(完整版)解三角形知识点及题型总结
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式： b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边；(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角)；(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中，A Ba, a ③ tan A B tanC ；b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ①）从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为a （如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
解三角形知识点总结及典型例题
课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式 tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=-解三角形知识点总结及典型例题一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C=== 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ，则B 有两解； 如果1sin =B ，则B 有唯一解；如果1sin >B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）. 6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）.（3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+. 2sin 2cos ,2cos 2sin CB AC B A =+=+.二、典型例题 题型1 边角互化[例1 ]在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为【解析】由正弦定理可得7:5:3::=c b a ，,令c b a 、、依次为753、、， 则C cos =2222a b c ab +-=222357235+-⨯⨯=12-因为π<<C 0，所以=C 23π [例2 ] 若a 、b 、c 是ABC ∆的三边，222222)()(c x a c b x b x f +-++=，则函数)(x f 的图象与x 轴( ) A 、有两个交点 B 、有一个交点 C 、没有交点 D 、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-，因为2cos A <1,所以222cos c c A ->0，因此()f x >0恒成立，所以其图像与x 轴没有交点。
解三角形知识点汇总和典型例题
文成教育学科辅导教案讲义授课对象授课教师徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课使用教具人教版教材教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点 灵活解斜三角形 参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结
解三角形常用知识点归纳与题型总结1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒. 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== （1）和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.（2） 二倍角公式 sin2α = 2cosαsinα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==（3）辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B =2R 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式)8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。
(完整版)解三角形题型总结(最新整理)
解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
解三角形知识点总结及典型例题
解三角形知识点总结及典型例题三角形作为几何学的基础概念之一，是学习几何学不可或缺的部分。
在解三角形的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和技巧。
本文将对解三角形的相关知识点进行总结，并配以典型例题进行说明。
一、三角形的基本概念三角形由三条边和三个角组成。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
二、重要的定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角的三角形问题。
2. 角平分线定理：角平分线将一个角分为两个大小相等的角。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角平分线的三角形问题。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边平方和等于斜边的平方。
这个定理被广泛应用于解决直角三角形的各类问题。
三、解三角形的方法1. 已知两边和夹角如果我们已知三角形的两边和夹角，我们可以利用余弦定理求解第三边的长度。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为第三边的长度，a和b为已知边的长度，C为已知夹角的度数。
2. 已知两边和对应的角如果我们已知三角形的两边和对应的角，我们可以利用正弦定理求解第三角的长度。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
3. 已知三边如果我们已知三角形的三边，我们可以利用余弦定理或正弦定理求解其中一个角的大小。
然后，再利用三角形的内角和定理求解其他角的大小。
四、典型例题1. 已知三角形ABC，AB ＝ 8 cm，BC ＝ 6 cm，AC ＝ 10 cm。
求角A、角B和角C的度数。
解：根据余弦定理，cosA ＝ (8² + 10² - 6²) / (2 × 8 × 10) ＝ 0.6cosB ＝ (6² + 10² - 8²) / (2 × 6 × 10) ＝ 0.8cosC ＝ (8² + 6² - 10²) / (2 × 8 × 6) ＝ 0.7通过查表或使用计算器，我们可以得到：角A ≈ 53.13°，角B ≈ 36.87°，角C ≈ 90°2. 在直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB ＝ 5 cm，BC ＝ 12 cm。
解三角形知识点总结及典型例题
因为 ，所以
[例2 ] 若 、 、 是 的三边， ，则函数 的图象与 轴( )
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得 ，所以 = ，因为 1,所以 0，因此 0恒成立，所以其图像与 轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A、 ， ， ；B、 ， ， ；
C、 ， ， ；D、 ， ， 。
题型3 面积问题
[例4] 的一个内角为 ，并且三边构成公差为 的等差数列，则 的面积为
【解析】设△ABC的三边分别： ，
∠C=120°，∴由余弦定理得： ，解得： ，
∴ 三边分别为6、10、14，
.
题型4 判断三角形形状
[例5] 在 中，已知 ,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
由正弦定理，即知
由 ，得 或 ,
即 为等腰三角形或直角三角形.
方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：
即
或 ,
即 为等腰三角形或直角三角形.
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在 中， 分别为角 的对边，且 且
（1）当 时，求 的值；
（2）若角 为锐角，求 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基础强化（8）——解三角形
1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；
②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒
2、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C +++=== 3、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C ===A B ． 4、正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B =2R 5、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
6、三角形面积公式：
111sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++ 7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．
8、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222
cos 2a b c C ab
+-=． 9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角
10、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
11.仰角与俯角，方向角与方位角
题型一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
例1. （1）在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
（2）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．
（3）在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．
（4）在△ABC 中，已知a =b ，45B =，求,A C 和c ．
（5）在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．
1 .在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C
= ． 2.在ΔABC 中，已知6
6cos ,364==
B AB ，A
C 边上的中线B
D =5，求sin A 的值．
题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2．（1）在ABC ∆中，C b a cos 2=，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
（2）在ABC ∆中，若B A C sin cos 2sin =，则此三角形必是（ ）
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
（3）设ABC ∆的内角C ,B ,A 的对边分别为c b a ,,，若()cos a b c C =+,则ABC ∆的形状是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
1、在ABC ∆中，若,2lg sin lg lgcos lgsin =--C B A 则ABC ∆的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
2．在ABC ∆中，若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
题型三：与面积有关问题
例3、已知向量),sin 3,(sin x x m =),cos ,(sin x x n -= 设函数,)(n m x f ⋅= 若函数)(x g 的
图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称．
(1)求函数)(x g 在区间]6
,4[ππ-上的最大值，并求出此时x 的值； (2)在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角，若,23)()(=
-A g A f ,7=+c b ABC ∆的面积为,32 求边a 的长．
1.、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 已知,32cos =A .cos 5sin C B = (1)求C tan 的值；(2)若,2=
a 求ABC ∆的面积.
2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=
． （I ）求边AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为1sin 6
C ，求角C 的度数．
题型之四：三角形中求值问题
1. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和32
1+=b c ，求A ∠和B tan 的值．
2．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3
A =，（1）求
2
2tan sin 22
B C A ++的值；（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值。
3．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
题型五：解三角形中的最值问题
例5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3
C π=
（1） 求△ABC 周长的取值范围
（2） 求△ABC 面积的取值范围
1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos (cos )cos 0C A A B +=.
1）求角B 的大小；(2)若1a c +=，求b 的取值范围
2．△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.
(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
3.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
4. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A .
（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos A +sin C 的取值范围.
5.ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos
2
B C A ++取得最大值，并求出这个最大值。
题型六：图形中的解三角形
例6. 如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且
BD BC BD AB AD AB 2,32,===，则C sin 的值为
A.33
B.63
C.36
D.6
6 1.如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上, AC AD ⊥,
22sin ,32,33
BAC AB AD ∠===，则BD 的长为___ __. 题型七：正余弦定理解三角形的实际应用
（一）测量问题
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、
B 两点，望对岸标记物
C ，测得∠CAB=30°，
∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
（二）遇险问题
2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
（三）追击问题
3.如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？
图1 A B C D 图3 A
B
C 北
45°
15°
西 北 南 东 A B
C 30° 15° 图2。