重庆市育才中学2019-2020学年高一下学期期末考试

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重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

重庆市育才中学校2022-2023学年高一上学期期末考试生物试题

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（上）期末考试生物试题（满分100分，考试时间75分钟）本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：1．答卷前，考生自行打印试卷及答题卡，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．在规定时间内，将答题卡逐题竖屏拍照提交。

第Ⅰ卷一．选择题（本题共20小题，每小题2分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.烟草花叶病毒是一种仅由RNA和蛋白质构成的病毒，能使受感染的植物出现花叶症状，生长陷于不良状态，是烟草生产主要的危害之一。

下列有关该病毒的说法，正确的是（）A．可通过富含营养物质的培养基培养该病毒B．可通过高倍光学显微镜观察该病毒的结构C．该病毒可独立合成自身所需的各种蛋白质D．该病毒遗传物质彻底水解能得到6种产物2.由于近海水体富营养化，近年来每年的6至8月份浒苔（一种多细胞绿藻）都要侵袭山东，而淡水水域的富营养化则导致这几年的8月、9月、10月，洱海的蓝细菌大量繁殖形成水华。

下列关于浒苔和蓝细菌的叙述中，正确的是（）A．浒苔和蓝细菌的细胞中都具有拟核B．浒苔和蓝细菌进行光合作用都需要光合色素C．两者的细胞壁都能被纤维素酶彻底分解D．组成浒苔细胞和蓝细菌细胞的元素种类和含量差异很大3.以下各图是小渝同学制作并观察口腔上皮细胞的临时装片时，进行的部分操作步骤及在显微镜下观察到的物像（示意图）。

有关说法正确的是（）A．在光线充足的环境中观察，应将图甲中的①凹面朝上B．欲使观察到的细胞数目多，应选图乙中的②对应物镜C．图丙中滴加的液体是清水，所示的操作方法是引流法D．要将图丁的细胞⑥移至视野中央，应向左上方移动装片4.在农业生产中需要适时、合理施肥，以促进农作物生长，改善农作物品质，增加农作物产量并保持和提高土壤的肥力。

农业生产中常用的化肥有氮肥、磷肥和钾肥等。

高一下册数学压轴题汇总

，取最小值时b的值为
．
【2019-2020附中高一下期末】
16已知x,y为正实数，则 X+X2y+2XX+ y的最小值为
【2019-2020一中高一下期末】
16 函数f
x
= ax-a2 -4
a > 0, x E R
,
若 p气矿 =8,
则
f f
q p
的取值范围
勹Hale Waihona Puke 厂为等比数列，其前
n
项和为—n+1-
1 2n
瓦互＠若平行四边形 ABCD 为菱形，乙 BAD= Dr ，设 an =I
I, 则数列 an 不单调。
飞－
A.G)@
B.@@
C.@@
D.G)
【2019-2020附中高一下期末】
22. 已知数列a
满足a,=-21 ,an+1
=
入an 1+an入
＇
咋
N*
( 1 )若入=1 .
pq
pq
果存在，求出可能的p,q的值，如果不存在，请说明理由。
【2019-2020 巴蜀中学高一下期末】
22. (本小题满分12分）数列 an 满足c3i = 0, a2 = 2 , 且对任意 mnE N* 都有
a2m--1 + a加, = 2amt-n-i + 2 m- n 2.
(1) 设 bn = a2n+l — a2n-, nEN* , 证明： bn 是等差数列，并求 an 的通项公式
(2) 设数列 en 满足Ci = 2, en+1 = acn + 1' 记 x 表示不超过 x 的最大整数，求不等

重庆育才中学校2021-2022学年高一上学期入学考试英语试题

C. At 10:30.
12. A. Going to the museum.
B. Going to the movies.
C. Doing some shopping.
第三节（每小题 1.5 分，共 6 分）
听两遍。根据你所听到的长对话，从 A、B、C 三个选项中选出正确答案，并把答题卡上对应题目的
C. Sorry to hear that.
3. A. Good idea!
B. How about you?
C. What’s the matter?
4. A. It’s windy.
B. Delicious.
C. No problem.
5. A. You are sure to pass.
B. Best wishes to you.
population. Snakes are also very clean and quiet and they 39 trouble humans.
Tony’s job is very different from any other job I’ve heard of, but it is a really 40 one. Without
B. warmer
C. warmest
D. the warmestw
23. His sister is a teacher. That’s ______ favorite job.
A. she
B. her
C. hers
D. herself
24. —How can I get some _______ about the 2021 Tokyo Olympic Games?

重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期期中考试化学试题

重庆市育才中学校2022-2023学年高一下学期期中考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列属于新型无机非金属材料的是A ．铝合金B ．陶瓷C ．光导纤维D ．聚乙烯2．下列化工生产中不．涉及氧化还原反应的是A ．工业制玻璃B ．工业制硫酸C ．工业制硅D ．工业制硝酸3．下列化学用语使用正确的是A ．戊烷的分子式：58C H B ．乙烯的结构简式：22CH CH =C ．乙炔的分子结构模型：D ．甲基的电子式：4．设N A 为阿伏伽德罗常数的值，下列说法正确的是A ．0.5mol 甲烷和乙烯混合物中含氢原子数目为2N AB ．标准状况下，311.2L CHCl 中含原子数目为2.5N AC ．2mol 浓硫酸与足量铜加热条件下发生反应转移的电子数目为2N AD ．98g 10%的24H SO 溶液中，所含氧原子数目为0.4N A5．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A ．强酸性溶液中：+4NH 、3CH COO -、I -、2Ba +B ．澄清透明溶液中：2Cu +、2-4SO 、K +、-3NO C ．新制饱和氯水中：2Fe +、2-3CO 、Na +、-3NO D ．()3c NO 0.1mol /L -=的溶液中：H +、2-3SO 、2Mg +、2-4SO 6．下列有关元素化合物知识描述正确的是A ．将2SO 、2Cl 按照体积比为1:1的比例通入溶液中都能增强其漂白性B ．2SiO 既能和NaOH 溶液反应，又能和氢氟酸反应，所以它是两性氧化物C ．浓硫酸和浓硝酸长期暴露在空气中浓度降低，是一个原理D ．液氨可用于制作制冷剂是因为液氨汽化要吸收大量的热7．下列实验装置能达到实验目的是A ．实验室制少量氨气B ．中和反应热的测定C ．甲烷与氯气的取代反应D ．检验碳酸氢钠分解产物A ．AB ．BC ．C 8．神舟十号的女航天员王亚平是我国首位“太空教师”，她用结构为的物质在太空舱内制作出了“冰球”，结构中是原子序数依次增大的短周期主族元素。

重庆市育才中学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题

重庆市育才中学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，则复数(3)(4)i i --在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a r ，b r 为单位向量，则“a r ，b r 的夹角为23π”是“a b -=r r 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．正三棱锥-P ABC 的表面积是底面积的5倍，则PAAB=（）A B C D ．24．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1,135a A ==︒，则sin sin b cB C++的值为（）A B ．2C D ．5．某测量爱好者在城市CBD 核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点Q ）一直线上位于Q 同侧两点A ，B 分别测得摩天大楼顶部点P 的仰角依次为30°，45°，已知AB 的长度为330米，则金融中心的高度约为（）A ．350米B ．400米C ．450米D ．500米6．下列函数中，周期为π且在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的函数是（）A ．()sin 2f x x =B ．()cos 2f x x =C ．()()ln 2cos x f x =-D ．()1tan 2024f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．一个空间14面体共有12个顶点，其表面均由边长为1的正方形和正三角形构成，且每个顶点处均有4条棱，则这个14面体的表面积为（）A ．8B ．6+C ．4D ．2+8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，13BF BC =u u u r u u u r，AF 与BE 交于点G ，过点G 的直线分别与射线BA ，BC 交于点M ，N ，BM BA λ=u u u u r u u u r ，BN BC μ=u u ur u u u r ，则2λμ+的最小值为（） A ．1B ．87C ．97D ．95二、多选题9．在ABC V 中，下列说法正确的是（）A ．若ABC >>，则sin sin sin A B C >> B ．若A B C >>，则sin 2sin 2sin 2A B C >> C ．若A B C >>，则cos cos cos A B C <<D ．若A B C >>，则cos2cos2cos2A B C << 10．定义运算“&”如下：0&x x =，且()&&&x y z x z y =+，则下列结论正确的是（）A ．()&&x x x x =B ．()()&&&&x y z y x z =C ．()()&&&&x x z y y z =D ．()&&x y z x y z =-+11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点P 是BC 的中点，点Q 在CD 上，满足()01CQ CD λλ=≤≤，则下列表述正确的是（）A ．12λ=时，//PQ 平面11AB D B ．12λ=时，平面1PQC ∥平面11AB D C ．任意[]0,1λ∈，三棱锥11P A B Q -的体积为定值D ．过点1,,A P Q 的平面分别交11,BB DD 于,EF ，则BE DF +的范围是[]1,2三、填空题12．已知,a b r r 为两个不共线的非零向量，若ka b +r r 与2a b -r r 共线，则k 的值为．13．ABC V 中，若π3sin 45A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πsin 12A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．14．已知ABC V 的外接圆半径为1，则AB BC ⋅u u u r u u u r的最大值为．四、解答题15．已知向量a =rb =r 12a ab ⎛⎫⊥-+ ⎪⎝⎭r r r . (1)求向量a r 与b r的夹角θ的大小；(2)若向量m a b λ=+u r r r ，2n a b λ=-rr r （R λ∈），当m n -u r r 取得最小值时，求m n +u r r .16．已知()22sin 22cos 22cos 2x x x x f x =+. (1)若()f x 在[]0,m （0m >）上单调，求m 的最大值；(2)若函数()y f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求实数k 的取值范围及12πtan 4x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.17．在直三棱柱111A B C ABC -中，点D ，E 分别为棱AB ，1BB 的中点，点F 在棱1CC 上.(1)试确定点F 的位置，使得平面1//AB F 平面CDE ，并证明； (2)若多面体1DCE AFB -的体积为直三棱柱体积的512，求1C FFC .18．如图，在平面四边形ABCD 中，已知1,2,AD CD ABC ==V 为等边三角形，记ADC α∠=．(1)若π3α=，求ABD △的面积； (2)若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求ABD △的面积的取值范围．19．任意一个复数z 的代数形式都可写成复数三角形式，即()i cos isin z a b r θθ=+=+，其中i 为虚数单位，0r z ==≥，[)0,2θ∈π.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则：()()12121212cos isin z z r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦.如果令12n z z z z ====L ，则能导出复数乘方公式：()cos isin n nz r n n θθ=+.请用以上知识解决以下问题.(1)试将3i z =写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：3sin33sin 4sin θθθ=-；3cos34cos 3cos θθθ=-；(3)计算：()()444cos cos 120cos 120θθθ++︒+-︒的值.。

重庆市育才中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

两式联立得 g（x）函
t
，h（x）函
tt，
D．（﹣∞，0]
若ሺ
ˈሺ h在 x∈（0，2]上恒成立，
则
t
a（
tt ）
h，
设 t＝ex﹣e﹣x，则 t 为增函数，
且 t2＝e2x+e﹣2x﹣2，即 e2x﹣e﹣2x＝t2+2，
∵x∈（0，2]，
∴t∈（0，e2﹣e﹣2]，则不等式等价为h（t2+2） hat h，在 t∈（0，e2﹣e﹣2]上恒成立，
h t
的定义域为（
） B．[1，+∞）
C．[1，3）
D．[1，3）∪（3，+∞）
3．设 x∈R，则“（x﹣1）2＜1”是“0＜x＜5”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 f（x+1）＝3x﹣1，则 f（x）的解析式是（）
A．f（x）＝3x﹣1 B．f（x）＝3x﹣4 C．f（x）＝3x﹣2 D．f（x）＝3x+2
19．已知函数 f（x）＝ex，g（x）＝|x﹣1|．（1）写出 y＝g[f（x）]的单调递增区间（不需要说明原因）；（2）若函数 y＝f[g（x）]+m 与 x 轴有交点，试求 m 的取值范围；（3）若函数 y＝g[f（x）]+k 在 x∈[﹣1，ln3﹣ln2]上的图象不全在 x 轴下方，试求 k 的取值范围．
A．y＝﹣x
B．y＝﹣|x|
C．y＝1﹣x2
D．函t
【解答】解：选项 A，y＝﹣x 是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，满足题意；选项 B，y＝﹣|x|是偶函数，不满足题意；选项 C，y＝1﹣x2 是偶函数，不满足题意；

重庆市育才中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市育才中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}ln A x y x ==，集合12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),ln2-∞-C ．RD ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．“π3x =”是sin x =的（） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么cos(π)α+等于（）A ．45- B ．35C ．45D ．35-4．函数()()22cos e e 1x x x f x +=+的部分图像大致为（） A ． B ．C ．D ．5．已知cos sin 2cos sin θθθθ-=+，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．12- D ．126．等边ABC V 的边长为3，若2AD DC =u u u r u u u r ，BF FD =u u u r u u u r，则AF =u u u r （）A ．2B C D 7．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2π5π[,]36-上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（） A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)228．已知平面向量a r ，b r满足||2a =r ，π,6b a b 〈+〉=r r r ，则a b -r r 的最大值为（）A ．4B．2 C．2 D ．6二、多选题9．已知向量(2,1)a =r ，(3,1)b =-r，则下列说法正确的是（）A ．()//a b a +r r rB ．向量a r 在向量b r 上的投影向量为12b -rC ．a r 与a b -r rD．若c =⎝⎭r ，则a c ⊥r r 10．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数π()6y f x =+是偶函数C ．点5π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增11．已知对任意角,αβ均有公式()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ+=+-.设ABC V 的内角,,A B C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤.记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是（）A ．1sin sin sin 8A B C =B．2sin aA≤≤C．8abc ≤≤D ．()8bc b c +>三、填空题12．已知()1,2a =r ，()2,3b =-r ，()1,c x =r ，()a b c +⊥r r r，则c r =.13．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e r，2e u u r分别是与x 轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量()12,R OP xe ye x y =+∈u u u r u r u u r，则把有序数对(),x y 叫做向量OP u u u r 在坐标系xOy 中的坐标.设()0,3OM =u u u u r ，()4,0ON =u u u r ，则OM ON ⋅=u u u u r u u u r.14．重天市育才中学为美化校园将一个半圆形空地改造为一个穿梭花园.如图所示，O 为圆心，半径为1千米，点A 、B 都在半圆弧上，设2AON AOB θ∠=∠=，其中π04θ<<.若在花园内铺设一条参观的线路，由线段NA 、AB 、BM 三部分组成，要使参观的线路最长，则θ=.（答案请用使用弧度制表示）四、解答题15．设向量()2,3OA =-uu r，()2,1OB =u u u r ，(),5OC x =u u u r . (1)若A 、B 、C 三点共线，求实数x 的取值；(2)若OB u u u r ，OC u u u r的夹角为锐角，求实数x 的取值范围.16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan 2cos cos tan tan BA C A C=+.(1)求角B ；(2)若2b =，求a c +的最大值.17．函数()f x 对任意的实数a ，b ，都有()()()3f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()3f x >.(1)求()0f 的值；(2)求证：()f x 是R 上的增函数；(3)解关于实数x 的不等式()()1591236x x f f --+⋅+-⋅>. 18．已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x x x a b ==-r r ，函数()||1f x a b m a b =⋅-++r rr r ，ππ[,]34x ∈-，R m ∈.(1)当0m =时，求π()6f 的值；(2)若m ()f x 的最小值； (3)是否存在实数m ，使函数224()()49g x f x m =+，ππ[,]34x ∈-有四个不同的零点?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 19．已知非空实数集S ，T 满足：任意x S ∈，均有1x S x-∈；任意y T ∈，均有11y T y -∈+． (1)直接写出S 中所有元素之积的所有可能值； (2)若T 由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T ；(3)若S T I 非空，且由5个元素组成，求S T U 的元素个数的最小值．。

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重庆市育才中学2019-2020学年下学期高2022级期末考试
数学试题
考试时间：120分钟，满分：150分
本试卷共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin585︒的值为（）
A.
2 B.2- D.2.已知0,a b c R >>∈，那么下列命题正确的是（） A.
2211a b < B.11a c b c <++ C.11a c b c >++ D.11ac bc
< 3.已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（）
A.()1,3-
B.()3,1-
C.()1,1-
D.()2,2- 4.在区间[]1,2-上随机取出一个数a ，则[]0,1a ∈的概率为（）
A.13
B.14
C.15
D.16 5.在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（） A.6 B.10 C.7 D.5
6.已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4
π
α-=（）
A.
17 B.7 C.1
7
- D.7- 7.已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，则不等式20x bx a --<的解集是（）
A.()2,3
B.()
(),23,-∞+∞ C.11,32⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D.1
1,,3
2⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
8.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的
概率为（）
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
9.已知0,0a b >>
，则
11
2ab a b
++的最小值是（） A.2 B.22 C.4 D.5
10.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行。

中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（） A.第一场得分的中位数为
52 B.第二场得分的平均数为
193
C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差
D.第一场与第二场得分的众数相等
11.若
sin 11cos 3αα=-，则22cos 3sin 2
sin
2
ααα+-=（）
A.2-
B.22
C.4
D.5 12.梯形ABCD 中AB 平行于CD ,2,1,4
AB CD DAB π
==∠=，P 为腰AD 所在直线上任意一点，
则32PB PC +的最小值是（）
A.43
B.42
C.4
D.36 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13等比数列{}n a 中，131,13a S ==，其中公比0q >，则2a =.
14.2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”。

为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示）。

已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为.
15.已知2,2a b ==，且()
b a b ⊥-，则a b +=. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD ∆的面积为32,31,120,135AB BC ABC BCD ==∠=︒∠=︒，则ACD ∠=，AD =.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～22题考生都必须作答。

17.（本小题满分12分）
某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知()024x x ≤≤小时内供水总量为x 3千吨时，供水就会出现紧张现象。

（Ⅰ）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？
（Ⅱ）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水()2a a >千吨，求a 的最小值，使得供水紧张现象消除。

18.（本小题满分12分）
已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+。

（1）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若将函数()f x 图像上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的
图象，求()g x 在区间,12ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域。

19.（本小题满分12分）有如下数阵：23345121(2),(2,2),(2,2,2),,(2,2,,2)n n n +-，其中第n 个括号内的所有元素之和
记为n a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令22(1)log (4)n n n n b n a =-⋅+-，求数列{}n b 的前100项和100S 。

20.（本小题满分12分）
在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时向t 之间对应的一组数据：
（Ⅰ）求数据6,10,10,13,16,17,19的均值y 与方差2y s ；
（Ⅱ）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程，并预测第100秒时产品表面的腐蚀深度（计算结果保留小数点后两位）。

（可能用到的公式与数据：y a bx =+，其中1
1
2
2
2
1
1
())()
(n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx ====---⋅=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-，
7
777
2
21
1
1
1
175,6075,1311,2730i
i
i
i i i i i i t
t y t y ========∑∑∑∑）。

21.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=。

（Ⅰ）若2,1a c ==，解这个三角形；
（Ⅱ）我们知道，如果PQ 是某个定圆的一条弦，点M 在PQ 分圆所得的优（劣）弧上运动，则PMQ ∠的大小确定。

本题中，
若b =请结合ABC ∆的外接圆，根据a 的取值讨论ABC ∆解的个数，并请说明a 取何值时ABC ∆的面积最大。

22.（本小题满分10分）
一农妇原有*0a N ∈个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为
129,,,a a a ⋯个。

（I ）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，…，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求
987,,a a a ，给出数列{}n a 的递公式并据此求出0a ：
（Ⅱ）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋0511a =个，是否存在()*,,2p q N p ∈>，使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的
1p 又1q 个，第二次卖去剩下的1
p 又1q
个，第三次又卖去剩下的
1p 又1q 个，…，第九次仍然卖去剩下的1p 又1
q
个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的,p q 的值，如果不存在，请说明理由。