,4,10m n m n ∴==+=.故答案为：10【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程和性质，以及定义的应用，属于基础题.12．6+【分析】 首先将椭圆方程变形为标准式，利用椭圆定义将求1||PA PF +的最大值转化为求2||PA PF -的最大值问题即可.【详解】将225945x y +=变形为22195x y +=，设2F 为椭圆的右焦点，则()22,0F ,由椭圆定义知122||666PA PF PA PF AF +=+-≤+=,当且仅当P 为2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号.故答案为：6【点睛】本题主要考查椭圆的定义，利用转化思想将动点到两定点的距离之和的最大值转化为动点到两定点的距离之差的最大值，属于基础题. 13．D 【分析】先根据题中条件，结合椭圆的特征，得到1bc =，根据222a b c =+，即可求出结果. 【详解】由椭圆的特征可知，椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1212c b ⨯⨯=，即1bc =．2222212a b c b b ∴=+=+≥ ，a ∴≥．2a ∴≥故选D ． 【点睛】本题主要考查椭圆的长轴，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型. 14．A 【分析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a=2c=2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【详解】由已知可得222132c b a c a =⎧⇒=-=⇒⎨=⎩所求方程为22143x y +=，故选A. 【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 15．C根据中点得到1//NO PF ，计算12PF =，24PF =，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】不妨取渐近线方程为y bx =，N 是2PF 中点，故1//NO PF ，故2NO PF ⊥，2OF c =，故1ON a ==，122PF ON ==，2124PF PF a =+=，根据勾股定理：222424c =+，故c =故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的焦距，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定1PF ，2PF 是解题的关键. 16．A 【分析】根据对称性的判断方法，判断①②的正确性.判断曲线C 上任意一点都在单位圆外，由此判断③④的正确性. 【详解】对于①，将方程421x y +=中的x 换为x -，y 换为y -，方程不变，所以曲线C 关于原点对称.所以①正确.对于② ，将方程421x y +=中的x 换为y ，y 换为x ，方程变为421y x +=与原方程不相同，所以曲线C 不关于直线y x =对称.所以②错误.在曲线C 上任取一点()P m n ,，则421m n +=，因为421,m m m ≤≤，所以22421m n m n +≥+=，所以()P m n ,在单位圆221x y +=外，所以③正确，④错误.综上所述，正确的为①③. 故选：A 【点睛】本小题主要考查曲线的对称性判断，考查点和圆的位置关系，属于中档题.17．[3)++∞先根据双曲线的焦点和方程中的b 求得a ，得到双曲线的方程，设出点P ，代入双曲线方程求得y 0的表达式，根据P ，F ，O 的坐标表示出OP FP 和，进而求得OP FP ⋅的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则OP FP ⋅的取值范围可得． 【详解】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=．设点P 的坐标为()00,x y ．则有()22000133x y x -=．解方程得()220133x y x =-．()002,FP x y =+，()00,,OP x y =()()2220000000042212133x x OP FP x x y x x x ∴⋅=++=++-=+-．此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-．3x ，∴当0=x 时，OP FP ⋅取得最小值43133⨯+=+故OP FP ⋅的取值范围是[3)++∞.故答案为)3⎡++∞⎣． 【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．18．（1）2221(1)1x y a a +=>（2）22244a tS a t=+ 【分析】（1）由椭圆定义得曲线C 是椭圆，再求出b ，可得方程；（2）写出直线AB 方程，与椭圆方程联立解得M 点坐标，由对称性得N 坐标（不需求出），由2AMN AMO S S =△△||M OA y =⋅可求得S ． 【详解】（1）由12||||2PF PF a +=，则动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2a的椭圆．即1c b ==，所求的椭圆方程为2221(1)1x y a a +=> （2）由题设，得AB 的方程()2t y x a =+．并代入椭圆方程：22222y a a y a t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．整理，得：()222224440,4M ata t y aty y a t +-=∴=+．由椭圆的对称性，得2224,2||4M N AMNAMOM a ty y SSOA y a t=∴==⋅=+，则所求的面积表达式为22244a tS a t=+． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题，求椭圆的方程是定义法，根据定义确定曲线是椭圆，然后求出椭圆方程中的参数即得椭圆方程．直线与椭圆相交问题，是直接由直线方程与椭圆方程联立求出交点坐标，然后再求解，这是解析几何的基本方法．19．(1)2213x y +=；（2）122m <<. 【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F由题设3=，解得23a =， 故所求椭圆的方程可得．（2）设 (,)p p p x y ，(,)M M M x y ，(,)N N N x y .P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 因直线与椭圆相交，故222(6)4(31)3(1)0mk k m ∆=-+⋅-> 即2231m k <+结合韦达定理得到．解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F由题设3=，解得23a =， 故所求椭圆的方程为221.3x y += （2）设 (,)p p p x y ，(,)M M M x y ，(,)N N N x y .P 为弦MN 的中点，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 因直线与椭圆相交，故222(6)4(31)3(1)0mk k m ∆=-+⋅-> 即2231m k <+（！） 故23231M N p x x mk x k +==-+231p P my kx m k =+=+ 所以21313P APP y m k k x mk+++==- 又AM AN =所以AP MN ⊥ 则23113m k mk k++-=-即2231m k =+（2）把（2）代入 （1）得2202m m m <<<解得由（2）得22103m k -=> 解得12m > 综上求得m 的取值范围是122m <<20．（1）23x －y 2＝1（2）(－1∪1) 【解析】(1)设双曲线C 的方程为22x a－22y b ＝1(a>0，b>0)．由已知得ac ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为23x －y 2＝1．(2)将y ＝kx代入23x －y 2＝1中，整理得(1－3k 2)x 2－kx －9＝0，由题意得()()()2222130{36133610k kk -≠∆=+-=->，故k 2≠13且k 2<1 ①． 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则x A ＋x B＝213k-，x A x B ＝2913k --， 由OA ·OB >2得x A x B ＋y A y B >2，x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A)(kx B)＝(k 2＋1)x A x BA ＋xB )＋2＝(k 2＋1)·2913k --k·213k-＋2＝223731k k +-， 于是223731k k +->2，即223931k k -+->0，解得13<k 2<3 ②． 由①②得13<k 2<1， 所以k 的取值范围为(－1∪1)． 21．2222153x y -=【分析】作出图形，作点2F 关于直线1y x =+的对称点E ，连接1EF 并延长交直线1y x =+于点0R ，则0R 即为所求，利用对称性得知020R F ER =，进而可得出02010011R F R F ER R F EF -=-≤，求得12a EF =，结合c 的值可求得b 的值，进而可得出双曲线的方程，并求出点E 的坐标，可求得直线1EF 的方程，将直线1EF 的方程与直线1y x =+的方程联立，可求得点0R 的坐标. 【详解】椭圆1C 的焦点为()12,0F -、()22,0F ，如下图所示，作点2F 关于直线1y x =+的对称点E ，连接1EF 并延长交直线1y x =+于点0R ，则0R 即为所求.由对称性得知020R F ER =，02010011R F R F ER R F EF ∴-=-≤， 当且仅当E 、1F 、0R 三点共线时，等号成立，设点E 的坐标为(),m n ，则212212m n n m +⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得13m n =-⎧⎨=⎩，即点()1,3E -，直线1EF 的斜率为30312k -==-+，则直线1EF 的方程为36y x =+，联立136y x y x =+⎧⎨=+⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则点053,22R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以，当双曲线的实轴长最大时，12a EF ===a =，又2c =，b ∴==2215322x y -=，即2222153x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查了点关于直线对称点的应用，考查计算能力，属于中等题.。
沪教版(上海) 高二第二学期 新高考辅导与训练 第12章 圆锥曲线 12.8(1) 抛物线的几何性质
沪教版(上海) 高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.8（1）抛物线的几何性质一、解答题(★★) 1. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程.(★★★) 2. 如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点.证明为定值，并求此定值.(★★★) 3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，求的最小值.(★★★★) 4. 已知拋物线的焦点为是抛物线上横坐标为4且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5.过点作垂直于轴，垂足为的中点为. （1）求抛物线方程；（2）过点作，垂足为，求点的坐标；（3）以点为圆心，为半径作圆，当是轴上一动点时，讨论直线与圆的位置关系.(★★★) 5. 定长为3的线段端点在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时的中点的坐标.二、单选题(★★★★) 6. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D．(★) 7. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在三、填空题(★★) 8. 已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 ______(★) 9. 已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段 AB的中点为，则的面积等于．(★★★) 10. 已知点是抛物线的弦的中点，直线的方程为____________. (★★★) 11. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点.若线段与长分别为、，则等于_____________.。
高二数学下：第12章《圆锥曲线》测试(沪教版)
中项，则椭圆的方程为 _____________________________ ．
12．若直线 mx ny 3 0 与圆 x 2 y 2 3 没有公共点，则 m, n 满足的关系式为
．
以（ m, n) 为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 x 2 y2 1的公共点有
个.
73
13．设点 P是双曲线 x 2 y 2 1 上一点，焦点 F（ 2，0），点 A（ 3，2），使 | PA|+ 1 | PF| 有最小
． 17 8
用心 爱心
专心
∵ m (1, 2 ) ，∴ 2(m 1) 2 17 ( 2 2,1) ，∴ b ( , 2
48
18．（ 12 分） [ 解析 ] ：（ I ）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x
p
2
由抛物线定义得，所求距离为
p
p 5p
()
8
28
（3） 设直线 PA的斜率为 k PA ，直线 PB的斜率为 k PB
A． y 3x
5．椭圆 x 2 y2 12 3
是|PF 2| 的
B． y
3x
C． y
3 x
3
1的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段
3
D． y
x
3
PF1 中点在 y 轴上，那么 |PF1|
（）
A．7 倍
B． 5 倍
C． 4 倍
D． 3 倍
6．以原点为圆心，且截直线 3 x 4 y 15 0 所得弦长为 8 的圆的方程是
3
2
值时，则点 P 的坐标是 ________________________________ ．
沪教版高二(下)高考题单元试卷：第12章_圆锥曲线(02)(有答案)
沪教版高二（下）高考题单元试卷：第12章圆锥曲线（02）一、选择题（共17小题）1. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(1, +∞)D.(0, 1)2. 已知F1(−1, 0)，F2(1, 0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=13. 设P是圆(x−3)2+(y+1)2＝4上的动点，Q是直线x＝−3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A.6B.4C.3D.24. 已知点M(a, b)在圆O:x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定5. 直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.4√66. 已知过点P(2, 2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A.−12B.1 C.2 D.127. 直线x+y=1与圆x2+y2−2ay=0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是()A.(0, √2−1)B.(√2−1, √2+1)C.(−√2−1, √2+1)D.(0, √2+1)8. 过点P(−√3, −1)的直线l与圆x2+y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.(0, π6] B.(0, π3] C.[0, π6] D.[0, π3]9. 过点P(√2,0)引直线l与曲线y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.√33B.−√33C.±√33D.−√310. 已知圆C 1：(x −2)2+(y −3)2=1，圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A.√17−1 B.5√2−4 C.6−2√2 D.√1711. 已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a ，b <0)的右焦点为F(3, 0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1, −1)，则E 的方程为( ) A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=112. 已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90∘，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.413. 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=＝0相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.45π B.34πC.(6−2√5)πD.54π14. 设点M(x 0, 1)，若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘，则x 0的取值范围是（ ） A.[−1, 1] B.[−12, 12]C.[−√2, √2]D.[−√22, √22]15. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1, 0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23+y 24=1B.x 24+2√3=1 C.x 24+y 22=1D.x 24+y 23=116. 圆x 2+2x +y 2+4y −3=0上到直线x +y +1=0的距离为√2的点共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →⋅PB →的最小值为( )A.−4+√2B.−3+√2C.−4+2√2D.−3+2√2二、填空题（共10小题）一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．直线y =2x +3被圆x 2+y 2−6x −8y =0所截得的弦长等于________．已知圆O:x 2+y 2＝5，直线l:x cos θ+y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则 k ＝________．过点(3, 1)作圆(x −2)2+(y −2)2=4的弦，其中最短的弦长为________．已知直线x −y +a =0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x −4y −4=0相交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．设点M(x 0, 1)，若在圆O:x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45∘，则x 0的取值范围是________．已知直线ax +y −2=0与圆心为C 的圆(x −1)2+(y −a)2=4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a =________．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =π4，若AB ＝4，BC =√2，则Γ的两个焦点之间的距离为________.已知曲线C:x =−√4−y 2，直线l:x =6，若对于点A(m, 0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AQ →=0→，则m 的取值范围为________． 三、解答题（共3小题）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为√33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，求k 的值．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l:x −2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．已知圆C 的方程为x 2+(y −4)2=4，点O 是坐标原点．直线l:y =kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m, n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2．请将n 表示为m 的函数．参考答案与试题解析沪教版高二（下）高考题单元试卷：第12章 圆锥曲线（02）一、选择题（共17小题） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k 的不等式，求得k 的范围． 【解答】解：∵ 方程x 2+ky 2=2， 即x 22+y 22k=1表示焦点在y 轴上的椭圆,∴ 2k >2. 故0<k <1. 故选D ． 2.【答案】 C【考点】椭圆的标准方程 【解析】设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，根据题意可得√a 2−b 2=1．再由AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴且|AB|＝3算出A 、B 的坐标，代入椭圆方程得12a 2+(32)2b 2=1，两式联解即可算出a 2＝4，b 2＝3，从而得到椭圆C 的方程． 【解答】解：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 可得c =√a 2−b 2=1， 所以a 2−b 2=1，①∵ AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴，且|AB|=3， ∴ 可得A(1, 32)，B(1, −32)，代入椭圆方程得12a 2+(32)2b 2=1，②联立①②，可得a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为 x 24+y 23=1.故选C . 3.【考点】直线与圆的位置关系【解析】过圆心A作AQ⊥直线x＝−3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】过圆心A作AQ⊥直线x＝−3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A(3, −1)，半径r＝2，则|PQ|＝|AQ|−r＝6−2＝（4）4.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by＝1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】∵M(a, b)在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2>1，∴圆O(0, 0)到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b2<1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．5.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2−2x−4y=0，得(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆的圆心坐标是C(1, 2)，半径r=√5．圆心C到直线x+2y−5+√5=0的距离为d=√5|√12+22=√5√5=1．所以直线直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为2√(√5)2−12=4．故选C.6.【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系斜率的计算公式【解析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax−y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P(2, 2)满足圆(x−1)2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P(2, 2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax−y+1=0平行，=2．所以直线ax−y+1=0的斜率为：a=2−02−1故选C．7.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离，则根据圆心到直线的距离大于半径列出关于a的不等式，讨论a与1的大小分别求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：把圆x2+y2−2ay=0(a>0)化为标准方程为x2+(y−a)2=a2，所以圆心(0, a)，半径r=a，>r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心(0, a)到直线x+y=1的距离d=√1+1当a−1>0，即a>1时，化简为a−1>√2a，即a(1−√2)>1，因为a>0，无解；=当a−1<0，即0<a<1时，化简为−a+1>√2a，即(√2+1)a<1，a<√2+1√2−1，所以a的范围是(0, √2−1)，故选A.8.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可√3k−1|≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．√k2+1由题意可得点P(−√3, −1)在圆x 2+y 2＝1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 y +1＝k(x +√3)，即 kx −y +√3k −1＝（0）√3k−1|√k 2+1≤1，即 3k 2−2√3k +1≤k 2+1，解得0≤k ≤√3，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0, π3]， 9.【答案】 B【考点】相交弦所在直线的方程 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 直线的斜率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由y =√1−x 2， 得x 2+y 2=1(y ≥0)．所以曲线y =√1−x 2表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点）， 设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则−1<k <0，直线l 的方程为y −0=k(x −√2)， 即kx −y −√2k =0． 则原点O 到l 的距离d =√2k|√k 2+1，l 被半圆截得的半弦长为(−√2k √k 2+1)=√1−k 2k 2+1．则S △ABO =√2k|√k 2+1√1−k 2k 2+1=√2k 2(1−k 2)(k 2+1)2=√−2(k 2+1)2+6(k 2+1)−4(k 2+1)2=√−4(k 2+1)2+6k 2+1−2． 令1k 2+1=t ，则S △ABO =√−4t 2+6t −2，当t =34，即1k 2+1=34时，S △ABO 有最大值为12． 此时由1k 2+1=34，解得k =−√33． 故选B . 10.B【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值． 【解答】 解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A(2, −3)，半径为1， 圆C 2的圆心坐标(3, 4)，半径为3，由图象可知当P ，C 2，C 3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：|AC 2|−3−1=√(3−2)2+(−3−4)2−4 =√50−4=5√2−4． 故选B . 11. 【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1 ，利用“点差法”可得x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．利用中点坐标公式可得x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝−2，利用斜率计算公式可得k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12．于是得到2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2＝2b 2，再利用c ＝3=√a 2−b 2，即可解得a 2，b 2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵ x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝−2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12．∴ 2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2＝2b 2，又c ＝3=√a 2−b 2，解得a 2＝18，b 2＝9. ∴ 椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．故选D .12.【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系 【解析】根据圆心C 到O(0, 0)的距离为5，可得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由∠APB =90∘，可得PO =12AB =m ，可得m ≤6，从而得到答案． 【解答】解：圆C ：(x −3)2+(y −4)2=1的圆心C(3, 4)，半径为1， ∵ 圆心C 到O(0, 0)的距离为5，∴ 圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由∠APB =90∘可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO =12AB =m ，故有m ≤6. 故选B ． 13.【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析【解答】∵ ∠AOB =90∘，∴ 点O 在圆C 上．设直线2x +y −4=0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y −4=0的距离，∴ 点C 在以O 为焦点，以直线2x +y −4=0为准线的抛物线上，∴ 当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|． 又|OD|=√5=√5∴ 圆C 的最小半径为√5，∴ 圆C 面积的最小值为π(√5)2=45π.14.【答案】 A【考点】点与圆的位置关系 【解析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点M(x 0, 1)，要使圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘， 则∠OMN 的最大值大于或等于45∘时一定存在点N ，使得∠OMN =45∘，而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，M 点越靠近y 轴，与圆相切时∠OMN 就越接近直角，要使圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘，则临界点是，当MN 与圆相切时∠OMN 取得∠OMN =45∘，此时△ONM 为等腰直角三角形，此时ON =MN =1，故只有图中M′到M ″之间的区域满足题意， ∴ x 0的取值范围是[−1, 1]． 故选A ． 15.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】由已知可知椭圆的焦点在x 轴上，由焦点坐标得到c ，再由离心率求出a ，由b 2＝a 2−c 2求出b 2，则椭圆的方程可求． 【解答】解：由题意设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)．因为椭圆C 的右焦点为F(1, 0)， 所以c =1， 又离心率等于12， 即ca=12，所以a =2，则b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选D . 16.【答案】 C【考点】直线与圆的位置关系 直线与圆相交的性质 【解析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果． 【解答】解：圆x 2+2x +y 2+4y −3=0的圆心(−1, −2)，半径是 2√2， 圆心到直线x +y +1=0的距离是√2=√2，故圆上的点到直线x +y +1=0的距离为√2的共有3个． 故选C . 17.【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式平面向量数量积的运算 【解析】要求PA →⋅PB →的最小值，我们可以根据已知中，圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA →⋅PB →表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【解答】解：如图所示：设OP =x(x >0)，则PA =PB =√x 2−1，∠APO =α，则∠APB =2α， sin α=1x ，PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos 2α=√x 2−1×√x 2−1(1−2sin 2α) =(x 2−1)(1−2x 2) =x 2+2x 2−3≥2√2−3，∴ 当且仅当x 2=√2时取“=”， 故PA →⋅PB →的最小值为2√2−3． 故选D ．二、填空题（共10小题） 【答案】(x −32)2+y 2=254【考点】 圆的标准方程 【解析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【解答】解：一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标(4, 0)，上下顶点坐标(0, ±2)，设圆的圆心(a, 0)，则√(a −0)2+(0−2)2=4−a ，解得a =32，圆的半径为：52，所求圆的方程为：(x −32)2+y 2=254．故答案为：(x −32)2+y 2=254.【答案】4√5【考点】直线与圆的位置关系【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2−6x−8y=0的圆心坐标(3, 4)，半径为5，=√5，圆心到直线的距离为：√22+1因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2−6x−8y=0所截得的弦长为：2×√52−(√5)2= 4√5．故答案为：4√5．【答案】4【考点】直线与圆的位置关系【解析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r−d的值，即可作出判断．【解答】由圆的方程得到圆心O(0, 0)，半径r=√5，∵圆心O到直线l的距离d==1<√5，且r−d=√5−1>1＝d，√cos2θ+sin2θ∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k＝（4）【答案】2√2【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3, 1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心(2, 2)，半径r=2，∵√(3−2)2+(1−2)2=√2<2，∴点(3, 1)在圆内.∵圆心到此点的距离d=√2，r=2，∴最短的弦长为2√r2−d2=2√2．故答案为：2√2.【答案】0或6【考点】直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式两条直线垂直的判定【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9，圆心C(−1, 2)，半径r=3，∵ AC ⊥BC ，∴ 圆心C 到直线AB 的距离d =√22×3=3√22， 即d =√2=√2=3√22， 即|a −3|=3，解得a =0或a =6， 故答案为：0或6． 【答案】 x 2+32y 2=1【考点】椭圆的标准方程 【解析】求出B(−53c, −13b 2)，代入椭圆方程，结合1=b 2+c 2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：不妨设点A 在第一象限，由题意，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，AF 2⊥x 轴，∴ |AF 2|=b 2， ∴ A 点坐标为(c, b 2)， 设B(x, y)，则∵ |AF 1|=3|F 1B|， ∴ AF 1→=3F 1B →，∴ (−c −c, −b 2)=3(x +c, y), ∴ B(−53c, −13b 2)，代入椭圆方程可得(−53c)2+(−13b 2)2b 2=1，∵ 1=b 2+c 2， ∴ b 2=23，c 2=13，∴ x 2+32y 2=1．故答案为：x 2+32y 2=1．【答案】 [−1, 1] 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】由题意画出图形如图：点M(x 0, 1)，要使圆O:x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45∘，则∠OMN 的最大值大于或等于45∘时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45∘， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[−1, 1]．【答案】4±√15【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C(1, a)，半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=√22−1=√3，即d=√a2+1=√a2+1=√3，平方得a2−8a+1=0，解得a=4±√15.故答案为：4±√15.【答案】4√63【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为x 2a2+y2b2=1，由题意知，2a ＝4，a ＝2． ∵ ∠CBA =π4，BC =√2， ∴ 点C 的坐标为C(−1, 1)， 因点C 在椭圆上， ∴(−1)24+12b 2=1，∴ b 2=43，∴ c 2＝a 2−b 2＝4−43=83，c =2√63，则Γ的两个焦点之间的距离为 4√63． 故答案为：4√63． 【答案】 [2, 3] 【考点】向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：曲线C:x =−√4−y 2，是以原点为圆心，2 为半径的半圆，并且x P ∈[−2, 0]， 对于点A(m, 0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AQ →=0→， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x =6， ∴ m =6+x P 2∈[2, 3]．故答案为：[2,3].三、解答题（共3小题） 【答案】（1）根据椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． ∵ 过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为4√33， ∴ 当x ＝−c 时，a 2−b 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a=4√33，∵ 离心率为√33，∴ ca=√33， 解得b =√2，c ＝1，a =√3． ∴ 椭圆的方程为x 23+y 22=1；（2）直线CD:y ＝k(x +1)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1 消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，△＝36k 4−4(2+3k 2)(3k 2−6)>0，∴ x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A(−√3, 0)，B(√3, 0)， ∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →＝(x 1+√3, y 1)⋅(√3−x 2．−y 2)+(x 2+√3, y 2)⋅(√3−x 1．−y 1)， ＝6−(2+2k 2)x 1x 2−2k 2(x 1+x 2)−2k 2， ＝6+2k 2+122+3k 2=8，解得k =±√2，满足△>0，则k ＝±√2． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)先根据椭圆方程的一般形式，令x ＝c 代入求出弦长使其等于4√33，再由离心率为√33，可求出a ，b ，c 的关系，进而得到椭圆的方程．(Ⅱ)直线CD:y ＝k(x +1)，设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1 消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，再由韦达定理进行求解．求得AC →⋅DB →+AD →⋅CB →，利用AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，即可求得k 的值． 【解答】（1）根据椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． ∵ 过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为4√33， ∴ 当x ＝−c 时，a 2−b 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a=4√33，∵ 离心率为√33，∴ ca =√33，解得b =√2，c ＝1，a =√3． ∴ 椭圆的方程为x 23+y 22=1；（2）直线CD:y ＝k(x +1)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1 消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，△＝36k 4−4(2+3k 2)(3k 2−6)>0，∴ x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A(−√3, 0)，B(√3, 0)， ∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →＝(x 1+√3, y 1)⋅(√3−x 2．−y 2)+(x 2+√3, y 2)⋅(√3−x 1．−y 1)， ＝6−(2+2k 2)x 1x 2−2k 2(x 1+x 2)−2k 2， ＝6+2k 2+122+3k 2=8，解得k =±√2，满足△>0，则k ＝±√2． 【答案】设圆P 的圆心为P(a, b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r ．故r 2＝2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2＝a 2+(1)从而得2b 2−a 2＝1； 又因为P(a, b)到直线x −2y ＝0的距离为√55，所以d =√5=√55，即有a −2b ＝±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1 或{2b 2−a 2=1a −2b =−1解方程组得{a =−1b =−1 或{a =1b =1，于是r 2＝2b 2＝2，所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2＝2，或(x −1)2+(y −1)2＝（2）【考点】直线与圆的位置关系 【解析】设出圆P 的圆心坐标，由圆被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，得到圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，根据垂径定理得到圆截x 轴的弦长，找出r 与b 的关系式，又根据圆与y 轴的弦长为2，利用垂径定理得到r 与a 的关系式，两个关系式联立得到a 与b 的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P 到直线x −2y ＝0的距离，让其等于√55，得到a 与b 的关系式，将两个a 与b 的关系式联立即可求出a 与b 的值，得到圆心P 的坐标，然后利用a 与b 的值求出圆的半径r ，根据圆心和半径写出圆的方程即可． 【解答】设圆P 的圆心为P(a, b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r ．故r 2＝2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2＝a 2+(1)从而得2b 2−a 2＝1；又因为P(a, b)到直线x −2y ＝0的距离为√55，所以d =√5=√55，即有a −2b ＝±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1 或{2b 2−a 2=1a −2b =−1解方程组得{a =−1b =−1 或{a =1b =1，于是r 2＝2b 2＝2，所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2＝2，或(x −1)2+(y −1)2＝（2）【答案】解：(1)将y =kx 代入x 2+(y −4)2=4中， 得：(1+k 2)x 2−8kx +12=0，根据题意得：Δ=(−8k)2−4(1+k 2)×12>0， 即k 2>3，则k 的取值范围为(−∞, −√3)∪(√3, +∞)； (2)由M ，N ，Q 在直线l 上，可设M ，N 坐标分别为(x 1, kx 1)，(x 2, kx 2)，∴ |OM|2=(1+k 2)x 12，|ON|2=(1+k 2)x 22， |OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2， 代入2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得：2(1+k 2)m 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22， 即2m 2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x 22，由(1+k 2)x 2−8kx +12=0得到： x 1+x 2=8k 1+k 2，x 1x 2=121+k 2，代入得：2m 2=(8k 1+k 2)2−241+k 2144(1+k 2)2，即m 2=365k 2−3，∵ 点Q 在直线y =kx 上， ∴ n =km ，即k =nm ，代入m 2=365k 2−3， 化简得5n 2−3m 2=36， 由m 2=365k 2−3及k 2>3，得到0<m 2<3，即m ∈(−√3, 0)∪(0, √3)，根据题意得点Q 在圆内，即n >0， ∴ n =√3m 2+365=√15m 2+1805，则n 与m 的函数关系式为： n =√15m 2+1805（m ∈(−√3, 0)∪(0, √3)）．【考点】函数与方程的综合运用圆的综合应用直线与圆的位置关系【解析】（1）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（2）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y= kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．【解答】解：(1)将y=kx代入x2+(y−4)2=4中，得：(1+k2)x2−8kx+12=0，根据题意得：Δ=(−8k)2−4(1+k2)×12>0，即k2>3，则k的取值范围为(−∞, −√3)∪(√3, +∞)；(2)由M，N，Q在直线l上，可设M，N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，∴|OM|2=(1+k2)x12，|ON|2=(1+k2)x22，|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2，代入2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得：2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22，即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2x12x22，由(1+k2)x2−8kx+12=0得到：x1+x2=8k1+k2，x1x2=121+k2，代入得：2m2=(8k1+k2)2−241+k2144(1+k2)2，即m2=365k2−3，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=nm，代入m2=365k2−3，化简得5n2−3m2=36，由m2=365k2−3及k2>3，得到0<m2<3，即m∈(−√3, 0)∪(0, √3)，根据题意得点Q在圆内，即n>0，∴n=√3m2+365=√15m2+1805，则n与m的函数关系式为：n=√15m2+1805（m∈(−√3, 0)∪(0, √3)）．。
沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.2(1)圆的标准方程
沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.2（1）圆的标准方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切，圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使PA 、PO 、PB 成等比数列. （1）求圆O 的方程； （2）求PA PB ⋅的范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(1)4++-=C x y .若直线l 过点(4,0)A ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程. 3．在△ABC 中，已知2BC =，且AB m AC=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹实什么图形．4．求过点(5,3)A 与圆22:(1)16C x y -+=相切的直线方程.5．圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线()():211740()l m x m y m m R +++--=∈. （1）证明：不论m 取什么数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值.二、单选题6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭7．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,P Q 两点，且120POQ ︒∠=（其中O 为原点），则k 的值为（ ）.A ．BC ．或2D8．过圆()()22111C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,S S S S ⅥⅡⅢI +=+则直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条三、填空题9．若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.10．圆22(1)2x y -+=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是_________.11．若圆的方程是221x y +=，则在y 的切线方程为_________.参考答案1．（1）224x y +=；（2）[)2,0-.【分析】（1）计算原点到直线4x =的距离即为圆O 的半径，于此可得出圆O 的标准方程； （2）先求出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，由PA 、PO 、PB 成等比数列，结合两点间的距离公式得出222x y -=，由点P 在圆O 内得出224x y +<，联立222242x y x y ⎧+<⎨-=⎩，得出201y ≤<，再利用平面向量数量积的坐标运算结合等式222x y -=可求出PA PB ⋅的范围. 【详解】（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线40x -=的距离，即2r ==得圆O 的方程为224x y +=；（2）不妨设()1,0A x 、()2,0B x ，12x x <，由20y =即得()2,0A -、()2,0B ，设(),P x y ，由PA 、PO 、PB 成等比数列，()222x y x y ++=+，化简得222x y -=，()()()2222,2,421PA PB x y x y x y y ∴⋅=---⋅--=+-=-，点P 在圆O 内，则222242x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得：21y <，又20y ≥，201y ∴≤<. 所以()[)2212,0PA PB y ⋅=-∈-，因此，PA PB ⋅的取值范围为[)2,0-.【点睛】本题考查圆的方程的求解以及平面向量数量积的取值范围，对于解析几何中的动点问题，通常设动点坐标为(),x y ，根据题中条件得出动点坐标所满足的等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．0y =或724280x y +-=【分析】先设直线l 的方程为(4)y k x =-，根据垂径定理，求出圆心C 到直线l 的距离，再由点到直线距离公式，列出方程求解，得出k ，即可得出结果. 【详解】设直线l 的方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=.因为圆22:(3)(1)4++-=C x y 的圆心为：()3,1-，半径为2r，又直线l 被圆C 截得的弦长为由垂径定理，得圆心C 到直线l 的距离1d ==.1=.化简，得22470+=k k .解方程，得1270,24==-k k . 所以求直线l 的方程为0y =或7(4)24y x =--， 即0y =或724280x y +-=. 【点睛】本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型. 3．见解析 【分析】设两定点中点为原点，BC 所在直线为x 轴，建立如下图直角坐标系，设点A 的坐标为(),x y ，把AB m AC=坐标化，可得()()()()222222112110m x m y m m -+--++-=，再分21m =和21m ≠讨论图形特征． 【详解】如图，以直线BC 为x 轴.线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系． 则有()1,0B -，()1,0C ，设点A 的坐标为(),x y由AB m AC==整理成()()()()222222112110m x m y m m -+--++-= ① 当21m =时，1m =，方程是0x =，轨迹是y 轴．当21m ≠时，对①式配方，得()22222221411m m x y m m ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-所以，点A 的轨迹是以221,01m m ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，221m m -为半径的圆（除去圆与BC 的交点）【点睛】本题为典型的求轨迹的问题，第一步是建立合适的坐标系，如本题尽量利用对称性．第二步，建立几何关系，第三步几何关系代数化，第四步，检验，本题含有参数所以还需要分析参数不同时图形不同．4．7241070x y +-=或5x = 【分析】讨论切线的斜率存在和不存在两种情况，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线的方程. 【详解】已知C 的圆心为(1,0)C ，圆C 的半径为4.设所求的切线方程为3(5)y k x -=-，则点(1,0)C 到直线3(5)y k x -=-的距离等于44=，整理得22162491616k k k -+=+解方程，得724k =-. 又当切线的斜率不存在时，过点(5,3)A 的直线方程为5x =，点(1,0)C 到直线5x =的距离等于4，则切线的方程为5x =所以，所求圆C 的切线方程为7241070x y +-=或5x =. 【点睛】本题主要考查了过圆外一点求圆的切线方程，属于中档题.5．（1）见解析；（2）【分析】（1）先由直线l 的方程得到定点坐标(3,1)M ，再判断出(3,1)M 在圆内，即可得出结论； （2）由（1）可得，过点(3,1)M 的所有弦中，弦心距5d ，因此当d 取最大值时，弦长最短，求出弦长，再由l CM ⊥，即可求出结果. 【详解】（1）因为直线l 的方程可化为2740)x y m x y m R +-++-=∈（）（）(， 所以l 过直线270x y +-=与40x y +-=的交点(3,1)M .又因为点(3,1)M 到圆心(1,2)C 的距离05d =<， 所以点(3,1)M 在圆内，所以过点(3,1)M 的直线l 与圆C 恒交于两点． （2）由（1）可知：过点(3,1)M 的所有弦中，弦心距5d ，因为弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，所以当25d =时，半弦长的平方的最小值为25520-=，所以弦长的最小值为此时，121,21l CM m k k m +=-=-+.因为l CM ⊥，所以121-121m m +⋅=+，解得34m =-，所以当34m =-时，得到最短弦长为【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦长的最值求参数的问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型. 6．A 【解析】试题分析：设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0）， 由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4315a b r -==，化简得：|4a-3b|=5①， 又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去）， 把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12（舍去），∴圆心坐标为（2，1）， 则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1． 故选A考点：圆的方程的求解点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程． 7．A 【分析】依据120POQ ∠=︒可得原点到直线的距离为12，再利用距离公式构建关于k 的方程，从而求出k 的值. 【详解】取PQ 的中点为E ，连接OE ，则OE PQ ⊥. 因为120POQ ∠=︒，故60POE ∠=︒，所以12OE =， 又直线l 的方程为：10kx y -+=，12=，故k =故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆心角的值计算出圆心到直线的距离，再根据距离公式求解参数的值. 8．B 【解析】定性分析法：由已知条件得,S S S S I -=-ⅥⅡⅢ第Ⅱ、Ⅳ部分的面积是定值，所以S S -ⅥⅡ为定值，即S S I -Ⅲ为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B.定量分析法：过C 做x 轴和y 轴的垂线，分别交于E 和F 点交设(0)2BAO πθθ∠=<<,则,FCB θ∠=1tan ,tan BF AE θθ==，11()2tan 22S πθθI =--，14S π=-Ⅱ,11tan 22S θθ=-Ⅲ，2S π=Ⅵ， 代入S S S S I +=+ⅥⅡⅢ得，1111()1tan 2tan 222422πππθθθθ--+=-+-化简为2tan 212θπθ=-+-，设，()212g θπθ=-+-，画出两个函数图象，观察可知；两个函数图象在02πθ<<时只有一个交点，故直线AB 只有一条.9．4或2 【分析】利用圆心到直线的距离构建关于a 的方程，解方程后可得a 的值. 【详解】圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心为()1,4，它到直线0x y a -+=2=， 故2a =或4a =. 故答案为：4或2. 【点睛】本题考查点到直线的距离，利用公式计算距离时注意把直线方程整理为一般方程. 10．22(3)(2)2x y ++-= 【分析】求出()1,0关于直线230x y -+=对称的点的坐标后可得所求的圆的方程. 【详解】圆22(1)2x y -+=的圆心坐标为()1,0. 设()1,0关于直线230x y -+=对称的点的坐标为(),m n ，则112123022n m m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪⨯-+=⎪⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为：22(3)(2)2x y ++-=. 故答案为：22(3)(2)2x y ++-=. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，一般地，可设出所求对称点的坐标，利用垂直和中点来构建方程组可解得所求点的坐标. 11．y x =+y x =- 【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题题，再将直线方程用斜截式表示，再利用切线的性质，圆心到切线的距离等于半径求出切线方程. 【详解】解：（1）直线斜率不存在时，方程为0x =，不与圆221x y +=相切，不合题意；（2）直线斜率存在时，设为k，直线方程为y kx =+0kx y -+=，由直线与圆221x y +=1=，得1k =±，切线方程为：y x =或y x =-+故答案为：y x =+y x =-+ 【点睛】本题考查了圆的切线问题，注意考查直线斜率不存在时，直线与圆是否相切，再利用切线的性质即圆心到直线的距离等于半径列式求解.。
沪教版(上海)高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.2(2)圆的一般方程
沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.2（2）圆的一般方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．求过(0,0),(2,0),(0,4)A B C 三点的圆的方程.2．已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP OQ ⊥，求实数m 的值．3．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；4．已知圆222428360+---=x y x y ，点P 的坐标为（4，2），,A B 为圆上两个动点，且90APB ︒∠=.（1）判断点P 与圆的位置关系；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程.二、单选题5．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m <<B ．114m m 或C ．14m <D ．1m6．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为A ．B ．C ．D ．三、填空题7．直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．8．若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为__________.9．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，则直线l 的斜率为________10．已知2220,,0,,4,0⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B C n n n ，其中n 为正整数，设n S 表示ABC 外接圆的面积，则lim n n S →∞=______.参考答案1．22(1)(2)5x y -+-=【分析】设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点的坐标，列方程组，求得,,D E F 的值，即可求解.【详解】设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题意，得04201640F D F E F =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得420E D F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆方程为22240x y x y +--=，即圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中设出圆的方程，列出方程组，求得,,D E F 是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.2．3【分析】根据向量垂直得方程，再联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入求结果.【详解】解：设()()11221212,,,,,0P x y Q x y OP OQ x x y y ⊥∴+=，①把x=3-2y 代入圆方程，经整理后可得：5y 2-20y +12+m=0 121212412427•,x x 55y y m m y y +=⎧⎪∴+-⎨==⎪⎩,代入①后可得：m=3 【点睛】本题考查直线与圆位置关系以及向量垂直坐标表示，考查基本分析求解能力，属中档题.3．（Ⅰ）b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）222(1)0x y x b y b ++-++=.【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．(II)设所求圆的一般方程为：2x 20y Dx Ey F ++++=，令y=0，得20x Dx F ++=, 根据它与22x x b ++＝0 是同解方程，可得D ，F 的值，再根据x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．从而可求出圆C 的方程.（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=， 由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0 得20x Dx F ++=．这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．所以圆C 的方程为 222(1)0x y x b y b ++-++=.4．（1）点P 在圆内（2）22161680x y x y +---=【分析】（1）将圆的方程写为标准形式，根据22(412)(214)376-+-<可得点在圆内；（2）点M 坐标为(,)x y ，根据直角三角形的性质可得BM PM =，结合222||||||CM MB CB +=即可得结果.【详解】（1）圆方程可化为22(12)(14)376x y -+-=，因为22(412)(214)376-+-<，所以点P 在圆内（2）圆心为2(12,14),376C r =，设点M 坐标为(,)x y ，则||||BM PM ==∵222||||||CM MB CB +=，∴2222(12)(14)(4)(2)376x y x y -+-+-+-=化简得22161680x y x y +---=.【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，圆的轨迹方程的求法，属于中档题.5．B【解析】【分析】由圆的方程化化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，得出24510m m -+>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆224250x y mx y m ++-+=，可化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+， 则24510m m -+>，即(41)(1)0m m -->，解得14m <或1m ，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，得到24510m m -+>是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6．B【解析】试题分析：将圆的方程22680x y x y +--=化为标准方程得()()222345x y -+-=，过点(35)，的最长弦为直径，所以2510AC =⨯=；最短的弦为过点(35)，且垂直于该直径的弦，所以BD ==AC BD ⊥，四边形ABCD 面积111022S AC BD =⋅=⨯⨯=，故选B ． 考点：1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．7．10x y -+=.【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．8．1【分析】根据圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程，即可求解.【详解】由题意，圆22240x y x y ++-=，可得22(1)(2)5x y ++-=，所以圆心坐标为(1,2)-，把圆心(1,2)-代入直线30x y a ++=，可得3(1)20a ⨯-++=，解得1a =.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了的圆的标准方程及其应用，其中解答中根据圆的方程求得圆心坐标是解答的关键，着重考查计算能力.9．1或177【分析】求出圆心坐标和半径r ，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l 的距离d ，设出直线l 的斜率，由直线l 过（﹣1，﹣2），表示出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，解出k 的值，即为直线l 的斜率．【详解】将圆的方程化为标准方程得：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1，∴圆心坐标为（1，1），半径r ＝1，，∴圆心到直线l 的距离2d ==， 设直线l 的斜率为k ，又直线l 过（﹣1，﹣2），∴直线l 的方程为y+2＝k （x+1），即kx ﹣y+k ﹣2＝0，2=，即（k ﹣1）（7k ﹣17）＝0，解得：k ＝1或k ＝177，则直线l 的斜率为1或177． 故答案为1或177【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题，属于基础题．10．4π【分析】由三角形的对称性，先找出其外接圆的圆心在x 轴上，在求出半径，进而求出面积及其极限，即可求解.【详解】由题意知，三角形外接圆的圆心在x 轴上，可设圆心坐标为(,0)O a ，则OA OC =，即22OA OC =，所以22222()[(4)]a a n n +-=-+， 解得4421n a n +=+，所以44(,0)21n O n ++， 所以圆O 的半径为2244442421(21)n n n OA n n n n +++=+-=++， 所以外接圆O 的面积为22222424442()[]122n n n n n S n nn ππ++++=⋅=⋅++， 所以lim n n S →∞=22424lim 412n n n n ππ→∞⎡⎤++⎢⎥⋅=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦.故答案为：4π.【点睛】本题考查三角形的外接圆的面积，以及极限的运算，其中解答中注意到根据三角形的对称性找出外接圆的圆心，求得圆的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.。
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圆锥曲线 综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x82= B ．y x82-= C ．y x162= D ．y x162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为 （ ）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy 最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ）A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14． AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标．（12分） 16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（1）求双曲线C 的方程； （2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A（x y 11,），B （22,y x ）．（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）9．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222by a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222by a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等． （1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321(14． 25 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴ 221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线； （2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y a a a ax ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x . （2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22mm m --， ∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当yp =2时，x p=8又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（3） 设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以k y y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB=+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及a x ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a . 20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-b y a a x ， 又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PBPD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。