难点攻关抛物线和平行四边形

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中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型四

由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3，此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)，即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.

难点攻关抛物线与平行四边形【含答案】

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之平行四边形(含解析)

中考数学抛物线压轴题之平行四边形1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A 运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝﹣1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标．（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．16．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．解析1．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝6，∴C（6，0），把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，∵﹣2＜0，∴S有最大值，此时E（3，8）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x2﹣5x+﹣）+4＝﹣（x﹣）2+；对称轴是：x＝，∴A（﹣1，0）∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y＝﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣）；②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，由（2），可得点M的横坐标是3，∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，∴P的横坐标为，∴P（，﹣）；③以AM为对角线时，如图4，∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．2．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）3．【解答】解：（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，代入抛物线解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．∴A（﹣2，0），则AB＝6，当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°．又∵DM⊥OA，∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，当点M运动t秒时，AM＝t，∴MD2+AD2＝AM2＝t2，∴DM＝t，∴，∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；（3）存在，理由如下：①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴y B﹣y C＝y Q﹣y P＝2，x B﹣x C＝x Q﹣x P＝4，∵y P＝0，∴y Q＝2，将y＝2代入，得 x1＝1+，x2＝1﹣，∴当x Q＝1+时，x P＝﹣3+；当x Q＝1﹣时，x P＝﹣3﹣，∴P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0）；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P＝y B＝0，∴y Q＝y C＝﹣2，将y＝﹣2代入，得 x1＝0（舍去），x2＝2，∴x Q＝2时，∴x P﹣x B＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝6，∴P3（6，0）；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q＝2，∴x B﹣x P＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝2，∴P4（2，0）；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．4．【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则A点坐标为（1，0）；当x＝0时，y＝3，则C点坐标为（0，3）；抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则B点坐标为（﹣3，0）；把C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，则此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），如图1，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设直线BC的关系式为：y＝mx+n，把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得，解得，∴直线BC的关系式为y＝x+3，∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴△PBC的面积＝S△PBM+S△PCM＝＝×3（﹣x2﹣3x）＝﹣+，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△PBC的面积有最大值是，∴P点坐标为（﹣，）；（3）①当以BC为对角线，如图2，∵四边形BMCN为平行四边形，∵C点（0，3），N点横坐标为﹣1，B点横坐标为﹣3，∴M点横坐标为﹣2，∴M点纵坐标为y＝﹣4+4+3＝3，∴M点坐标为（﹣2，3）；②当以BC为边时，如图3，∵四边形BCNM为平行四边形，∵C点（0，3），B（﹣3，0），N点横坐标为﹣1，∴M点横坐标为﹣4，∴M点纵坐标为y＝﹣16+8+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）；同理可知如图4，存在四边形BCMN为平行四边形，可得M的横坐标为2，当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．综上所述，M点坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．5.解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，∴M X==2，M Y==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．方法二：（1）略．（2）把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=3，∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），K BD==1，K AB==﹣1，∴K BD•K AB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形．（3）略．（4）∵，解得：x1=1（舍），x2=2，∴G（2，﹣3），∵A（1，﹣4），B（0，﹣3），D（3，0），∴GA==，BD==3，AB==，∴S△BDG==4．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方法一：过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG=OD=1，DG=OC=2．∴点E的坐标为（3，1）．∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，将C、E点的坐标代入解析式，得．解得，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；方法二：过点E作EG⊥x轴于G点．DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，∴E（3，1），∴9a+3b+2=0，∵﹣=2，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；（2）方法一：①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．∴PC=PD，∴DF=CD．∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，∴CD=，∴DF=．∵=，∴PC=PD=×=，t=，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法二：过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，∵PF⊥CD⇒K PF×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），∴，∴m=，∴F（，﹣），∴=，∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，①，∴，∴t=，②，∴，∴t=1，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法三：若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，∴K OO′×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴H（m，﹣2m+2），∴﹣2×=﹣1，∴m=，∴H（，），∵H为OO′中点，∴O′（，），∴l O′D：y=，令y=2，∴x=，即P（，2），∴t=．（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），∴1=x+2，解得x=﹣2，∴B（﹣2，1），∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），∵抛物线经过A，D两点，∴，解得，∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；（2）∵点E（m，n）在直线l上，∴n=m+2，∴S=×1×[±（m+2）]=±（m+1），即S=m+1（m＞﹣4）或S=﹣m﹣1（m＜﹣4）；（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，∴GH=AD=1，∴E的横坐标为±1，∵点E在直线l上，∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（﹣5，﹣1/2）∴E（﹣1，）；（1，）或（﹣5，﹣1/2）；由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=﹣x2+bx+c，检验可知当E取（1，）或（﹣5，﹣1/2）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；综上，满足题意的E的坐标为（﹣1，）．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意把抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣[（x﹣2）2﹣4]=﹣（x﹣2）2+2，故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，整理得y2=﹣x2+4x﹣5；（3）符合条件的N点存在．如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，∴∠PAO=∠MBN=90°，若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∴∠POA=∠BMN，在△POA和△NMB中∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA=BN，∵点P的坐标为（4，3），∴NB=PA=3，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3解得：x1=2﹣，x2=2+，②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3解得：x3=4﹣2或x4=4+2故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破七二次函数综合题类型四：二次函数与特殊四边形问题

解：存在．令x＝0，代入y＝－x2＋6x－5，得y＝－5， ∴点C的坐标为(0，－5)．
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)，点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)；综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)．由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x，对称轴为直线x＝2，如答图．

抛物线与平行四边形存在性问题解题策略

抛物线与平行四边形存在性问题解题策略1．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y 轴的交点为C，顶点为D，点C 关于l 的对称点为E，是否存在x 轴上的点M，y 轴上的点N，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．2．（2015•重庆B）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与y 轴相交于点 E.（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作F G⊥A D于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH的周长的最大值；（3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是 AM 为边的矩形，若点 T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点 T 的坐标.3.（2014连云港））已知二次函数y=x2+bx+c，其图像抛物线交x轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l 过点 C，且交抛物线于另一点 E（点E 不与点 A、B 重合）.(1)求此二次函数关系式；(2)若直线l1 经过抛物线顶点 D，交x 轴于点 F，且l1 ∥ l ，则以点 C、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点 E 的坐标；若不能，请说明理由.(3)若过点 A 作AG⊥x 轴，交直线l 于点 G，连 OG、BE，试证明OG∥BE.4.（2016 常州武进）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx－7 与y 轴交于点C，与x 轴交于点B．抛物线y ＝a x2 ＋bx＋14a 经过B、C 两点，与x 轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2∶7．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点 D 在线段BC 上，点P 在对称轴右侧的抛物线上，PD＝PB．当tan∠PDB＝2 时，求点P 的坐标；⑶ 在⑵的条件下，点Q（7，n）在第四象限内，点R 在对称轴右侧的抛物线上，若以点P、D、Q、R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R 的坐标．5．（2016东营）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．6．（2016龙岩）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P 在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（4）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2016贵州安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2016茂名）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M为x 轴上一动点，N为直线PF 上一动点，当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．9、（2014 潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y 轴交于点C(O，4)，与x 轴交于点A 和点B，其中点A 的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1 与抛物线交于点D，与直线BC 交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

探究平行四边形的存在性问题——以2016_年安顺市中考的一道抛物线题为例

探究平行四边形的存在性问题以２０１６年安顺市中考的一道抛物线题为例刘利果(河北省邢台市沙河市第三中学ꎬ河北邢台０５４１００)摘㊀要:抛物线中的动点问题ꎬ尤其是与存在性有关的动点问题ꎬ是中考的一个难点.文章以２０１６年贵州省安顺市的一道中考题为例ꎬ借助网络画板ꎬ从试验探究㊁思路分析㊁一题多解的角度来进行深度探究.关键词:抛物线ꎻ动点ꎻ平行四边形ꎻ存在性ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００９２－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:刘利果(１９８１.１０－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ本科ꎬ中小学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀抛物线中平行四边形的存在性问题ꎬ是中考的一个难点ꎬ也是热点ꎬ常常以压轴题的形式出现.如何突破这一类试题呢?笔者以２０１６年安顺市一道中考题为例进行探究.１试题呈现抛物线经过Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(５ꎬ０)ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷三点.(１)求抛物线的解析式.(２)在抛物线的对称轴上有一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＣ的值最小ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)若Ｍ为ｘ轴上一动点ꎬ在抛物线上是否存在一点Ｎꎬ使ＡꎬＣꎬＭꎬＮ四点构成的四边形为平行四边形?若存在ꎬ求点Ｎ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由[１].２思路分析第(１)(２)问略.第(３)问:①如图１所示ꎬＡＣ为对角线时ꎬ取ＡＣ中点Ｏᶄꎬ连接Ｍ４Ｏᶄꎬ交抛物线于点Ｎ４ꎻ如图２所示ꎬ若ＡＣ为边ꎬ平移ＡＣ得到另外三种情况.过四边形顶点作横平坚直线(平行于坐标轴)构造全等三角形解决问题.图１㊀ＡＣ为对角线②设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬ分别以ＡＣꎬＡＭꎬＡＮ为对角线ꎬ分三种情况根据平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等ꎬ纵坐标之和也相等ꎬ表示出点Ｎ的坐标ꎬ代入抛物线解析式求解即可.③如图３所示ꎬ从路径(轨迹)角度分析.假设以ＡꎬＣꎬＭꎬＮ为顶点的平行四边形存在.在ｘ轴上任取一动点Ｍꎬ把Ｍ看作定点ꎬ然后分别以ＡＭꎬＡＣꎬＣＭ为对角线作出三个平行四边形ꎬ设第四个顶点分别为Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３.若拖动动点Ｍ可以发现ꎬ动点Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３运动的路径均为与ｘ轴平行的直线.易得Ｎ１ꎬＮ３到ｘ轴的距离等于ＯＣ＝５２ꎬ到ｘ轴的距离为２９５２的直线有两条.易知ꎬ点Ｎ１的路径为直线ｙ＝５２ꎬ点Ｎ２ꎬＮ３的路径为直线ｙ＝－５２.所以求点Ｎ的坐标就可以转化为由抛物线的解析式与点Ｎ的路径解析式组成的方程组的解的问题.图２㊀ＡＣ为边３一题多解解㊀(１)ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２.(２)点Ｐ的坐标是２ꎬ－３２æèçöø÷.过程略.(３)解法１㊀存在点Ｎꎬ使ＡꎬＣꎬＭꎬＮ四点为顶点构成的四边形为平行四边形.①当ＡＣ为边时ꎬ如图２所示ꎬ若点Ｎ在ｘ轴下方.图３㊀让Ｍ运动又对称轴为直线ｘ＝２ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ所以点Ｎ１４ꎬ－５２æèçöø÷.当点Ｎ在ｘ轴上方时ꎬ过点Ｎ２作Ｎ２Ｄʅｘ轴于点Ｄ.ȵＡＣ＝Ｍ２Ｎ２ꎬøＣＡＯ＝øＮ２Ｍ２ＤꎬøＣＯＡ＝øＮ２ＤＭ２ꎬʑәＡＯＣ≅әＭ２ＤＮ２ꎬʑＮ２Ｄ＝ＯＣ＝５２ꎬ即Ｎ２点的纵坐标为５２.ʑ１２ｘ２－２ｘ－５２＝５２ꎬ解得ｘ＝２＋１４或ｘ＝２－１４ꎬʑＮ２２＋１４ꎬ５２æèçöø÷ꎬＮ３２－１４ꎬ５２æèçöø÷.②如图１所示ꎬ当ＡＣ为对角线时ꎬ由四边形ＡＭ４ＣＮ４为平行四边形ꎬ知ＣＮ４ʊＡＭ４ꎬ所以点Ｎ４的纵坐标为－５２ꎬʑＮ４４ꎬ－５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷或２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法２㊀设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬＮｘＮꎬｙＮ().①若ＡＣ为对角线ꎬ则有－１＋０＝ｘ＋ｘＮꎬ０－５２＝０＋ｙＮꎬìîíïïï即ｘＮ＝－１－ｘꎬｙＮ＝－５２.ìîíïïï将Ｎ－１－ｘꎬ－５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ得１２(－１－ｘ)２－２(－１－ｘ)－５２＝－５２ꎬ解得ｘ＝－１或－５ꎬ即ｘＮ＝０或ｘＮ＝４ꎬ所以Ｎ０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ４ꎬ－５２æèçöø÷.②若ＡＮ为对角线ꎬ则有－１＋ｘＮ＝ｘ＋０ꎬ０＋ｙＮ＝０－５２ꎬìîíïïï即ｘＮ＝ｘ＋１ꎬｙＮ＝－５２.ìîíïïïꎬ将Ｎｘ＋１ꎬ－５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ即１２(ｘ＋１)２－２(ｘ＋１)－５２＝－５２ꎬ解得ｘ＝－１或３ꎬ即ｘＮ＝０或ｘＮ＝４ꎬ所以Ｎ０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ４ꎬ－５２æèçöø÷.③若ＡＭ为对角线ꎬ则有－１＋ｘ＝ｘＮ＋０ꎬ０＋０＝ｙＮ－５２ꎬìîíïïï即ｘＮ＝ｘ－１ꎬｙＮ＝５２.ìîíïïï将Ｎｘ－１ꎬ５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ即１２(ｘ－１)２－２(ｘ－１)－５２＝５２ꎬ解得ｘ１＝３＋１４３９或ｘ２＝３－１４ꎬ即ｘＮ＝２＋１４或ｘＮ＝２－１４ꎬ所以Ｎ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或Ｎ２－１４ꎬ５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷或２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法３㊀如图４所示ꎬ在ｘ轴上任取一点Ｍꎬ连接ＣＭꎬ分别过点ＡꎬＣꎬＭ作ＣＭꎬＡＭꎬＡＣ的平行线ꎬ得平行四边形ＡＣＭＮ１ꎬ四边形ＣＭＡＮ２ꎬ四边形ＡＣＮ３Ｍꎬ分别过Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３作ｘ轴的垂线ꎬ垂足分别为ＦꎬＧꎬＥ.过点Ｍ作ＭＨʅＮ２Ｎ３于点Ｈ.易证明Ｎ１Ｆ＝Ｎ２Ｇ＝Ｎ３Ｅ＝ＯＣ＝５２.图４㊀探究点Ｎ的路径所以Ｎ１运动的路径为直线ｙ＝５２ꎬＮ２ꎬＮ３运动的路径为直线ｙ＝－５２.因为Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３在抛物线ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２上ꎬ所以Ｎ的坐标满足ｙ＝５２ꎬｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２ìîíïïïï或ｙ＝－５２ꎬｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２ꎬìîíïïïï解得ｘ１＝２＋１４ꎬｙ１＝５２ꎬìîíïïïｘ２＝２－１４ꎬｙ２＝５２ꎬìîíïïïｘ３＝０ꎬｙ３＝－５２ìîíïïï(舍去)ꎬｘ４＝４ꎬｙ３＝－５２.ìîíïïï综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法４㊀如图３所示ꎬ因为Ａ(－１ꎬ０)ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ所以ＡꎬＣ两点间的水平距离为１ꎬ坚直距离为５２.设点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ将点Ｍ按ＣңＡ方向平移ꎬ得到点Ｎ１ｍ－１ꎬ５２æèçöø÷ꎬ将点Ｃ按ＭңＡ方向平移ꎬ得到点Ｎ２－ｍ－１ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ将点Ｍ按ＡңＣ方向平移ꎬ得到点Ｎ３ｍ＋１ꎬ－５２æèçöø÷.将点Ｎ１ｍ－１ꎬ５２æèçöø÷ꎬＮ２－ｍ－１ꎬ－５２æèçöø÷ꎬＮ３ｍ＋１ꎬ－５２æèçöø÷分别代代入抛物线的解析式ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２得①１２(ｍ－１)２－２(ｍ－１)－５２＝５２ꎬ解得ｍ＝３－１４或ｍ＝１４＋３ꎬʑＮ１２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或Ｎ１２－１４ꎬ５２æèçöø÷.②１２(－ｍ－１)２－２(－ｍ－１)－５２＝－５２ꎬ解得ｍ＝－１或ｍ＝－５ꎬʑＮ２０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ２４ꎬ－５２æèçöø÷.③１２(ｍ＋１)２－２(ｍ＋１)－５２＝－５２ꎬ解得ｍ＝－１或ｍ＝３ꎬʑＮ３０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ３４ꎬ－５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.对于平行四边形的存在性问题中已知两个定点ꎬ先虚拟一个动点ꎬ围成一个三角形ꎬ过三角形的每一个顶点画对边的平行线ꎬ三条直线两两相交ꎬ就可以确定平行四边形的第四个顶点.按照虚拟的第三个点ꎬ第四个顶点存在三种情况.但是第四个点到底有几个ꎬ要具体问题具体分析.参考文献:[１]董红凤.有效解决函数中动点型综合题教学探究[Ｊ].数学学习ꎬ２０１６(０１):２５－３０.[责任编辑:李㊀璟]４９。

难点攻关抛物线与平行四边形

中考压轴题——抛物线平行四边形(含详细答案分析)

中考总复习抛物线之平行四边形题型1．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．2．已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．3．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．5．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．8．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B 的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．15．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．1.解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，∴M X==2，M Y==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．2．（2012•东营）已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得．所以抛物线的解析式为，①将①式配方，得，所以顶点P的坐标为（4，﹣2），令y=0，得，解得x1=2，x2=6．所以点B的坐标是（6，0）．（2）在直线y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形．理由如下：设直线PB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），P（4，﹣2）分别代入，得，解得，所以直线PB的解析式为．又因为直线OD的解析式为，所以直线PB∥OD．设直线OP的解析式为y=mx，把P（4，﹣2）代入，得，解得．如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形．设直线BD的解析式为，将B（6，0）代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组，得，同样还存在第二种情况，如图所示，D′点和D关于原点对称，因此D′的坐标为（﹣2，﹣2），所以D点的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．（3）符合条件的点M存在．验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM，BM，由于AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，可得△AMP≌△AMB．因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB．方法二：（4）过点G作x轴垂线，垂足为H，∵⊙G为△OBD的外接圆，∴点G在线段OH的垂直平分线上，且GO=GD，∵B（6，0），∴l GH：x=3，设G点坐标为（3，m），O（0，0），D（2，2），∴（3﹣0）2+（m﹣0）2=（3﹣2）2+（m﹣2）2，∴m=，∴G点的坐标为（3，）．3．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．方法二：（1）略．（2）把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=3，∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），K BD==1，K AB==﹣1，∴K BD•K AB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形．（3）略．（4）∵，解得：x1=1（舍），x2=2，∴G（2，﹣3），∵A（1，﹣4），B（0，﹣3），D（3，0），∴GA==，BD==3，AB==，∴S△BDG==4．4．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．5．（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．6．（2015•湖北）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方法一：过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG=OD=1，DG=OC=2．∴点E的坐标为（3，1）．∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，将C、E点的坐标代入解析式，得．解得，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；方法二：过点E作EG⊥x轴于G点．DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，∴E（3，1），∴9a+3b+2=0，∵﹣=2，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；（2）方法一：①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．∴PC=PD，∴DF=CD．∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，∴CD=，∴DF=．∵=，∴PC=PD=×=，t=，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法二：过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，∵PF⊥CD⇒K PF×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），∴，∴m=，∴F（，﹣），∴=，∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，①，∴，∴t=，②，∴，∴t=1，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法三：若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，∴K OO′×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴H（m，﹣2m+2），∴﹣2×=﹣1，∴m=，∴H（，），∵H为OO′中点，∴O′（，），∴l O′D：y=，令y=2，∴x=，即P（，2），∴t=．（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．7．（2015•广安）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），∴1=x+2，解得x=﹣2，∴B（﹣2，1），∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），∵抛物线经过A，D两点，∴，解得，∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；（2）∵点E（m，n）在直线l上，∴n=m+2，∴S=×1×[±（m+2）]=±（m+1），即S=m+1（m＞﹣4）或S=﹣m﹣1（m＜﹣4）；（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，∴GH=AD=1，∴E的横坐标为±1，∵点E在直线l上，∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（﹣5，﹣1/2）∴E（﹣1，）；（1，）或（﹣5，﹣1/2）；由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=﹣x2+bx+c，检验可知当E取（1，）或（﹣5，﹣1/2）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；综上，满足题意的E的坐标为（﹣1，）．8．（2012秋•义乌市校级期中）已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意把抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣[（x﹣2）2﹣4]=﹣（x﹣2）2+2，故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，整理得y2=﹣x2+4x﹣5；（3）符合条件的N点存在．如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，∴∠PAO=∠MBN=90°，若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∴∠POA=∠BMN，在△POA和△NMB中∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA=BN，∵点P的坐标为（4，3），∴NB=PA=3，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3解得：x1=2﹣，x2=2+，②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3解得：x3=4﹣2或x4=4+2故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．9．（2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B 落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．10．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q （x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）=﹣x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．11．（2014•赤峰）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点（0，﹣3），∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4）．（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC=•（3+4）•1+•2×4﹣•3•3=+﹣=3S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）存在，理由如下：①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，∵四边形ACQP为平行四边形，∴PQ平行且相等AC，∴△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得x=2或x=0（与C点重合，舍去），∴Q（2，﹣3）．②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP平行且相等AC，∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x=1+或x=1﹣，∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）方法二：（1）略．（2）连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，交BC于H，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴l BC：y=x﹣3，当x=1时，y=﹣2，∴H（1，﹣2）∴S△BCM=（3﹣0）（﹣2+4）=3，∵S△ABC=AB×OC=×3×4=6，∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2，（3）∵PQ∥AC，∴当PQ=AC时，A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，即|Q Y|=|C Y|，设Q（t，t2﹣2t﹣3），∴|t2﹣2t﹣3|=3，①t2﹣2t﹣3=3，解得：t1=1+，t2=1﹣，②t2﹣2t﹣3=﹣3，解得：t1=0（舍），t2=2，综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．12．（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），∴c=4 ①．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ②．∵抛物线过点A（﹣2，0），∴0=4a﹣2b+c ③，由①②③解得，a=﹣，b=1，c=4，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，则FH=﹣t2+t+4，FG=t，∴S△OBF=OB•FH=×4×（﹣t2+t+4）=﹣t2+2t+8，S△OFC=OC•FG=×4×t=2t，∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F；（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），∵B（4，0），C（0，4），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．由y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，∴顶点D（1，），又点E在直线BC上，则点E（1，3），于是DE=﹣3=．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．①当0＜m＜4时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，由﹣m2+2m=，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，∴m=3，P1（3，1）．②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，由m2﹣2m=，解得m=2±，经检验适合题意，此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．方法二：（1）略．（2）∵B（4，0），C（0，4），∴l BC：y=﹣x+4，过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），∴H（t，﹣t+4），∵S四边形ABFC=S△ABC+S△BCF=17，∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4=17，∴t2﹣4t+5=0，∴△=（﹣4）2﹣4×5＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．（3）∵DE∥PQ，∴当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∵y=﹣x2+x+4，∴D（1，），∵l BC：y=﹣x+4，∴E（1，3），∴DE=﹣3=，设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=，∴m2﹣2m=或m2﹣2m=﹣，∴m=1，m=3，m=2+，m=2﹣，经检验，当m=1时，线段PQ与DE重合，故舍去．∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．13．（2014•济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10）∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD．∵OA=5，AC=10，∴OC===．∵S△OAC=OC•AD=OA•AC，∴AD=．∴AA′=，在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°，∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．∴，即．∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4），当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A′在该抛物线上．（3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，则，解得∴直线CA′的解析式为y=x+设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）．∵PM∥AC，∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10．解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当x=2时，y=﹣．∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形．方法二：（1）略．（2）设AA′与直线OC的交点为H，∵点A，点A′关于直线OC：y=2x对称，∴AA′⊥OC，K OC•K AA′=﹣1，∵K OC=2，∴K AA′=﹣，∵A（5，0），∴l AA′：y=﹣x+，l OC：y=2x，∴H（1，2），∵H为AA′的中点，∴⇒，∴A′X=﹣3，A′Y=4，∴A′（﹣3，4），当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4，∴点A在抛物线上．（3）∵PM∥AC，要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC，∵直线AC⊥x轴，∴C x=A x，∵A（5，0），∴C x=5，∵l OC：y=2x，∴C Y=10，∴C（5，10），∵A′（﹣3，4），∴l CA′：y=x+，∵M在线段CA′上，点M在点P的上方，∴设M（t，），∴P（t，t2﹣t﹣），∴﹣（t2﹣t﹣）=10，∴t1=2，t2=5（舍），∴P（2，﹣）．14．（2014•东营）如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．。

平行四边形：小学数学教案中的难点及应对措施

平行四边形是小学数学中一个比较基础但却又十分重要的概念。

在教学过程中，学生往往会遇到一些难点和困难，影响他们对该知识点的掌握。

本文将就平行四边形的教学难点及相应的应对措施进行分析和讨论。

一、平行四边形的定义1、难点：平行四边形的定义并不容易理解和记忆，很多学生容易混淆四边形和平行四边形的概念。

2、应对措施：在教学中应当重点强调平行四边形这一概念的本质和特点。

教师可以通过举例说明四个边分别平行的四边形即为平行四边形。

同时，可以比较矩形、菱形和平行四边形三种图形在形状、边长以及角度的差异，以此来帮助学生更好地理解和记忆平行四边形的定义。

二、平行四边形的性质1、难点：学生容易混淆平行四边形的各种性质，比如对角线互相垂直、对角线平分、相邻角互补等等。

2、应对措施：在教学中，应先逐一讲解平行四边形的各种性质，强调每种性质的定义和特点，并通过练习题来帮助学生深入理解和记忆。

在讲解时，可使用比较法和对比法，将平行四边形的性质与其他图形作比较，使学生更好地体会平行四边形独特的性质。

三、平行四边形的周长与面积1、难点：对于周长和面积的计算，学生需要熟练掌握基本的计算公式和方法，而有些学生由于缺乏相关的基础知识，容易出现计算失误。

2、应对措施：在教学中应重点强调周长和面积的计算公式，并在讲解时多进行演示和实例讲解。

同时，教师可以根据学生的个体差异，采取不同的差异化教学策略，如个别化辅导、小组协作和探究式教学等，以帮助学生更好地理解和掌握周长和面积的计算方法。

总之,要想在教学中更好地引导学生理解和掌握平行四边形，教师需要注重教学方法和策略，并在教学过程中尽可能考虑学生的个体差异，采用多种教学手段，包括教学实验、课堂探究、游戏、竞赛等等，以激发学生学习的兴趣和积极性。

初中数学_抛物线中的平行四边形教学设计学情分析教材分析课后反思

“抛物线中的平行四边形”教学设计一、专题分析：二次函数在初中数学中占有十分重要的地位，以二次函数为载体考察三角形和四边形等几何知识是中考的热点，这节课就是探究抛物线中的平行四边形的存在性问题的解法，利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合中点公式，推导出平行四边形相对顶点横纵坐标之和相等的数学模型，然后利用模型解决抛物线中的平行四边形的存在性问题。

把几何问题转化为解方程，数形结合，代几综合考查同学们分析、综合、概括、逻辑推理、几何建模以及探究活动的能力是数学教学的重点。

二、教学目标和要求本课任务让学生结合平行四边形对角线和抛物线的相关性质解决抛物线中平行四边形的存在性问题。

在学生理解平行四边形的对角线互相平分的基础上，根据抛物线中的实际问题情景列出方程组，并解方程组，从而得到符合要求的点。

并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

进一步专题化学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生掌握一定的数学模型，更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为学生自己解决问题打下基础。

从能力和情感目标上看，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生的主体意识、合作意识和创新意识，发展学生的数学思维。

增强学好数学的愿望与信心。

本课重点：利用平行四边形对点公式解决抛物线中的平行四边形的存在性问题。

本课难点：利用平行四边形对点公式解决抛物线中的平行四边形的存在性问题以及对问题结果进行合理取舍。

二、学习者分析⒈九年级学生的思维处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡时期，这是一个关键时期，需要由类比、归纳方法逐步向演绎方法过渡的教学方法支持。

了解平面直角坐标系的有关知识，知道了中点公式，掌握了平行四边形的性质，会解一元一次，一元二次方程，会求代数式的值。

三、教学策略和方法：1、从直接复习入手，通过知识再现，孕伏教学过程2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程根据学生实际、教材具体内容，选择“定向自探——碰撞反刍——达标迁移”教学模式，使学生掌握、建构和内化所学知识，从而使他们进行更高水平的认知活动。

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难点攻关抛物线与平行四边形近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过A ，B ，C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝016a+4b+2＝2 解得: ⎩⎪⎨⎪⎧a=－116b=14∴所求抛物线的解析式为y ＝−116x 2+ 14x+2；(2)将抛物线的解析式配方，得y ＝−116(x−2)2+214∴抛物线的对称轴为x=2．当y=0时，x 1=-4，x 2=8∴D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)．欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP=QE ，BO=EF ．∴△POB ≌△QEF∴BP=FQ ．∴t=6-3t ，即t=32(3)欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似，∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴△PBO ∽△QOB 或△PBO ∽△BOQ ，∴BP:OB=OQ:BC 或 BP:OB=BC:OQ即PB=OQ 或OB 2=PB•QO ．①若P 、Q 在y 轴的同侧．当PB=OQ 时，t=8-3t ，∴t=2．当OB 2=PB•QO 时，t(8-3t)=4，即3t 2-8t+4=0．解得t 1＝2，t 2＝23②若P 、Q 在y 轴的异侧．当PB=OQ 时，3t-8=t ， ∴t=4．当OB 2=PB•QO 时，t(3t-8)=4，即3t 2-8t-4=0．解得t ＝4±273 ∵0＜t≤4，∴舍去t=4－273，∴t=4+273∴当t=2或t=23 或t=4或t=4+273秒时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似．【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质和等腰梯形的性质的运用，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的运用及数学分类思想的运用．2. 已知顶点为P 的抛物线C 1的解析式是y=a(x-3)2(a≠0)，且经过点(0，1)．(1)求a 的值；(2)如图将抛物线C 1向下平移h (h ＞0)个单位得到抛物线C 2，过点K(0，m 2) (m ＞0)作直线l 平行于x 轴，与两抛物线从左到右分别相交于A 、B 、C 、D 四点，且A 、C 两点关于y 轴对称．①点G 在抛物线C 1上，当m 为何值时，四边形APCG 是平行四边形？②若抛物线C 1的对称轴与直线l 交于点E ，与抛物线C 2交于点F ，试探究：在K点运动过程中，KCPF 的值是否会改变？若会，请说明理由；若不会，请求出这个值．解：(1)∵抛物线C 1的解析式是y=a(x-3)2(a≠0)，经过点(0，1)，∴1=a(0-3)2，解得：a=19(2)①∵A 、C 两点关于y 轴对称， ∴点K 为AC 的中点，若四边形APCG 是平行四边形，则必有点K 是PG 的中点，过点G 作GQ ⊥y 轴于点Q ，在△GQK 和△POK 中⎩⎨⎧∠GQK ＝∠POKQK ＝OK ∠QKG ＝∠OKP∴△GQK ≌△POK(ASA)， ∴GQ=PO=3，KQ=OK=m 2，OQ=2m 2，∴点G(-3，2m 2)，∵顶点G 在抛物线C 1上，∴2m 2=19(-3-3)2，解得：m=±2又∵m ＞0，∴m= 2∴当m= 2 时，四边形APCG 是平行四边形；②KC PF 的值不会改变；理由：在抛物线y=19(x-3)2中，令y=m 2，解得：x=3±3m ，又∵m ＞0，且点C 在点B 的右侧，∴C(3+3m ，m 2)，KC=3+3m ，∵A 、C 两点关于y 轴对称，∴A(-3-3m ，m 2)，∵将抛物线C1向下平移h(h ＞0)个单位得到抛物线C2，∴抛物线C2的解析式为：y=19 (x-3)2-h ，∴m2=19 (-3-3m-3)2-h ，解得：h=4m+4，∴PF=4+4m ，∴KC PF = 3+3m 4+4m =34【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，利用二次函数对称性得出A 点坐标是解题关键．3. 如图，抛物线经过A(-1，0)，B(5，0)，C(0,-52 )三点．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标．(Ⅲ)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(Ⅰ)设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0)，∵A(-1，0)，B(5，0)，C(0，-52)三点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52解得 : ⎩⎨⎧a=12b=－2c=－52 ∴抛物线的解析式为：y=12x 2-2x-52(Ⅱ)∵抛物线的解析式为：y=12x 2-2x-52∴其对称轴为直线x=-2连接BC ，如图1所示，∵B(5，0)，C(0，-52)∴设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴⎩⎨⎧5k+b ＝0b=－52 解得⎩⎪⎨⎪⎧k=－12b=－52， ∴直线BC 的解析式为 y=12x-52当x=2时，y=1－52 =-32∴P(2，-32)(Ⅲ)存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C(0，-52)∴N 1(4，-52)②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△AN 2D 与△M 2CO 中，⎩⎨⎧∠N 2AD ＝∠CM 2OAN 2＝CM 2∠AN 2D ＝∠M 2CO∴△AN 2D ≌△M 2CO(ASA)， ∴N2D=OC=52 ，即N 2点的纵坐标为52∴12x 2-2x －52 =52解得x=2+14 或x=2-14∴N 2（2+14,52），N 3（2-14,52）综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，-52 ），（2+14,52），或（2-14,52）【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答(3)时要注意进行分类讨论．4. 如图，抛物线y=-1.25x2+4.25x+1与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x轴，垂足为点C(3，0)(1)求直线AB 的函数关系式；(2)动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；(3)设在(2)的条件下(不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况)，连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．解：(1)∵当x=0时，y=1，∴A(0,1)．当x=3时，y=-54×32+174×3+1=2.5，∴B(3，2.5)，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则：⎩⎨⎧b=13k+b=2.5，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b=1k=12 ∴直线AB 的解析式为y=12x+1；(2)∵动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，点P 移动的时间为t 秒， ∴OP=1•t=t ，∴P(t ，0)(0≤t≤3)，∵过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，∴M （t ，12t+1），N （t ，-54t 2+174t+1），∴s=MN=NP-MP=-54t 2+174t+1-（12t+1）=-54t 2+154t (0≤t≤3)；(3)由题意，可知当MN=BC 时，四边形BCMN 为平行四边形，此时，有-54t 2+154t=52解得t 1=1，t 2=2，所以当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形．①当t=1时，MP=32 ，NP=4，故MN=NP-MP=52又在Rt △MPC 中，MC=MP 2+PC 2 =52，故MN=MC ，此时四边形BCMN 为菱形；②当t=2时，MP=2，NP=92 ，故MN=NP-MP=52，又在Rt △MPC 中，MC=MP 2+PC 2 =5故MN≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，路程、速度与时间的关系，平行四边形、菱形的判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．5. 如图，在直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．抛物线y=-x 2+bx+c 经过点B 、C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且点D 从点A 开始，以1cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时点E 从点B 开始，以1cm/s 的速度沿BC 向点C 移动．运动t 秒(t≤2)后，能否在抛物线上找到一点P ，使得四边形BEDP 为平行四边形？如果能，请求出t 值和点P 的坐标；如果不能，请说明理由．【解答】解：(1)依题意得：B(2，2)，C(0，2)．把它们代入y=-x 2+bx+c ，得{2＝−22+2b+c 2=c , 解得 {b=2c=2 所以，该抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+2；(2)∵四边形BEDP 为平行四边形，∴BE=PD ，且BE ∥DP ，∴设E(2-t ，2)，则D(2，t)，P(2+t ，t)．又∵点P 在抛物线y=-x 2+2x+2上，∴t=-(2+t)2+2(2+t)+2，解得：t 1=－3+172 ，t 2=－3－172(负值，舍去)．则2+t=1+172故点P 的坐标为(1+172,－3+172) 【点评】本题考查了二次函数综合题．解题时，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，平行四边形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，还要注意“数形结合”的数学思想的应用．6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B 为线段OA 的中点，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M ，点P 为线段FG 上一个动点(点P与F 、G 不重合)，作PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ．(1)若经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为y=-x 2+(2b-1)x+c-5，则b= ，c= (直接填空)(2)①以P 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形，则点P 的坐标为 (直接填空)②若抛物线顶点为N ，又PE+PN 的值最小时，求相应点P 的坐标．(3)连结QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为平行四边形？②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)如图1，∵OA=2，OC=OE=4，B 为线段OA 的中点，∴B(-1，0)，C(4，0)，E(0，4)．∴抛物线对称轴为x=32又过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为y=-x 2+(2b-1)x+c-5，∴-2b －12×(−1) =32 ，且c-5=4，解得 b=2，c=9．故填：2；9；(2)①设直线AD 的解析式为：y=kx+2(k≠0)．∵A(-2，0)，∴0=-2k+2，解得 k=1，∴直线AD 的解析式为：y=x+2．如图1，过点E 作EP ∥x 轴交直线AD 与点P ，则∠PED=90°．∴把y=4代入y=x+2，得 x=2，则P(2，4)．∴ED=EP ．过点E 作EP′⊥直线AD 于点P′，则∠EP′D=90°．∴点P′是线段DP 的中点．∴P′(1，3)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为：(2，4)或(1，3)．故填：(2，4)或(1，3)；②如图2，作点N 关于直线AD 的对称点N′，连接EN′，EN′与直线AD 的交点即为所求的点P ．所以 P(3419,7219 )；(3)点M 坐标是(32,72），点N 坐标是（32,254)∴MN=114设点P 为(x ，x+2)，Q(x ，-x 2+3x+4)，则PQ=-x 2+2x+2①如图3，若P′Q′NM 是平行四边形形，则P′Q′=MN ，可得x 1=0.5，x 2=1.5当x 2=1.5时，点P′与点M 重合；当x 1=0.5时，可求得P′M=2，所以平行四边形不存在；②如图3，能成为等腰梯形，作QH ⊥MN 于点H ，作PJ ⊥MN 于点J ，则NH=MJ ，则 254-（-x 2+3x+4）=x+2- 72解得：x=52，此时点P 的坐标是(52,92)【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形、等腰梯形的判定．7. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=c ，AC=b ，BC=a ，抛物线y=ax2+bx-c 与x 轴的一个交点为(m ，0)．(1)若四边形ABCD 是正方形，求抛物线y=ax2+bx-c 的对称轴；(2)若m=14c ，ac-4b ＜0，且a ，b ，c 为整数，求四边形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，AC=2AB ，即b=2a=2c ，∴抛物线y=ax 2+bx-c 的对称轴为直线x=－b 2a =－22； (2)∵m=14c ，∴抛物线y=ax2+bx-c 与x 轴的一个交点为(14c ，0)．把（14c ，0）代入y=ax 2+bx-c 得a•116c 2+14bc-c=0， ∴ac+4b-16=0，∴ac=16-4b ，∵ac-4b ＜0，∴16-4b-4b ＜0，解得b ＞2，又∵ 16-4b=ac>0 ， ∴b<4∴2＜b ＜4，而b 为整数，∴b=3，∴ac=16-4×3=4，而a 、c 为整数，∴a=1，c=4(舍去)或a=2，b=2，即平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=2，AC=3，∴四边形ABCD 为菱形，连接BD 交AC 于O ，则OA=OC=32 ，BO=DO ，在Rt △BOC 中，BO=22－(32)2=72 ∴BD=2OB=7∴四边形ABCD 的面积=12×3×7 =327 【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定与性质；会求抛物线与x 轴的交点坐标．。