奥数韩信点兵
韩信点兵问题,中国仅有的世界通用定理
韩信点兵问题与中国剩余定理今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？这段文字翻译成现代数学语言其实并不难，就是一个数同时满足除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，问这个数是多少？此类问题古人称为“韩信点兵问题”,据说是韩信不用过问兵的数量，只需让士兵变换方阵即可快速得出士兵的数量，也不知道是真是假，如果是真的，那韩信也算是一个数学过硬的将军了.上过小学的同学都知道，我们随便试几个数就可以很快发现，23就是第一个满足的数字.然而，你要找到更多的数字，那就有些难度了.要是换成更大的数字，例如一个数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，那这样的数如何去求呢？这就是今天小编要分享的是中国剩余定理.中国剩余定理是唯一一个以国家命名的定理，“韩信点兵问题”的记载最早出自南北朝数学名著《孙子算经》,中国剩余定理也叫孙子定理.这个问题放在现在肯定是不难求解的，接触过初等数论的同学就知道，只需解一个同余式组.)5(mod 3)3(mod 2N )7(mod 2{≡≡≡N N 的最小正整数解.方法一：大衍求一术公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得超越前人的辉煌成果，系统的阐述了“大衍求一术”，到了明代，著名大数学家程大位，在他的《算法统宗》中，还编写了四名歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.意思不难理解：三个人一同走路，70岁的老者很少，五棵梅花树上一共有21朵梅花，7个孩子在每月十五团圆，把这些数减去105便能得出答案.为什么？其中的原理还是让多数人摸不着头脑的,程大位数学家就更加详细了：①找出能被5与7整除而被3除1的数70，被3与7除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7余1的数15；②把70、21、15这三个数字分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是2.同理，233与63被5除余数是3；233与30被7除余数是2，所以233是满足题目的一个数；③而3，5，7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3，5，7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求.故105n+23就是问题的解.方法二：等差数列法学过小学奥数的同学或者学过高中数学数列的同学非常好理解，三三数之余二，即3n+2，穷举得2，5，8，11，14........，从这些数中找到除以5余数是3的数，第一个数是8，故15n+8满足前两条件；再从15n+8的数中找到23满足除以7余2，而15和7的最小公倍数为105，故105n+23即满足所有条件.是不是相当简单？方法三：不定方程法设这个数为n ，则有273523+=+=+=z n y n x n 消去n 可得,175135-=--=-z y x y ，再消去y 得z z z x 31237+==，而x 为整数，可令k =z 31，即有z =3k ,x =7k ，代入可得5y -21k =-1,可得y =21k ′+4，代入可得n =105k ′+23,此法亦不难理解，初中生学过方程的即可.当然，还是一个核心的问题，这类问题有没有固定的解法，一旦数字改变，那解法可能会变得复杂，甚至算不出来.其实是有的.古人也早就提出了解法，不过具体原因在哪里，很多人是不明白的.如下：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
韩信点兵又称为中国剩余定理
簡介：韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。
劉邦茫然而不知其數。
韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。
最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。
至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。
秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。
根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第7讲 盈亏问题 人教版(含答案)
第七讲 盈亏问题第一部分：趣味数学谈到韩信点兵这个问题我们先来读一个小故事，据说有一次刘邦偷偷来到韩信的兵营察看，并盗了他的兵符。
后来在营帐中问韩信：“你觉得我能带多少兵？“十万”韩信很干脆地回答。
刘邦又问：“你能带多少兵？”韩信说：“臣带兵多多益善！”刘邦听了有点不爽。
韩信又说“臣是将兵之将，大王您乃将将之将！”刘邦听了很高兴，于是又把兵符给了韩信。
后来演变成“韩信将兵，多多益善”这个成语，意思是说某样东西越多越好，这个故事出处 《史记·淮阴侯列传》。
下面我们来看一个韩信点兵的数学问题。
韩信点兵每三人一列，余一人；每五人一列，余一人；每七人一列，余一人。
问至少士兵几何？赏析：每三人一列，余一人；每五人一列，余一人；每七人一列，余一人。
只要先求出3、5、7的最小公倍数，然后再加1就可以了。
解答； 3 × 5 × 7 + １＝106（人）同学们，学习了上面两个问题你有什么想说的吗？我们的古人是不是很聪明，能将身边的平凡事与数学知识联系起来，你能做到吗？第二部分：奥数小练【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。
乒乓球队共有多少名学韩信点兵问题生？【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。
原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。
练习一：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。
学校买来两种粉笔各多少盒？2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。
韩信点兵算法
韩信点兵算法引言：在古代，战争是非常重要的事情，决定了一个国家的生死存亡。
在战争当中，充分发挥每个士兵的潜力，合理地调配兵力，是取得胜利的重要条件之一。
而韩信点兵算法就是古代著名将领韩信所使用的一种智能算法，用于合理地点兵。
本文将对韩信点兵算法进行详细的介绍。
一、韩信点兵算法的原理韩信点兵算法基于对士兵个体能力的评估和战场情况的分析，通过一系列的计算和筛选，确定每个兵种的数量和分布，以达到最佳的作战效果。
具体的算法步骤如下：1. 评估士兵个体能力首先，需要对每个士兵的个体能力进行评估。
这包括士兵的体力、持久力、武器技能等方面。
通过对士兵进行体能测试、技能考核等方式，得到每个士兵的评分，将其视为个体能力指标。
2. 分析战场情况其次，需要对战场情况进行详细的分析。
这包括战场地形、敌人的兵种和数量等因素。
通过观察战场地形，掌握敌人的情报，计算敌人的总兵力等，得到战场情况的参数。
3. 计算每个兵种的数量根据士兵个体能力评估和战场情况的分析结果，韩信点兵算法会计算出每个兵种的最佳数量。
该计算过程中，通常会采用一些优化算法，如遗传算法、模拟退火算法等，以求解最优解。
4. 分配士兵最后，根据计算出的每个兵种的数量，将所有士兵分配到各个兵种中。
分配过程中，通常会考虑士兵的个体能力和战场情况，合理地分配士兵，以保证每个兵种都有足够的人数和相应的能力。
二、韩信点兵算法的优势韩信点兵算法具有以下几个优势：1. 充分发挥士兵的个体能力韩信点兵算法通过对士兵个体能力的评估，可以将每个士兵的特长和优势发挥到最大。
在分配士兵的过程中，会将具有较高评分的士兵分配到适合他们的兵种，以发挥他们的潜力。
2. 考虑战场情况，合理分配兵力韩信点兵算法不仅评估士兵的个体能力，还会对战场情况进行分析。
通过考虑战场地形和敌人的情报，可以合理地调整兵力的分配。
例如，在山地作战中，会增加弓箭手的数量，以便更好地利用地形优势。
3. 高效的计算和筛选过程韩信点兵算法采用一些优化算法，如遗传算法、模拟退火算法等，使得计算和筛选过程更加高效。
苏科版五(下)奥数教案第3讲~韩信点兵
五（下）奥数第3讲~韩信点兵【知识精讲】本讲我们将在寒假余数的基础课上继续深入学习余数，的性质和计算，同样属于数论专题。
我们这节课重难点是学习物不知数问题的解法。
我们这节课要掌握以下几点：1、学习物不知数问题的解法；2、学习利用分解求余法计算余数；3、学习同余的概念，利用同余把余数问题转化为整除问题来解决。
知识点一：余同问题热身小练习：1、“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，春天到啦。
乐乐所在的班要去春游，需要把全班同学平均分成若干组，如果分成3人一组结果没有剩余，4人一组结果也没有剩余。
乐乐班可能有多少人？2、“好雨知时节，当春乃发生”，春雨过后，万物复苏，乐乐所在的班也要去春游，现把全班同学平均分成若干组，如果3人一组最后会多一人，4人一组最后也会多一人。
乐乐班可能有多少人？思考题：如果一个数除以3余2，除以4余2，这个数可能是多少？例1-1、大家好我是野猪佩奇，这是我的弟弟乔治，这是我的妈妈，这是我的爸爸，我们在包装冰淇淋，如果一袋装8个，最后一袋只有3个，如果一袋装12个，最后一袋也只有3个。
猪年里的小朋友，知道佩奇一家至少有多少个冰淇淋吗？例1-2、一个三位数除以9余4，除以8也余4，这个三位数最小是多少？练1-1、一个自然数除以7余3,除以6也余3,这个自然数最小是多少?练1-2、一个三位数除以10余3，除以16也余3，这个三位数最小是多少？知识点二：差同问题热身小练习：“踏一路春风，撒一路欢笑，向荒山野岭进军，春光染绿我们双脚。
”春天到处充满了生机，优优所在的班级也等不及去春游啦，现把全班同学平均分成若干组，若3个人为一组，则余2人；若4个人为一组，则余3人，优优班可能有多少人？想一想：如果一个数除以3余2，除以4余3、除以5余4，这个数可能是多少？例2-1、开学已经三周，但寒假作业的恐怖之处令部分同学仍心有余悸，张老师在寒假也提醒过“道路千万条，学习第一条。
寒假不学习，回校两行泪。
[精彩]韩信点兵算法流程图
![[精彩]韩信点兵算法流程图](https://img.taocdn.com/s3/m/08e34cd19fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6af.png)
韩信点兵算法流程图韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。
如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。
然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。
不信的话，你还可以试验一下。
例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？这类题目看起来是很难计算的，可是我国古时候却流传着一种算法，名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。
最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。
这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。
至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。
这样，所得的数就是原来的数了。
根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。
韩信点兵(同余问题)
二韩信点兵例1我们先考虑以下的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945〔注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积〕，然后再加3，得9948〔人〕。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
中国剩余定理的应用实例韩信点兵
中国剩余定理的应用实例——韩信点兵物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何?"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件;如果五件五件地数，就会剩下三件;如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件?变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。
问：这队士兵至少有多少人?这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。
当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意;当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。
当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。
历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。
他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。
”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。
韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。
求出了x，y，z以后，M也求求出来了。
而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。
在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。
不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。
我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。
其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。
术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。
一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。
在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。
数学故事：韩信点兵
韩信点兵
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」
答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考。
不过根据考证，著作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
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[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。
韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。
这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。
例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
另可这样想：此题可用枚举法进行推算。
先按顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。
也就是当一个题的限制条件为多个时，先满足其中的一个，再在不改变第一个条件的情况下满足第二个，然后在不改变前两个条件的基础上满足第3个……解：除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，……除以7余2的数：2，9，16，23，30，37，……同时满足以上两个条件的数：23，58，……满足上两个条件，又满足除以3余2的最小自然数是23答：符合条件物体个数是23。
我国古代对解这类问题编了这样的歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
意思是：一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。
如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
具体解法是——2×70+3×21+2×15=140+63+30=233233-105×2=233-210=23例3：我们换一个例子：韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。
问：这队士兵至少有多少人？这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。
当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4。
8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。
于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。
当试到m=3时，得到8+15 m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
我国古代学者早就研究过这个问题。
例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。
"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。
加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：70是5与7的倍数，而用3除余1；21是3与7的倍数，而用5除余1；15是3与5的倍数，而用7除余1。
因而70×2是5与7的倍数，用3除余2；21×3是3与7的倍数，用5除余3；15×4是3与5的倍数，用7除余4。
如果一个数以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。
所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。
一般地，70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k "的要求。
除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。
5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀"。
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。
3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝"。
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。
3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。
3、5、7的最小公倍数是105，所以"除百零五便得知"。
依照上面的思路，我们可以举一反三。
例4：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。
解我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：105×3+196×2+120×5=1307。
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。
用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。
一般地，105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数;( 105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。
如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027就是符合题意的数。
1027=7×140+47，由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。
《算法统宗》中把在以3、5、7为除数的"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。
留给读者自己去编吧。
凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。
下面介绍另外两种解法：一、用提倍（化带）法解：这是一道变形后的较难的韩信点兵问题。
例5：已知三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。
那么，这三个自然数中最小的一个是。
分析与解：设中间数为N，13/（N-1）；15/N，17/（N+1），“/”表示整除，那么都可以把N 表示成带余除法形式。
由N-1=13A，N=15B，N+1=17C，可得：N=13A+1，N=15B，N=17C-1，（A，B，C是非0自然数）这种形式同学们一定非常的熟悉，这在余数、同余这一章最常见。
因此要解决原题，我们就可以根据这三个式子另出一个题铺垫一下：有一个自然数除以13余1，除以15余0，除以17余16（当然可以换成“加1后又是17的倍数”）求这个小于2002的自然数是多少？下面的解法是大家非常熟悉的，本题所求的数有三个要求，我们采取逐个满足的方法。