第12章 动载荷与动应力-2013
工程力学动载荷
y
x
A
B
工程力学动载荷
例：重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点. 梁的EI及W均为已知.求:梁内max及梁中点处的挠度
h
A
CD B
P
A
CD B
yD=Pbx(l2-x2-b2)/6lEI
A
CD B
工程力学动载荷
h
A
CD B
P
A
CD B
1
A
B
工程力学动载荷
例 已知:重为G的重物以水平速度v冲击到圆形截面AB 梁的C点,EI已知. 求：σd max
解：水平冲击问题 ※确定动荷系数
静载时σmax出现于固定端A处
工程力学动载荷
图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘上放置弹簧.弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短0.0625cm.钢杆的直径d=4cm,l=4m许 用应力 =120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H.又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
工程力学动载荷
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
工程力学动载荷
于是两杆的冲击应力分别为： (a)
上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的
动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max 欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊索位置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
ACB a
(a)
z y
动载荷
动荷系数 K d
v2 g st
P d K d P st d K d st
d K d st
三、冲击响应计算
例 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN,
求：桩的最大动应力。E=10GPa
解：①求静变形 stP E stLAW EA L 42m 5m ②动荷系数
Wv h=1m
K d11 2h st112 4 12 05 0201 .97
1
一、动载荷：
§10-1 基本概念
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢），构件各部
件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
载荷随时间急剧变化，构件的速度有显著变化，此类载
荷为动载荷。
二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位
移等），称为动响应。
实验表明：只要应力不超过比例极限 ,在动载荷下胡克定
1、起重机丝绳的有效横截面面积为A , [] =300MPa ,物体单位体 积重为 , 以加速度a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳重）。
解：①受力分析如图:
x
aa
L
Nd
mn
qst
x
qG
惯性力q：GgAa
Nd(qstqG)xA(x 1g a)
②动应力
d
Nd A
x(1a)
g
最大动应力
dmax L(1g a)Kdstmax
1.假设： ①冲击物为刚体； ②冲击物不反弹； ③不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）； ④冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算)
2.动能 T ，势能 V ，变形能 U，冲击前、后，能量守恒： (冲击 )T 1V 前 1U 1T2V2U2(冲击 ) 后
工程力学第12章答案
习题12-3图 习题12-2图习题12-4图 第12章 杆类构件的静载强度设计12－1 关于弯曲问题中根据][max σσ≤进行强度计算时怎样判断危险点，有如下论述，试分析哪一种论述正确。
（A ）画弯矩图确定M max 作用面。
（B ）综合考虑弯矩的大小与截面形状；（C ）综合考虑弯矩的大小、截面形状和尺寸以及材料性能； （D ）综合考虑梁长、载荷、截面尺寸等。
正确答案是 C 。
12－2 悬臂梁受力如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A 都相等，试分析哪一种形式截面梁的强度最高。
正确答案是 A 。
12－3 铸铁T 字形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力F P 作用线沿铅垂方向。
若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种使梁有最高的强度。
正确答案是 B 。
12－4 图示四梁中q 、l 、W 、][σ均相同。
试判断下面关于其强度高低的结论中哪一个是正确的。
（A ）强度：图a ＞图b ＞图c ＞图d ； （B ）强度：图b ＞图d ＞图a ＞图c ； （C ）强度：图d ＞图b ＞图a ＞图c ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。
正确答案是 B 。
解：2amax 81ql M =2bmax 401ql M =2cmax 21ql M = 2dmax 1007ql M =12－5 图示四梁中F P 、l 、W 、][σ均相同，不考虑轴力影响。
试判断关于它们强度高低的下述结论中哪一个是正确的。
（A ）强度：图a ＝图b ＝图c ＝图d ； （B ）强度：图a ＞图b ＞图d ＞图c ； （C ）强度：图b ＞图a ＞图c ＞图d ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。
l q PF=3231ABM )(o M(a)习题12-5题习题12-6题32l M P /F 31(d-1)lM P /F 21AB(c-1)lM P /F 10351BA 10351 (b-1) l M P /F 41AB 41 (a-1) 正确答案是 B 。
综合篇 单元十二 动载荷与疲劳破坏
解得
FN
G
G g
a
G 1
a g
40 1
5 9.8
kN
60.4kN
(2)计算钢索的横截面面积A 由强度条件σd=FN/A≤[σ]得钢索的横截面面积为
A
FN
60.4 103 80
755mm2
单元十二 动载荷与疲劳破坏 课题二 加速度引起的动载荷问题
解 (1)计算静挠度Δj和最大 静应力σjmax。查型钢表得22a工
字钢的截面轴惯性矩Iz、抗弯截
面系数Wz为
Iz=3400cm4
Wz=309cm3
简支梁的梁中点受集中力作用时的挠度为
j
Gl 3 48EI z
1103 (3103)3 48 200103 3400104
mm 8.28102 mm
解 （1）应用截面法计算动内力FN，沿 m—m截面将钢索截开，取下半部分为研
究对象，画出受力图并加上重物的惯性
力 ，如图b所示。研究对象被假想成平
衡状态，建立平衡方程
Fy 0
FN
G
G g
a
0
单元十二 动载荷与疲劳破坏 课题二 加速度引起的动载荷问题
• 一、构件在等加速直线运动时的动载荷问题
a g
)
j
(1
a) g
式中，σj=G/A是静载荷G在钢索中产生的应力，称为静应力。
单元十二 动载荷与疲劳破坏 课题二 加速度引起的动载荷问题
• 一、构件在等加速直线运动时的动载荷问题
引入系数 则
Kd
1
动载荷的概念及其分类
第12章 动载荷§12-1 动载荷的概念及其分类1．动载荷的概念前面各章讨论的都是构件在静载荷作用下的应力、应变及位移计算。
静载荷是指构件上的载荷从零开始平稳地增加到最终值。
因加载缓慢，加载过程中构件上各点的加速度很小，可认为构件始终处于平衡状态，加速度影响可略去不计。
动载荷是指随时间作明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。
一般可用构件中材料质点的应力速率（ dt d σσ=•）来表示载荷施加于构件的速度。
实验表明，只要应力在比例极限之内，应变与应力关系仍服从胡克定律，因而，通常也用应变速率（ dt d εε=•）来表示载荷随时间变化的速度。
一般认为标准静荷的 ，随着动载荷 的增加，它对材料力学性能的影响越趋明显。
对金属材料，静荷范围约在 ，如果 ，即认为是动载荷。
min /)~.(3010=•ε•ε/2−s ~41010−•=εs /210−•≥ε2．加速运动构件中的动应力分析三类动载荷问题：根据加载的速度与性质，有三类动荷问题。
（1）一般加速度运动（包括线加速与角加速）构件问题，此时还不会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。
•ε（2） 冲击问题，构件受剧烈变化的冲击载荷作用。
大约在 ，它将引起材料力学性能的很大变化，由于问题的复杂性，工程上采用能量法进行简化分析计算。
•εs /~101（3）振动与疲劳问题，构件内各材料质点的应力作用周期性变化。
由于构件的疲劳问题涉及材料力学性能的改变和工程上的重要性，一般振动问题不作重点介绍，而将专章介绍疲劳问题。
§12-2 构件作等加速运动时的应力计算1．动应力分析中的动静法度为 a 的质点，惯性力为其质量 m 与 a 的乘积，方向与a 相反。
达朗贝尔原理指出，对作加速度运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。
这样，可把动力学问题在形式上作为静力学问题处理，这就是动静法。
动载荷
材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
2、等角速度旋转的构件
•旋转圆环的应力计算 一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：等角速度转动时，环内各
qd
an
D o
t
o
点具有向心加速度，且D>>t 可近似地认为环内各点向心 an 2 D / 2 。 加速度相同， 沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度 q d 为：
圆环横截面上的应力：
式中 v D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
2
d
材料力学
v 2
g
[ ]
§2
惯性力问题
动载荷
•旋转圆环的变形计算
D ， 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 则其直径变化 D D D ，径向应变为
t D ( D D) r t D D E d v 2 D
式中 k d 为冲击时的动荷系数，
2
kd st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d k d st
2H 当 110 时，可近似取 k d st
2 H ，误差<5%。 st 2 H ，误差<10%。 st
4、 k d 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
材料力学习题(7)第十二章 哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目
材料力学习题(7)第十二章哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目材料力学习题第12章12-1 一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用力均为[?]?120MPa，试校核二者的强度。
习题2-1图习题12-2图12-2 重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[?]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[?]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3 图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[?]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[?] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4 图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[?]st = 160MPa，[?]cop = 100MPa，试求许用载荷[F]。
习题12-3图习题12-4图12-5 图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[?] = 160MPa，杆BC为hb= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[?] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6 图示螺栓，拧紧时产生?l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa,[?]=500MPa。
12-7 图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW和P3=221kW。
动载荷与交变应力
则 Fd K d Fst
Fd Fst 钢索中的动应力为 d K d K d st A A
st 为静载荷下钢索中的静应力
此时的强度条 件为
Fst m m
A
Fd
m m x
A
A
g a
d K d st [ ]
结论
x
G
G
G a g
只要将静载荷下的应力、变形，乘以动荷 因数Kd即得动载荷下的应力与变形。
例：一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落，与 一块和直杆AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积 为A。求杆中的冲击应力。
解:重物是冲击物， 杆 AB（包括圆盘） 是被冲击物。
冲击物减少的势能：
A
A
P
B
V P(h d )
动能无变化：T 0
B
d
假使Δd为冲击发生后重物与平 板一起下降的最大位移, Pd为 重物与平板之间的相互作用力
惯性力：大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积， 方向与 a 的方向相反。
FIR ma
构件上除外加载荷外，再在构件的各点上加上 惯性力，则可按求静载荷应力和变形的方法， 求得构件的动应力和动变形。
例1：一起重机钢索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设钢索的横截面面积为 A ，钢索单位 体积的重量为 ，求距钢索下端为 x 处的 m-m A 截面上的应力。 Fst a g m m 解: 钢索的重力集度为 : A 物体的惯性力为:
（1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触 后无反弹，成为一个运动系统。
（2）被冲击物的质量很小可略去不计，材料服 从胡克定律。
（3） 过程中只有势能、动能与应变能的转化， 略去其它能量的损失。
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12.2.1. 自由落体冲击应力和变形
EI
h
P
d
初
末
Pd
初时刻：T1 = 0, V1 = P(h+d), U1 = 0
末时刻：T2 = 0, V2 = 0, U2 = Pdd /2
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材料力学
19
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形
T1 + V1 + U1 = T2 + V2 + U2
A
强度条件： d
D 2 2
4
4
v 2
v
动应变：周向线应变
πD1 πD D d D 2 2 v 2 d πD D E 4E E
极限速度(转速)
直径改变量：D
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D3 2
4E
Dv 2
E
ma
大小：ma
a
○m
F R F
v
v2 m R
m
方向：与加速度a相反
惯性力 Fg= -ma
圆周运动
2014-7-3 材料力学 9
3. 达朗伯原理
在运动物体上假想地加上惯性力，则惯性力与主动力、 约束力在形式上组成平衡力系。
a
○m
4. 动静法
F
ma
○m
F
运用达朗伯原理，将动力学问题在形式上转化为静力学问题。
k 2st kd 2h 0
2 st d
其解为： k 1 1 2h d
st
2h 取正号： kd 1 1 st
自由落体冲击 动荷系数
h： 冲击高度 st：将冲击物重量按静载方式加到冲击点 引起该点相应位移。
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材料力学
21
三. 自由落体冲击应力和变形 EI h P
kd 1 1
2014-7-3
2T W st
材料力学 24
例2 钢制圆截面杆上端固定，下端固连一无重刚性托盘以承
接落下的环形重物。已知杆的长度 l=2m ，直径 d=30mm ， 弹性模量E=200GPa。若环形重物的重力P= 500N，自高 度 h=50mm 处自由落下，使杆受到冲击。求下列两种情 况下，杆的动应力： (1) 重物直接落在刚性托盘上； (2) 托盘上放一刚度系数k=1MN/m的弹簧，环形重物落在弹 簧上。 解：(1) 环形重物直接落在刚性 托盘上 冲击点沿冲击方向的静荷位移
d
st
P 2 初：T1 v V1= 0, U1= 0 2g
末： T2=0, V2=0, U2= Pdd/2 能量守恒：T1+V1+U1 = T2+V2+U2
记 Pd=kdP
初 末
d=kdst
P 2 1 2 v kd Pst 2g 2
kd v2 g st
30
2014-7-3
Pl st1 EA
2014-7-3
500 2 6 7.074 10 m 2 π 0.03 200 109 4
材料力学 25
例2
动荷系数：
kd1 1 1
2h
st
2 0.05 1 1 120 6 7.074 10
P 500 静荷应力： st1 0.7074 MPa 2 A π 0.03 4
d
原冲击问题 等效静荷问题
EI
d
EI P
st
Pd = kdP
Pd
研究最大动应力和最大动变形时，可转化为等效静荷问 题求解。关键：求kd。
2014-7-3 材料力学 22
三. 自由落体冲击应力和变形
类似问题
2014-7-3
材料力学
23
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形 讨论：
2h 自由落体冲击 kd 1 1 动荷系数
解：(1) 确定动荷系数 横梁作匀加速提升，动荷系数：
a kd 1 g
(2) 计算起吊力 静荷起吊力等于梁的自重，即 Fst Al g
a 所以，动荷起吊力 F kd Fst (1 ) Al g g
2014-7-3 材料力学 13
例1
(3) 计算最大弯矩 梁单位长度重力
q A g
作出弯矩图，得最大静荷弯矩
M st max
ql 2 A gl 2 40 40
a A gl 2 (1 ) g 40
最大动荷弯矩
M d max kd M st max
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材料力学
14
12.2.2等速转动构件的动应力
单位体积质量： 横截面面积：A 单位长度质量：A
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材料力学
2
2. 动载荷： 引起构件产生明显加速度的荷载。
直线变速提升重物：
>P FN = P!
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材料力学
3
2. 动载荷：
匀速转动圆环： FNd
飞轮的制动：
FNd
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材料力学
4
2. 动载荷：
绕轴匀速转动的直杆：
FNd
自由落体冲击梁：
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不 平 衡
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加惯性力
平 衡
10
材料力学
12.1.1直线变速运动构件的动应力
轴力：
P Fy 0, FN P a 0 g a FN (1 ) P g a 记 kd 1 动荷系数 g
则 FN = kdP
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材料力学
11
12.1.1直线变速运动构件的动应力
P(h+d)=Pdd/2
令 则
Pd kd P
冲击动荷系数
st：将冲击物重量当作 静载加到冲击点引 P(h+kdst) = kdPkdst/2 起的冲击点位移
Pd kd P d kd st
k 2st kd 2h 0
2 st d
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材料力学
20
三. 自由落体冲击应力和变形
第12章 动载荷与动应力
12.1 惯性载荷作用下的动应力
12.2 冲击应力
12.3 振动应力
2014-7-3
材料力学
1
12.1 惯性载荷作用下的动应力
一. 静载荷与动载荷
1. 静载荷：
载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后不再 变化或变化很小。
特点：加载过程中结构内任意点加速度近似为零， 即结构时刻保持平衡。 在此之前所研究的载荷都是静载荷。
例3
A
(3) 求kd
2h kd 1 1 st
Pa st EI
3
P
B C
2a M Pa
st max
M max Pa W W
a
2hEI 1 1 Pa3
(4) 求stmax (5) 求dmax
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d max
(2) 冲击载荷：构件受剧烈变化力的作用
加速度不易求，材料的力学性质变化较大； 用能量法简化求解。
(3) 振动载荷： (4) 交变载荷：(下一章讨论) 应力作周期变化。
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材料力学
8
12.1 惯性载荷作用下的动应力
1. 特点：加速度可求
形式：直线变速运动构件，等速转动构件。
2. 惯性力
与 (或v)有关
16
材料力学
12.2 冲击应力
一、冲击现象
冲击物
P
冲击物
P
被冲击物 冲击物
P
冲击作用时间很短10-6~10-3秒。 由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因此常采用能 量转化及守恒定律求近似解。
2014-7-3
材料力学
17
二、假设：
1. 冲击物的变形很小，可以忽略不计，即视为刚体，并且 从冲击开始到产生最大位移的整个过程中，冲击物与被 冲击物一起运动，不发生分离。 不吸收变形能 2. 忽略被冲击物的质量，认为冲击载荷引起的应力和变形， 在冲击瞬时遍及被冲击物，被冲击物仍处于线弹性范围 内，并且无反弹。 不计被冲击物的动能和势能 3. 忽略其它能量损失，如接触区局部塑性变形的能量损失、 发热、发声等，只有位能、动能和应变能的转化。 机械能守恒定律仍然成立 动能T， 势能V， 变形能U 任意时刻有：T + V + U = 常数
材料力学
5
3. 动荷响应的特点 (1) 构件各部分有明显的加速度； 不平衡，内力难以用静力平衡方程计算。 (2) 材料的力学性质与静荷载作用不同。 一般可用应变率来区分静荷载与动荷载： 静荷载： 105 ~ 101 1/ s
1 8 动荷载： 10 ~ 10 1/ s
2014-7-3
动应力： d1 kd1 st1 120 0.7074= 84.9MPa
2014-7-3
材料力学
26
例2
(2) 环形重物落在弹簧上
此时，冲击点沿冲击方向的静荷 位移为杆的静荷轴向伸长与弹簧 静荷变形之和，有
500 2 500 st2 2 π 0.03 1 106 9 200 10 4 7.074 106 + 500 106 = 507.074 106 m Pl P EA k
A B
P
C
2a M
A B
a 1
C
Pa
M
2014-7-3 材料力学
a
33
例3
A
P
B
C
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ M Pa M