3.2均值不等式
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
高中数学 3.2 第1课时 均值不等式课件 新人教B版必修5
当
课标 式及比较代数式的大小．(重点、难
堂 双
设 计
解读 点)
基 达
课
3.能利用均值不等式求简单函数的最
标
前
值．(重点)
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
教
学 教
均值定理
易 错
法
易
分
误
析
【问题导思】
辨 析
教
学 方
如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会 当 堂
当 堂
案
双
设 计
2．算术平均值与几何平均值
基 达
标
课 前 自
对于任意两个正实数 a，b，数a＋2 b叫做 a，b 的算术平 课
主
时
导 学
均值，数 ab叫做 a，b 的几何平均值．
作 业
课 堂 互 动 探 究
3．均值定理可以表述为：
教
师
两个正实数的 算术 平均值大于或等于它的几何 平均值.
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
RB ·数学 必修5
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
RB ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
1.了解均值不等式的证明过程．
学 方 案
3.2均值不等式
3.2均值不等式3.2均值不等式（2）一、基础梳理：1.已知x,y 均为正数，x+y=S ，xy=P ，则（1）如果P 是 ，那么当且仅当时 ，S 取得最小值 ；（2）如果S 是定值，那么当且仅当x=y 时，P 取得最大值 .2.利用求最值，必须同时满足三个条件：（1）各项均为 ；（2）其和或积为 ；（3） 必须成立.二、精讲精练：（一）题型一：利用均值不等式求函数的最值例1、求函数()223()0x x f x x x-+-=>的最大值，以及此时x 的值。
对应练习1：求函数()24()02x f x x x =>+的最大值，以及相应x 的值。
（二）题型二：均值不等式的灵活变形例2、已知0,0x y >>，且191x y +=，求x+y 的最小值对应练习2：（1）已知bR b a 1a 11,b a ,,+=+∈+求且的最小值。
2. （2010山东）已知,x y R +∈且满足143x =+y ，则x y ⋅的最大值是 .（三）题型三：均值不等式的应用例3.（1）一个矩形的面积为2100m ，问这个矩形的长宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）一个矩形的周长为36m ，问这个矩形的长宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？对应练习3.一段长为l m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形的菜地，矩形的长宽各为多少时，菜地的面积最大？求出这个最大值？3.2均值不等式三、课后练习1. 若实数,a b 满足2a b +=，33a b +的最小值是（ ）A 18B 6C D2.如果lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是（ ） A 15 B 12 C 2 D 1203、下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A 、4y xx =+ B 、2y = C 、4x x y e e -=+ D 、4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4. （2006 陕西）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a的最小值为（ ）A 、8B 、 6C 、4D 、 25、（2007 上海）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值是 .6、（2007 山东）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ， 若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 。
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
3.2均值不等式
1 牛刀小试：已知 x 0, 则x x
若a , b R , 则a 2真 ab ,当且仅当 a b时“ ”成立 . 全 心 全 意 b 育 人
b a 例1 已知 ab 0, 求证： 2并推出式中等号成立的 条件。 a b
b a 证明：因为 ab 0, 所以 0, 0. a b 根据均值不等式，得
b a b a 2 2 a b a b 即 b a 2. a b
b a 当且仅当 .即a 2 b 2时式中等号成立。 a b 因为 ab 0, a、b同号， 所以 式中等号成立的条件是 a b.
若a , b R , 则a 2真 ab ,当且仅当 a b时“ ”成立 . 全 心 全 意 b 育 人
x2 2x 3 例2求函数f ( x) ( x 0)的最值，以及此时 x的值。 x 3 3 解： f ( x) x 2 (x ) 2
x x 3 3 因为x 0, 所以x 2 x 2 3, x x
因此f ( x) 2
3 2
由于x 0,因而x 3时，式中等号成立。 此时f ( x)有最大值2 3 - 2, 此时x 3.
全
心
全
意
育
真
人
ab 若a, b R , 则 ab, 当且仅当 a b时“ ”成立 . 2
ab 对于两个正实数 a、b.数 叫做a、b的算数平均值， 2 数 ab叫做a、b的几何平均值。
均值定理可以表述为： 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何 平均值。
全
心
全
意
育
真
人
ab 若a, b R , 则 ab, 当且仅当 a b时“ ”成立 . 2
学案4：§3.2 均值不等式
§3.2 均值不等式自主学习 知识梳理1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2______2ab (当且仅当________时取“＝”号)．2．若a ，b 都为________数，那么a ＋b2________ab (当且仅当a ________b 时，等号成立)，称上述不等式为________不等式，其中________称为a ，b 的算术平均值，________称为a ，b 的几何平均值． 3．均值不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22 (a ，b ∈R )； (2)当x >0时，x ＋1x ≥________；当x <0时，x ＋1x ≤________.(3)当ab >0时，b a ＋ab ≥________；当ab <0时，b a ＋ab≤________.(4)a 2＋b 2＋c 2________ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )． 自主探究1.下面是均值不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释，请你补充完整．如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ，连结AD ，BD .由射影定理可知，CD ＝__________，而OD ＝__________，因为OD ________CD ，所以a ＋b 2________ab ，当且仅当C 与O ________，即________时，等号成立．2．当a >0，b >0时，21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22这是一条重要的均值不等式链，请你给出证明．例题解析例1．已知ab >0，求证：2b aa b+≥，并推导出式中等号成立的条件.例2．（1）一个矩形的面积为100m 2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？例3．求函数223()(0)x x f x x x-+-=>的最大值，及此时x 的值. 课堂练习 一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b 中最小的是( ) A.a ＋b 2B.abC.a 2＋b 22D.2ab a ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <14．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0B ．－2C ．－52D ．－35．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________． 8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 三、解答题 9．已知a 、b 、c都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥a ＋b ＋c23.10．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2.参考答案自主学习 知识梳理 1．≥ a ＝b2．正 ≥ ＝ 均值a ＋b2ab3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥ 自主探究 1.aba ＋b2≥ ≥ 重合 a ＝b 2.证明 由于ab ≤a ＋b 2成立，只须证明ab ≥21a ＋1b 和a 2＋b 22≥a ＋b2成立即可． ∵ab －21a ＋1b ＝ab －2ab a ＋b ＝(a ＋b )ab －2aba ＋b＝ab (a ＋b －2ab )a ＋b ＝ab (a －b )2a ＋b ≥0∴ab ≥21a ＋1b ，即21a ＋1b≤ab .∵⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋b 22－(a ＋b )24 ＝2(a 2＋b 2)－(a ＋b )24＝a 2＋b 2－2ab 4＝(a ＋b )24≥0.∴a 2＋b 22≥a ＋b 2，即a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 所以21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22. 给出证明． 例题解析例1．证明：因为ab >0，所以0,0b aa b>>， 根据均值不等式得22b a b aa b a b +⋅=≥，即2b a a b+≥ 当且仅当b aa b=时，即a 2=b 2时式中等号成立， 因为ab >0，即a ，b 同号，所以式中等号成立的条件是a =b .例2．【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值. 解：（1）设矩形的长、宽分别为x (m)，y (m)，依题意有xy =100(m 2)，因为x >0，y >0，所以2x yxy +≥因此，即2(x +y )≥40.当且仅当x =y 时，式中等号成立， 此时x =y =10.因此，当这个矩形的长与宽都是10m 时，它的周长最短，最短周长是40m. （2）设矩形的长、宽分别为x (m)，y (m)， 依题意有2(x +y )=36，即x +y =18， 因为x >0，y >0，所以2x yxy +≤因此xy ≤9将这个正值不等式的两边平方，得xy ≤81, 当且仅当x =y 时，式中等号成立， 此时x =y =9，因此，当这个矩形的长与宽都是9m 时，它的面积最大，最大值是81m 2. 例3．解：3()1(2)f x x x=-+，因为x >0， 所以3322226x x x x+⋅=≥ 得3(226x x-+)≤- 因此f (x )≤ 126- 当且仅当 32x x =，即 232x =时，式中等号成立. 由于x >0，所以 62x =，式中等号成立， 因此 max ()126f x =-，此时62x = . 课堂练习 1．【答案】D【解析】2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.可知2aba ＋b最小． 2．【答案】A【解析】∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2×1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .3．【答案】B【解析】∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2＝1，∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22. 4．【答案】B【解析】x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立 ⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 5．【答案】A【解析】∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．c ＋d ≥2cd ，∴c ＋d ≥2cd ＝4，当且仅当c ＝d ＝2时取等号． 故c ＋d ≥ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时取等号． 6．【答案】2【解析】∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2.7．【答案】大 －1【解析】∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8.【答案】2 【解析】由已知a ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y max ，∵x ＋y2≤ x ＋y2成立， ∴x ＋y ≤2·x ＋y ∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y max ＝2，∴a ≥ 2.9．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ①b 2＋c 2≥2bc ②c 2＋a 2≥2ac ③a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2④ 由①＋②＋③＋④得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23. 10．证明 ∵xy ＝1∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．。
新人教B版必修5高中数学第三章不等式3.2《均值不等式4》
A
108 6(x 72) 108 72 2 x
x 6 2, ADP 的最大面积为108 72 2
四、课堂练习：
某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定， 它的后墙利用旧墙，不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧 墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试计算：
均值不等式的推广：
1、
a
b 3
c
3
abc(a,b, c
R )
2、 1
2
1
ab a b 2
a2 b2 (a,b R ) 2
ab
三、典例分析：
例1、已知a, b, c是不全相等的实数，求证：
a2 b2 c2 ab bc ca
证明：
a2 b2 2ab
bd ac
bd ac
当且仅当 a b c d 取 “=”
例3、（1）一个矩形的面积为100m2.问这个 矩形的长、宽各为多少时，矩形周长最短？ 最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m,问这个矩形 的长、宽各为多少时，它的面积最大？ 最大面积是多少？
练：设矩形ABCD（AB>BC）的周长为24，把它沿对角线AC
1.仓库面积S的最大允许值是多少？
2、为使S达到最大，而实际投资不超过预算，那么正面
铁栅应设计为多少？
（1） 设铁栅栏为
xm
，一堵砖墙长为 ym ，则有 S xy
由题意得 40x 2 45y 20xy 3200
3200 2 40x90y 20xy 120 xy 20xy
两边加上a2 b2 c2 a2 b2 c2 1
3.2均值不等式
1 3 2.求函数y (3 - 2 x )(2 x 1)(- x )的最 2 2 大值及相应的x的值
说明：均值定理求积的最大值的题目时常可以转化为 二次函数求最值，求和的最小值的题目时常可以转化 为对勾函数求最值
b 利用均值定理研究对勾函数y ax+ (a 0, b 0)的性质 x
3.分离法 x 2 7 x 10 例.求y ( x 1)的值域 x 1
4.换元法
5.整体代换法 例已知 . a 0, b 0, a 2b 1, 1 1 求y 的最小值 a b
练习
(1)已知x 0, y 0, 且 3 x 4 y 12, 求 lg x lg y的最大值
4 例.求函数y 9 x ，分别在(0, ), x 2 （0， ],[4, )上的最值. 5
练习求函数 . y
x 3
2
x 2
2
的最小值.
利用均值不等式求最值的常用方法
1.凑系数 例当 . x 5时，求y x(10 - 2 x )的最大值
2.凑项法 5 1 例已知 . x 时，求y 4x 2 的最大值 4 4x 5
2
y 2 (2)已知x 0且x 1, 求x 1 y 2 的最大值. 1 2 (3)已知x 0, y 0, 且 1, 求x y x y
2
的最小值. （4)已知a 0, b 0, 且ab a b 3, 求ab， a b的取值范围
均值定理的综合应用
练习 1 1.若a b 1, 求证ab 4 2.若a , b R , 求证 ab a b ab 1 1 2 2 a b 2
2 2
3.2均值不等式—最值问题
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 4 2 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
s 4
例题：求函数
y x 3 2x 0 x 1
s 4
求最值要注意三点：
⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立
练习：求函数
以及此时x的值。
- 2 x2 + x - 3 f ( x) = , ( x > 0) 的最大值， x
1. 均值定理： ab ab 如果 a, b R，那么 当且仅当 a b 时，式中等号成立 2. 定理：(重要不等式）
最值定理： （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 2 4 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
的最大值为________________.
例题、(1)一个矩形的面积为100 m ，问：这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36 m.问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
2
小结：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2
3.2 均值不等式的应用— 最值问题
高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt
上面 3 个不等式相加得 2·bac＋2·abc＋2·acb≥2a＋2b＋2c
(当且仅当 a＝b＝c 时，取等号)．
∴bc＋ac＋ab≥ ab c
a＋
b＋
c.
【点评】 对于证明多项和的不等式时，可以考 虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相 加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件．
【证明】 ∵a、b、c 是正实数，
∴bac＋abc≥2
bc ac a ·b
＝2c(当且仅当bac＝abc，
即 a＝b 时，取等号)；
abc＋acb≥2 abc·acb＝2a(当且仅当abc＝acb，即
b＝c 时，取等号)；
acb＋bac≥2
ab bc c ·a
＝2b(当且仅当bac＝acb，即
a＝c 时，取等号)．
c2≥1， 3
3(ab＋ bc＋ ca)≤ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac ＝ (a＋ b＋ c)2＝ 1， ∴ ab＋ bc＋ ca≤13. 综上知， a2＋ b2＋ c2≥1≥ ab＋ bc＋ ca.
3
【点评】 要想运用均值不等式，必需把题 目中的条件或要解决的问题“化归”到不等 式的形式并让其符合不等式条件．化归的方 法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些 基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字， 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处，才能顺利地进行运算．
＋ a)． 以上三式相加即得 ：
c2＋ a2≥
2 (c
2
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当 a＝b＝c 时取等号．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2均值不等式 学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。
学习过程一、新课导学※ 探索新知如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
探究：1、正方形ABCD 的面积S=__________２、四个直角三角形的面积和S ’=______３、S 与S ’有什么样的不等关系？若a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，（当且仅当a=b 时，取“=”号）思考：（1）该结论成立的条件是什么 ？（2）公式中等号成立的条件是什么？（3）不等式左右两边有何种运算结构？由此公式，我们可以变形为：22,,2a b a b R ab +∈≤若则 以下不等式成立吗？,,a b a b a b 如果用、分别代替，又能得到什么结论呢？此时的需要满足什么条件呢？均值定理：若a>0 b>0，，（当且仅当a=b 时，等号成立）2a b ab 我们习惯上，把上述公式写成+≥ 1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小）当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大） 注意：在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定，三相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决，常见变形应用：以下不等式中的,,a b c 均是正实数1、2()2a b ab +≤ 2、2222()()a b a b ++≥3、22112a a b a a b ++2+b b 24、33a b c abc ++请熟记以上公式，以后经常用到。
均值不等式的应用1. 凑系数例2. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例3. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离 例4. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
评注：分式函数求最值，通常化成y mg x A g x B A m =++>>()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
4。
整体代换例5. 已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.5.换元例6. 求函数y x x =++225的最大值。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
变式训练：1.若1->x ，则x =_____时,11++x x 有最小值，最小值为_____. 2.（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域.3.求函数y=133224+++x x x 的最小值.4.已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值。
5.已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．例7：（2010福建）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元。
问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？变式：(2010年高考吉林卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解析:搞清楚购地总费用和建筑总面积.※ 当堂检测：1、已知：b n m a y x =+=+2222,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)222b a + (D)222b a + 2、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)13、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a . 其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 . 5、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .6、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++b a b a (B) ab abb a 222≥+ (C)21≥+ab ab (D)ab b a ab ≤+2 7、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8、若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432例7：解析：年维修费用成等差数列,年维修费用加上其他费用是汽车的消费总费用.解:设使用()x x N *∈年的年平均费用为y 万元 则使用x 年的维修总费用为()0.20.20.10.12x x x +=+ 万元 依题得 211[100.9(0.0.1)](100.1)y x x x x x x=+++=++1011310x x =++≥= 当且仅当1010x x = 即10x =时取等号 10x ∴=时y 取得最小值3 万元. 答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元.例7变式：解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x ＝10800x .∴每平方米的平均综合费用,y ＝560＋48x ＋10800x ＝560＋48(x ＋225x )．当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x>0，∴x＋225x ≥2x·225x ＝30，当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．所以当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．7.解法一: 由a 、b ∈R +，由重要不等式得a+b ≥2ab ，则ab=a+b+3≥2ab +3， 即32--ab ab ≥)1)(3(0+-⇒ab ab ≥ab ⇒0≥3，∴ ab ≥9 ．解法二: a 、b 为正数，∴ ab=a+b+3≥333ab >0，两边立方得 a 3b 3≥34ab ⇒a 2b 2≥34，∵ab>0，∴ab ≥9 ．解法三: 原条件式变为ab-3=a+b ， ①∵ a 、b 均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a 2b 2-6ab+9=a 2+b 2+2ab ，∵ a 2+b 2≥2ab ，∴ a 2b 2-6ab+9≥4ab ，即a 2b 2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab>3，∴ ab ≥9 ．解法四: 把a 、b ∈R +看作一元二次方程的两个根，此方程为x 2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab ≥0，即 (ab)2-10ab+9≥0，∴ (ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+2>0成立，∴ ab ≥9 ．解法五: 由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴ 13-+=b b a ，514114)1(5)1(132+-+-=-+-+-=-+⋅=b b b b b b b b ab ≥9542=+，即ab ≥9 ．一．选择题：1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）Ａ．（a+b ）(b a 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2B ．当x>0时，x +x1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________． 三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。