动载荷及交变应力
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第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
材料力学 第十四章动荷载及交变应力
2.5m
FNd
2.5m
σ d m ax
M d m ax = = 13 5.4 M P a < [σ ] Wz
梁的强度足够. 梁的强度足够.
二,构件作匀速转动时的应力
轮缘
ω
D
δ
轮幅
y
ω
qd d
D
O
O
m m FNd
O n n FNd x
an=ω2D/2
FNd Aρω 2 D 2 = 4
D Aρω 2 D qd = 1. A.ρω 2 = 2 2 FNd ρω 2 D 2 σd = = = ρ v 2 ≤ [σ ] A 4
di = kd sti Fd = kd P
σ d = kdσ st
动荷因数kd中的st计算:是将冲击物的重量P 动荷因数 中的 计算:是将冲击物的重量 作为静荷载沿冲击方向作用在被冲击构件的冲 击点,引起该点沿冲击方向的位移. 击点,引起该点沿冲击方向的位移.
P
st
l
EA
P h P l
Pd
Δd
如:轮船靠泊时的冲击力 起吊重物时的惯性力
t
构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形. 构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形. 构件在动荷载作用下,同样有强度,刚度和稳定性问题. 构件在动荷载作用下,同样有强度,刚度和稳定性问题. 构件内的应力随时间作交替变化,则称为交变应力. 构件内的应力随时间作交替变化,则称为交变应力.
动荷载作用下构件的材料仍服从虎克定律. 动荷载作用下构件的材料仍服从虎克定律. 构件的材料仍服从虎克定律
§14-2 构件作匀加速直线运动 14和匀速转动时的应力
构件作匀加速直线运动时,内部各质点具有相同的 构件作匀加速直线运动时, 加速度;构件作匀速转动时, 加速度;构件作匀速转动时,内部各质点均具有向 心加速度. 心加速度.
动载荷
动荷系数 K d
v2 g st
P d K d P st d K d st
d K d st
三、冲击响应计算
例 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN,
求：桩的最大动应力。E=10GPa
解：①求静变形 stP E stLAW EA L 42m 5m ②动荷系数
Wv h=1m
K d11 2h st112 4 12 05 0201 .97
1
一、动载荷：
§10-1 基本概念
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢），构件各部
件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
载荷随时间急剧变化，构件的速度有显著变化，此类载
荷为动载荷。
二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位
移等），称为动响应。
实验表明：只要应力不超过比例极限 ,在动载荷下胡克定
1、起重机丝绳的有效横截面面积为A , [] =300MPa ,物体单位体 积重为 , 以加速度a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳重）。
解：①受力分析如图:
x
aa
L
Nd
mn
qst
x
qG
惯性力q：GgAa
Nd(qstqG)xA(x 1g a)
②动应力
d
Nd A
x(1a)
g
最大动应力
dmax L(1g a)Kdstmax
1.假设： ①冲击物为刚体； ②冲击物不反弹； ③不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）； ④冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算)
2.动能 T ，势能 V ，变形能 U，冲击前、后，能量守恒： (冲击 )T 1V 前 1U 1T2V2U2(冲击 ) 后
第十、十一章动载荷 交变应力概述
第十章 动载荷与交变应力
§10-2 动静法的应用
一、动静法
1. 构件作加速运动时，构件内各质点将产生惯性力， 惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向
相反。 2. 动静法：在任一瞬时，作用在构件上的荷载,惯性力和
约束力，构成平衡力系。当构件的加速度已知时，可用动静 法求解其动应力。
二、匀加速直线运动构件的动应力
式中， st
P 为静应力。 A
由（3）,（4）式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载 的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因 数反映动荷载的效应。
6
材 料 力 学 电 子 教 案
第十章 动载荷与交变应力
例 10－4 已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108
mm2,等加速度a =10 m/s2 ，不计钢索质量。求：1,吊索的动应 力d ; 2,梁的最大动应力d, max 。 解： 1. 求吊索的d 16号工字钢单位长度的 重量为
横截面上的正应力为
FNd rw2 D 2 d A 4
13
材 料 力 学 电 子 教 案
第十一章 动载荷与交变应力
四、匀变速转动时构件的动应力
例 6－3 直径d =100 mm的圆轴，右端有重量 P =0.6 kN, 直径D=400 mm的飞轮，以均匀转速n =1 000 r/min旋转（图a）。
P a FNd P a P (1 ) g g a 令 K d 1 （动荷系数） g
(1) (2) (3)
则
5
FN d Kd P
材 料 力 学 电 子 教 案
第十章 动载荷与交变应力
钢索横截面上的动应力为
FN d P d K d K d st A A
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 动荷载·交变应力
l
解：1）求最大静应力和静变形
Q
( ) s st max
=
QL Wz
QL3 D st = 3EI
l
2）计算动荷系数
Kd =
v2 gD st
3）计算最大正应力
(s d )max
=
Kd (s st )max
=
Kd
QL Wz
内容小结
动响应=Kd × 静响应
1、构件有加速度时动应力计算
（1）直线运动构件的动应力
Kd = 1+
1+ 2h D st
= 1+ 1+ 2h ×EA
Ql
l
3）计算冲击应力
sd
=
kds st =
Q+ A
(Q )2 Q Q
h
【例6-4】圆截面直杆长度为6m，截面直径d=300mm，杆件材
料的杨氏模量E=10GPa，重物重5kN，从h=1m处自由落下。
1、求最大应力。 2、在木柱上端垫20mm厚的橡皮，杨氏模量E=8MPa。最大正 应力为多少？
1998年6月3日，德国艾舍德高速列车脱轨事故中的车轮轮缘疲劳断口
三.什么是疲劳？
只有承受交变应力作用的条件下，疲劳才发生；
三.什么是疲劳？
疲劳破坏起源于高应力或高应变的局部；
a. 静载下的破坏，取决于结构整体；
b. 疲劳破坏由应力或应变较高的局部开始，形成损伤 累积，导致破坏发生；
Q
h
解：
1、
D st =
Ql = EA
5创103 6? 103 10创103 1 创3.14 3002
=
4.25? 10- 2(mm)
4
2h
解：1）求最大静应力和静变形
Q
( ) s st max
=
QL Wz
QL3 D st = 3EI
l
2）计算动荷系数
Kd =
v2 gD st
3）计算最大正应力
(s d )max
=
Kd (s st )max
=
Kd
QL Wz
内容小结
动响应=Kd × 静响应
1、构件有加速度时动应力计算
（1）直线运动构件的动应力
Kd = 1+
1+ 2h D st
= 1+ 1+ 2h ×EA
Ql
l
3）计算冲击应力
sd
=
kds st =
Q+ A
(Q )2 Q Q
h
【例6-4】圆截面直杆长度为6m，截面直径d=300mm，杆件材
料的杨氏模量E=10GPa，重物重5kN，从h=1m处自由落下。
1、求最大应力。 2、在木柱上端垫20mm厚的橡皮，杨氏模量E=8MPa。最大正 应力为多少？
1998年6月3日，德国艾舍德高速列车脱轨事故中的车轮轮缘疲劳断口
三.什么是疲劳？
只有承受交变应力作用的条件下，疲劳才发生；
三.什么是疲劳？
疲劳破坏起源于高应力或高应变的局部；
a. 静载下的破坏，取决于结构整体；
b. 疲劳破坏由应力或应变较高的局部开始，形成损伤 累积，导致破坏发生；
Q
h
解：
1、
D st =
Ql = EA
5创103 6? 103 10创103 1 创3.14 3002
=
4.25? 10- 2(mm)
4
2h
第20章 动载荷与交变应力
图20-1（a）
1.2 构件做匀加速直线运动时的应力计算
如图 20-1（b）所示，取垂直段吊索与重物为研究对象，应用动静法，可以得出 W
FNd W g a 0
则吊索截面上的动应力 σd 为
σd
FNd A
W A
1
a
g
令 σj
W A
，则有
σd
σj
1
a g
式中， σ j 为吊索在静载荷 W 作用下的静应力。
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
下面结合构件受到自由落体冲击时的应力计算进行说明。 如图 20-2 所示，物体的重力为 W，由高度 h 处自由下落，冲击下面的直杆，使杆发生轴向压 缩变形。
图20-2
图20-2
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
当物体自由下落时，其初速度为零；冲击直杆后，其速度仍为零，而此时杆的受力从零增加
W (h
δd )
1W 2
δd 2 δj
从而得出 δd2 2δ jδd 2hδ j 0
可以解得
δd 1
1
2h δj
δj
由于要求直杆受到冲击时的最大压缩量，因此，上式中根号前应取正号，即
δd 1
1
2h δj
δj
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
令 kd 1
1 2h ，则有 δj
由于冲击过程总是在很短的时间内完成，冲击物的加速度难以确定，因此无法引用惯性力来 计算构件的动应力。工程上一般采用近似能量法计算构件受到冲击时的应力，并对冲击问题作出 如下假设。
（1）冲击过程中，没有能量损失。 （2）构件的质量较小，可以忽略不计。 （3）构件受到冲击时，材料仍服从胡克定律，即其力学性能是线弹性的。
1.2 构件做匀加速直线运动时的应力计算
如图 20-1（b）所示，取垂直段吊索与重物为研究对象，应用动静法，可以得出 W
FNd W g a 0
则吊索截面上的动应力 σd 为
σd
FNd A
W A
1
a
g
令 σj
W A
，则有
σd
σj
1
a g
式中， σ j 为吊索在静载荷 W 作用下的静应力。
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
下面结合构件受到自由落体冲击时的应力计算进行说明。 如图 20-2 所示，物体的重力为 W，由高度 h 处自由下落，冲击下面的直杆，使杆发生轴向压 缩变形。
图20-2
图20-2
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
当物体自由下落时，其初速度为零；冲击直杆后，其速度仍为零，而此时杆的受力从零增加
W (h
δd )
1W 2
δd 2 δj
从而得出 δd2 2δ jδd 2hδ j 0
可以解得
δd 1
1
2h δj
δj
由于要求直杆受到冲击时的最大压缩量，因此，上式中根号前应取正号，即
δd 1
1
2h δj
δj
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
令 kd 1
1 2h ，则有 δj
由于冲击过程总是在很短的时间内完成，冲击物的加速度难以确定，因此无法引用惯性力来 计算构件的动应力。工程上一般采用近似能量法计算构件受到冲击时的应力，并对冲击问题作出 如下假设。
（1）冲击过程中，没有能量损失。 （2）构件的质量较小，可以忽略不计。 （3）构件受到冲击时，材料仍服从胡克定律，即其力学性能是线弹性的。
分析力学基础-6
B B C l
d
解：
Fv 2 Ek = 2g
Ep = 0
1 Vεd = ⋅ Fd ∆d 2
G C v a
G
Fd
杆内的应变能为
Fd a 3 ∆d = 3EI
3EI 由此得 Fd = 3 ∆d a
A (a)
A (b)
于是， 于是，可得杆内的应变能为
1 1 3EI 2 Vεd = Fd ∆d = ( 3 ) ∆d 2 2 a
转动构件的动应力: 二、转动构件的动应力: 重为G的球装在长 的转臂端部， 的球装在长L的转臂端部 例6-3 重为 的球装在长 的转臂端部，以等角速度 在光滑水平面上绕O点旋转 已知许用强度[ 点旋转， 在光滑水平面上绕 点旋转， 已知许用强度 σ] ， 求转臂的截面面积（不计转臂自重）。 求转臂的截面面积（不计转臂自重）。
(a)
一、自由落体冲击问题 设重量为P的重物，从高度 自由落下 自由落下， 设重量为 的重物，从高度h自由落下，冲击到等截 的重物 面直杆AB的 端 长度为l 横截面面积为A。 面直杆 的B端。杆AB长度为 ，横截面面积为 。 长度为
A P l A A
h
F B (a)
P
d
∆d
(b)
∆st
(c)
B
B
简化成
∆d2 − 2 ∆st ∆d − 2 ∆st h = 0
的两个根， 的那个根， 解出 ∆d 的两个根，取其中大于 ∆st 的那个根，即得
2h ) ∆d = ∆st (1 + 1 + ∆st 2h 引用记号 K d = (1 + 1 + ) ∆st
则
∆d = K d ∆st
(e)
将上式两边乘以 E/l 后得
d
解：
Fv 2 Ek = 2g
Ep = 0
1 Vεd = ⋅ Fd ∆d 2
G C v a
G
Fd
杆内的应变能为
Fd a 3 ∆d = 3EI
3EI 由此得 Fd = 3 ∆d a
A (a)
A (b)
于是， 于是，可得杆内的应变能为
1 1 3EI 2 Vεd = Fd ∆d = ( 3 ) ∆d 2 2 a
转动构件的动应力: 二、转动构件的动应力: 重为G的球装在长 的转臂端部， 的球装在长L的转臂端部 例6-3 重为 的球装在长 的转臂端部，以等角速度 在光滑水平面上绕O点旋转 已知许用强度[ 点旋转， 在光滑水平面上绕 点旋转， 已知许用强度 σ] ， 求转臂的截面面积（不计转臂自重）。 求转臂的截面面积（不计转臂自重）。
(a)
一、自由落体冲击问题 设重量为P的重物，从高度 自由落下 自由落下， 设重量为 的重物，从高度h自由落下，冲击到等截 的重物 面直杆AB的 端 长度为l 横截面面积为A。 面直杆 的B端。杆AB长度为 ，横截面面积为 。 长度为
A P l A A
h
F B (a)
P
d
∆d
(b)
∆st
(c)
B
B
简化成
∆d2 − 2 ∆st ∆d − 2 ∆st h = 0
的两个根， 的那个根， 解出 ∆d 的两个根，取其中大于 ∆st 的那个根，即得
2h ) ∆d = ∆st (1 + 1 + ∆st 2h 引用记号 K d = (1 + 1 + ) ∆st
则
∆d = K d ∆st
(e)
将上式两边乘以 E/l 后得
材料力学动载荷交变应力
M (x) qx2 , 0 x 2 2
M (x) N (x 2) qx2 , 2 x 10 2
M (x) q(12 x)2 , 10 x 12 2
从而，弯矩图为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
A
C
B
Nq
N
xN
N
于是，最大弯矩在梁跨的中
⊕
点C处的横截面上，其值为
Mmax 2436.6 N m
的最大弯矩减至最小，其吊索位
置见图所示。
2.484m
N
⊕
⊕
2.484m
构件受冲击荷载作用时的 动应力（冲击应力）计算
冲击应力的计算
当一运动的物体碰到一静止的构件时，前 者的运动将受到阻碍而在瞬间停止运动， 这时构件受到了冲击作用 在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物， 而阻止冲击物运动的构件称为被冲击物 分析被冲击物中产生的冲击应力和变形的 方法
惯性力引起的动应力
横截面C处上下边缘（危险点） 的正应力为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
d max
M max Wz
2436.6 21.2 106
A
C
B
Nq
N
114.9 MPa
欲使工字钢的max减至最小，
可将吊索向梁跨中点C移动，以
x
N
增加负弯矩而减小正弯矩，最后
使梁在吊索处的负弯矩等于中点
C处的正弯矩，此时，工字钢梁
解 根据动静法，当工字
钢以加速度a匀速上升时，工
字钢惯性力的集度为
qd
Ag
g
a
qst
a g
其中，qst=Ag 为工字钢每单位
M (x) N (x 2) qx2 , 2 x 10 2
M (x) q(12 x)2 , 10 x 12 2
从而，弯矩图为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
A
C
B
Nq
N
xN
N
于是，最大弯矩在梁跨的中
⊕
点C处的横截面上，其值为
Mmax 2436.6 N m
的最大弯矩减至最小，其吊索位
置见图所示。
2.484m
N
⊕
⊕
2.484m
构件受冲击荷载作用时的 动应力（冲击应力）计算
冲击应力的计算
当一运动的物体碰到一静止的构件时，前 者的运动将受到阻碍而在瞬间停止运动， 这时构件受到了冲击作用 在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物， 而阻止冲击物运动的构件称为被冲击物 分析被冲击物中产生的冲击应力和变形的 方法
惯性力引起的动应力
横截面C处上下边缘（危险点） 的正应力为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
d max
M max Wz
2436.6 21.2 106
A
C
B
Nq
N
114.9 MPa
欲使工字钢的max减至最小，
可将吊索向梁跨中点C移动，以
x
N
增加负弯矩而减小正弯矩，最后
使梁在吊索处的负弯矩等于中点
C处的正弯矩，此时，工字钢梁
解 根据动静法，当工字
钢以加速度a匀速上升时，工
字钢惯性力的集度为
qd
Ag
g
a
qst
a g
其中，qst=Ag 为工字钢每单位
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动荷载 随时间作急剧变化的荷载；作加速运动或转 动系统中构件的惯性力。
常见动荷载 等加速度直线运动产生的惯性力。 等速转动产生的惯性力。
冲击荷载。
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
交变应力
构件内随时间作交替 变化的应力。
交变应力的后果 构件内最大工作应力远低于材料的屈服强度， 且无明显的塑性变形，会发生骤然断裂。
y
D Fd Od
qd
D 2
d
惯性力在y方向的合力
Fd 0 qd D 2 d sin
qd D
sin d
20
A2D2
2
FNd
FNd
环向横截面上的轴力
FNd
Fd 2
A2 D2
4
环向横截面上的动应力
d
FNd A
2D2
4
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-3 构件受冲击荷载作用时的动应力计算
Ⅱ. 不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；
III. 不计冲击过程中的能量损失。
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
一、自由落体冲击
重量为P的物体由高度为h的位置自由下落，冲击一 块和直杆相连的平板。直杆AB：Δd=? Fd=? σd=?
A P
B
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
3. 动载荷作用下的强度条件：
动荷因数
Kd 1 a g
等加速直线运 动的动荷因数
d Kdst
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
动静法 除了外加荷载，再在构件的各点处附加上惯性力， 然后按求解静载荷问题的程序，求得构件的动应 力。
惯性力
大小 Fd ma
方向 惯性力的方向与加速度的方向相反
1、增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间 放置一弹簧 （ 缓冲弹簧）.
2、减小冲击物自由下落的高度。当 h 0 即重 物骤然加在杆件上，kd 2 。表明骤然加载引起
的动应力，是将重物缓慢作用引起静应力的2倍.
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击 物接触时冲击物的速度为 v，则
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
解： wB d Kd st
Q l 3 4Q l 3 st 3 E I E bh3
Kd 1
1 2H 1 st
1
EbH h3 2Ql 3
wB st Kd 1
1
EbHh 3 2Ql 3
4Ql 3 Ebh3
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
FNd P ma P / g a
外力
P
附加惯性力 P a g
a
P
FNd
P Pa g
动轴力
FNd P Pa g P(1 a g)
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
2. 动应力
d
FNd A
P (1 a A
g)
静应力
st
P A
d st (1 a g)
d Kd st
A
A
A
P
B
Fd
P
d
st
B
B
解: 设冲击后重物的势能为0。
势能
动能
应变能
冲击前 Ep1 P(h d ) 冲击后 Ep2 0
Ek1 0 Ek2 0
V1 0载荷 ·交变应力 (II)
由能量守恒可得
P(h
d
)
1 2
Fd
d
1 2
EA l
d
2
静位移
Pl st AE
例6-3-2 P=500N，H=20mm，
P
l=1m，b=50mm，E=200Gpa， A H
B
b
求C截面的挠度d，梁内最大
C
l/2
l/2
b
弯曲正应力d。
解：Δ C ,st
Pl 3 48 EI
0.1mm ,
C,d
C,st 1
1
2H C , st
2.10 mm
Pd P1
1 2H Δ C ,st
10.51k
N,
d
Md W
1 4
Pd l 1 b3
126MPa
6
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
若两端弹性支撑(弹簧系数k=100N/mm)
C , st
Pl 3 48 EI
P 2k
2.60mm
P
AH
B
b
C
C,d C,st 1
疲劳破坏
疲劳强度校核
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
例 6-2-1 钢索以等加速度a起吊重物。已知重物的重
力为P，钢索的横截面面积为A。求钢索横截面上的
动应力。
解：1. 截面法求钢索横截面上的轴力
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-1 概述 §6-2 构件作等加速直线运动或等速转动时的
动应力计算 §6-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算 §6-4 交变应力下材料的疲劳破坏 ·疲劳极限
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-1 概述
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
例6-2-2 平均直径为D的薄壁圆环作等速转动。已知
圆环的角速度，环向截面面积和材料的密度 。
试求圆环环向截面上的正应力。
D
O
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
解： 截取上半部分作受力分析
单位长度上的惯性力 qd
qd 1 A 2 D 2
h v2 / 2g
Kd 1
1 2h st
1
1 v2 g st
若冲击物自高度 h 处以初速度v0下落
v2 v02 2gh
Kd 1
v2 1
g st
1
1 v02 2gh g st
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
例6-3-1 重物Q自由落下冲击在悬壁AB梁的B点处， 求B点的挠度。
d 2 2std 2sth 0
d st 1
1
2h st
d kd st
kd 1
1
2h st
自由落体冲击的动荷因数
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
1
2h st
Δ d kd Δ st , Fd kd P, σd kd σst
降低冲击动荷因数的措施:
冲击：当运动着的物体（冲击物）作用到静止的物体（被冲击
物）时，在相互接触的极短时间内，冲击物速度急剧下降，使 被冲击物受到很大作用力（冲击力）。
冲击动应力的计算：精确分析被冲击物的冲击应力和变形，
属于弹性动力学范畴，计算复杂。工程中，通常在以下假设的 基础上用能量法近似计算被冲击物的动应力：
I. 不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；
常见动荷载 等加速度直线运动产生的惯性力。 等速转动产生的惯性力。
冲击荷载。
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
交变应力
构件内随时间作交替 变化的应力。
交变应力的后果 构件内最大工作应力远低于材料的屈服强度， 且无明显的塑性变形，会发生骤然断裂。
y
D Fd Od
qd
D 2
d
惯性力在y方向的合力
Fd 0 qd D 2 d sin
qd D
sin d
20
A2D2
2
FNd
FNd
环向横截面上的轴力
FNd
Fd 2
A2 D2
4
环向横截面上的动应力
d
FNd A
2D2
4
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-3 构件受冲击荷载作用时的动应力计算
Ⅱ. 不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；
III. 不计冲击过程中的能量损失。
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
一、自由落体冲击
重量为P的物体由高度为h的位置自由下落，冲击一 块和直杆相连的平板。直杆AB：Δd=? Fd=? σd=?
A P
B
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
3. 动载荷作用下的强度条件：
动荷因数
Kd 1 a g
等加速直线运 动的动荷因数
d Kdst
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
动静法 除了外加荷载，再在构件的各点处附加上惯性力， 然后按求解静载荷问题的程序，求得构件的动应 力。
惯性力
大小 Fd ma
方向 惯性力的方向与加速度的方向相反
1、增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间 放置一弹簧 （ 缓冲弹簧）.
2、减小冲击物自由下落的高度。当 h 0 即重 物骤然加在杆件上，kd 2 。表明骤然加载引起
的动应力，是将重物缓慢作用引起静应力的2倍.
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击 物接触时冲击物的速度为 v，则
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
解： wB d Kd st
Q l 3 4Q l 3 st 3 E I E bh3
Kd 1
1 2H 1 st
1
EbH h3 2Ql 3
wB st Kd 1
1
EbHh 3 2Ql 3
4Ql 3 Ebh3
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
FNd P ma P / g a
外力
P
附加惯性力 P a g
a
P
FNd
P Pa g
动轴力
FNd P Pa g P(1 a g)
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
2. 动应力
d
FNd A
P (1 a A
g)
静应力
st
P A
d st (1 a g)
d Kd st
A
A
A
P
B
Fd
P
d
st
B
B
解: 设冲击后重物的势能为0。
势能
动能
应变能
冲击前 Ep1 P(h d ) 冲击后 Ep2 0
Ek1 0 Ek2 0
V1 0载荷 ·交变应力 (II)
由能量守恒可得
P(h
d
)
1 2
Fd
d
1 2
EA l
d
2
静位移
Pl st AE
例6-3-2 P=500N，H=20mm，
P
l=1m，b=50mm，E=200Gpa， A H
B
b
求C截面的挠度d，梁内最大
C
l/2
l/2
b
弯曲正应力d。
解：Δ C ,st
Pl 3 48 EI
0.1mm ,
C,d
C,st 1
1
2H C , st
2.10 mm
Pd P1
1 2H Δ C ,st
10.51k
N,
d
Md W
1 4
Pd l 1 b3
126MPa
6
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
若两端弹性支撑(弹簧系数k=100N/mm)
C , st
Pl 3 48 EI
P 2k
2.60mm
P
AH
B
b
C
C,d C,st 1
疲劳破坏
疲劳强度校核
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
例 6-2-1 钢索以等加速度a起吊重物。已知重物的重
力为P，钢索的横截面面积为A。求钢索横截面上的
动应力。
解：1. 截面法求钢索横截面上的轴力
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-1 概述 §6-2 构件作等加速直线运动或等速转动时的
动应力计算 §6-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算 §6-4 交变应力下材料的疲劳破坏 ·疲劳极限
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-1 概述
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
例6-2-2 平均直径为D的薄壁圆环作等速转动。已知
圆环的角速度，环向截面面积和材料的密度 。
试求圆环环向截面上的正应力。
D
O
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
解： 截取上半部分作受力分析
单位长度上的惯性力 qd
qd 1 A 2 D 2
h v2 / 2g
Kd 1
1 2h st
1
1 v2 g st
若冲击物自高度 h 处以初速度v0下落
v2 v02 2gh
Kd 1
v2 1
g st
1
1 v02 2gh g st
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
例6-3-1 重物Q自由落下冲击在悬壁AB梁的B点处， 求B点的挠度。
d 2 2std 2sth 0
d st 1
1
2h st
d kd st
kd 1
1
2h st
自由落体冲击的动荷因数
材料力学 第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
自由落体冲击的动荷因数
kd 1
1
2h st
Δ d kd Δ st , Fd kd P, σd kd σst
降低冲击动荷因数的措施:
冲击：当运动着的物体（冲击物）作用到静止的物体（被冲击
物）时，在相互接触的极短时间内，冲击物速度急剧下降，使 被冲击物受到很大作用力（冲击力）。
冲击动应力的计算：精确分析被冲击物的冲击应力和变形，
属于弹性动力学范畴，计算复杂。工程中，通常在以下假设的 基础上用能量法近似计算被冲击物的动应力：
I. 不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；