向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
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Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
向量在几何中应用研究
向量在几何中应用研究
向量集数形于一身，它是沟通代数、三角函数、几何的一种工具，有着极其丰富的背景。
可以这么说，向量作为中学数学必不可少的一部分进入高中教材，但研究不深，本文主要从简单平面几何、解析几何三方面来研究向量在其中的应用。
将向量作为高中数学的必学内容，是必然的。
无论是从国内外中学数学教学改革的历史经验来看，还是从当前中学数学教学的目的来看，向量进入中学数学，对于更好地学习几何，将来进一步学习高等数学，对于学生灵活运用数学知识解决实际问题都会有启蒙和奠基的作用。
1 向量在简单平面几何中的应用
向量化是几何抽象化的有效工具，是研究几何性质的量化手段，由于平面向量集与有序实数对集关于加法与数乘运算的同构，用向量法证明几何中的平行、垂直、中点等问题有许多简捷之处.
3 总结
在高中数学教材中为向量与的夹角，此公式无论对平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何，空间几何，解析几何提供了一个实用，方便的工具，在几何角中具有举足轻重的地位。
向量在中学数学中的简单应用
向量在中学数学中的简单应用作者：张秦芹来源：《世纪之星·交流版》2015年第06期向量作为工具性知识，既与传统内容有着很大的联系，又体现出自身所具有的一些特性，因而在中学数学中有着极其广泛的应用。
向量由大小和方向两个量确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了形的特征，是中学中数形结合思想的典型体现，它所蕴含的丰富的数学思想和方法，有益于发展学生的思维能力，激发其创造性。
在中学阶段学习的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广与拓展。
由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。
一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。
究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。
）一、求解平面上的夹角与利用空间向量求空间角问题1.向量法求平面上的夹角问题：（求两非零向量a与b的夹角q的依据）①cosq=；②设a==（x1，y1）和b=（x2，y2），则cosq=2.求空间的角用向量则很好的解决了这一问题对异面直线所成的角：若异面直线AB，CD的夹角为θ，则θ与向量，所成的角相等或互补，因此：=；对直线与平面所成的角：设平面与其斜线m所成的角为，平面的法向量为n，直线m的方向向量为m，记=，与互余（当为锐角时）或与的补角互余（当为钝角时），因此： =︱cos|=，（0求平面与平面所成的角：平面与平面相交形成两对平面角互补的二面角，于是：平面与平面相交所成二面角分三种情形：向量a，b分别平行于平面，且都与二面角的棱垂直，记=，则与相等或互补，因此（正负号的选取视具体图形而定）。
向量a平行于平面，且垂直于二面角的棱，平面的法向量为n，记=，则（的选取视具体情况而定）。
平面与平面的法向量分别为m，n，记=，则与相等或互补，因此：（正负号的选取视具体情况而定）。
向量在中学数学中的应用
2010、2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业作业——试论述向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”一、向量在几何中的应用：平行四边形性质的证明：设四边形ABCD 是平行四边形，证明：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) 证明：∵+=，-= ∴2222+⋅+=，2222ADAD AB AB BD +⋅-=)(22222+=+ 即：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)二、向量在不等式中的应用：柯西不等式的证明：设a,b,c,d ∈R ，证明:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 证明：设向量m =(a,b),n =(c,d)的夹角θ， 由||||cos ||||≤=⋅θ得ac+bd ≤2222d c b a ++所以(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)。
三、向量在函数中的作用：函数最值的计算：求函数x x x f 4163)(-+=的最大值。
解：x x x f -+=423)(， 令向量)4,(,)2,3(x x -==,则 132413||||)(=-+=≤⋅=x x b a b a x f 其中等号在,同向，即x x -=432，1336=x 时成立， 所以函数x x x f 4163)(-+=的最大值为132。
四、向量在恒等式中的作用： 三角恒等式的证明：求证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明：设向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos ββαα==，则,1||,1||,sin sin cos cos ==+=⋅βαβα 另一方面，)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅ 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
高考数学中的线性代数及应用
高考数学中的线性代数及应用在高考数学中，线性代数是一个重要的考点，它是数学中的一个分支，讲究向量、矩阵、行列式等内容，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、向量向量是线性代数中的基础概念之一，是指同时具有大小和方向的量。
在高中数学课程中，我们已经学过向量的基本概念和运算。
在高考中，必须掌握向量的点乘、叉乘、平面方程以及向量组的线性相关、线性无关等重要概念。
这些知识点在高考数学中都有考查，同时也具有一定的应用意义。
在实际应用中，向量的应用广泛，如在工程测量中用于计算物体的位移、速度、加速度等，同时还可用于计算力的大小和方向。
在计算机图形学中，向量可用于表示三维空间中的点和对象，是计算机图形学中最重要的数据类型之一。
二、矩阵矩阵是一个方阵或非方阵，其中的元素可以是实数或复数。
在高考数学中，我们学过矩阵的基本概念、常见矩阵运算、矩阵的秩等知识点。
同时还要具备求解矩阵方程、解线性方程组、矩阵的转置、逆矩阵等重要概念。
在实际应用中，矩阵的应用非常广泛，如在物理学中用于解决运动问题、在经济学中用于计算供给和需求、在计算机科学中用于解决线性方程组或图像处理等。
可以说，矩阵在各个领域都发挥着重要作用。
三、行列式行列式是矩阵的一个重要概念，我们已经在高中数学中学过，它是用于计算面积、体积、求解未知量等方面的重要工具。
在高考数学中，行列式的基本概念和应用是必考内容之一，同时还需掌握行列式的基本性质和简化计算的技巧。
在实际应用中，行列式的应用也非常广泛，如在计算机编程中用于判断一个矩阵是否满足某些条件、在经济学中用于计算系统的可行性、在物理学中用于计算角动量和自旋等指标。
可以说，行列式在各个领域都有不同的应用。
总结高考数学中的线性代数及应用是一个非常重要的考点，它涵盖了向量、矩阵、行列式等重要概念，在实际应用中也发挥着重要的作用。
因此，我们必须掌握这些知识点，并注意学习它们的应用技巧和实际应用场景。
只有这样，我们才能在高考中取得优异的成绩，并将所学知识投入到实践中，为社会发展做出贡献。
中学数学教案空间向量的数量积与向量积
中学数学教案空间向量的数量积与向量积中学数学教案：空间向量的数量积与向量积导入部分：在学习高中数学的过程中，我们经常会接触到空间向量的概念与计算。
空间向量乃是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们描述和计算具有方向和大小的物理量。
本教案将重点探讨空间向量的数量积与向量积，帮助学生更好地理解和运用这些概念。
一、空间向量的数量积数量积是指两个向量相乘得到一个数的运算。
在空间向量中，两个向量的数量积可以通过向量的坐标进行计算。
假设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
1.1 数量积的几何意义数量积不仅可以用于计算，还具有几何意义。
对于给定的两个向量A和B，它们的数量积A·B可以表示为A与B的夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
1.2 数量积的性质数量积具有以下性质：1）数量积满足交换律，即A·B = B·A。
2）数量积满足分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C。
3）对于任意非零向量A，A·A > 0，即数量积为正。
二、空间向量的向量积向量积是指两个向量相乘得到一个向量的运算。
在空间向量中，两个向量的向量积可以利用行列式来计算。
假设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的向量积可以表示为A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
2.1 向量积的几何意义向量积不仅可以用于计算，同样具有几何意义。
对于给定的两个向量A和B，它们的向量积A × B的模长可以表示为A和B所张成的平行四边形的面积。
2.2 向量积的性质向量积具有以下性质：1）向量积满足反交换律，即A × B = -B × A。
2）向量积满足分配律，即(A + B) × C = A × C + B × C。
向量在高中数学解题中的应用丁有生
向量在高中数学解题中的应用丁有生发布时间：2023-05-31T07:57:21.065Z 来源：《中国教师》2023年6期作者：丁有生[导读] 量在数学领域中具有双重特性，既具备一定的代数特性，也具备相应的几何特征。
在高中数学问题处理中，通过向量的运用，可以让学生更加高质量地实现代数、几何问题的转化，提高学生的数学问题处理能力，为学生的综合发展提供保障基于此，本文章对向量在高中数学解题中的应用进行探讨，以供参考。
云南省红河州第一中学摘要：量在数学领域中具有双重特性，既具备一定的代数特性，也具备相应的几何特征。
在高中数学问题处理中，通过向量的运用，可以让学生更加高质量地实现代数、几何问题的转化，提高学生的数学问题处理能力，为学生的综合发展提供保障基于此，本文章对向量在高中数学解题中的应用进行探讨，以供参考。
关键词：向量；高中数学解题；应用引言如何在解题教学中去培养学生的数学核心素养是高中数学教师需要思考的问题。
教师有必要端正解题教学的态度，从核心素养角度出发去设计解题教学内容，确保学生不仅可以学会解题，还能够在解题中获得综合能力的提升。
因此，教师应当以数学核心素养为研究基础，探究高中数学解题教学的策略，提高课堂教学质量，为高中生学好数学、走向社会打下良好的基础。
一、高中数学解题现状分析（一）解题方式不够合理首先，当前高中数学教师依然会单一授讲，教师一般在讲台上讲解解题的思路，学生在下面机械地听讲，这种方式具有一定的呆板性，学生一般能在课堂上听明白，但是一旦自己做题时就会出现这样或那样的错误。
教师在讲解解题步骤时，通常用一种方法解答，忽略了学生的自主探究过程，没有留给学生自主思考的机会，而一道数学题目往往会以多种形式考查，有的学生并不适合用教师讲解的方法做题，因此会限制学生的思维发展，学生的解题能力就会下降。
（二）混淆公式、定理、定律高中数学涉及的公式、定律、定理较多，很多学生在记忆定理、公式时多是死记硬背，缺乏对公式内容的主动探索和分析，这样就导致记忆流于形式，学生很难真正把握定理、公式、定律的实质。
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向量在中学数学中的应用
摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.
关键词：向量数量积平面几何立体几何
高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.
一、预备知识
1.平面向量的数量积
a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.
2.平面向量的基本定理
如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.
3.两个向量平行的充要条件
a∥b？圳a=λ b
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.
4.两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b？圳a·b=0
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.
二、向量应用的探究
1.利用向量解三角问题
例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.
解：原条件式可化为
sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0
构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，
|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0
？圯cosα=？圯α=
由α，β的对称性知β=.
2.利用向量解不等式的问题
对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；
（2）|·|≤||·||；
（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·
||；
（4）当与共线时，|·|=||·||.
下面利用这些性质和推论来看两个例子.
例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.
证明：设=（a，b），=（a，b）
则·=a+b，||=，||=
由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.
说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.
3.利用向量求最值问题
最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.
例3：已知m，n，x，y∈r，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.
解：设=（m，n），=（x，y），
则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.
而||=，||=，
从而有mx+ny≤·.
当与同向时，mx+ny取最大值·=.
三、注意向量学习的几个误区
误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.
例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.
显然 = =，但≠.
误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.
例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，
显然≠，≠.
由·=0，可以推出以下四种可能：
①=，≠；
②≠，=；
③=，=；
④≠且≠，但⊥.
误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.
例6：试说明（·）·=·（·）不成立.
解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线
的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.
误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.
例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？
①若∥，∥，则∥.
②若||=||，则=±.
③单位向量都相等.
解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.
②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.
③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.
综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.
参考文献：
[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[m].人民教育出版社，
2001，11.
[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[j].中学数学，2003（1）：15-16.
[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[j].中学数学研究，2004（4）：37-38.
[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[j].数学通报，2004（5）：36-37.
[5]吕林根，许子道.解析几何[m].北京：高等教育出版社，1986.
[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[j].数学通报，2003.2，25-26.。