成都20届高二文科数学下学期零诊考试试卷答案
成都二诊数学试题及答案
成都二诊数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = |x| \)C. \( f(x) = x^3 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：C2. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 21C. 19D. 17答案：A3. 计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \]A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a > 0\) 且 \(b > 0\)，下列哪个点不可能在双曲线上？A. \((a, b)\)B. \((-a, -b)\)C. \((a, -b)\)D. \((-a, b)\)答案：A5. 计算下列定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A6. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A7. 计算下列二项式展开式中 \( x^3 \) 的系数：\[ (x + 1)^5 \]A. 5B. 10C. 15D. 20答案：B8. 已知向量 \( \vec{a} = (2, 3) \) 和 \( \vec{b} = (-1, 2) \)，求向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的点积。
A. -4B. -1C. 1D. 4答案：B9. 计算下列三角函数的值：\[ \cos(\frac{\pi}{3}) \]A. \(\frac{1}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D. 1答案：C10. 已知圆的方程为 \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \)，求圆心到直线 \( y = x \) 的距离。
四川省成都2020届高三下学期第二次诊断考试 文科数学(含答案)
成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足z(l+i)-2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为(A)i (B) -i (C)-l (D)l2．设全集U=R ．集合M={x|x<l}，N={x|x>2}，则(C ∪M)∩N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥2)3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30人，则n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线y=x 3-x 在点(1，0)处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α满足2sin2α= l-cos2α，则tan α=(A) 21 (B)l (C)2 (D)4 6．函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在[1，1]的图象大致为7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f 则函数f(x)的图象的对称轴方程为 (A) Z k kx x ∈-=,4π (B) Z k kx x ∈+=,4π (C) Z k k x ∈=,21π (D) Z k k x ∈+=,421ππ 9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面α，A 1Q ∥平面α若直线B 1D ∩平面α=M ，则11MB MD 的值为 (A)41 (B) 31 (C) 21 (D) 32 10．如图，双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F 1（-c ，0），F 2（c ，0)，直线abc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为(A)2 (B) 324 (C) (D) 332 11已知EF 为圆(x-l)2+(y+1)2=l 的一条直径，点M(x ，y)的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅的取值范围为 (A)[ 29,13] (B)[4,13] (C)[4,12] (D)[ 27,12] 12．已知函数xx x f ln )(=，g(x)=xe -x ，若存在x l ∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)成立，则k e x x 212)(的最大值为 (A)e 2 (B)e (C) 24e (D) 21e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数f(l)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,20,1x x x x 则f(f(x-1))= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=3π，a=2，b=3，则△ABC 的面积为 ．15.设直线l ：y=x-l 与抛物线y2=2px （p>0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知{a n }是递增的等比数列，a 1=l ，且2a 2，23a 3，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设2212log log 1++⋅=n n n a a b ，n ∈N*,求数列{bn}的前n 项和S n . 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为AB ，BC 的中点．(I)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PE=3，求三棱锥B-PEM 的体积．19. (本小题满分12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：(I)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(I)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将(I)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率． 参考公式：20.（本小题满分12分）已知椭圆E: 12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1(-l ，0)，F 2(1，0)，点P(1，22)在椭圆E 上．(I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：x=my+1(m ∈R)与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，当|AB|▪|CD|2的值为82 时，求直线x 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-mx-mlnx ，其中m>0．(I)若m=l ，求函数，(l)的极值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+mx ．若g(x)> x1在(1，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m y m x 22（m 为参数）以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ+1=0. (I)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点P(2，1)，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设g(x)=-x 2+2ax ，其中a 为常数，若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，。
2019年7月8日四川省成都市高2020届高2017级零诊高二下期期末摸底理科文科数学试题及参考答案汇编
１９．解:(Ⅰ)连接 BD ．∵ AB ＝AD ,∠BAD ＝６０°,∴ △ABD 为正三角形．
∵ M 为AD 的中点,∴ BM ⊥ AD������
������ ������ ������ ������１ 分
∵ AD ⊥ CD ,CD ,BM ⊂ 平面 ABCD ,∴ BM ∥ CD������
又 BM ⊄ 平面 PCD ,CD ⊂ 平面 PCD ,∴BM ∥ 平面 PCD ．
在 A 类行业的６个单位中随机选取３个单位的考核数据情形有:{８５,８２,７７},{８５,８２,７８},
{８５,８２,８３},{８５,８２,８７},{８５,７７,７８},{８５,７７,８３},{８５,７７,８７},{８５,７８,８３},{８５,７８,８７},
高三数学(理科)摸底测试参考答案第 １ 页(共４页)
{８５,８３,８７},{８２,７７,７８},{８２,７７,８３},{８２,７７,８７},{８２,７８,８３},{８２,７８,８７},{８２,８３,８７},
{７７,７８,８３},{７７,７８,８７},{７７,８３,８７},{７８,８３,８７}．共 ２０ 种 ．
������ ������ ������ ������７ 分
C 类行业单位个数为 １４０×２００＝８０(个)．
������ ������ ������ ������４ 分
∴A,B,C 三类行业单位的个数分别为６０,６０,８０．
������ ������ ������ ������５ 分
(Ⅱ)记选出的这３个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件 M ．
三 、解 答 题 :共 ７０ 分 ．
１７．解:(Ⅰ)f′(x)＝x２ ＋２mx ＋n������ ∵函数f′(x)的图象关于y 轴对称,∴ m ＝０．
四川省成都市2021届零诊(高二下期末)文科数学模拟试题(解析卷)
调性相同；C 选项中 y x2 不是奇函数，排除 C；D 选项中 y tan x 在 R 上不是单调函数.排除 D.
故
选 B.
8．平面直角坐标系 xOy 中，若角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 O 交
于点
P( x0
,
y0
)
，且
(
2
,
0)
，
cos(
6
)
3 5
2
游消费额为 0.1a，故 C 正确．对于 D，2019 年生活用品的消费额为 0.3×2a＝0.6a，2015 年生活用品的消费 额为 0.15a，故 D 不正确．故选 C.
4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）
A． 8
B． 6
C． 4
D． 8 2 3
【答案】A
【解析】由题意可知该三棱锥底面是边长为 2 的等腰直角三角形,高为 2.故外接球直径为 22 +22 =2 2 .
C．该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的五倍
D．该家庭 2019 年生活用品的消费额是 2015 年生活用品的消费额的两倍
【答案】C 解析：设该家庭 2015 年全年收入为 a，则 2019 年全年收入为 2a.对于 A，2019 年食品消费额为 0.2×2a＝0.4a， 2015 年食品消费额为 0.4a，故两者相等，A 不正确．对于 B，2019 年教育医疗消费额为 0.2×2a＝0.4a，2015 年教育医疗消费额为 0.2a，故 B 不正确．对于 C，2019 年休闲旅游消费额为 0.25×2a＝0.5a，2015 年休闲旅
f x anx an1 x an2 x a1 x a0 ，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层
四川省成都市第七中学2018-2019学年度高二(20届)文科数学下学期零诊模拟数学(文史类)(图片版无答案)
四川成都七中高2020届零诊热身试卷数学（文史类）考试时间：120分钟总分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
二.填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上。
17.(本小题满分12分）在△ABC 中，∠A,∠B, ∠C 所对应的边长分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=(1)求∠A ；(2)222,ABC b c a bc S +=-+求#18.(本小题满分12分）为了了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：(1) 估计该校男生的人数；并求出a 值(2) 估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；(3) 从样本中身高在170~180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在175~180cm 之间的概率。
19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O,,且AO 丄20.(本小题满分12分）己知椭圆C: 22221(0)x y a b a b +=>>，与x 轴负半轴交于A(-2,0)，离心率12e = (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于1122(,),N(,)M x y x y ，两点，连接AM ，AN 并延长交直线x = 4于3344(,),(,)E x y F x y 两点，若12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标。
21.(本小题满分12分）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中0a <(1) 当0a =时，()f x 的零点个数；(2) 若()0f x <的整数解有且唯一，求a 的取值范围。
四川省成都七中2019-2020学年度下期高2021届零诊模拟考试文科数学试卷(含答案)
四川省成都七中高2021届零诊模拟考试数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合=--<=<A x x x B x x {|(21)(2)0},{|ln 0}，则 A B =（A ）(0,2) （B ）(12,1) （C ）(0,1) （D ）2(0,)1 2．复数=⋅+∈z a a (1(i),(R)表示纯虚数，则实数a 的值为（A） （B） （C ）0 （D ）-13. 作变速运动的物体的路程与时间的函数关系为=+s t t t ()2，则该物体在=t 2时的瞬时速度为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）34．如图，已知正方体-ABCD A B C D ,1111，记四面体A BDC 11分别在面CC D D 11内的投影为正视图，在面BCC B 11内的投影为侧视图，在面ABCD 内的投影为俯视图，则下列判断正确的是（A ）正视图与侧视图相同 （B ）正视图与俯视图相同（C ）侧视图与俯视图相同 （D ）三个视图均相同5．抛物线=x y 42的上一点P 到焦点F 的距离为4，则点P 到x 轴的距离为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）36．已知函数f x ()的导函数为=-f x x x ()sin /，且=f 2(1)1，则-=f (1) （A ）-2cos11（B ）+2cos11 （C ）21 （D ）-21 7．某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息，判断学生的分数在[70,80)之间的频数为（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）208．实数a b ,满足=a b 23，则下列不等式一定正确的是（A ）≤a b （B ）≥a b （C ）≥a b |||| （D ）≤a b ||||三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题12分）已知函数=+++∈f x x ax bx a b ()1,(,R)32在点f (1,(1))处的切线方程为=-+y x 261． （Ⅰ）求a b ,的值；（Ⅱ）若方程=f x m ()有三个不同的根，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）已知某同学的物理成绩y （单位：分）与数学成绩x （单位：分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表： 90 （Ⅰ）利用上表中的五组数据求回归直线方程=+y bx a ˆˆˆ.若在第六次月考中该生数学成绩为=x 135，利用该回归直线方程预测第六次月考的物理成绩；（Ⅱ）从这五次月考成绩中，任取两次，求这两次中至少有一次数学成绩超过物理成绩30分的概率．（：式公考参∑∑-==---==∧∧∧x x b a y b x x x y y i ini ii n (),()()121）19．（本小题12分）在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠=CAB 90，且==AC AB 1,2，E 为BB 1的中点，M 为AC 上一点，=AM AC 32． （1）若要三棱锥-A C ME 11，求AA 1的长度； （2）证明：CB //1平面A EM 1．A 1B AC B 1 C 1 EM20. (本小题12分)已知圆P ：⎩⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎧αααy x 22sin ,33(21cos ,3为参数）与x 轴相交于点F ，点F 为椭圆+=>>a b a b x y 1(0)2222的一个焦点，且该椭圆经过点P .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆上两动点A ，B (不同于P )满足=+-λλOF OA OB (1)，M 为直线AB 上的一点，满足直线P A ，PM ，PB 的斜率依次成等差数列，求证：点M 的横坐标为定值．21．（本小题12分）已知函数=>f x x x ()ln ,(0)．（1）不等式+≥-x mf x x 1()1在上恒成立，求实数的取值范围； （2）已知∈απ2(0,)，比较αf (tan )与-απ42tan()的大小关系．22.（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 222,1（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为+=ρθθρsin 4sin 2.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点M 的直角坐标为(2,2).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求∙MA MB 的值.x ∈+∞[1,)m四川省成都七中高2021届零诊模拟试题文科数学参考答案一、选择题：BABCD CDCAB DA二、填空题：4206)π 2 -[22l n2 三、解答题：17．解：（Ⅰ）解：（1）=++f x x ax b ()32/2由题意得：++=-a b 326=-+=-f 22(1)6111，即+++=-a b 21111， 由上述方程解得=-=-a b 2,63…………………6分 （Ⅱ）=--+f x x x x 2()61332 ∴=--=+-f x x x x x ()3363(1)(2)2∴f x ()在区间-∞-+∞(,1),(2,)上递增，在区间-(1,2)的上递减，……………9分 值小极∴==-f x f ()(2)9，值大极=-=f x f 2()(1)9 要使方程=f x m ()有三个不同的根，则实数m 的取值范围是-2(9,)9 …………………12分 18．解：（Ⅰ）根据表中数据可得：==x y 120,90,..................1分∑--==x x y y i i i()()13515∑-==x x i i()250125∑∑-∴==--==∧x x b x x y y i ii i i ()0.54()()12515..................2分 =-⋅∧a yb x ∴=a 25.2 故所求回归直线的方程为=+y x 0.5425.2..................4分 易知x 的值为135，∴=y 98.1(分)∴故第六次月考物理成绩预测值为98.1分...................6分 （Ⅱ）数学成绩超过物理成绩30分的月考有：第三次和第四次，从五次月考中任取两次的所有情况有：（一二），（一三），（一四），（一五），（二三），当直线AB 斜率等于零时，-A B (2,0),(2,0)，此时=x 40， 综上得点M 的横坐标为定值4．…………………12分21．解：（1）不等式++≥⇔-≥--x x mf x m x x x 11()ln 011， 令+=-≥-x h x m x x x 1()ln ,(1)1， =h (1)0∴∃>x 10，使函数h x ()在x [1,]0上单调递增， 所以+=≥+-x x h x m x x (1)()0(1)22/2在x [1,]0上恒成立， 即+++≥=xx x m x 2(1)1222在x [1,]0上恒成立， ∴≥m 21， 经验证，当≥m 21时，+≥-x mf x x 1()1+∞(1,)上恒成立，…………………5分 （2）由（1）知当时，， 当时， ，, 令，当时，，即， 当时，，即， ，， 当时，，；当时，，； 当时，，． …………………12分 22.解：（1）⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 222,1可得)-+y x 22. +=∴+=ρθθρρθρθρsin 4sin sin 4sin 2222解得=x y 42.…………………5分x >1x x x >-+ln 211x <<01x >11x x x x x x ∴>-+⇔<-+ln121111ln 211=x t 2t >1t t t >-+222ln 211t t t >-+22ln 11t <<01t t t <-+222ln 211t t t <-+22ln 11f =(tan )ln tan ααααααααα-=-+=-+222222cos 2sincos sin cos tan 1tan 1<<απ04α<<0tan 1f <-(tan )cos 2αα=απ4α=tan 1f =-(tan )cos 2αα<<παπ42α>tan 1f >-(tan )cos 2αα（2）将⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 2221代入抛物线方程=x y 42可得. ()()+=t 224212整理可得(+--=t t 81602. ∴⋅=-MA MB =-=-MA MB t t 1612.…………………10分。
成都七中高2020届高二数学下学期半期(文科)考试试卷
成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数12z i =-，则=z （ ）（A（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）1255i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象， 则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间()2,1-上()f x 是增函数 （B ）在区间()1,3上()f x 是减函数（C ）在区间()4,5上()f x 是增函数 （D ）当2x =时，()f x 取到极小值5.函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）（A ）1%（B ）0.1%（C ）99% （D ）99.9%7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）（A 2 （B ）24cm （C ）2 （D ）2 8.若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D）(0,)+∞9.两动直线1y kx =+与21y x k=--的交点轨迹是（ ） （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ） 抛物线的一部分（D ） 圆的一部分10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x =确定=2x ，则11+=11+1+L是（ ）（A ）2 （B ）12 （C ）12 （D ）12- 11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()10f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()110x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）331111x y <++ （B ）x ye e< （C ）x yx y e e < （D ）sin sin x y x y ->- 12.已知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）2m ≥ （B ）2m ≤ （C ）0m ≤ （D ）02m ≤≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.112z i =+（i 为虚数单位）的虚部是 . 14.已知[]0,2x ∈，则函数()x f x x e =+的值域是 .15.已知曲线2cos :(0x C y y θθθ=⎧⎪≥⎨⎪=⎩为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:260l x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为 .16.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ； （Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．C 1B 1D C B20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：表2（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －·y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －)21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？ 若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x ax x a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>．。
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(五)(文科)
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（五）（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x ＜2或x＞5}2．设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}3．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件4．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i5．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）6．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x7．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C． +i D．﹣i8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π10．为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度11．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．3612．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知函数f（x）=（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．14．已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t 的值为．15．若x，y满足，则x﹣2y的最大值为．16．若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．18．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， (4)4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．19．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．20．设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（I）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（II）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4，CE=2，求AD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y ﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x ＜2或x＞5}【考点】交集及其运算．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．3．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．4．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．5．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D6．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．7．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C． +i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．10．为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的图象．【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A11．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B12．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A． B．C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知函数f（x）=（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【考点】导数的运算．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）=（2x+1）e x，∴f′（x）=2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．故答案为：3．14．已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t 的值为﹣5．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．15．若x，y满足，则x﹣2y的最大值为﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为z max=0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．16．若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=±3．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值．【解答】解：由于函数f（x）=4sinx+acosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，故f（x）的最大值为=5，∴a=±3，故答案为：±3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．18．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， (4)4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．19．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE= PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．20．设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（I）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（II）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（II）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（I）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（II）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣，由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果（ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB 的斜率求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k==，k′==﹣，==﹣3．为定值；（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0可得x A=，y A=+m，同理解得x B=，y B=，x A﹣x B=k﹣=，y A﹣y B=k+m﹣（）=，k AB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k+，当且仅当k=时取等号．此时，即m=，符合题意．所以，直线AB的斜率的最小值为：．请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4，CE=2，求AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】如图所示，连接OC，由CE是⊙O的切线，可得OC⊥DE．可得AD∥OC，=．由切割线定理可得：CE2=BE•AE，解得BE，即可得出．【解答】解：如图所示，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥DE．又AD⊥DE，∴AD∥OC，∴=．由切割线定理可得：CE2=BE•AE，∴=BE•（BE+4），∴BE2+4BE﹣12=0，解得BE=2．∴=，解得AD=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y ﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N 的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．【考点】绝对值不等式；不等式比较大小．【分析】（Ⅰ）由|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，求出x 的范围，即可得到集合M．（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知0＜a＜1，0＜b＜1，根据（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，得到ab+1与a+b的大小．【解答】解：（Ⅰ）由|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，∴0＜x＜1，集合M=（0，1）．（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知0＜a＜1，0＜b＜1，所以（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，故ab+1＞a+b．。
2019-2020学年四川省成都市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年四川省成都市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．375．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝18．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】利用交集定义直接求解．解：全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，看出复数的对应的点的坐标，得到点的位置．解：，对应的点是（﹣2，1），故选：B．3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．2【分析】由分段函数f（x）＝，由内向外依次求函数值即可．解：∵f（x）＝，∴f（）＝ln＝﹣1，故选：D．4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．37【分析】根据随机数表直接求解即可．解：第6行第9列的数开始向右读，依次为39，17，37，23，35，则第5个编号是35．故选：C．5．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．【分析】可以求出导函数，然后将x换上即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【分析】直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．解：由q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，∴1+k2＝4，∴k＝±，显然p⇒q；q得不出p故选：A．7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．解：椭圆+＝1的焦点（±5，0），所以双曲线﹣＝4（a＞0，b＞0）的焦点坐标（±2，0），双曲线﹣＝1离心率为2，所以，可得a＝1，则b＝＝＝．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．当n＝10时，满足退出循环的条件，＝0++0+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+0++1+＝．故选：B．9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π【分析】由三视图知，该几何体是一个球切除两个八分之一几何体的剩余部分，再根据球的半径即可求得表面积．解：由三视图，该几何体是球体切除两个八分之一几何体的剩余部分，球的半径为2．切除部分：O﹣PAB；O﹣PCD，如图：即原几何体的表面积为S＝×4π×27+×π×24＝18π．故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）【分析】将曲线C的参数方程，求得其普通方程，并求得其取值范围，利用直线与抛物线的位置关系，即可求得实数k的取值范围．解：对于曲线C：x＝1+sin2θ＝（sinθ+cosθ）2＝y2，因为0≤4+sin2θ≤2，，联立方程组，消去x，整理得ky2﹣y+k＝6，由题意，该方程在上有两个不同的解，有y1+y2＝∈，y＝k（x+1）恒过点（﹣1，6），它与点之间连线的斜率是，因此，，故选：D．11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，结合单调性及偶函数的定义即可比较大小．解：由f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2|﹣x|+3＝﹣x2+2|x|+7＝f（x）可得f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3在（0，1）递增，（1，+∞）上单调减，又ln5﹣1＝ln，1﹣ln2＝ln，且，所以f（ln3）＞f（ln2）＞f（e），故选：A．12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e【分析】运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求最值．解：kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即为lnx﹣kx﹣1≤b在（0，+∞）上恒成立，若k≤0，则f′（x）＞4，可得f（x）在（0，+∞）递增，故k＞0，当＝k时，f（x）取得最大值f（x）max＝f（）＝ln﹣2＝﹣lnk﹣3，则≥﹣﹣，k＞0，g′（k）＝﹣＝，则的最小值是﹣e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为12.3．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求出，然后代入x＝8，求解即可．解：由题意可得＝＝3.5，＝＝3.5，可得＝﹣0.5．当x＝8时，＝1.7×8﹣0.5＝12.3．故答案为：12.3．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1＝0．【分析】求出切点坐标和切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．解：易知f（0）＝1，切点为（0，1）．f′（x）＝﹣4e x，所以k＝f′（0）＝﹣2．即2x+y﹣1＝5．故答案为：2x+y﹣1＝0．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是乙．【分析】根据题意，假设结论，根据他们说的话推出与题意不符的即为错误结论，从而得出答案．解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；综上可得：会中国象棋的是乙，故答案为：乙．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．【分析】根据题意，|OQ|＝c．设∠PF1F2＝θ，则，在△PF1F2中，利用余弦定理，即可求得椭圆的离心率的取值范围．解：记PF1的中点为Q，连接OQ，因为Q在x2+y2＝a2﹣b2＝c2，所以|OQ|＝c．所以|PF2|＝2c，|PF3|＝2a﹣2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得＝＝，所以0＜（a﹣c）2≤（a﹣c）c，由e＜1，所以e≥1﹣e，所以＝，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．【分析】（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图列出方程组，能求出m，n，由此能补全各年龄段人数频率分布直方图；（Ⅱ）根据条件从年龄在[30，35）段选取3人，从年龄在[35，40）段选取2人，然后求出从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，基本事件总数n和选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m，再求出选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．解：（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图得：，补全各年龄段人数频率分布直方图如下：（Ⅱ）从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m＝＝6，∴选取的7名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率p＝＝＝．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+4ax+b，由f′（﹣1）＝0，f（﹣1）＝0，解得：；则f′（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），故f（x）在[﹣1，﹣）递减，在（﹣，1]递增，而f（﹣5）＝0，f（1）＝4，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值是4．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知证明AE⊥底面BCDE，可得BC⊥AE，再由BC⊥BE，得到BC ⊥平面ABE，进一步可得平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）利用V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD求解．【解答】证明：（Ⅰ）在图①中，由AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，得BE2＝AB2+AE5﹣2AB•AE•cos60°＝．在图②中，有AE⊥BE，∵BE∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE，得AE⊥BC，∴平面ABE⊥平面ABC；∵P为AC的中点，∴P到平面BCD的距离为．∴V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD＝＝．故三棱锥P﹣ABD的体积为．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．【分析】（Ⅰ）反解x，y，根据（x，y）满足圆方程，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）设出点P的坐标（m，n），用m，n表示出M，N两点的坐标，再求三角形面积，即可得到结果．解：（Ⅰ）圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：，即，即曲线C的方程为．故可得m2+4n6＝4，故直线PB方程为：，令y＝4，同理直线PA方程为：，令x＝0，故M点坐标为，＝＝故△ABM与△BMN的面积之和为2．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）两次求导，由导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）（lnx+ax+1），x∈[，e2]，将问题转化为函数h（x）的零点个数问题，显然x＝1是函数h（x）的一个零点，当x≠1时，求方程lnx+ax+1＝0根的个数，常数分离，构造t（x）＝﹣，x∈[，e2]，利用导数判断函数t（x）的单调性与最值，即可a的取值范围，进而判断零点个数．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）lnx的定义域为（0，+∞）．f’（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，f’（1）＝0，所以f（x）（6，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．则函数f（x）与g（x）图象的公共点个数即为函数h（x）的零点个数．当x≠1时，lnx+ax+1＝0，即a＝﹣，则t′（x）＝，故t（x）在[，1）上单调递减，在（3，e2]上单调递增，又t（）＝e8，t（e2）＝﹣，综上可得﹣1＜a≤﹣时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为3；a≤﹣1或a＞e2时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y ﹣5＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，根据，整理得ρ2＝6ρcosθ，（Ⅱ）把直线的参数方程，代入x2+y6＝6x，所以，t1t2＝﹣5，所以+＝＝．。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。