第十一章动载荷

2W
称为阻尼系数
0
Kg W
g
j
系统的固有频率
方程（a）的稳定解即系统强迫振动的响应为：
x
Fg
W0
sin(t
)
F
sin(t
)
式中ΔF是把干扰力F按静载的方式作用于弹簧上的静 位移，而
1
1
0
2
2
4
0
2
0
2
2
2
arc
tan
2 0
2
arc tan
0 0
2
1
0
β称为动力放大系数
θ称为初相位
2FN qd
0
FN
qd D 2
sin D
2
AD 2
4g
d 2
qd D
于是圆环截面的应力为
d
FN A
D2 2
4g
v2
g
式中v是圆环轴线上各点的线速度 v D 2
强度条件为
d
v 2
g
可见：圆环内应力与横截面面积无关，仅与圆环的线
速度和材料单位体积的重量有关。
例11-1 图示重物M的质量m=1kg，重 Fd
0.5ql2
解：梁自重及惯性力均为按质量分布载荷，我们将二者合在 一起，分布载荷密度q，梁受力如图，并画弯矩图
q A(1 a )
g
M z max 0.625ql 2
梁中的最大动应力
max
M max Wz
0.625 Al2
Wz
(1
a) g
二、构件作等速转动时的动应力
设圆环以等角速度绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴
Kd 1
1 2h

2. 已知冲击物冲击时的速度v
Kd 1
1 v2
g j
3. 已知冲击物冲击时的初动能Ek0
Kd 1
1 2Ek0
W j
或
Kd 1
1 Ek0 Vj
其中静载应变能
V j W j / 2
4. 若重物以水平速度v冲击构件时
Kd
v2
g j
例11-2 图a、b分别表示两根受重物Q冲击的钢梁，其中
对于圆轴
I p Wp2 2 A
于是
d max
2GJ Al
可见，冲击时轴内的最大动应力与轴的体积有关，体积越大，动 应力越小。
若飞轮的转动惯量为J=0.05kNms2，轴长l=1m，转速n=100rpm， 轴直径d=0.1m，剪切弹性模量G=80GPa，代入上式可求得 τmax=334MPa，已超过Q235钢材的屈服极限。所以冲击载荷是十 分有害的。
旋转。若环的平均直径D远大于厚度δ，则可近似地认为
环内各点的向心加速度大小相等，且都为an=Dω2/2。设 圆环的横截面积为A ，单位体积的重量为γ，于是沿圆环
轴线有均匀分布的惯性力，其集度为
qd
A
g
an
AD 2
2g
方向则背离圆心
ω D
y
qd
qd
ds
d
FN FN
计算环内应力: 将圆环沿直径 切开，取上半部为研究对象 由平衡条件∑Fy=0得
提高构件抗冲击的能力： 1．降低构件刚度。a).增加缓冲装置，如缓冲弹簧、 弹性垫圈、弹性支座等; b).采用弹性模量E较低的材料; c).缩减构件截面尺寸，或增加构件的长度。但要注意 构件的冲击应力是否满足强度条件。 2．避免构件局部削弱。 3．增大构件体积。这一方法仅适用于等截面杆
例11-4 在水平面内的AC杆，以角速度ω作等速旋转，
A
B
a W
第一节 惯性载荷下的动应力和动变形
一、构件作等加速直线运动时的动应力和动变形
用达朗贝尔原理，在构件上加惯性力，然后将惯性力 看成是作用于构件上的一种外力，再按以前各章所述 方法求出构件的应力和变形，即为构件在等加速运动 下的动应力和动变形。
A
B
FN
设绳索的横截面积
为A，则动应力为
a W
W
C端装有一个重量为Q的球，若在B点被突然卡住，求 AC杆内最大动应力。 AC杆质量可忽略不计。
ω
A
C
l
ω A
l1
FdC
B
Δd
Ek V
Q 2l 2
2g
1 2
Fd
d
kd
Fd Q
d j
kd
l
jg
冲击前动能：
Ek
1 2
Q g
(l ) 2
Q 2l 2
2g
冲击后杆件的变形能：
V
1 2
Fd d
M max Q(l l1)
FI=ma
d
FN A
1
a g
j
式中σj=W/A为绳索受重物W的作用时的静应力。
引入记号
Kd
1
a g
称为动载荷系数，则式（a）可写为 d K d j
强度条件为： d Kd j [ ]
或
j
[ ]
Kd
式中[σ]为静载下材料的许用应力
在线弹性范围内，绳索的动变形Δd与静变形Δj之间有类 似的关系式：
j max
M max Wz
Q(l l1) Wz
j
Q(l
l1)2 (l l 3EI
l1)
kd
l l g j
3EI g Q(l l1)2 (l l l1)
d max
Q(l l1) Wz
l
3EI g Q(l l1)2 (l l l1)
l 3EIQ Wz g (l l l1)
跨度中点的最大挠度和最小挠度分别为：
d max j F
d min
j
F
可改写为
d max
j d min
1 1
F j F
j
j
若材料服从虎克定律，则应力、载荷和变形间成正比. 因此梁在静平衡时的最大静应力，与最大位移时的最
大动应力的关系为 d max d max 1 F
j
1103 33 48 200109 3.4105
m
0.0827mm
Q l/2 l/2
h
Kd 1
1
2 8.27
0.05 105
1
1211 35.8
j
Ql 4W
1000 3 1000 4 3.09105
MPa
2.43MPa
d 35.8 2.43MPa 87.0MPa
(2)弹性支承情况下的冲击应力：
d
M max Wz
32 6.9
0.013
Pa
70.3MPa
第二节 构件受冲击时的应力和变形
当运动物体（冲击物）以一定的速度作用到静止构件 （被冲击物）上时，被冲击物将受到很大的作用力 （冲击载荷）。这种现象称为冲击。被冲击物体因受 冲击而引起的应力称为冲击应力。如锻打工件、打桩、 凿孔、高速转动的飞轮的突然制动等。 工程上通常采用近似的但偏于安全的能量法求解，并 作如下假设：
的一根梁支承于刚性支座上，另一根梁则支于弹簧刚度
系数k=100N/mm的弹性支座上。已知l=3m，h=0.05m，
Q=1kN,I=3.4×107mm4 ,W=3.09×105mm3 ,E=200GPa
试比较二者的冲击应力。
例11-2
解 (1)刚性支承情况下的冲击应力：
Q
h
A
C
B
l/2 l/2
j
Ql3 48EI
试计算当A端被突然制动时轴内最大动应力。与飞轮相
比，轴的质量可忽略不计。
C
例11-3
A
B
l
解：
当A 端被突然制动时，飞轮C具有动能
Ek
1 2
J 2
轴受到冲击后具有应变能
V
M xd 2l 2GI p
令Ek=Vε，从而求得
M xd
GI p J l
轴内的最大冲击切应力为
d max
M xd Wp
GI p J Wp2l
Fd man mr 2
1 0.1 10 2 N 98.6N
(2)求垂直轴AB中的最大弯矩。
x
MB 0 0.3FAx 0.2Fd 0.1W 0
FAx
1 3
2Fd
W
1 3
2 98.6
1 9.8N
69N
最大弯矩在C截面上部 M max 0.1FxA 6.9N m
(3)最大弯曲应力
j
j
由于ΔF与Δj之比也等于载荷之比，故上式又可写成
d max
j(1
F j
)
j
(
1
F W
)
Kd
j
式中
Kd
1
F j
1 F
W
是振动的动载荷系数
同理可求出梁在最小位移时的最小动应力为
d min
j(1
F j
)
j(1
F W
)
动应力σdmax和动荷系数Kd与动力放大系数β有关。而 β与频率比值ω/ω0及阻尼系数δ有关:
在冲击试验中，一般采用截面为10×10mm2，长度 为55mm，中间开有切槽（缺口）的长方形试件。
55
55
2 2
10 10
2 40
2 40
材料的冲击韧度 定义:摆锻在冲击过程中所减少的位
能，即为试件在折断时所吸收的功Wk除以试件切槽处 的横截面面积为A，其单位为焦耳/米2（J/m2）。
WR F( h1 h2 )
k
WR A
冲击韧度是强度与塑性的综合表现。一般说，塑性
材料的冲击韧度远高于脆性材料。
试验结果表明，αk数值随温度降低而减小。当温度 将到某一狭窄的温度区间内时，αk的数值会骤然下降， 材料变脆。这种现象称为冷脆现象。使αk骤然下降的 温度称为转变温度。